Bài viết

4.1: Tăng trưởng và suy tàn - Toán học


Phần này bắt đầu với một cuộc thảo luận về sự tăng trưởng và phân rã theo cấp số nhân, mà bạn có thể đã thấy trong giải tích. Chúng tôi xem xét các ứng dụng để phân rã phóng xạ, xác định niên đại carbon và lãi kép. Chúng tôi cũng xem xét các vấn đề phức tạp hơn trong đó tốc độ thay đổi của một đại lượng một phần tỷ lệ với độ lớn của đại lượng đó, nhưng cũng bị ảnh hưởng bởi các yếu tố khác, ví dụ, một chất phóng xạ được sản xuất theo một tốc độ nhất định, nhưng phân hủy ở một tỷ lệ thuận với khối lượng của nó, hoặc một người tiết kiệm gửi tiền thường xuyên vào tài khoản tiết kiệm để hưởng lãi suất kép.

Vì các ứng dụng trong phần này liên quan đến các hàm của thời gian, chúng tôi sẽ biểu thị biến độc lập bằng (t ). Nếu (Q ) là một hàm của (t ), (Q ') sẽ biểu thị đạo hàm của (Q ) đối với (t ); do đó,

[Q '= {dQ over dt}. Nonumber ]

Tăng trưởng và suy giảm theo cấp số nhân

Một trong những mô hình toán học phổ biến nhất cho một quá trình vật lý là mô hình hàm mũ, trong đó giả định rằng tốc độ thay đổi của một đại lượng (Q ) tỷ lệ với (Q ); do đó

[ label {eq: 4.1.1} Q '= aQ, ]

trong đó (a ) là hằng số tỷ lệ.

Từ Ví dụ 2.1.3, nghiệm chung của Phương trình ref {eq: 4.1.1} là

[Q = ce ^ {at} nonumber ]

và giải pháp của vấn đề giá trị ban đầu

[Q '= aQ, quad Q (t_0) = Q_0 nonumber ]

[ label {eq: 4.1.2} Q = Q_0e ^ {a (t-t_0)}. ]

Vì các nghiệm của (Q '= aQ ) là hàm số mũ, chúng ta nói rằng một đại lượng (Q ) thoả mãn phương trình này phát triển theo cấp số nhân if (a> 0 ) hoặc phân rã theo cấp số nhân if (a <0 ) (Hình ( PageIndex {1} )).

Phân rã phóng xạ

Bằng chứng thực nghiệm cho thấy chất phóng xạ phân rã với tốc độ tỷ lệ thuận với khối lượng của vật chất đó. Theo mô hình này, khối lượng (Q (t) ) của một chất phóng xạ có mặt tại thời điểm (t ) thoả mãn Công thức ref {eq: 4.1.1}, trong đó (a ) là một hằng số âm có giá trị đối với bất kỳ vật liệu nhất định phải được xác định bằng quan sát thực nghiệm. Để đơn giản, chúng tôi sẽ thay thế hằng số âm (a ) bằng (- k ), trong đó (k ) là một số dương mà chúng tôi sẽ gọi là phân rã không đổi của vật liệu. Do đó, Phương trình ref {eq: 4.1.1} trở thành

[Q '= - kQ. Nonumber ]

Nếu khối lượng của vật chất tại thời điểm (t = t_0 ) là (Q_0 ), thì khối lượng hiện tại tại thời điểm (t ) là nghiệm của

[Q '= - kQ, quad Q (t_0) = Q_0. Nonumber ]

Từ Phương trình ref {eq: 4.1.2} với (a = -k ), giải pháp của vấn đề giá trị ban đầu này là

[ label {eq: 4.1.3} Q = Q_0e ^ {- k (t-t_0)}. ]

Các nửa đời người ( tau ) của một chất phóng xạ được định nghĩa là thời gian cần thiết để một nửa khối lượng của nó phân rã; nghĩa là, nếu (Q (t_0) = Q_0 ), thì

[ label {eq: 4.1.4} Q ( tau + t_0) = {Q_0 trên 2}. ]

Từ Phương trình ref {eq: 4.1.3} với (t = tau + t_0 ), Phương trình ref {eq: 4.1.4} tương đương với [Q_0e ^ {- k tau} = {Q_0 trên 2}, nonumber ]

vì thế

[e ^ {- k tau} = {1 trên 2}. nonumber ]

Lấy logarit tạo ra kết quả

[- k tau = ln {1 over 2} = - ln2, nonumber ]

vì vậy thời gian bán hủy là

[ label {eq: 4.1.5} tau = {1 over k} ln2. ]

(Hình ( PageIndex {2} )). Chu kỳ bán rã không phụ thuộc vào (t_0 ) và (Q_0 ), vì nó được xác định bởi các đặc tính của vật liệu, không phải bởi lượng vật liệu có mặt tại bất kỳ thời điểm cụ thể nào.

Ví dụ ( PageIndex {1} )

Một chất phóng xạ có chu kỳ bán rã là 1620 năm.

  1. Nếu khối lượng của nó bây giờ là 4 g (gam) thì 810 năm nữa khối lượng của nó sẽ còn lại là bao nhiêu?
  2. Tìm thời điểm (t_1 ) khi 1,5 g chất này còn lại.

Giải pháp a

Từ Phương trình ref {eq: 4.1.3} với (t_0 = 0 ) và (Q_0 = 4 ),

[ label {eq: 4.1.6} Q = 4e ^ {- kt}, ]

nơi chúng tôi xác định (k ) từ Phương trình ref {eq: 4.1.5}, với ( tau ) = 1620 năm:

[k = { ln2 over tau} = { ln2 trên 1620}. không có số]

Thay thế điều này trong Phương trình ref {eq: 4.1.6} sẽ thu được kết quả

[ label {eq: 4.1.7} Q = 4e ^ {- (t ln2) / 1620}. ]

Do đó khối lượng còn lại sau 810 năm sẽ là

[ begin {array} {rl} Q (810) & = 4e ^ {- (810 ln2) / 1620} = 4e ^ {- ( ln2) / 2} & = 2 sqrt {2} mbox {g}. end {array} nonumber ]

Giải pháp b

Đặt (t = t_1 ) trong Phương trình ref {eq: 4.1.7} và yêu cầu điều đó (Q (t_1) = 1.5 ) mang lại kết quả

[{3 over2} = 4e ^ {(- t_1 ln2) / 1620}. không có số]

Chia cho 4 và lấy logarit thu được kết quả

[ ln {3 over8} = - {t_1 ln2 over1620}. không có số]

Vì ( ln3 / 8 = - ln8 / 3 ),

[t_1 = 1620 { ln8 / 3 over ln2} khoảng 2292,4 ; mbox {năm}. không có số]

Lãi gộp liên tục

Giả sử chúng ta gửi một số tiền (Q_0 ) vào một tài khoản chịu lãi suất và không gửi thêm hoặc rút tiền trong (t ) năm, trong thời gian đó, tài khoản này chịu lãi suất hàng năm không đổi (r ). Để tính toán giá trị của tài khoản vào cuối (t ) năm, chúng tôi cần thêm một thông tin nữa: lãi suất được cộng vào tài khoản như thế nào, hoặc — như các chủ ngân hàng nói — nó như thế nào hỗn hợp. Nếu tiền lãi được gộp hàng năm, giá trị của tài khoản sẽ được nhân với (1 + r ) vào cuối mỗi năm. Điều này có nghĩa là sau (t ) năm giá trị của tài khoản là

[Q (t) = Q_0 (1 + r) ^ t. không có số ]

Nếu tiền lãi được gộp nửa năm một lần, giá trị của tài khoản sẽ được nhân với ((1 + r / 2) ) sau mỗi 6 tháng. Vì điều này xảy ra hai lần mỗi năm, giá trị của tài khoản sau (t ) năm là

[Q (t) = Q_0 left (1+ {r over 2} right) ^ {2t}. không có số ]

Nói chung, nếu lãi gộp (n ) lần mỗi năm, thì giá trị của tài khoản sẽ được nhân (n ) lần mỗi năm với ((1 + r / n) ); do đó, giá trị của tài khoản sau (t ) năm là

[ label {eq: 4.1.8} Q (t) = Q_0 left (1+ {r over n} right) ^ {nt}. ]

Do đó, việc tăng tần suất tính lãi kép sẽ làm tăng giá trị của tài khoản sau một khoảng thời gian cố định. Bảng ( PageIndex {1} ) cho thấy tác động của việc tăng số lãi kép trong (t = 5 ) năm đối với khoản tiền gửi ban đầu (Q_0 = 100 ) (đô la), với lãi suất hàng năm là 6%.

Bảng ( PageIndex {1} ): Ảnh hưởng của lãi suất kép
(n ) (số lãi kép mỗi năm) ($ 100 left (1+ frac {.06} {n} right) ^ {5n} ) (giá trị tính bằng đô la sau 5 năm)
1$133.82
2$134.39
4$134.68
8$134.83
364$134.98

Bạn có thể thấy từ Bảng ( PageIndex {1} ) rằng giá trị của tài khoản sau 5 năm là một hàm ngày càng tăng của (n ). Bây giờ, giả sử tỷ lệ lãi suất tối đa cho phép trên tài khoản tiết kiệm bị hạn chế bởi luật pháp, nhưng khoảng thời gian giữa các khoản lãi kép liên tiếp thì không; thì các ngân hàng cạnh tranh có thể thu hút người tiết kiệm bằng cách thường lãi kép. Bước cuối cùng theo hướng này là hợp chất liên tục, theo đó chúng tôi có nghĩa là (n to infty ) trong Phương trình ref {eq: 4.1.8}. Vì chúng ta biết từ giải tích rằng

[ lim_ {n to infty} left (1+ {r over n} right) ^ n = e ^ r, nonumber ]

điều này mang lại

[ begin {array} {rl} Q (t) & = lim_ {n to infty} Q_0 left (1+ {r over n} right) ^ {nt} = Q_0 left [ lim_ {n to infty} left (1+ {r over n} right) ^ n right] ^ t [12pt] & = Q_0e ^ {rt}. end {array} nonumber ]

Quan sát rằng (Q = Q_0e ^ {rt} ) là lời giải của bài toán giá trị ban đầu

[Q '= rQ, quad Q (0) = Q_0; không có số]

nghĩa là, với việc cộng gộp liên tục, giá trị của tài khoản sẽ tăng lên theo cấp số nhân.

Ví dụ ( PageIndex {2} )

Nếu 150 đô la được gửi vào ngân hàng trả tiền lãi hàng năm cho (5 {1 over2} )% liên tục, giá trị của tài khoản sau (t ) năm là

[Q (t) = 150e ^ {. 055t} nonumber ]

USD. (Lưu ý rằng cần phải viết lãi suất dưới dạng số thập phân; do đó, (r = .055 ).) Do đó, sau (t = 10 ) năm giá trị của tài khoản là

[Q (10) = 150e ^ {. 55} khoảng $ 259,99. không có số]

Ví dụ ( PageIndex {3} )

Chúng tôi muốn tích lũy 10.000 đô la trong 10 năm bằng cách gửi một khoản tiền duy nhất vào tài khoản tiết kiệm có lãi suất hàng năm cộng gộp liên tục (5 {1 over2} )% hàng năm. Chúng ta phải gửi bao nhiêu vào tài khoản?

Giải pháp

Giá trị của tài khoản tại thời điểm (t ) là

[ label {eq: 4.1.9} Q (t) = Q_0e ^ {. 055t}. ]

Vì chúng ta muốn (Q (10) ) là $ 10.000, nên khoản tiền gửi ban đầu (Q_0 ) phải thỏa mãn phương trình

[ label {eq: 4.1.10} 10000 = Q_0e ^ {. 55}, ]

thu được bằng cách cài đặt (t = 10 ) và (Q (10) = 10000 ) trong Phương trình ref {eq: 4.1.9}. Giải phương trình ref {eq: 4.1.10} cho (Q_0 ) mang lại kết quả

[Q_0 = 10000e ^ {-. 55} khoảng $ 5769,50. Nonumber ]

Tăng trưởng hỗn hợp và suy giảm

Ví dụ ( PageIndex {4} )

Một chất phóng xạ có hằng số phân rã (k ) được tạo ra với tốc độ không đổi (a ) đơn vị khối lượng trên một đơn vị thời gian.

  1. Giả sử rằng (Q (0) = Q_0 ), hãy tìm khối lượng (Q (t) ) của chất có mặt tại thời điểm (t ).
  2. Tìm ( lim_ {t to infty} Q (t) ).

Giải pháp a:

Đây

[Q '= mbox {tốc độ tăng của} Q - mbox {tốc độ giảm của} Q. nonumber ]

Tốc độ tăng là hằng số (a ). Vì (Q ) là chất phóng xạ với hằng số phân rã (k ), tốc độ giảm là (kQ ). vì thế

[Q '= a-kQ. Nonumber ]

Đây là một phương trình vi phân tuyến tính bậc nhất. Viết lại nó và áp đặt điều kiện ban đầu cho thấy rằng (Q ) là giải pháp của vấn đề giá trị ban đầu

[ label {eq: 4.1.11} Q '+ kQ = a, quad Q (0) = Q_0. ]

Vì (e ^ {- kt} ) là một nghiệm của phương trình bổ sung, các nghiệm của Phương trình ref {eq: 4.1.11} có dạng (Q = ue ^ {- kt} ), trong đó (u'e ^ {- kt} = a ), vậy (u '= ae ^ {kt} ). Vì thế,

[u = {a over k} e ^ {kt} + c nonumber ]

[Q = ue ^ {- kt} = {a over k} + ce ^ {- kt}. không có số ]

Vì (Q (0) = Q_0 ), cài đặt (t = 0 ) ở đây mang lại kết quả

[Q_0 = {a over k} + c quad text {hoặc} quad c = Q_0- {a over k}. không có số ]

vì thế

[ label {eq: 4.1.12} Q = {a over k} + left (Q_0- {a over k} right) e ^ {- kt}. ]

b. Vì (k> 0 ), ( lim_ {t to infty} e ^ {- kt} = 0 ) nên từ Phương trình ref {eq: 4.1.12}

[ lim_ {t to infty} Q (t) = {a over k}. không có số ]

Giới hạn này chỉ phụ thuộc vào (a ) và (k ) chứ không phụ thuộc vào (Q_0 ). Chúng tôi nói rằng (a / k ) là trạng thái ổn định giá trị của (Q ). Từ Phương trình ref {eq: 4.1.12}, chúng ta cũng thấy rằng (Q ) tiếp cận giá trị trạng thái ổn định của nó từ phía trên nếu (Q_0> a / k ) hoặc từ phía dưới nếu (Q_0

Hẹn hò carbon

Thực tế là (Q ) tiếp cận một giá trị trạng thái ổn định trong tình huống được thảo luận trong Ví dụ 4 làm cơ sở cho phương pháp niên đại carbon, do nhà hóa học người Mỹ và người đoạt giải Nobel nghĩ ra W.S. Libby.

Carbon 12 là ổn định, nhưng carbon-14, được tạo ra bởi sự bắn phá vũ trụ của nitơ trong bầu khí quyển trên, là chất phóng xạ với chu kỳ bán rã khoảng 5570 năm. Libby giả định rằng lượng carbon-12 trong khí quyển là không đổi trong suốt thời gian, và lượng carbon-14 phóng xạ đã đạt được giá trị trạng thái ổn định từ lâu do kết quả của quá trình tạo ra và phân hủy qua hàng triệu năm. Những giả định này khiến Libby kết luận rằng tỷ lệ carbon-14 trên carbon-12 gần như không đổi trong một thời gian dài. Hằng số này, mà chúng tôi ký hiệu là (R ), đã được xác định bằng thực nghiệm.

Tế bào sống hấp thụ cả carbon-12 và carbon-14 theo tỷ lệ chúng có trong môi trường. Do đó, tỷ lệ cacbon-14 trên cacbon-12 trong tế bào sống luôn là (R ). Tuy nhiên, khi tế bào chết đi, nó không còn hấp thụ carbon, và tỷ lệ carbon-14 trên carbon-12 giảm theo cấp số nhân khi carbon-14 phóng xạ phân hủy. Đây là cơ sở cho phương pháp xác định niên đại cacbon, như được minh họa trong ví dụ tiếp theo.

Ví dụ ( PageIndex {5} )

Một nhà khảo cổ học khi điều tra địa điểm của một ngôi làng cổ đã tìm thấy một khu chôn cất, nơi lượng carbon-14 có trong các bộ hài cốt cá thể là từ 42 đến 44% lượng có trong các cá thể sống. Ước tính tuổi của ngôi làng và khoảng thời gian mà ngôi làng tồn tại.

Giải pháp

Gọi (Q = Q (t) ) là lượng carbon-14 trong một bộ hài cốt riêng lẻ (t ) năm sau khi chết, và gọi (Q_0 ) là lượng carbon-14 có trong các cá thể sống . Vì carbon-14 phân hủy theo cấp số nhân với chu kỳ bán rã 5570 năm, hằng số phân rã của nó là

[k = { ln2 trên 5570}. không có số]

vì thế

[Q = Q_0e ^ {- t ( ln2) / 5570} nonumber ]

nếu chúng ta chọn thang thời gian sao cho (t_0 = 0 ) là thời điểm chết. Nếu chúng ta biết giá trị hiện tại của (Q ), chúng ta có thể giải phương trình này cho (t ), số năm kể từ khi cái chết xảy ra. Điều này mang lại

[t = -5570 { ln Q / Q_0 over ln2}. nonumber ]

Người ta cho rằng (Q = .42Q_0 ) trong hài cốt của những người chết trước. Do đó, những cái chết này xảy ra về

[t_1 = -5570 { ln.42 over ln2} khoảng 6971 nonumber ]

nhiều năm trước. Đối với những trường hợp tử vong gần đây nhất, (Q = .44 Q_0 ); do đó, những cái chết này xảy ra về

[t_2 = -5570 { ln.44 over ln2} khoảng 6597 nonumber ]

nhiều năm trước. Vì vậy, hợp lý để kết luận rằng ngôi làng được thành lập khoảng 7000 năm trước, và tồn tại trong khoảng 400 năm.

Chương trình tiết kiệm

Ví dụ ( PageIndex {6} ):

Một người mở tài khoản tiết kiệm với số tiền gửi ban đầu là $ 1000 và sau đó gửi $ 50 mỗi tuần. Tìm giá trị (Q (t) ) của tài khoản tại thời điểm (t> 0 ), giả sử rằng ngân hàng trả lãi gộp 6% liên tục.

Giải pháp

Hãy quan sát rằng (Q ) không liên tục, vì có 52 khoản tiền gửi rời rạc mỗi năm, mỗi khoản là 50 đô la. Để xây dựng một mô hình toán học cho vấn đề này dưới dạng một phương trình vi phân, chúng tôi đưa ra giả thiết đơn giản hóa rằng các khoản tiền gửi được thực hiện liên tục với tốc độ $ 2600 mỗi năm. Điều này là cần thiết, vì các nghiệm của phương trình vi phân là các hàm liên tục. Với giả định này, (Q ) tăng liên tục với tốc độ

[Q '= 2600 + 0,06 Q nonumber ]

và do đó (Q ) thoả mãn phương trình vi phân

[ label {eq: 4.1.13} Q '-. 06Q = 2600. ]

(Tất nhiên, chúng ta phải thừa nhận rằng nghiệm của phương trình này là một giá trị gần đúng với giá trị thực của (Q ) tại bất kỳ thời điểm nào. Chúng ta sẽ thảo luận thêm về vấn đề này bên dưới.) Vì (e ^ {. 06t} ) là một nghiệm của phương trình bổ sung, các nghiệm của Phương trình ref {eq: 4.1.13} có dạng (Q = ue ^ {. 06t} ), trong đó (u'e ^ {. 06t} = 2600 ). Do đó, (u '= 2600e ^ {-. 06t} ),

[u = - {2600 over.06} e ^ {- 0.06t} + c nonumber ]

[ label {eq: 4.1.14} Q = ue ^ {. 06t} = - {2600 over.06} + ce ^ {. 06t}. ]

Cài đặt (t = 0 ) và (Q = 1000 ) ở đây mang lại kết quả

[c = 1000 + {2600 trên 0,06}, nonumber ]

và thay thế điều này thành Phương trình ref {eq: 4.1.14} sẽ thu được kết quả

[ label {eq: 4.1.15} Q = 1000e ^ {. 06t} + {2600 over.06} (e ^ {. 06t} -1) ]

trong đó kỳ hạn đầu tiên là giá trị do khoản tiền gửi ban đầu và kỳ hạn thứ hai là giá trị do các khoản tiền gửi hàng tuần tiếp theo.

Các mô hình toán học phải được kiểm tra tính hợp lệ bằng cách so sánh các dự đoán dựa trên chúng với kết quả thực tế của các thí nghiệm. Ví dụ 6 khác thường ở chỗ chúng ta có thể tính toán giá trị chính xác của tài khoản tại bất kỳ thời điểm cụ thể nào và so sánh nó với giá trị gần đúng được dự đoán bởi Phương trình ref {eq: 4.1.15} (Xem Bài tập 4.1.21). Bảng sau đây đưa ra một so sánh trong khoảng thời gian 10 năm. Mỗi câu trả lời chính xác tương ứng với thời gian gửi tiền cuối năm và mỗi năm được giả định là có đúng 52 tuần.

Bảng ( PageIndex {3} )
NămGiá trị gần đúng của (Q ) (Ví dụ ( PageIndex {6} ))Giá trị chính xác của (P ) (Bài tập 4.1.21)Lỗi (Q-P )Phần trăm lỗi ((Q-P) / P )
(1)($3741.42)($3739.87)($1.55)(.0413%)
(2)(6652.36)(6649.17)(3.19)(.0479)
(3)(9743.30)(9738.37)(4.93)(.0506)
(4)(13,025.38)(13,018.60)(6.78)(.0521)
(5)(16,510.41)(16,501.66)(8.75)(.0530)
(6)(20,210.94)(20,200.11)(10.83)(.0536)
(7)(24,140.30)(24,127.25)(13.05)(.0541)
(8)(28,312.63)(28,297.23)(15.40)(.0544)
(9)(32,742.97)(32,725.07)(17.90)(.0547)
(10)(37,447.27)(37,426.72)(20.55)(.0549)

Đại học Tasmania, Úc

Nhấp vào liên kết bên dưới để làm Bài kiểm tra trước cho Mô-đun 8. Bài kiểm tra trước là tùy chọn nhưng chúng tôi khuyên bạn nên làm bài kiểm tra này để kiểm tra kiến ​​thức của bạn về Logarit / Tăng trưởng và Suy giảm. Chỉ có 5 câu hỏi và bạn sẽ chỉ mất khoảng 10 phút để hoàn thành.

Nếu bạn đạt từ 80% trở lên trong Bài kiểm tra trước, bạn có kiến ​​thức tốt về Logarit / Tăng trưởng và Suy giảm cơ bản và có thể chuyển sang học phần tiếp theo hoặc xem lại các tài liệu trong học phần 8.

Nếu bạn nhận được dưới 80%, hãy làm theo cách của bạn thông qua mô-đun và sau đó làm bài kiểm tra ở cuối để kiểm tra kiến ​​thức của bạn.

Mô-đun 8: Logarit / Tăng trưởng và Suy tàn

Các mối quan hệ lôgarit và hàm mũ mô tả nhiều lĩnh vực khoa học.

Giới thiệu về Logarit và Mối quan hệ hàm mũ

Các mối quan hệ lôgarit và hàm mũ mô tả nhiều lĩnh vực khoa học.

Thang decibel cho độ to của âm thanh, thang độ Richter của cường độ động đất và thang đo thiên văn của độ sáng sao đều là thang logarit. Logarit cũng liên quan đến pH (thước đo độ axit hoặc kiềm của dung dịch) và điều này sẽ được thảo luận sau trong mô-đun này trong bối cảnh pH máu.

Một ví dụ về phân rã theo cấp số nhân liên quan đến lĩnh vực sức khỏe là chuyển hóa thuốc. Ví dụ, Morphine có thời gian bán hủy là 3 giờ. Sử dụng thông tin này để suy nghĩ về tình huống sau và trả lời câu hỏi.

Thực hành ví dụ

16 mg morphin đã được dùng cho một bệnh nhân. Sau bao lâu thì lượng morphin trong bệnh nhân sẽ giảm xuống còn 2 mg?

Câu trả lời: Hãy nhớ rằng thời gian bán hủy của morphin là 3 giờ. Thời gian bán thải là thời gian cần thiết để lượng thuốc giảm xuống còn một nửa so với lượng ban đầu. Vì vậy, sau 3 giờ lượng morphin sẽ giảm xuống còn 8 mg. Sẽ mất 3 giờ nữa để giảm xuống 4 mg và sau đó 3 giờ nữa để giảm xuống 2 mg. Vậy tổng thời gian thực hiện để giảm xuống còn 2mg là 9 giờ. Có thể hữu ích khi nhớ lại ví dụ này sau này trong mô-đun khi chúng ta xử lý 'chu kỳ bán rã' chính thức hơn.

Video clip sau đây nêu bật sự phổ biến của các mối quan hệ logarit / hàm mũ trong thế giới tự nhiên. Tuy nhiên, có một số nhận xét cần xem xét liên quan đến cách trình bày video. Người thuyết trình có xu hướng cho rằng sự ra đời của máy tính đã làm giảm nhu cầu của chúng ta để tính toán logarit bằng tay ngay bây giờ. Có lẽ công nghệ mang lại cho chúng ta sự thuận tiện trong việc giải quyết các phép tính logarit "trong tầm tay của chúng ta" nhưng nó không thay thế tầm quan trọng của việc hiểu khái niệm về logarit.

Các số mũ cũng có thể được gọi là chỉ số hoặc quyền lực.

Đánh giá ngắn gọn về ký hiệu số mũ (chỉ mục)

Một số kỹ năng và khái niệm liên quan đến số mũ cũng được đề cập trong mô-đun Ký hiệu Khoa học. Nhớ lại ký hiệu sau:

Các số mũ cũng có thể được gọi là chỉ số hoặc quyền lực. 2 3 bằng 2 x 2 x 2. Nghĩa là:

2 3 = 2 x 2 x 2 = 8 Hãy cẩn thận: một số người nhầm lẫn điều này với 2 x 3 là không chính xác.

2 5 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

2 6 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 64

2 7 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 128

Và cứ thế… (bạn có thể đã nhận ra một hình mẫu !!)

Các liên kết sau tới Math Is Fun - Maths Resources cung cấp thảo luận thêm về các kỹ năng và khái niệm liên quan đến số mũ. Liên kết đầu tiên tập trung vào số mũ âm và khi số mũ là 0 hoặc 1. Liên kết thứ hai đề cập đến số mũ âm. Vui lòng đọc qua thông tin được cung cấp bởi cả hai trang web và sau đó hoàn thành các câu hỏi đánh giá (bạn sẽ tìm thấy các liên kết đến từng câu hỏi ở cuối mỗi trang web).

Số mũ

Sức mạnh của số không

Bạn đã thấy trên trang trước, trang web Math Is Fun - Tài nguyên Toán học, rằng "bất kỳ thứ gì có lũy thừa bằng 0 đều là 1". Bạn cũng có thể thấy hữu ích khi làm việc thông qua lý luận sau đây để xem tại sao luật chỉ mục này hoạt động.

Công thức này cho chúng ta biết rằng bất kỳ số nào, ngoại trừ 0, được nâng lên lũy thừa đều có giá trị là 1. Đây là từ: http://www.mathsteacher.com.au/year8/ch07_indices/04_pow/zero.htm

Liên kết web tiếp theo giao dịch với số mũ phân số. Có hai điều cần chỉ ra trước khi bạn làm việc thông qua tài liệu được trình bày bởi liên kết. Đầu tiên là thực tế rằng:

Hãy để chúng tôi xem xét điều này bằng cách sử dụng một ví dụ:

(Lưu ý rằng 2 3 x 2 3 = 2 3 + 3 = 2 6)

Video cũng chỉ ra rằng √4 = 2 nhưng không nói rằng giải pháp trên thực tế là

Hãy nghĩ xem số nào khi nhân với chính nó sẽ cho 4, một câu trả lời là 2 và câu còn lại là -2 cho rằng -2 x -2 = 4 cũng giống như 2 x 2 = 4. (Lưu ý: đừng nhầm lẫn điều này với căn bậc hai của một số âm vì đây là một khái niệm hoàn toàn khác và là thứ không được đề cập đến trong bất kỳ mô-đun nào của Con đường Khoa học Sức khỏe).

Tuy nhiên, trong nhiều ứng dụng, giải pháp được phép duy nhất là +2, nhưng điều này không có nghĩa là chúng ta bỏ qua giải pháp thứ hai từ quan điểm toán học.

Xem tài nguyên sau đây từ Math Is Fun - Tài nguyên Toán học về Số mũ Phân số.

Fractional Exponents

Giới thiệu về mối liên hệ giữa số mũ và logarit

Các số mũ của một số cho biết có bao nhiêu lần sử dụng số đó trong một phép nhân.

10 4 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10 000

Các lôgarit cho chúng tôi biết số mũ mà chúng tôi cần nâng một số lên để thu được một số khác.

Chúng ta có thể giải thích điều này là "sử dụng 10 làm cơ số, logarit của 10 000" là gì? Câu trả lời là 4. Nói cách khác, lôgarit cung cấp cho bạn số mũ là câu trả lời của nó.

Chúng ta có thể giải thích điều này là "sử dụng 2 làm cơ số, logarit của 32" là gì? Câu trả lời là 5.

Điều quan trọng cần lưu ý là logarit không phải lúc nào cũng là số nguyên.

Thật tiện lợi khi sử dụng máy tính khoa học hoặc máy tính CAS để đánh giá logarit, đặc biệt là những bài không thể giải được dễ dàng bằng cách kiểm tra như trong ví dụ 2 và 3. Video clip sau đây đề cập đến một số ký hiệu liên quan đến logarit, bao gồm cách giải thích các hàm logarit trên máy tính khoa học. Người thuyết trình tập trung vào logarit đến cơ số 10 và logarit tự nhiên đến cơ số e. Lôgarit "tự nhiên" sẽ được trình bày trong phần sau của mô-đun này.

Liên kết web sau đây tới Math Is Fun - Maths Resources cung cấp thảo luận thêm về một số kỹ năng và khái niệm chính liên quan đến logarit, bao gồm Vui lòng nhấp vào liên kết bên dưới, xem qua tài liệu được cung cấp và sau đó hoàn thành mười câu hỏi (bạn sẽ tìm thấy các liên kết đến mỗi câu hỏi ở cuối trang web).

Giới thiệu về Logarit

Vui lòng nhấp vào liên kết sau từ Học viện Khan để thực hành thêm về đánh giá logarit.

Tất cả nội dung của Học viện Khan đều có sẵn miễn phí tại www.khanacaemy.org

Các ví dụ thực hành sau đây được thiết kế để giúp bạn trở nên thông thạo và hiểu mối quan hệ giữa cấp số nhân và logarit. Nhiều bối cảnh khoa học sức khỏe (ví dụ, ví dụ về chuyển hóa thuốc được sử dụng trước đây) được củng cố bởi các mối quan hệ lôgarit và hàm mũ. Do đó, điều quan trọng là phải quen thuộc và không bị sợ hãi với các thủ tục liên quan đến việc giải các bài toán lôgarit và hàm mũ.

1. Viết lại phương trình sau dưới dạng lôgarit: 10 3 = 1000

2. Viết lại phương trình sau dưới dạng lôgarit: 4 3 = 64

3. Viết lại phương trình sau dưới dạng số mũ: log5(125) = 3

4. Với sự hỗ trợ của một máy tính khoa học đánh giá nhật ký10 (2146) đến 2 chữ số thập phân.

Nhấp chuột đây để kiểm tra câu trả lời của bạn

Thực hành Nhiệm vụ 2

Thay đổi phần sau từ dạng mũ sang dạng lôgarit

Thay đổi phần sau từ dạng lôgarit sang dạng số mũ

Nhấp chuột đây để kiểm tra câu trả lời của bạn

Các lôgarit cho chúng tôi biết số mũ mà chúng tôi cần nâng một số lên để thu được một số khác. Phần này nói về Logarit trong bối cảnh khoa học sức khỏe.

Logarit trong bối cảnh khoa học sức khỏe

Nhân viên y tế theo dõi một số thông tin quan trọng của bệnh nhân như hô hấp, nhịp tim và huyết áp. Họ cũng theo dõi nồng độ pH trong máu.

Thận và phổi duy trì sự cân bằng thích hợp của axit và bazơ trong cơ thể.

Nếu cơ thể duy trì sự cân bằng này một cách chính xác thì phạm vi pH trong máu của một người trưởng thành phải từ 7,35 đến 7,45. Đối với trẻ sơ sinh và trẻ em (dưới 16 tuổi), nồng độ pH trong máu phải từ 7,35 đến 7,42.

Bạn có thể nhận thấy rằng phạm vi nồng độ pH trong máu từ thấp đến mức bình thường đến cao nguy hiểm dường như khá nhỏ.

Sự khác biệt giữa mức cực thấp (7,2) với mức thấp bình thường (7,35) chỉ là 0,15. Tương tự, sự khác biệt giữa mức bình thường cao (7,45) ở người lớn và mức cực cao (7,5) ở người lớn chỉ là 0,05. Tuy những khác biệt này có vẻ rất nhỏ nhưng hệ lụy đối với người bệnh lại vô cùng nghiêm trọng.

Trước khi tiến hành một số phép tính liên quan đến độ pH của máu, trước tiên chúng ta sẽ nói về chính độ pH.

Nhà hóa học Thụy Điển S.P. L. Sorensen đã phát triển hệ thống pH vào đầu những năm 1900. Ông đã định nghĩa pH là logarit (cơ số 10) của nghịch đảo (ví dụ, nghịch đảo của 2 là 1 /2 ) nồng độ của các ion hydro (ion H +) được đo bằng mol trên lít, trong một dung dịch. Để giải thích định nghĩa này, chúng ta hãy xem xét rằng khi một axit được thêm vào nước, nó giải phóng các ion hydro và làm tăng nồng độ của các ion hydro trong dung dịch tạo thành. Dung dịch thu được được cho là có độ pH thấp hơn 7 (xem thang độ pH bên dưới).

Nói một cách tượng trưng, ​​chúng tôi biểu thị độ pH là:

pH = nhật ký Ở đâu [H +] đại diện cho nồng độ của các ion Hydro.

Cũng lưu ý rằng đối ứng của [H +]

Ví dụ về công việc

Nếu nồng độ của ion hiđro trong dung dịch là 0,0078 mol / lít thì pH tương ứng của dung dịch là bao nhiêu? Sử dụng máy tính khoa học của bạn để hoàn thành phép tính này

pH = nhật ký

pH = nhật ký

Lưu ý: trên máy tính của bạn, bạn sẽ nhập 1 ÷ 0,0078 sau đây để mang lại 128,2 đến 2 chữ số thập phân.

Nếu pH của dung dịch là 8,3 thì nồng độ của ion hydro tính bằng mol trên lít là bao nhiêu.

pH = nhật ký

8,3 = nhật ký Bây giờ hãy nhớ rằng chúng ta đang xử lý nhật ký đến cơ số 10 ở đây, vì vậy:

8,3 = nhật ký10 Bạn có thể thấy hữu ích khi trước tiên viết lại phương trình dưới dạng:

khúc gỗ10 = 8,3 Cho mối quan hệ giữa logarit và số mũ, nó như sau:

10 8.3 =Nhân cả hai vế của phương trình với [H +] ta có:

[H +] x 10 8,3 = x [H +] Lưu ý rằng các số hạng [H +] ở vế phải của phương trình triệt tiêu lẫn nhau, do đó ta có:

[H +] x 10 8.3 = 1 Chúng tôi muốn [H +] tự nó (vì chúng tôi đang tìm nồng độ của các ion hydro) vì vậy chúng tôi chia cả hai vế của phương trình cho 10 8.3 sẽ cho chúng ta:

Để có thể đánh giá sử dụng máy tính khoa học của bạn:

1 ÷ 10 ^ 8,3 = 5,01 x 10 -9 (bạn có thể muốn tham khảo hoặc truy cập lại mô-đun Ký hiệu khoa học)

[H +] = 5,01 x 10 -9 mol mỗi lít.

Lưu ý: giá trị này cũng có thể được viết là 0,00000000501 mol / L.

Máu của một bệnh nhân trưởng thành cho thấy nồng độ ion hydro là 7,94 x 10 -8 mol mỗi lít.

Xác định độ pH cho máu của bệnh nhân này

pH = log (12594458) đánh giá bằng máy tính khoa học

Lưu ý: pH máu của bệnh nhân này nằm ngoài giới hạn bình thường của máu đối với người lớn là 7,35 đến 7,45.

Nhiều quá trình tăng trưởng và suy tàn trong thế giới tự nhiên có thể được mô tả bằng các hàm số mũ.

Tăng trưởng theo cấp số nhân (hoặc là phân rã theo cấp số nhân nếu tốc độ tăng trưởng là âm) được mô hình hóa bởi một mối quan hệ toán học (hàm) với một số mũ biến đổi.

Khi giá trị của biến thay đổi, giá trị của hàm tăng (hoặc giảm) tương ứng với giá trị hiện tại của nó.

Chức năng ƒ1(x) = 2 x là một hàm số mũ.

Giá trị của x

Ƒ1(x) = 2 x

Ƒ2 (x) = 0,5 x

Trong các ví dụ trên, chúng tôi thấy rằng ƒ1 (x) = 2 xlà một ví dụ về hàm tăng trưởng theo cấp số nhân (hàm phát triển theo hệ số không đổi bằng 2, hay nói cách khác là nó tăng gấp đôi sau mỗi giai đoạn tăng trưởng) và ƒ2 (x) = 0,5 x là một ví dụ về phân rã theo cấp số nhân (giá trị của hàm giảm đi một hệ số 0,5).

Lưu ý: Một từ về ký hiệu chức năng: Chúng tôi đã sử dụng ký hiệu ƒ1 (x) và ƒ2(x) để biểu thị hai chức năng khác nhau. Chúng tôi có thể dễ dàng sử dụng một cái gì đó như f(x) và, g(x) hoặc tương tự.

Công thức chung cho sự tăng trưởng và giảm dần theo cấp số nhân

Trường hợp rời rạc

Công thức cơ bản để tăng trưởng theo cấp số nhân rời rạc là:

Xt = x0 (1 + r) t

Ở đâu: x0 là giá trị ban đầu của bất kỳ giá trị nào sẽ tăng lên (hoặc thu hẹp lại), r là một hằng số đại diện cho tốc độ tăng trưởng (hoặc giảm dần) và xt là giá trị sau t khoảng thời gian. Mặc dù ký hiệu của công thức có thể khác nhau giữa các ngữ cảnh hoặc sách giáo khoa (ví dụ: đối với trường hợp lãi kép thường được ký hiệu là 'A' và x0 thường được ký hiệu là 'P'), cấu trúc cơ bản của phương trình được giữ nguyên.

Chúng tôi gọi đây là rời rạc tăng trưởng theo cấp số nhân (khác biệt với tăng trưởng liên tục theo cấp số nhân) bởi vì tất cả các giá trị có thể có của t cách xa nhau một số khoảng cách.

Bạn có thể quen thuộc với bối cảnh lãi kép trong đó tiền lãi có thể được cộng thêm nửa năm, hàng quý, hàng tháng, hai tuần một lần, v.v. Trước khi chúng ta xem xét khái niệm tăng trưởng theo cấp số nhân trong bối cảnh khoa học sức khỏe, sẽ hữu ích khi sử dụng ví dụ chung lãi kép để chứng minh cách hoạt động của tăng trưởng theo cấp số nhân rời rạc.

Ví dụ đã làm việc

Vào đầu năm, bạn gửi $ 1000 vào tài khoản ngân hàng, với lãi suất hàng năm là 5%. Giả sử không có khoản tiền gửi hoặc rút tiền nào khác được thực hiện và lãi suất không đổi, giá trị của tài khoản sau đó sẽ là bao nhiêu

a) 5 năm nếu lãi gộp hàng năm (tức là lãi được cộng vào cuối mỗi năm).

b) 6 năm nếu lãi gộp hàng năm.

c) 70 năm nếu lãi gộp hàng năm (khoảng thời gian này có thể hơi phi thực tế nhưng ở đây chúng ta quan tâm đến hoạt động của hàm đối với các giá trị lớn hơn của t.

d) 71 năm nếu lãi gộp hàng năm

x0 là $ 1000 (khoản tiền gửi ban đầu của bạn)

r là tốc độ tăng trưởng (tiền lãi) trong một khoảng thời gian và vì tiền lãi được cộng hàng năm mỗi khoảng thời gian là 1 năm nên r =5% = 0.05

t là số khoảng thời gian trong trường hợp này là 5

xt= 1000 (1+0.05) 5

xt = 1000 x 1,05 5

xt = $1 276.28

xt = 1000 (1+0.05) 6

xt = $1 340.10

xt = 1000 (1+ 0.05) 70

xt = $30 426.43

xt = 1000 (1+ 0.05) 71

xt = $31 947.75

Lưu ý rằng từ lần thứ 70 đến thứ 71, quy mô đầu tư đã tăng khoảng $ 1521 đô la. Con số này cao hơn đáng kể so với mức tăng khoảng 63 đô la từ năm thứ 5 đến năm thứ 6. Mục đích của những tính toán này là để chứng minh rằng sự khác biệt giữa hai năm liên tiếp trở nên lớn hơn (đến một thời điểm) khi t trở nên lớn.

Làm gì ƒ (x) = 2 x phải làm với xt = x0 (1 + r) t

Thoạt nhìn mối liên hệ giữa ƒ (x) = 2 x và dạng tổng quát của một hàm mũ rời rạc có thể không rõ ràng ngay lập tức. Tuy nhiên, hãy để chúng tôi suy nghĩ về ƒ (x) = 2 xnhư sau:

ƒ (x) = 2 xTrước đây chúng ta đã thấy rằng hàm này phát triển theo hệ số không đổi là 2 hay nói cách khác là nó tăng gấp đôi sau mỗi giai đoạn tăng trưởng. Chúng tôi cũng có thể coi tăng gấp đôi là tăng trưởng 100%. Tức là trong một khoảng thời gian, hàm tăng từ 4 lên 8 và trong khoảng thời gian tiếp theo, hàm tăng từ 8 lên 16, v.v.

Nói cách khác, tốc độ tăng trưởng mỗi khoảng thời gian là 100% (tức là 1,00 được biểu thị dưới dạng số thập phân).

Do đó sử dụng xt = x0 (1 + r) t công thức chúng tôi có:

x0 là số tiền bắt đầu của chúng tôi khi t =0

xt = 2 t và sử dụng ƒ (x) ký hiệu chúng tôi có:

Phân rã theo cấp số nhân

Phần trước đã giới thiệu công thức cơ bản cho tăng trưởng theo cấp số nhân rời rạc như sau:

Sau đó, công thức cơ bản cho phân rã theo cấp số nhân rời rạc là:

xt = x0 (1-r) t Có một dấu trừ thay vì một dấu cộng bởi vì chúng tôi đang xử lý tỷ lệ tăng trưởng âm.

Loại bỏ một loại thuốc khỏi cơ thể

Khi con người dùng thuốc, thuốc được chuyển hóa và thải trừ theo một tỷ lệ nhất định. Giả sử lượng thuốc ban đầu vào cơ thể là 200 mg và được thải trừ với tốc độ 30% mỗi giờ. Chúng ta có thể mô hình hóa tình huống này như sau

xt = 200 (1 -0,3) t Lưu ý rằng 30% đã được nhập dưới dạng số thập phân (tức là 0,3)

Một biểu diễn tương đương của phương trình này là:

Lưu ý: đối với phân rã theo cấp số nhân, cơ số sẽ luôn nằm trong khoảng từ 0 đến 1 (trong ví dụ này, cơ số là 0,7). So sánh tình huống này với trường hợp tăng trưởng theo cấp số nhân trong đó cơ số luôn lớn hơn 1.

Thực hành nhiệm vụ 1

Sử dụng công thức xt = 200 (0,7) t để tính lượng ma tuý còn lại trong cơ thể sau 2 giờ.

Nhấp chuột đây để kiểm tra câu trả lời của bạn.

Ví dụ về công việc

Trường hợp tăng trưởng và phân rã liên tục theo cấp số nhân

Cho đến nay chúng ta đã thảo luận về sự tăng trưởng và phân rã theo cấp số nhân rời rạc (hoặc không liên tục). Hãy để chúng tôi quay lại ví dụ về lãi suất kép trong phần trước. Vào đầu năm, bạn gửi $ 1000 vào tài khoản ngân hàng, với lãi suất hàng năm là 5%. Giả sử không có khoản tiền gửi hoặc rút tiền nào khác được thực hiện và lãi suất không đổi, lần này chúng tôi sẽ điều tra cách giá trị của tài khoản thay đổi sau 5 năm nếu lãi suất được cộng thêm:

Giải pháp:
1) Như đã tính toán trước đó
xt = x0 (1 + r) t

xt= 1000 (1+0.05) 5

xt = 1000 x 1,05 5

xt = $1 276.28

2) Vì tiền lãi được gộp nửa năm nên r = 5% /2 = 2,5% = 0,025 và t = 5 x 2 = 10

xt= 1000 (1+0.025) 10

xt = $1280

3 Vì lãi gộp hàng quý r = 5% /4 = 1,25% = 0,0125 và t = 5 x 4 = 20

xt= 1000 (1+0.0125) 2 0

xt = $1282

4) Vì tiền lãi được gộp hàng tháng nên r = 5% /12 = 0,416 ̇% = 0,00416 ̇ và t = 5 x 12 = 60

xt= 1000 (1+0.00416) 6 0

xt= $1283.36

Lưu ý rằng khi khoảng cách giữa hai khoảng thời gian liên tiếp trở nên ít hơn (tức là lãi suất được cộng gộp thường xuyên hơn), thì giá trị của khoản đầu tư sẽ tăng lên. If interest was compounded weekly then the value of the investment would be higher again and even higher if interest was compounded daily, hourly, and so on. Imagine the distance between two consecutive time periods as being infinitesimally small. This intuition is at the core of the concept of continuous exponential growth.

The following explanation from Purple Math touches on a very important number that arises in the development of exponential functions, and that is the "natural" exponential.

Http://www.purplemath.com/modules/expofcns5.htm

Ignoring the principal, the interest rate, and the number of years by setting all these variables equal to "1", and looking only at the influence of the number of compoundings, we get:

how often compoundedcomputation
yearly
semi-annually
quarterly
monthly
weekly
daily
hourly
every minute
every second

As you can see, the computed value keeps getting larger and larger, the more often you compound. But the growth is slowing down as the number of compounding increases, the computed value appears to be approaching some fixed value.

You might think that the value of the compound-interest formula is getting closer and closer to a number that starts out "2.71828". And you'd be right the number we're approaching is called "e". This phenomenon is relevant to any situation involving continuous growth or decay- it does not have to involve money!

The general formula used for continuous exponential growth is:
xt = x0 e rt
Ở đâu x0 is the initial value of the function (i.e., the initial value of whatever is growing or decaying). Khi nào r (the rate of growth) is positive we have exponential growth and when r is negative we have exponential decay.

Let us investigate this idea further by considering just the value of e r for various values of r. Now the important thing to remember is the e is a number not a variable (recall that e is 2.7182818284590452353602874713527 and goes on forever with no repeating pattern).

Using the e x function on a scientific calculator we obtain the following:

Khi nào r = 2 e 2 = 7.389 (3 decimal places)

Notice how rapidly e t increases as r increases.

When e is raised to an increasingly negative power the function decreases.

r = -2 Therefore
r = -5 Therefore
r = -8 Therefore

Practice Task 2

Certain bacteria, given favourable growth conditions, grow continuously at a rate of 4.6% a day.

Find the bacterial population after thirty-six hours, if the initial population was 250 bacteria.

Nhấp chuột here to check your answer

Worked Example 2

Half-life is defined as the amount of time needed for a system undergoing exponential decay to decrease to half of its initial value. The term 'half-life' is usually used in describing the characteristics of radioactive elements and testing pharmaceutical substances.

The half-life of the element carbon-14 is about 5730 years. This means that it takes about 5730 years for Carbon-14 to decay to half its original amount. It is important to understand that half-life does không phải depend on the initial amount of the substance. Rather, it depends only on the rate of decay.

Recall that the general formula for continuous exponential decay is:

xt = x0 e rtỞ đâu r < 0 (that is r is negative because we are dealing with decay).

Recall also that xt is the amount of substance remaining after a certain time period and x0 is the initial amount of the substance. Now we are looking for the point where the amount remaining is exactly half of the original amount, and this can be expressed as follows:

You may have recognised that is also equivalent to e rt so it follows that:

Our aim now is to rearrange this equation to get t by itself because this will be the half-life.

Taking the natural log of both sides of the equation releases the exponents rt. Recall that logs 'undo' exponents and exponents 'undo' logs (they are inverses of each other). Vì thế ln(x) is the inverse of e x . Hence:


But where did the lne go? Well remember that ln is the same as loge so it follows that

logee = 1 just as log1010 =1, log55 =1, and so on

becauseis approximately -0.6931
For clarity we will denote t as t1/2 to make it clear that it is the half-life we are interested in.
Therefore we can use the formula to calculate the half-life of any system given the value of r (i.e., the rate of decay).

Practice Task 3

  1. A penicillin solution containing 300 units/ml has a half-life of 8 days in plasma. What will the concentration be in 7 days?
  2. A penicillin solution has a half-life of 6 days. How long will it take for the concentration to drop to 70% of the initial concentration?

Nhấp chuột here to check your answers

Module 8: Logarithms/Growth & Decay Quiz

Click on the link below to take the online self-assessed quiz.

There are 10 mathematics questions on the Quiz and they are about the information in this module.

To pass this quiz, you will need to get a mark of 80%. Feedback will be provided for both correct and incorrect answers at the end of the Quiz. If you answer questions incorrectly, then it is strongly recommended that you review the sections of the modules to review those topics. You will be able to re-take the quiz if needed.

Make sure to enter your name and email address in the quiz so your results can be mailed to you for your records. You may need to show your results to your university.

Module 8: Logarithms/Growth & Decay Quiz

Authorised by the Director, Centre for University Pathways and Partnership

© University of Tasmania, Australia ABN 30 764 374 782 CRICOS Provider Code 00586B


Exponential Change

Exponential growth is a mathematical change that increases without limit based on an exponential function. The change can be in the positive or negative direction. The important concept is that the rate of change continues to increase. Exponential decay is found in mathematical functions where the rate of change is decreasing and thus must reach a limit, which is the horizontal asymptote of an exponential function. In the figure above, the asymptote is the x -axis where the rate of change approaches zero. Exponential decay may also be either decreasing or increasing the important concept is that it progresses at a slower and slower rate.

Exponential growth and decay are modeled in many real-world processes. Populations of growing microbes, and indeed a growing population of any life when not constrained by environmental factors such as available space and nutrition, can be modeled as a function showing exponential growth. The growth of a savings account collecting compound interest is another example of an exponential growth function.

Exponential decay is seen in many processes as well. The decrease in radioactive material as it undergoes fission and decays into other atoms fits a curve of exponential decay. The discharge of an electric capacitor through a resistance can be calculated using exponential decay. A warm object as it cools to a constant surrounding temperature, or a cool object as it warms, will exhibit a curve showing exponential decay.


If a quantity y is a function of time t and is directly proportional to its rate of change (y’), then we can express the simplest differential equation of growth or decay.

Solving this DE using separation of variables and expressing the solution in its exponential form would lead us to: y = Ce kt

This simple general solution consists of the following: (1) C = initial value, (2) k = constant of proportionality, and (3) t = time. If k > 0, then it is a growth model. Otherwise, if k < 0, then it is a decay model.

Radioactive Isotopes

One of the simplest application is the decay of radioactive isotopes – elements that emit radiation due to unstable nuclei.

Usually, in the scientific field, we would be interested in finding out how much of a given isotope will decay at a certain time. As basis, scientists will refer to its half-life – its a measure of time that will tell us when will half of the material will decay.

For example, if the half-life of Zirconium-89 is 78.41 hours, then Zr-89 would have decayed by half after 78.41 hours. If you want to find the half-life of other isotopes, you can consult this technical reference.

Let’s say we want to find the amount of Zr-89 after 48 hours if initially, mass, m =100g. Since, the amount is directly proportional to its rate of change (m’ ∝ m), then it observes the decay application of DE.

We know that the solution of such condition is m = Ce kt . First, we would want to list the details of the problem:

  • m1 = 100g when t1 = 0 (initial condition)
  • m2 = ?g when t2 = 48 hours (unknown condition)
  • m3 = 50g when t3 = 78.41 hours (half-life condition)

This problem asks us to find the unknown condition (the value of Zr-89 after 48 hours). For any growth and decay problem, our main goal is to find the constants C and k based on the conditions.

  • For C, consider the initial condition if you substitute the values on m = Ce kt , then C=100
  • For k, consider the half-life condition if you substitute the values on m = Ce kt , then k=-8.840吆 -3

The idea of finding C and k is similar to finding the particular solution based on the conditions given. Now that we know these constants, we can now form: m = 100e (-8.840吆 -3 )(t) . This is the equation we use to determine the amount of Zr-89 at any given point in time. If you want to verify the equation, substitute the initial and half-life conditions and check if it is satisfies.

At this point, all you have to do is substitute t=48 hours to determine the answer, m = 65.42 grams. This means that after 48 hours, there would be 65.42 grams of Zr-89 left. You can see a visual view of the problem using the graph: m = 100e (-8.840吆 -3 )(t)

One final reminder: just like any other type of applied problem, be careful of your units! For example, some situations would state half-life in terms of years, but the problem requires you to find after several months. This may mess you up in the computation of C or k.


Math 22 Exponential Growth and Decay

1) The number of a certain type of bacteria increases continuously at a rate proportional to the number present. There are 150 bacteria at a given time and 450 bacteria 5 hours later. How many bacteria will there be 10 hours after the initial time?

Solution:  
At the initial time: y 0 = C e k t 0 =Ce^>> , so 150 = C e k t 0 >>
After 5 hours: y 1 = C e k ( t 0 + 5 ) =Ce^+5)>> , so 450 = C e k ( t 0 + 5 ) = C e k t 0 + 5 k = C e k t 0 e 5 k +5)>=Ce^+5k>=Ce^>e^<5k>>
Take the second equation and divided it by the first equation, we get:
450 150 = C e k t 0 e 5 k C e k ( t 0 + 5 ) <150>>=>e^<5k>><>+5)>>>>
3 = e 5 k >
Now, consider the equation after 10 hours: y 2 = C e k ( t 0 + 10 ) = C e k [ ( t 0 + 5 ) + 5 ] = C e k ( t 0 + 5 ) e k t = 450.3 = 1350 =Ce^+10)>=Ce^+5)+5]>=Ce^+5)>e^=450.3=1350>

2) A sports utility vehicle that costs $33000 new has a book value of $20856 after 3 years. Assume the value of the vehicle exponential decay over time. Find this exponential model.


Exponential Equations: Exponential Growth and Decay Application

A common application of exponential equations is to model exponential growth and decay such as in populations, radioactivity and drug concentration.

The formula for exponential growth and decay is:

EXPONENTIAL GROWTH AND DECAY FORMULA

Where a ≠ 0, the base b ≠ 1 and x is any real number

In this function, a represents the starting value such as the starting population or the starting dosage level.

The variable b represents the growth or decay factor. If b > 1 the function represents exponential growth. If 0 r represents the growth or decay factor as a decimal then:

A decay of 20% is a decay factor of 1 - 0.20 = 0. 80

A growth of 13% is a growth factor of 1 + 0.13 = 1.13

The variable x represents the number of times the growth/decay factor is multiplied.

Let's solve a few exponential growth and decay problems.

The population of Gilbert Corners at the beginning of 2001 was 12,546. If the population grew 15% each year, what was the population at the beginning of 2015?

Step 1: Identify the known variables.

Remember that the decay/growth rate must be in decimal form.

Since the population is said to be growing, the growth factor is b = 1 + r.

Step 2: Substitute the known values.

Ví dụ 1: The half-life of radioactive carbon 14 is 5730 years. How much of a 16 gram sample will remaining after 500 years?

Step 1: Identify the known variables.

Remember that the decay/growth rate must be in decimal form.

A half-life, the amount of time it takes to deplete half the original amount, infers decay. In this case b will be a decay factor. The decay factor is b = 1 - r.

In this situation x is the number of half-lives. If one half-life is 5730 years then the number of half-lives after 500 years is x = 500 5730

x = 500 5730 No. of Half lives

Step 2: Substitute the known values.

Ví dụ 2: A patient is given a 300 mg dose of medicine that degrades by 25% every hour. What is the remaining drug concentration after a day?

Step 1: Identify the known variables.

Remember that the decay/growth rate must be in decimal form.

A drug degrading infers decay. In this case b will be a decay factor. The decay factor is b = 1 - r.

In this situation xis the number of hours, since the drug degrades at 25% per hour. There are 24 hours in a day.


Growth and decay problems (exponential)

Teachers: log in to access the following:

  • Slides in PPTX (with click-to-reveal answers)
  • Slides in PDF (one slide per page, suitable for importing into IWB software)
    (with space for student work) (slides with exercises only 4 per page for reduced printing)
    (15 questions on one side of A4 answers included)
    – compound interest: find final amount – growth and decay problems: find final amount – growth and decay problems: find initial amount – growth and decay problems: find rate of growth/decay – growth and decay problems: find time period – mixed questions

Teachers: log in to access these.

Unlimited practice questions: compound interest and depreciation


4.1: Growth and Decay - Mathematics

Q1 Which of the following equations represents exponential growth?

A. y = r (1 + C)
B. y = C(1 + r ) t
C. y = C r
D. y = r (1 + r )

Q2 A businessman made a profit of $12,143 in 1990. The profit increased by for the next Identify the equation that represents his profit.
A. y = 12143(1.02) 7
B. y = 12143(2) 6
C. y = 1.02(12143) 7
D. y = 12143(2) 8

Q3 Which of the following models is an exponential decay model?
A. y = 3(1.24) t
B. y = 8(0.67) t
C. y = 5 t 2
D. y = 2 + 5 t

Q4 Brad bought a bike for $4,300. The bike's value decreases by 13% each year. Identify an exponential decay model to represent the situation.

A. y = 4300(0.87) t
B. y = 4300(0.13) t
C. y = 4300 - 13% t
D. y = 4300(14) t

Q5 Arthur started a business in the year 1991. He got $47,000 profit in the first year. Each year his profit decreased by 2%. Identify an exponential decay model to represent his decreasing annual profit in the business.
A. y = 47000(0.98) t
B. y = 46999(0.98) t
C. y = 47000(0.88) t
D. y = 47001(1.08) t

Q6 A company purchased machinery in the year 1990 for $29,000. Its cost depreciates at a rate of 3% per year. Identify an exponential decay model to represent the cost of the machinery.
A. y = 29100(0.97) t
B. y = 28900(0.97) t
C. y = 29000(0.97) t
D. y = 29000(0.87) t


A Written Exponential Growth Function

While the previous section has covered many aspects of how to determine an expoential growth or decay function, here I’m gonna show you here how to write out a proper growth or decay function.

At times, I’m given a written exponential function and asked to model it in it’s equation form.

A population of 290 animals increases at an annual rate of 9 %.

Write an exponential function to model the situation and then find its value after 5 years to the nearest whole number.

Maths is the only place where all problems are as random as a person buying 64 melons without knowing why…… like 290 animals increasing at 9 % and no one wonders why…!

Jokes apart, I’ll share how you can easily solve such written problems using the exponential growth formula


Calculating Doubling Time

For decaying quantities, we determined how long it took for half of a substance to decay. For growing quantities, we might want to find out how long it takes for a quantity to double. As we mentioned above, the time it takes for a quantity to double is called the doubling time.

The formula is derived as follows:

Thus the doubling time is

Example 3: Finding a Function That Describes Exponential Growth

According to Moore’s Law, the doubling time for the number of transistors that can be put on a computer chip is approximately two years. Give a function that describes this behavior.

Giải pháp

The formula is derived as follows:

Try It 3

Recent data suggests that, as of 2013, the rate of growth predicted by Moore’s Law no longer holds. Growth has slowed to a doubling time of approximately three years. Find the new function that takes that longer doubling time into account.


Xem video: 9 13 1 Funksiyaning osish va kamayish oraliqlari1 (Tháng Giêng 2022).