Bài viết

14.7: Tích phân ba trong tọa độ hình trụ và hình cầu - Toán học


Chúng ta đã thấy rằng đôi khi tích phân kép được đơn giản hóa bằng cách thực hiện chúng trong các tọa độ cực; không ngạc nhiên khi tích phân ba đôi khi đơn giản hơn trong hệ tọa độ trụ hoặc tọa độ cầu. Chúng ta cần làm điều tương tự ở đây, đối với các vùng ba chiều.

Hệ tọa độ trụ là đơn giản nhất, vì nó chỉ là hệ tọa độ cực cộng với tọa độ (z ). Một đơn vị thể tích nhỏ điển hình là hình dạng được hiển thị bên dưới "được nâng lên '' theo hướng (z ), do đó, thể tích của nó là (r Delta r Delta theta Delta z ), hoặc trong giới hạn, (r , dr , d theta , dz ).

Một "lưới" tọa độ cực.

Ví dụ ( PageIndex {1} )

Tìm thể tích bên dưới (z = sqrt {4-r ^ 2} ) phía trên phần tư hình tròn bên trong (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) ở góc phần tư đầu tiên.

Giải pháp

Tất nhiên chúng ta có thể làm điều này với một tích phân kép, nhưng chúng ta sẽ sử dụng một tích phân ba:

[ int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ 2 int_0 ^ { sqrt {4-r ^ 2}} r , dz , dr , d theta =
int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ 2 sqrt {4-r ^ 2} ; r , dr , d theta =
{4 pi over3}. ]

So sánh điều này với Ví dụ 15.2.1.

Ví dụ ( PageIndex {2} )

Một vật thể chiếm không gian bên trong cả hình trụ (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) và hình cầu (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 4 ), và có mật độ (x ^ 2 ) tại ((x, y, z) ). Tìm tổng khối lượng.

Giải pháp

Chúng tôi thiết lập điều này theo tọa độ trụ, nhớ lại rằng (x = r cos theta ):

[ eqalign {
int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 int _ {- sqrt {4-r ^ 2}} ^ { sqrt {4-r ^ 2}}
r ^ 3 cos ^ 2 ( theta) , dz , dr , d theta
& = int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ 1 2 sqrt {4-r ^ 2} ; r ^ 3 cos ^ 2 ( theta) , dr , d theta cr
& = int_0 ^ {2 pi}
left ({128 over15} - {22 over5} sqrt3 right) cos ^ 2 ( theta) , d theta cr
& = left ({128 over15} - {22 over5} sqrt3 right) pi cr
}]

Tọa độ hình cầu có phần khó hiểu hơn. Khối lượng nhỏ mà chúng ta muốn sẽ được xác định bởi ( Delta rho ), ( Delta phi ) và ( Delta theta ), như trong Hình ( PageIndex {1} ) .

Khối lượng nhỏ có dạng gần như hình hộp, có 4 mặt phẳng và hai mặt được tạo thành từ các mảnh hình cầu đồng tâm. Khi ( Delta rho ), ( Delta phi ) và ( Delta theta ) đều rất nhỏ, vùng nhỏ này sẽ gần bằng vùng mà chúng ta nhận được bằng cách coi nó là một hộp. Một chiều của hộp chỉ đơn giản là ( Delta rho ), sự thay đổi về khoảng cách so với điểm gốc. Hai kích thước còn lại là độ dài của các cung tròn nhỏ, vì vậy chúng là (r Delta alpha ) đối với một số (r ) và ( alpha ) thích hợp, giống như trong trường hợp tọa độ cực.

Hình ( PageIndex {1} ): Một đơn vị thể tích nhỏ cho tọa độ cầu (AP)

Điều dễ hiểu nhất trong số này là cung tương ứng với sự thay đổi trong ( phi ), gần giống với suy ra của tọa độ cực, như được thể hiện trong đồ thị bên trái trong Hình ( PageIndex {2} ). Trong biểu đồ đó, chúng ta đang nhìn "mặt đối mặt" ở mặt bên của hộp mà chúng ta quan tâm, vì vậy góc nhỏ trong hình chính xác là ( Delta phi ), trục tung thực sự là trục (z ) , nhưng trục hoành là không phải trục thực --- nó chỉ là một số dòng trong mặt phẳng (x ) - (y ). Vì cung còn lại được điều chỉnh bởi ( theta ), chúng ta cần tưởng tượng việc nhìn thẳng xuống trục (z ), sao cho góc biểu kiến ​​mà chúng ta thấy là ( Delta theta ). Theo quan điểm này, các trục thực sự là các trục (x ) và (y ). Trong biểu đồ này, khoảng cách biểu kiến ​​từ điểm gốc không phải là ( rho ) mà là ( rho sin phi ), như được chỉ ra trong biểu đồ bên trái.

Hình ( PageIndex {2} ): Thiết lập tích phân trong hệ tọa độ cầu.

Kết quả là thể tích của hộp nhỏ xấp xỉ ( Delta rho ( rho Delta phi) ( rho sin phi Delta theta) = rho ^ 2 sin phi Delta rho Delta phi Delta theta ), hoặc trong giới hạn ( rho ^ 2 sin phi , d rho , d phi , d theta ).

Ví dụ ( PageIndex {3} )

Giả sử nhiệt độ tại ((x, y, z) ) là [T = dfrac {1} {1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2}. Nonumber ] Tìm nhiệt độ trung bình ở hình cầu đơn vị có tâm tại gốc tọa độ.

Giải pháp

Trong hai chiều, chúng tôi cộng nhiệt độ tại "từng điểm" và chia cho khu vực; ở đây chúng tôi cộng nhiệt độ và chia cho thể tích, ((4/3) pi ):

[{3 over4 pi} int _ {- 1} ^ 1 int _ {- sqrt {1-x ^ 2}} ^ { sqrt {1-x ^ 2}}
int _ {- sqrt {1-x ^ 2-y ^ 2}} ^ { sqrt {1-x ^ 2-y ^ 2}}
{1 over1 + x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} , dz , dy , dx nonumber
]

Điều này trông khá lộn xộn; vì mọi thứ trong bài toán đều liên quan chặt chẽ đến một hình cầu, chúng tôi sẽ chuyển đổi sang tọa độ cầu.

[{3 over4 pi} int_0 ^ {2 pi} int_0 ^ pi
int_0 ^ 1
{1 over1 + rho ^ 2} , rho ^ 2 sin phi , d rho , d phi , d theta
= {3 over4 pi} (4 pi - pi ^ 2) = 3 - {3 pi over4}. không có số
]


Giải tích APEX

Cũng giống như tọa độ cực đã cho chúng ta một cách mới để mô tả các đường cong trong mặt phẳng, trong phần này chúng ta sẽ xem cách hình trụhình cầu tọa độ cung cấp cho chúng ta những cách mới để mô tả các bề mặt và vùng trong không gian.

Tiểu mục 14.7.1 Tọa độ hình trụ

Tóm lại, tọa độ trụ có thể được coi là sự kết hợp của hệ tọa độ cực và hình chữ nhật. Người ta có thể xác định một điểm ((x_0, y_0, z_0) text <,> ) được cho trong tọa độ hình chữ nhật, với điểm ((r_0, theta_0, z_0) text <,> ) được cho trong tọa độ trụ , trong đó giá trị (z ) - trong cả hai hệ thống là như nhau và điểm ((x_0, y_0) ) trong mặt phẳng (x ) - (y ) được xác định bằng điểm cực (P (r_0, theta_0) text <> ) xem Hình 14.7.1. Để mỗi điểm trong không gian không nằm trên trục (z ) - được xác định duy nhất, chúng ta sẽ hạn chế (r geq 0 ) và (0 leq theta leq 2 pi text < .> )

Chúng tôi sử dụng danh tính (z = z ) cùng với danh tính được tìm thấy trong Ý tưởng chính 10.4.6 để chuyển đổi giữa tọa độ hình chữ nhật ((x, y, z) ) và tọa độ hình trụ ((r, theta , z) text <,> ) cụ thể là:

Những nhận dạng này, cùng với các chuyển đổi liên quan đến tọa độ cầu, được đưa ra sau trong Ý tưởng chính 14.7.11.

Các công thức chuyển đổi hình chữ nhật sang cực của chúng tôi đã sử dụng (r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 text <,> ) cho phép các giá trị (r ) âm. Vì bây giờ chúng ta hạn chế (r geq 0 text <,> ) nên chúng ta có thể sử dụng (r = sqrt text <.> )

Ví dụ 14.7.2. Chuyển đổi giữa tọa độ hình chữ nhật và hình trụ.

Chuyển đổi điểm hình chữ nhật ((2, -2,1) ) thành tọa độ hình trụ và chuyển đổi điểm hình trụ ((4,3 pi / 4,5) ) thành hình chữ nhật.

Theo các đặc điểm được đưa ra ở trên (và sau này trong Ý tưởng chính 14.7.11), chúng ta có (r = sqrt <2 ^ 2 + (- 2) ^ 2> = 2 sqrt <2> text <.> ) Sử dụng ( tan ( theta) = y / x text <,> ) chúng ta tìm thấy ( theta = tan ^ <-1> (-2/2) = - pi / 4 text < .> ) Vì chúng tôi hạn chế ( theta ) ở giữa (0 ) và (2 pi text <,> ), chúng tôi đặt ( theta = 7 pi / 4 text <. > ) Cuối cùng, (z = 1 text <,> ) đưa ra điểm hình trụ ((2 sqrt2,7 pi / 4,1) text <.> )

Khi chuyển đổi điểm hình trụ ((4,3 pi / 4,5) ) thành hình chữ nhật, chúng ta có (x = 4 cos big (3 pi / 4 big) = -2 sqrt <2 > text <,> ) (y = 4 sin big (3 pi / 4 big) = 2 sqrt <2> ) và (z = 5 text <,> ) điểm hình chữ nhật ((- 2 sqrt <2>, 2 sqrt <2>, 5) text <.> )

Đặt mỗi (r text <,> ) ( theta ) và (z ) bằng một hằng số xác định một bề mặt trong không gian, như được minh họa trong ví dụ sau.

Ví dụ 14.7.3. Các mặt hình nón trong hệ tọa độ trụ.

Mô tả các bề mặt (r = 1 text <,> ) ( theta = pi / 3 ) và (z = 2 text <,> ) được cho trong hệ tọa độ trụ.

Phương trình (r = 1 ) mô tả tất cả các điểm trong không gian cách trục (z ) - 1 đơn vị. Bề mặt này là một “ống” hoặc “hình trụ” bán kính 1, có tâm là trục (z ) -, như được vẽ trong Hình 11.1.12 (mô tả hình trụ (x ^ 2 + y ^ 2 = 1 ) trong không gian).

Phương trình ( theta = pi / 3 ) mô tả mặt phẳng được tạo thành bằng cách kéo dài đường ( theta = pi / 3 text <,> ) theo tọa độ cực trong (x ) - Mặt phẳng (y ), song song với trục (z ) -.

Phương trình (z = 2 ) mô tả mặt phẳng của tất cả các điểm trong không gian cách mặt phẳng (x ) - (y ) 2 đơn vị. Mặt phẳng này giống với mặt phẳng được mô tả bởi (z = 2 ) trong hệ tọa độ hình chữ nhật.

Tất cả ba bề mặt được vẽ trên hình 14.7.4. Lưu ý cách giao điểm của chúng xác định duy nhất điểm (P = (1, pi / 3,2) text <.> )

Tọa độ hình trụ rất hữu ích khi mô tả các miền nhất định trong không gian, cho phép chúng ta đánh giá tích phân ba trên các miền này dễ dàng hơn so với khi chúng ta sử dụng tọa độ hình chữ nhật.

Định lý 14.6.25 chỉ ra cách đánh giá ( iiint_Dh (x, y, z) , dV ) bằng cách sử dụng các tọa độ hình chữ nhật. Trong đánh giá đó, chúng tôi sử dụng (dV = dz , dy , dx ) (hoặc một trong năm thứ tự tích hợp khác). Hãy nhớ lại cách, theo thứ tự tích hợp này, các giới hạn trên (y ) là "đường cong" và các giới hạn trên (x ) là "điểm tới điểm": các giới hạn này mô tả một vùng (R ) ở mặt phẳng (x ) - (y ). Chúng tôi có thể mô tả (R ) bằng cách sử dụng tọa độ cực như đã thực hiện trong Phần 14.3. Trong phần đó, chúng ta đã thấy cách chúng ta sử dụng (dA = r , dr , d theta ) thay vì (dA = dy , dx text <.> )

Xem xét những suy nghĩ trên, chúng ta có (dV = dz big (r , dr , d theta big) = r , dz , dr , d theta text <.> ) Chúng ta đặt giới hạn trên (z ) dưới dạng “bề mặt đối với bề mặt” như đã thực hiện trong phần trước, sau đó sử dụng các giới hạn “đường cong đến đường cong” và “điểm tới điểm” trên (r ) và ( theta text <,> ) tương ứng. Cuối cùng, bằng cách sử dụng các nhận dạng đã cho ở trên, chúng tôi thay đổi tích phân (h (x, y, z) ) thành (h (r, theta, z) text <.> )

Quá trình này nghe có vẻ hợp lý vì định lý sau đây nói rằng nó thực sự là một cách đánh giá một tích phân ba.

Định lý 14.7.5. Tích hợp ba trong tọa độ hình trụ.

Gọi (w = h (r, theta, z) ) là một hàm liên tục trên một vùng đóng, bị giới hạn (D ) trong không gian, được giới hạn trong tọa độ trụ bởi ( alpha leq theta leq beta text <,> ) (g_1 ( theta) leq r leq g_2 ( theta) ) và (f_1 (r, theta) leq z leq f_2 (r, theta) văn bản <.> ) Sau đó

Ví dụ 14.7.6. Đánh giá một tích phân ba với tọa độ trụ.

Tìm khối lượng của vật rắn được biểu diễn bởi vùng trong không gian giới hạn bởi (z = 0 text <,> ) (z = sqrt <4-x ^ 2-y ^ 2> +3 ) và hình trụ (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) (như trong Hình 14.7.7), với hàm mật độ ( delta (x, y, z) = x ^ 2 + y ^ 2 + z + 1 text <,> ) sử dụng tích phân ba trong tọa độ trụ. Khoảng cách được đo bằng cm và mật độ được đo bằng gam / cm (^ 3 text <.> )

Chúng ta bắt đầu bằng cách mô tả vùng không gian này với các tọa độ trụ. Mặt phẳng (z = 0 ) được giữ nguyên với danh tính (r = sqrt text <,> ) chúng ta chuyển bán cầu bán kính 2 thành phương trình (z = sqrt <4-r ^ 2> text <> ) hình trụ (x ^ 2 + y ^ 2 = 4 ) được chuyển đổi thành (r ^ 2 = 4 text <,> ) hoặc đơn giản hơn là (r = 2 text <.> ) Chúng tôi cũng chuyển đổi hàm mật độ: ( delta (r, theta, z) = r ^ 2 + z + 1 text <.> )

Để mô tả khối rắn này với các giới hạn của tích phân ba, chúng tôi ràng buộc (z ) với (0 leq z leq sqrt <4-r ^ 2> +3 text <> ) chúng tôi ràng buộc (r ) với (0 leq r leq 2 text <> ) chúng tôi đã ràng buộc ( theta ) với (0 leq theta leq 2 pi text <.> )

Sử dụng Định nghĩa 14.6.26 và Định lý 14.7.5, ta có khối lượng của vật rắn là

nơi chúng tôi để lại các chi tiết của tích phân kép còn lại cho người đọc.

Ví dụ 14.7.8. Tìm khối tâm bằng cách sử dụng tọa độ trụ.

Tìm khối tâm của vật rắn có khối lượng riêng không đổi mà cơ sở của nó có thể được mô tả bằng đường cong cực (r = cos (3 theta) ) và đỉnh của nó được xác định bởi mặt phẳng (z = 1-x + 0,1 y text <,> ) trong đó khoảng cách được đo bằng feet, như trong Hình 14.7.9. (Khối lượng của chất rắn này được tìm thấy trong Ví dụ 14.3.10.)

Chúng tôi chuyển đổi phương trình của mặt phẳng để sử dụng tọa độ trụ: (z = 1-r cos ( theta) + 0,1r sin ( theta) text <.> ) Vì vậy, vùng là không gian được giới hạn bởi (0 leq z leq 1-r cos ( theta) + 0,1r sin ( theta) text <,> ) (0 leq r leq cos (3 theta) text < ,> ) (0 leq theta leq pi ) (nhớ lại rằng đường cong hoa hồng (r = cos (3 theta) ) được tìm ra một lần trên ([0, pi] văn bản <.> )

Vì khối lượng riêng là không đổi, chúng ta đặt ( delta = 1 ) và việc tìm khối lượng tương đương với việc tìm thể tích của vật rắn. Chúng tôi thiết lập tích phân ba để tính toán điều này nhưng không đánh giá nó, chúng tôi để nó cho người đọc để xác nhận rằng nó đánh giá theo cùng một kết quả được tìm thấy trong Ví dụ 14.3.10.

Từ Định nghĩa 14.6.26, chúng tôi thiết lập tích phân ba để tính các mômen của ba mặt phẳng tọa độ. Việc tính toán của từng thứ được để cho người đọc (nên sử dụng công nghệ):

Khối tâm, theo tọa độ hình chữ nhật, nằm tại ((- 0,147,0.015,0.467) text <,> ) nằm ngoài giới hạn của vật rắn.

Tiểu mục 14.7.2 Tọa độ hình cầu

Tóm lại, tọa độ cầu có thể được coi là một “ứng dụng kép” của hệ tọa độ cực. Trong tọa độ cầu, một điểm (P ) được xác định bằng (( rho, theta, varphi) text <,> ) trong đó ( rho ) là khoảng cách từ điểm gốc đến (P text <,> ) ( theta ) là góc giống như được sử dụng để mô tả (P ) trong hệ tọa độ trụ và ( varphi ) là góc giữa dương (z ) - trục và tia từ gốc tới (P text <> ) xem Hình 14.7.10. Để mỗi điểm trong không gian không nằm trên trục (z ) - được xác định duy nhất, chúng ta sẽ hạn chế ( rho geq 0 text <,> ) (0 leq theta leq 2 pi ) và (0 leq varphi leq pi text <.> )

Ký hiệu ( rho ) là chữ cái Hy Lạp “rho”. Theo truyền thống, nó được sử dụng trong hệ tọa độ cầu, trong khi (r ) được sử dụng trong hệ tọa độ cực và trụ.

Ý tưởng chính sau đây đưa ra các chuyển đổi đến / từ ba hệ tọa độ không gian của chúng tôi.

Ý tưởng chính 14.7.11. Chuyển đổi giữa các tọa độ hình chữ nhật, hình trụ và hình cầu.

Vai trò của ( theta ) và ( varphi ) trong tọa độ cầu khác nhau giữa các nhà toán học và vật lý. Khi đọc về vật lý trong hệ tọa độ cầu, hãy cẩn thận lưu ý cách tác giả cụ thể đó sử dụng các biến này và nhận biết rằng những nhận dạng này có thể không còn hợp lệ.

Ví dụ 14.7.12. Chuyển đổi giữa tọa độ hình chữ nhật và hình cầu.

Chuyển đổi điểm hình chữ nhật ((2, -2,1) ) thành tọa độ cầu và chuyển đổi điểm hình cầu ((6, pi / 3, pi / 2) ) sang tọa độ hình chữ nhật và hình trụ.

Điểm hình chữ nhật này giống như được sử dụng trong Ví dụ 14.7.2. Sử dụng Key Idea 14.7.11, chúng tôi tìm thấy ( rho = sqrt <2 ^ 2 + (- 1) ^ 2 + 1 ^ 2> = 3 text <.> ) Sử dụng cùng một logic như trong Ví dụ 14.7. 2, chúng tôi tìm thấy ( theta = 7 pi / 4 text <.> ) Cuối cùng, ( cos ( varphi) = 1/3 text <,> ) cho ( varphi = cos ^ <-1> (1/3) khoảng 1,23 text <,> ) hoặc khoảng (70,53 ^ circle text <.> ) Do đó, tọa độ cầu xấp xỉ ((3,7 pi / 4,1.23) text <.> )

Chuyển đổi điểm hình cầu ((6, pi / 3, pi / 2) ) thành hình chữ nhật, chúng ta có (x = 6 sin ( pi / 2) cos ( pi / 3) = 3 text <,> ) (y = 6 sin ( pi / 2) sin ( pi / 3) = 3 sqrt <3> ) và (z = 6 cos ( pi / 2) = 0 text <.> ) Do đó, tọa độ hình chữ nhật là ((3,3 sqrt <3>, 0) text <.> )

Để chuyển điểm hình cầu này thành hình trụ, chúng ta có (r = 6 sin ( pi / 2) = 6 text <,> ) ( theta = pi / 3 ) và (z = 6 cos ( pi / 2) = 0 text <,> ) cho điểm hình trụ ((6, pi / 3,0) text <.> )

Ví dụ 14.7.13. Các mặt hình nón trong hệ tọa độ cầu.

Mô tả các bề mặt ( rho = 1 text <,> ) ( theta = pi / 3 ) và ( varphi = pi / 6 text <,> ) được cho ở dạng tọa độ cầu.

Phương trình ( rho = 1 ) mô tả tất cả các điểm trong không gian cách điểm gốc 1 đơn vị: đây là hình cầu bán kính 1, có tâm tại điểm gốc.

Phương trình ( theta = pi / 3 ) mô tả cùng một bề mặt trong tọa độ cầu giống như trong tọa độ trụ: bắt đầu bằng dòng ( theta = pi / 3 ) trong (x ) - Mặt phẳng (y ) theo tọa độ cực, kéo dài đường thẳng song song với trục (z ) -, tạo thành một mặt phẳng.

Phương trình ( varphi = pi / 6 ) mô tả tất cả các điểm (P ) trong không gian mà tia từ điểm gốc đến (P ) tạo với ( pi / 6 ) một góc với giá trị dương (trục Z. Điều này mô tả một hình nón, với trục dương (z ) - trục đối xứng của nó, với điểm tại gốc.

Tất cả ba bề mặt được vẽ trên hình 14.7.14. Lưu ý cách giao điểm của chúng xác định duy nhất điểm (P = (1, pi / 3, pi / 6) text <.> )

Tọa độ cầu rất hữu ích khi mô tả các miền nhất định trong không gian, cho phép chúng ta đánh giá tích phân ba trên các miền này dễ dàng hơn so với khi chúng ta sử dụng tọa độ hình chữ nhật hoặc tọa độ trụ. Điểm mấu chốt của việc thiết lập tích phân ba trong tọa độ cầu là mô tả thích hợp “lượng thể tích nhỏ”, (dV text <,> ) được sử dụng trong tích phân.

Xem xét Hình 14.7.15, chúng ta có thể tạo ra một "nêm hình cầu" nhỏ bằng cách thay đổi ( rho text <,> ) ( theta ) và ( varphi ) mỗi một lượng nhỏ, ( Delta rho text <,> ) ( Delta theta ) và ( Delta varphi text <,> ) tương ứng. Cái nêm này gần như là một vật rắn hình chữ nhật khi sự thay đổi trong mỗi tọa độ là nhỏ, tạo ra một thể tích khoảng

Cho một vùng (D ) trong không gian, chúng ta có thể tính gần đúng thể tích của (D ) với nhiều nêm như vậy. Khi kích thước của mỗi ( Delta rho text <,> ) ( Delta theta ) và ( Delta varphi ) bằng 0, số lượng nêm tăng lên vô cùng và âm lượng của (D ) gần đúng hơn, cho

Một lần nữa, sự phát triển này của (dV ) nghe có vẻ hợp lý, và định lý sau đây nói rằng đó là cách thích hợp để đánh giá tích phân ba trong hệ tọa độ cầu.

Nói chung là trực quan nhất để đánh giá tích phân ba trong Định lý 14.7.16 bằng cách tích phân đối với ( rho ) trước tiên thường không quan trọng liệu chúng ta tích phân tiếp theo đối với ( theta ) hay ( varphi text <.> ) Các văn bản khác nhau trình bày các thứ tự tiêu chuẩn khác nhau, một số ưu tiên (d varphi , d theta ) thay vì (d theta , d varphi text <.> ) làm giới hạn đối với những biến này thường là hằng số trong thực tế, nó thường là một vấn đề ưu tiên.

Định lý 14.7.16. Tích hợp bộ ba trong tọa độ hình cầu.

Gọi (w = h ( rho, theta, varphi) ) là một hàm liên tục trên một vùng đóng, có giới hạn (D ) trong không gian, được giới hạn trong tọa độ cầu bởi ( alpha_1 leq varphi leq alpha_2 text <,> ) ( beta_1 leq theta leq beta_2 ) và (f_1 ( theta, varphi) leq rho leq f_2 ( theta, varphi) văn bản <.> ) Sau đó

Ví dụ 14.7.17. Lập thể tích của một khối cầu.

Gọi (D ) là vùng trong không gian giới hạn bởi hình cầu, có tâm là gốc, bán kính (r text <.> ) Sử dụng tích phân ba trong tọa độ cầu để tìm thể tích (V ) của (D text <.> )

Bán kính hình cầu (r text <,> ) có tâm tại điểm gốc, có phương trình ( rho = r text <.> ) Để có được hình cầu đầy đủ, các giới hạn trên ( theta ) và ( varphi ) là (0 leq theta leq 2 pi ) và (0 leq varphi leq pi text <.> ) Điều này dẫn chúng ta đến:

công thức quen thuộc về thể tích của một hình cầu. Lưu ý rằng các bước tích hợp dễ dàng như thế nào, không sử dụng căn bậc hai hoặc các bước tích hợp chẳng hạn như Thay thế.

Ví dụ 14.7.18. Tìm khối tâm bằng cách sử dụng tọa độ cầu.

Tìm khối tâm của vật rắn có khối lượng riêng không đổi được bao quanh bởi ( rho = 4 ) và bên dưới bởi ( varphi = pi / 6 text <,> ) như minh họa trong Hình 14.7.19.

Chúng ta sẽ thiết lập bốn tích phân ba cần thiết để tìm khối tâm (tức là để tính (M text <,> ) (M_ text <,> ) (M_) và M_)) và để người đọc đánh giá từng tích phân. Do tính đối xứng, chúng tôi mong đợi tọa độ (x ) - và (y ) - của khối tâm bằng 0.

Trong khi các bề mặt mô tả vật rắn được đưa ra trong tuyên bố của bài toán, để mô tả toàn bộ vật rắn (D text <,> ), chúng tôi sử dụng các giới hạn sau: (0 leq rho leq 4 text <, > ) (0 leq theta leq 2 pi ) và (0 leq varphi leq pi / 6 text <.> ) Vì mật độ ( delta ) là không đổi, chúng tôi giả sử ( delta = 1 text <.> )

Để tính toán (M_ text <,> ) tích hợp là (x text <> ) sử dụng Key Idea 14.7.11, chúng ta có (x = rho sin ( varphi) cos ( theta) text <. > ) Điều này mang lại:

mà chúng tôi đã mong đợi như chúng tôi mong đợi ( overline = 0 text <.> )

Để tính toán (M_ text <,> ) tích hợp là (y text <> ) sử dụng Key Idea 14.7.11, chúng ta có (y = rho sin ( varphi) sin ( theta) text <. > ) Điều này mang lại:

mà chúng tôi cũng mong đợi như chúng tôi mong đợi ( overline = 0 text <.> )

Để tính toán (M_ text <,> ) tích hợp là (z text <> ) sử dụng Key Idea 14.7.11, chúng ta có (z = rho cos ( varphi) text <.> ) Điều này cho:

Do đó khối tâm là ((0,0, M_/ M) khoảng (0,0,2.799) text <,> ) như được chỉ ra trong Hình 14.7.19.

Phần này đã giới thiệu ngắn gọn về hai hệ tọa độ mới hữu ích cho việc xác định các điểm trong không gian. Mỗi loại có thể được sử dụng để xác định nhiều loại bề mặt trong không gian ngoài các bề mặt chính tắc được vẽ biểu đồ khi mỗi hệ thống được giới thiệu.

Tuy nhiên, tính hữu dụng của các hệ tọa độ này không nằm ở sự đa dạng của các bề mặt mà chúng có thể mô tả cũng như các vùng trong không gian mà các bề mặt này có thể bao bọc. Đúng hơn, tọa độ trụ chủ yếu được sử dụng để mô tả hình trụ và tọa độ cầu hầu hết được sử dụng để mô tả hình cầu. Những hình dạng này được quan tâm đặc biệt trong khoa học, đặc biệt là trong vật lý, và việc tính toán trên / bên trong những hình dạng này rất khó sử dụng tọa độ hình chữ nhật. Ví dụ, trong nghiên cứu về điện và từ tính, người ta thường nghiên cứu các tác động của dòng điện đi qua một dây dẫn mà dây về cơ bản là một hình trụ, được mô tả kỹ bằng các tọa độ hình trụ.

Chương này đã nghiên cứu sự đi theo tự nhiên đối với đạo hàm riêng: tích phân lặp. Chúng tôi đã học cách sử dụng các giới hạn của tích phân kép để mô tả một vùng trong mặt phẳng bằng cả tọa độ hình chữ nhật và tọa độ cực, sau đó được mở rộng để sử dụng các giới hạn của tích phân ba để mô tả một vùng trong không gian. Chúng tôi sử dụng tích phân kép để tìm thể tích dưới bề mặt, diện tích bề mặt và khối tâm của phiến đá. Chúng tôi sử dụng tích phân ba như một phương pháp thay thế để tìm thể tích của các vùng không gian và cũng để tìm tâm khối của một vùng trong không gian.

Sự tích hợp không dừng lại ở đây. Chúng tôi có thể tiếp tục lặp lại các tích phân của mình, tiếp theo điều tra "tích phân bốn" mà giới hạn của nó mô tả một vùng trong không gian 4 chiều (rất khó hình dung). Chúng ta cũng có thể nhìn lại quá trình tích hợp "thông thường" trong đó chúng ta tìm thấy khu vực nằm dưới một đường cong trong mặt phẳng. Một phương pháp tương tự tự nhiên cho điều này là tìm “diện tích bên dưới một đường cong”, nơi đường cong nằm trong không gian, không phải trong một mặt phẳng. Đây chỉ là hai trong số nhiều con đường cần khám phá dưới tiêu đề “tích hợp”.

Bài tập 14.7.3 Bài tập

Giải thích sự khác biệt giữa các vai trò (r text <,> ) trong tọa độ trụ và ( rho text <,> ) trong tọa độ cầu, đóng vai trò trong việc xác định vị trí của một điểm.

Trong hình trụ, (r ) xác định khoảng cách từ điểm gốc mà ta đi trong mặt phẳng (x ) - (y ) trước khi xem xét thành phần (z ) -. Tương tự, nếu chiếu một điểm trong tọa độ trụ lên mặt phẳng (x ) - (y ), (r ) sẽ là khoảng cách của phép chiếu này từ điểm gốc.

Trong hình cầu, ( rho ) là khoảng cách từ điểm gốc đến điểm.

Tại sao các điểm trên trục (z ) - không được xác định duy nhất khi sử dụng tọa độ hình trụ và hình cầu?

Nếu (r = 0 ) hoặc ( rho = 0 text <,> ) thì điểm trong mỗi hệ tọa độ nằm trên trục (z ) - bất kể giá trị của ( theta text <.> )

Những bề mặt nào được xác định một cách tự nhiên bằng cách sử dụng tọa độ trụ?

Các hình trụ (ống) có tâm tại điểm gốc, song song với các mặt phẳng trục (z ) - song song với (z ) - trục giao với các mặt phẳng trục (z ) - song song với (x ) - máy bay (y ).

Những bề mặt nào được xác định một cách tự nhiên bằng cách sử dụng tọa độ cầu?

Các hình cầu có tâm tại mặt phẳng gốc song song với trục (z ) - giao với các hình nón (z ) - trục có tâm trên trục (z ) - với điểm tại gốc.

Trong các bài tập sau, các điểm được cho trong hệ tọa độ hình chữ nhật, hình trụ hoặc hình cầu. Tìm tọa độ của các điểm trong hệ khác.

Các điểm trong tọa độ hình chữ nhật: ((2,2,1) ) và ((- sqrt <3>, 1,0) )

Các điểm trong tọa độ trụ: ((2, pi / 4,2) ) và ((3,3 pi / 2, -4) )

Các điểm trong tọa độ cầu: ((2, pi / 4, pi / 4) ) và ((1,0,0) )

Hình trụ: ((2 sqrt 2, pi / 4,1) ) và ((2,5 pi / 6,0) ) Hình cầu: ((3, pi / 4, cos ^ <-1> (1/3)) ) và ((2,5 pi / 6, pi / 2) )

Hình chữ nhật: (( sqrt 2, sqrt 2,2) ) và ((0, -3, -4) ) Hình cầu: ((2 sqrt 2, pi / 4, pi / 4 ) ) và ((5,3 pi / 2, pi- tan ^ <-1> (3/4)) )

Hình chữ nhật: ((1,1, sqrt <2>) ) và ((0,0,1) ) Hình trụ: (( sqrt <2>, pi / 4, sqrt <2> ) ) và ((0,0,1) )

Các điểm trong tọa độ hình chữ nhật: ((0,1,1) ) và ((- 1,0,1) )

Các điểm trong tọa độ trụ: ((0, pi, 1) ) và ((2,4 pi / 3,0) )

Các điểm trong tọa độ cầu: ((2, pi / 6, pi / 2) ) và ((3, pi, pi) )

Hình trụ: ((1, pi / 2,1) ) và ((1, pi, 1) ) Hình cầu: (( sqrt 2, pi / 2, pi / 4) ) và (( sqrt <2>, pi, pi / 4) )

Hình chữ nhật: ((0,0,1) ) và ((- 1, - sqrt 3,0) ) Hình cầu: ((1, pi, 0) ) và ((2,4 pi / 3, pi / 2) )

Hình chữ nhật: (( sqrt 3,1,0) ) và ((0,0, -3) ) Hình trụ: ((2, pi / 6,0) ) và ((0, pi, -3) )

Trong các bài tập sau, mô tả đường cong, bề mặt hoặc vùng trong không gian được xác định bởi các giới hạn cho trước.

Giới hạn trong tọa độ trụ:

(r = 1 text <,> ) (0 leq theta leq 2 pi text <,> ) (0 leq z leq 1 )

(1 leq r leq 2 text <,> ) (0 leq theta leq pi text <,> ) (0 leq z leq 1 )

Giới hạn trong tọa độ cầu:

( rho = 3 text <,> ) (0 leq theta leq2 pi text <,> ) (0 leq varphi leq pi / 2 )

(2 leq rho leq3 text <,> ) (0 leq theta leq2 pi text <,> ) (0 leq varphi leq pi )

Một bề mặt hoặc ống hình trụ, có tâm dọc theo (z ) - trục bán kính 1, kéo dài từ mặt phẳng (x ) - (y ) lên đến mặt phẳng (z = 1 ) (tức là ống có chiều dài là 1).

Đây là một vùng không gian, là một nửa hình ống có các bức tường "dày" bán kính trong 1 và bán kính ngoài 2, có tâm dọc theo trục (z ) - với chiều dài 1, trong đó nửa "bên dưới" là (x ) - (z ) mặt phẳng bị xóa.

Đây là nửa trên của hình cầu bán kính 3 có tâm tại điểm gốc (tức là bán cầu trên).

Đây là một vùng không gian, trong đó quả cầu bán kính 2, có tâm tại điểm gốc, được lấy ra khỏi quả cầu bán kính 3, có tâm tại điểm gốc.

Giới hạn trong tọa độ trụ:

(1 leq r leq 2 text <,> ) ( theta = pi / 2 text <,> ) (0 leq z leq 1 )

(r = 2 text <,> ) (0 leq theta leq 2 pi text <,> ) (z = 5 )

Giới hạn trong tọa độ cầu:

(0 leq rho leq2 text <,> ) (0 leq theta leq pi text <,> ) ( varphi = pi / 4 )

( rho = 2 text <,> ) (0 leq theta leq2 pi text <,> ) ( varphi = pi / 6 )

Một phần hình vuông của mặt phẳng (y ) - (z ) với các góc tại ((0,1,0) text <,> ) ((0,1,1) text <,> ) ((0,2,1) ) và ((0,2,0) text <.> )

Đây là một đường cong, một hình tròn bán kính 2, có tâm là ((0,0,5) text <,> ) nằm song song với mặt phẳng (x ) - (y ) (tức là, trong mặt phẳng (z = 5 )).

Đây là một vùng không gian, một nửa của hình nón đặc với đỉnh tròn, trong đó đỉnh tròn là một phần của quả cầu có bán kính 2 có tâm là tâm tại điểm gốc và các cạnh của hình nón tạo với nhau một góc ( pi / 4 ) với trục (z ) - dương. Các giới hạn trên ( theta ) có nghĩa là chỉ phần “phía trên” mặt phẳng (x ) - (z ) được giữ lại.

Đây là một đường cong, một hình tròn bán kính 1 có tâm là ((0,0, sqrt 3) text <,> ) nằm song song với mặt phẳng (x ) - (y ).

Trong các bài tập sau, các vùng chuẩn trong không gian, được xác định bởi các tọa độ hình trụ và hình cầu, được chỉ ra. Thiết lập tích phân ba tích phân hàm đã cho trên vùng được vẽ đồ thị.


14.7: Tích phân ba trong tọa độ hình trụ và hình cầu - Toán học

Bạn sắp xóa công việc của bạn về hoạt động này. Bạn có chắc chắn muốn làm điều này?

Phiên bản cập nhật có sẵn

Đây là một phiên bản cập nhật của hoạt động này. Nếu bạn cập nhật lên phiên bản mới nhất của hoạt động này, thì tiến trình hiện tại của bạn đối với hoạt động này sẽ bị xóa. Bất kể, hồ sơ hoàn thành của bạn sẽ vẫn còn. Bạn muốn tiến hành như thế nào?

Trình chỉnh sửa biểu thức toán học

1. Thoải mái thiết lập và tính toán tích phân ba trong các tọa độ hình trụ và hình cầu. 2. Hiểu các hệ số tỉ lệ của tích phân ba trong hệ tọa độ hình trụ và hình cầu, cũng như nguồn gốc của chúng. 3. Thoải mái chọn giữa các tọa độ hình trụ và hình cầu.

Tọa độ hình trụ

Tóm tắt video

Đây là một đoạn video nêu bật những điểm chính của phần này.

Video ví dụ

Đây là một ví dụ về việc thiết lập các giới hạn cho một tích phân ba trong hệ tọa độ trụ.

Các vấn đề

Tích phân trong tọa độ trụ là Tích phân do đó trở thành

Đây là vùng nằm dưới một paraboloid và bên trong một hình trụ. Lý do tọa độ trụ sẽ là một hệ tọa độ tốt để chọn là điều kiện có nghĩa là chúng ta có thể sẽ đi đến cực sau này, vì vậy chúng ta có thể đến đó ngay bây giờ với tọa độ trụ.

Phương trình paraboloid & # x2019s trong tọa độ trụ (nghĩa là, và) là Như vậy, các giới hạn của chúng ta sẽ là Bây giờ chúng ta có, chúng ta có thể nhìn vào-phẳng để biết các giới hạn cực của chúng ta. Đĩa ở cực là Do đó, tích phân trở thành

Tọa độ hình cầu

Trong suốt phần này, bạn sẽ cần sử dụng “” để biểu thị “.”

Tóm tắt video

Đây là một đoạn video nêu bật những điểm chính của phần này.

Video ví dụ

Đây là một ví dụ về việc thiết lập các giới hạn cho một tích phân ba trong hệ tọa độ cầu.

Các vấn đề

LƯU Ý: Sử dụng “p” thay vì trong đầu vào câu trả lời của bạn. Ví dụ đầu vào cho.

Chọn một hệ thống tọa độ

Đối với các bài toán sau, bạn nên quyết định sử dụng hệ tọa độ Descartes, hình trụ hoặc hình cầu để đánh giá tích phân ba. Sẽ là cách tốt cho bạn nếu thử cả ba và xem cái nào là lựa chọn thực tế cho mỗi vấn đề.

Bạn đã từng làm bài toán tiếp theo dưới dạng tích phân kép. Bây giờ hãy làm điều đó như một tích phân ba và tự thuyết phục bản thân rằng đó là điều tương tự.

  • Trong tọa độ trụ, tích phân sẽ là
  • Trong hình cầu, tích phân sẽ là (đầu vào “p” cho phi):
  • Đánh giá một trong hai cách sẽ đưa ra câu trả lời là:.

Bạn có thể thiết lập điều này trong hình trụ hoặc hình cầu. Chú ý giao điểm là đường tròn. Trong hình trụ, thiết lập sẽ là Điều này thực sự có thể giải quyết được vì căn bậc hai sẽ biến mất sau khi tích hợp đối với.

Trong hình cầu, mặt phẳng có phương trình, hoặc. Mặt cầu có phương trình. Những điều này cung cấp cho các giới hạn. Để có được, hãy lưu ý rằng vùng bắt đầu từ và nó sẽ đi lên giao của mặt phẳng với hình cầu, đó là, hoặc. Điều này mang lại giới hạn. Do đó, thiết lập là


Bạn muốn tìm hiểu thêm về Giải tích 3? Tôi có một khóa học từng bước cho điều đó. :)

Đánh giá tích phân ba trong hệ tọa độ trụ.

Hãy bắt đầu bằng cách chuyển đổi các giới hạn của tích phân từ tọa độ hình chữ nhật sang tọa độ trụ, bắt đầu với tích phân trong cùng. Đây sẽ là những giới hạn của tích hợp đối với. z. có nghĩa là chúng cần được giải quyết. z. một khi chúng tôi đưa chúng đến tọa độ trụ. Giới hạn trên. 3. có thể giữ nguyên kể từ khi. z = z. khi chúng ta đi từ tọa độ hình chữ nhật sang hình trụ, nhưng giới hạn dưới cần được chuyển đổi bằng cách sử dụng các công thức chuyển đổi.

Sử dụng nhận dạng lượng giác. sin ^ 2+ cos ^ 2= 1. chúng ta có thể đơn giản hóa để

Điều này có nghĩa là các giới hạn của tích hợp đối với. z. trong hệ tọa độ trụ là. [r, 3].

Tiếp theo, chúng ta sẽ làm các giới hạn của tích phân cho tích phân giữa. Đây sẽ là những giới hạn của tích hợp đối với. x. có nghĩa là chúng cần được giải quyết. r. một khi chúng tôi đưa chúng đến tọa độ trụ.

Giới hạn dưới được đưa ra bởi

Giới hạn trên được đưa ra bởi

Có vẻ như các giới hạn của tích hợp đối với. r. trong tọa độ trụ sẽ được cho bởi. [-3,3]. Tuy nhiên, hãy nhớ rằng. r. đại diện cho bán kính hoặc khoảng cách từ điểm gốc. Không có ý nghĩa gì khi nói rằng chúng tôi là như vậy. -3. đơn vị xa gốc. Thay vào đó, chúng tôi luôn nói rằng giới hạn dưới cho. r. Là . 0. sao cho. 0. là điểm gần nhất mà chúng ta có thể đến điểm gốc (ngay trên điểm gốc), và. 3. là xa nhất mà chúng tôi có thể được từ nguồn gốc. Vì vậy, các giới hạn của tích hợp cho. r. sẽ là . [0,3].

Cuối cùng, chúng tôi sẽ thực hiện các giới hạn của tích phân cho tích phân ngoài. Đây sẽ là những giới hạn của tích hợp đối với. y. có nghĩa là chúng cần được giải quyết. theta. một khi chúng tôi đưa chúng đến tọa độ trụ. Nhưng vì chúng ta sẽ. theta. chúng ta chỉ có thể giả định rằng khoảng thời gian là. [0,2 pi]. bởi vì khoảng đó đại diện cho tập hợp đầy đủ các giá trị cho. theta. which is just the angle between any point and the positive direction of the . x. -axis.

Next we’ll use the conversion formulas to convert the function itself into cylindrical coordinates.

Putting all of this, plus . dV=r dz dr d heta. into the integral gives

. int^<2pi>_0int^3_<0>int^3_rrzcos< heta>left(r dz dr d heta ight).

. int^<2pi>_0int^3_<0>int^3_rr^2zcos< heta> dz dr d heta.

we’ll need to convert the limits of integration, the function itself, and dV from rectangular coordinates to cylindrical coordinates.

We always integrate from the inside out, which means we’ll integrate first with respect to . z. treating all other variables as constants.

Now we’ll integrate with respect to . r. treating all other variables as constants.


Like cartesian (or rectangular) coordinates and polar coordinates, cylindrical coordinates are just another way to describe points in three-dimensional space.

Remember that cylindrical coordinates are exactly the same as polar coordinates, just in three-dimensional space instead of two-dimensional space. Since polar coordinates in 2D are given as . (r, heta). cylindrical coordinates just require us to add a value for . z. to account for 3D space, which means cylindrical coordinates are given as . (r, heta,z).

I create online courses to help you rock your math class. Read more.

Hình hộp chữ nhật coordinates are given as . (x,y,z).

where . x. is the distance of . (x,y,z). from the origin along the . x. -axis

where . y. is the distance of . (x,y,z). from the origin along the . y. -axis

where . z. is the distance of . (x,y,z). from the origin along the . z. -axis

Cylindrical coordinates are given as . (r, heta,z).

where . r. is the distance of . (r, heta,z). from the origin

where . heta. is the angle between . r. (the line connecting . (r, heta,z). to the origin) and the positive direction of the . x. -axis

where . z. is the the distance of . (r, heta,z). from the origin along the . z. -axis

To convert between cylindrical coordinates and rectangular coordinates, we use the conversion formulas


01.Triple Integrals Cylindrical Coordinates

Spherical coordinates calculator converts between Cartesian and spherical coordinates in a 3D space. When converting from the rectangular to the spherical system, our spherical coordinate calculator assumes that the origins of both systems overlap. Flux is the total force you feel, the total number of bananas you see flying by your surface. Think of flux like weight. Flux Factors.


14.7: Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates - Mathematics

Lecture Description

This video lecture, part of the series Vector Calculus by Prof. Christopher Tisdell, does not currently have a detailed description and video lecture title. If you have watched this lecture and know what it is about, particularly what Mathematics topics are discussed, please help us by commenting on this video with your suggested sự miêu tảtiêu đề. Many thanks from,

- The CosmoLearning Team

Course Index

  1. Applications of Double integrals
  2. Path Integrals: How to Integrate Over Curves
  3. What is a Vector Field?
  4. What is the Divergence?
  5. What is the Curl?
  6. What is a Line Integral?
  7. Applications of Line Integrals
  8. Fundamental Theorem of Line Integrals
  9. What is Green's Theorem?
  10. Green's Theorem
  11. Parametrised Surfaces
  12. What is a Surface Integral? (Phần I)
  13. More On Surface Integrals
  14. Surface Integrals and Vector Fields
  15. Divergence Theorem of Gauss
  16. How to Solve PDEs via Separation of Variables and Fourier Series
  17. Vector Revision
  18. Intro to Curves and Vector Functions
  19. Limits of Vector Functions
  20. Calculus of Vector Functions: One Variable
  21. Calculus of Vector Functions Tutorial
  22. Vector Functions Tutorial
  23. Intro to Functions of Two Variables
  24. Limits of Functions of Two Variables
  25. Partial Derivatives
  26. Partial Derivatives and PDEs Tutorial
  27. Multivariable Functions: Graphs and Limits
  28. Multivariable Chain Rule and Differentiability
  29. Chain Rule: Partial Derivative of $arctan (y/x)$ w.r.t. $x$
  30. Chain Rule & Partial Derivatives
  31. Chain Rule: Identity Involving Partial Derivatives
  32. Multivariable Chain Rule
  33. Leibniz' Rule: Integration via Differentiation Under Integral Sign
  34. Evaluating Challenging Integrals via Differentiation: Leibniz Rule
  35. Gradient and Directional Derivative
  36. Gradient and Directional Derivative
  37. Directional dDerivative of $f(x,y)$
  38. Tangent Plane Approximation and Error Estimation
  39. Gradient and Tangent Plane
  40. Partial Derivatives and Error Estimation
  41. Multivariable Taylor Polynomials
  42. Taylor Polynomials: Functions of Two Variables
  43. Multivariable Calculus: Limits, Chain Rule and Arc Length
  44. Critical Points of Functions
  45. How to Find Critical Points of Functions
  46. How to Find Critical Points of Functions
  47. Second Derivative Test: Two Variables
  48. Multivariable Calculus: Critical Points and Second Derivative Test
  49. How to Find and Classify Critical Points of Functions
  50. Lagrange Multipliers
  51. Lagrange Multipliers: Two Constraints
  52. Lagrange Multipliers: Extreme Values of a Function Subject to a Constraint
  53. Lagrange Multipliers Example
  54. Lagrange multiplier Example: Minimizing a Function Subject to a Constraint
  55. Second Derivative Test, Max/Min and Lagrange Multipliers
  56. Intro to Jacobian Matrix and Differentiability
  57. Jacobian Chain Rule and Inverse Function Theorem
  58. Intro to Double Integrals
  59. Double Integrals Over General Regions
  60. Double Integrals: Volume Between Two Surfaces
  61. Double Integrals: Volume of a Tetrahedron
  62. Double Integral
  63. Double Integrals and Area
  64. Double Integrals in Polar Co-ordinates
  65. Reversing Order in Double Integrals
  66. Double Integrals: Reversing the Order of Integration
  67. Applications of Double Integrals
  68. Double Integrals and Polar Co-ordinates
  69. Double Integrals
  70. Centroid and Double Integral
  71. Center of Mass, Double Integrals and Polar Co-ordinates
  72. Triple Integral
  73. Triple integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates
  74. Triple integrals & Center of Mass
  75. Change of Variables in Double Integrals
  76. Path Integral (Scalar Line Integral) From Vector Calculus
  77. Line Integral Example in 3D-Space
  78. Line Integral From Vector Calculus Over a Closed Curve
  79. Line Integral Example From Vector Calculus
  80. Divergence of a Vector Field
  81. Curl of a Vector Field (ex. no.1)
  82. Curl of a Vector Field (ex. no.2)
  83. Divergence Theorem of Gauss
  84. Intro to Fourier Series and How to Calculate Them
  85. How to Compute a Fourier Series: An Example
  86. What are Fourier Series?
  87. Fourier Series
  88. Fourier Series and Differential Equations

Mô tả khóa học

In this course, Prof. Chris Tisdell gives 88 video lectures on Vector Calculus. This is a series of lectures for "Several Variable Calculus" and "Vector Calculus", which is a 2nd-year mathematics subject taught at UNSW, Sydney. This playlist provides a shapshot of some lectures presented in Session 1, 2009 and Session 1, 2011. These lectures focus on presenting vector calculus in an applied and engineering context, while maintaining mathematical rigour. Thus, this playlist may be useful to students of mathematics, but also to those of engineering, physics and the applied sciences. There is an emphasis on examples and also on proofs. Dr Chris Tisdell is Senior Lecturer in Applied Mathematics.


Solved Problems

Click or tap a problem to see the solution.

Ví dụ 1

Ví dụ 2

Ví dụ 3

Ví dụ 4

Ví dụ 5

Ví dụ 1.

It is more convenient to calculate this integral in cylindrical coordinates. Projection of the region of integration onto the (xy)-plane is the circle ( + le 1) or (0 le ho le 1) (Figure (3)).

Notice that the integrand can be written as

Then the integral becomes

[I = intlimits_0^ <2pi > intlimits_0^1 << ho ^4> ho d ho > intlimits_0^1 .]

The second integral contains the factor ( ho) which is the Jacobian of transformation of the Cartesian coordinates into cylindrical coordinates. All the three integrals over each of the variables do not depend on each other. As a result the triple integral is easy to calculate as


Want to learn more about Calculus 3? Tôi có một khóa học từng bước cho điều đó. :)

Use spherical coordinates to find the volume of the triple integral, where . B. is a sphere with center . (0,0,0). and radius . 4.

Using the conversion formula . ho^2=x^2+y^2+z^2. we can change the given function into spherical notation.

. intintint_Bx^2+y^2+z^2 dV=intintint_B ho^2 dV.

Then we’ll use . dV= ho^2sin d ho d heta dphi. to make a substitution for . dV.

. intintint_B ho^2left( ho^2sin d ho d heta dphi ight).

. intintint_B ho^4sin d ho d heta dphi.

Now we’ll find limits of integration. We already know the limits of integration for . phi. và. heta. since they are always the same if we’re dealing with a full sphere, so we get

. int_0^piint_0^ d ho d heta dphi.

Since . ho. defines the radius of the sphere, and we’re told that this sphere has its center at . (0,0,0). and radius . 4. . ho. is defined on . [0,4]. vì thế

. int_0^piint_0^ d ho d heta dphi.

We can use triple integrals and spherical coordinates to solve for the volume of a solid sphere.

We always integrate inside out, so we’ll integrate with respect to . ho. first, treating all other variables as constants.

Now we’ll integrate with respect to . heta. treating all other variables as constants.

Finally, we’ll integrate with respect to . phi.

This is the volume of the region bounded beneath the surface . x^2+y^2+z^2. and above the sphere defined by . B.


Solutions for Chapter 14.7: Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates

Solutions for Chapter 14.7: Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates

  • 14.7.1: In Exercises 16, evaluate the iterated integral.2020r cos dr d dz
  • 14.7.2: In Exercises 16, evaluate the iterated integral.202r0 rz dz dr d
  • 14.7.3: In Exercises 16, evaluate the iterated integral.
  • 14.7.4: In Exercises 16, evaluate the iterated integral.20e32 d d d
  • 14.7.5: In Exercises 16, evaluate the iterated integral.
  • 14.7.6: In Exercises 16, evaluate the iterated integral.4040cos 02 sin cos .
  • 14.7.7: In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate the.
  • 14.7.8: In Exercises 7 and 8, use a computer algebra system to evaluate the.
  • 14.7.9: In Exercises 912, sketch the solid region whose volume is given by .
  • 14.7.10: In Exercises 912, sketch the solid region whose volume is given by .
  • 14.7.11: In Exercises 912, sketch the solid region whose volume is given by .
  • 14.7.12: In Exercises 912, sketch the solid region whose volume is given by .
  • 14.7.13: In Exercises 1316, convert the integral from rectangular coordinate.
  • 14.7.14: In Exercises 1316, convert the integral from rectangular coordinate.
  • 14.7.15: In Exercises 1316, convert the integral from rectangular coordinate.
  • 14.7.16: In Exercises 1316, convert the integral from rectangular coordinate.
  • 14.7.17: Volume In Exercises 1720, use cylindrical coordinates to find the v.
  • 14.7.18: Volume In Exercises 1720, use cylindrical coordinates to find the v.
  • 14.7.19: Volume In Exercises 1720, use cylindrical coordinates to find the v.
  • 14.7.20: Volume In Exercises 1720, use cylindrical coordinates to find the v.
  • 14.7.21: Mass In Exercises 21 and 22, use cylindrical coordinates to find th.
  • 14.7.22: Mass In Exercises 21 and 22, use cylindrical coordinates to find th.
  • 14.7.23: In Exercises 2328, use cylindrical coordinates to find the indicate.
  • 14.7.24: In Exercises 2328, use cylindrical coordinates to find the indicate.
  • 14.7.25: In Exercises 2328, use cylindrical coordinates to find the indicate.
  • 14.7.26: In Exercises 2328, use cylindrical coordinates to find the indicate.
  • 14.7.27: In Exercises 2328, use cylindrical coordinates to find the indicate.
  • 14.7.28: In Exercises 2328, use cylindrical coordinates to find the indicate.
  • 14.7.29: Moment of Inertia In Exercises 29 and 30, use cylindrical coordinat.
  • 14.7.30: Moment of Inertia In Exercises 29 and 30, use cylindrical coordinat.
  • 14.7.31: Volume In Exercises 31 and 32, use spherical coordinates to find th.
  • 14.7.32: Volume In Exercises 31 and 32, use spherical coordinates to find th.
  • 14.7.33: Mass In Exercises 33 and 34, use spherical coordinates to find the .
  • 14.7.34: Mass In Exercises 33 and 34, use spherical coordinates to find the .
  • 14.7.35: Center of Mass In Exercises 35 and 36, use spherical coordinates to.
  • 14.7.36: Center of Mass In Exercises 35 and 36, use spherical coordinates to.
  • 14.7.37: Moment of Inertia In Exercises 37 and 38, use spherical coordinates.
  • 14.7.38: Moment of Inertia In Exercises 37 and 38, use spherical coordinates.
  • 14.7.39: Give the equations for the coordinate conversion from rectangular t.
  • 14.7.40: Give the equations for the coordinate conversion from rectangular t.
  • 14.7.41: Give the iterated form of the triple integral in cylindrical form.
  • 14.7.42: Give the iterated form of the triple integral in spherical form.
  • 14.7.43: Describe the surface whose equation is a coordinate equal to a cons.
  • 14.7.44: When evaluating a triple integral with constant limits of integrati.
  • 14.7.45: Find the volume of the four-dimensional spherex2 y 2 z2 w2 a2by eva.
  • 14.7.46: Use spherical coordinates to show that x2 y2 z2 e x2y2z2 dx dy dz 2. 1
Textbook: Calculus: Early Transcendental Functions
Edition: 4
Author: Ron Larson Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards
ISBN: 9780618606245

Calculus: Early Transcendental Functions was written by and is associated to the ISBN: 9780618606245. This expansive textbook survival guide covers the following chapters and their solutions. Since 46 problems in chapter 14.7: Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates have been answered, more than 73596 students have viewed full step-by-step solutions from this chapter. This textbook survival guide was created for the textbook: Calculus: Early Transcendental Functions , edition: 4. Chapter 14.7: Triple Integrals in Cylindrical and Spherical Coordinates includes 46 full step-by-step solutions.

A rectangular graphical display of categorical data.

An angle whose vertex is the center of a circle

See Cartesian coordinate system.

The factor Ae-a in an equation such as y = Ae-at cos bt

A vector in the direction of a line in three-dimensional space

The length of the chord through the focus and perpendicular to the axis.

A method of solving a system of n linear equations in n unknowns.

See Polynomial function in x.

See Natural logarithmic regression

A model of population growth: ƒ1x2 = c 1 + a # bx or ƒ1x2 = c1 + ae-kx, where a, b, c, and k are positive with b < 1. c is the limit to growth

Any of the real numbers in a matrix

The process of expanding a fraction into a sum of fractions. The sum is called the partial fraction decomposition of the original fraction.

lim x:a- ƒ(x) = limx:a+ ƒ(x) but either the common limit is not equal ƒ(a) to ƒ(a) or is not defined

In the plane i = <1, 0> and j = <0,1> in space i = <1,0,0>, j = <0,1,0> k = <0,0,1>


Xem video: Giải tích 2. Bài tập tích phân bội 3. (Tháng Giêng 2022).