Bài viết

1.7: Định lý Lame - Toán học


Trong phần này, chúng tôi đưa ra ước tính cho số bước cần thiết để tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên bằng cách sử dụng thuật toán Euclide. Để làm được điều này, chúng ta phải giới thiệu các số Fibonacci nhằm mục đích chứng minh một bổ đề đưa ra ước tính về sự tăng trưởng của các số Fibonacci trong dãy Fibonacci. Bổ đề mà chúng ta chứng minh sẽ được sử dụng trong việc chứng minh định lý Lame.

Dãy Fibonacci được xác định đệ quy bởi (f_1 = 1 ), (f_2 = 1 ) và [f_ {n} = f_ {n-1} + f_ {n-2} mbox {for} n geq 3. ] Các số hạng trong dãy được gọi là số Fibonacci.

Trong bổ đề sau, chúng tôi đưa ra một giới hạn thấp hơn về sự tăng trưởng của các số Fibonacci. Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng số Fibonacci phát triển nhanh hơn một chuỗi hình học có tỷ lệ chung ( alpha = (1+ sqrt {5}) / 2 ).

[lem2] Đối với (n geq 3 ), chúng ta có (f_n> alpha ^ {n-2} ) trong đó ( alpha = (1+ sqrt {5}) / 2 ).

Chúng tôi sử dụng nguyên tắc thứ hai của quy nạp toán học để chứng minh kết quả của chúng tôi. Dễ dàng thấy rằng điều này đúng với (n = 3 ) và (n = 4 ). Giả sử rằng ( alpha ^ {k-2}

Bây giờ chúng ta trình bày định lý Lame.

sử dụng thuật toán Euclide để tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương có số chia nhỏ hơn hoặc bằng năm lần số chữ số thập phân nhỏ nhất trong hai số nguyên.

Gọi (a ) và (b ) là hai số nguyên dương trong đó (a> b ). Áp dụng thuật toán Euclide để tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên với (a = r_0 ) và (b = r_1 ), chúng ta nhận được [ begin {align} r_0 & = & r_1q_1 + r_2 0 leq r_2 alpha ^ {n-1} ) cho (n> 2 ). Kết quả là chúng ta có (b> alpha ^ {n-1} ). Bây giờ hãy chú ý vì [ log_ {10} alpha> frac {1} {5}, ] chúng ta thấy rằng [log_ {10} b> (n-1) / 5. ] Vì vậy, chúng ta có [ n-1 <5log_ {10} b. ] Bây giờ hãy cho (b ) có (k ) chữ số thập phân. Kết quả là chúng ta có (b <10 ^ k ) và do đó (log_ {10} b

Bài tập

  1. Tìm giới hạn trên cho số bước trong thuật toán Euclide được sử dụng để tìm ước số chung lớn nhất của 38472 và 957748838.
  2. Tìm giới hạn trên cho số bước trong thuật toán Euclide được sử dụng để tìm ước chung lớn nhất của 15 và 75. Xác minh kết quả của bạn bằng cách sử dụng thuật toán Euclide để tìm ước chung lớn nhất của hai số nguyên.

Toán rời rạc - Bài giảng 1.7 Giới thiệu về Chứng minh

Định nghĩa: Định lý là một phát biểu có thể được chứng minh là đúng.

Chúng tôi chứng minh rằng một định lý là đúng với một bằng chứng (đối số hợp lệ) bằng cách sử dụng: - Định nghĩa - Định lý khác - Quy tắc suy luận - Tiên đề

Bổ đề là một 'định lý hữu ích' hoặc một kết quả cần thiết để chứng minh một định lý.

Hệ quả là một kết quả theo sau trực tiếp từ một định lý.

Các định lý ít quan trọng hơn đôi khi được gọi là các mệnh đề.

Một phỏng đoán là một tuyên bố đang được đề xuất là đúng. Một khi một bằng chứng của một phỏng đoán được tìm thấy, nó sẽ trở thành một định lý. Nó có thể trở thành sai.

Các dạng của định lý - Nhiều định lý khẳng định rằng một thuộc tính giữ cho tất cả các phần tử trong một miền, chẳng hạn như số nguyên, số thực hoặc một số cấu trúc rời rạc mà chúng ta sẽ nghiên cứu trong lớp này. - Thường thì định lượng phổ quát (cần thiết cho một phát biểu chính xác của một định lý) bị bỏ qua bởi quy ước toán học tiêu chuẩn.

“Nếu 푥푥 & ampampgt 푦푦, trong đó 푥푥 và 푦푦 là các số thực dương, thì 푥푥 2 & ampampgt 푦푦 2”

Phương pháp chứng minh định lý

Trong chứng minh trực tiếp, chúng tôi chỉ ra rằng điều kiện 푝푝 → 푞푞 là đúng. Chúng tôi giả định rằng 푝푝 là đúng và chỉ ra rằng 푞푞 phải đúng

Định nghĩa: Số nguyên 푛푛 là số chẵn nếu tồn tại số nguyên 푘푘 sao cho 푛푛 = 2 푘푘, và odd là số lẻ nếu tồn tại số nguyên 푘푘, sao cho 푛푛 = 2 푘푘 + 1. Lưu ý rằng mọi số nguyên đều là chẵn hoặc lẻ và không có số nguyên nào vừa chẵn vừa lẻ.

Ví dụ: Đưa ra một chứng minh trực tiếp của định lý “Nếu 푛푛 là số nguyên lẻ thì 푛푛 2 là số lẻ”.

Ví dụ: Đưa ra một chứng minh trực tiếp của định lý “Nếu 푛푛 là một hình vuông hoàn hảo thì 푛푛 + 2 KHÔNG phải là một hình vuông hoàn hảo”.

Giả sử chúng ta muốn chứng minh rằng một mệnh đề 푝푝 là đúng. Chúng ta giả sử 푝푝 ∧¬ 푞푞, sau đó chứng tỏ rằng điều này dẫn đến mâu thuẫn.

Ví dụ: Chứng minh rằng nếu 푛푛 là số nguyên và 푛푛 3 + 5 là số lẻ thì 푛푛 là số chẵn khi sử dụng a. một bằng chứng bằng cách quy ước b. một bằng chứng mâu thuẫn

Ví dụ: Chỉ ra rằng nếu bạn chọn ba chiếc tất từ ​​ngăn kéo chỉ chứa tất xanh và tất đen, bạn phải lấy một đôi tất xanh hoặc một đôi tất đen.

Ví dụ: “Nếu trời mưa thì 1 = 1.”

Ví dụ: "Nếu tôi vừa giàu vừa nghèo thì 2 + 2 = 5."

Mặc dù những ví dụ này có vẻ ngớ ngẩn, nhưng cả những chứng minh tầm thường và thiếu sót thường được sử dụng trong quy nạp toán học, như chúng ta sẽ thấy ở phần sau.

Chứng minh Tương đương: Để chứng minh một định lý là phát biểu có điều kiện, tức là 푝푝 ↔ 푞푞, chúng ta chứng minh rằng 푝푝 → 푞푞 và 푞푞 → 푝푝 là cả hai đúng.

Ví dụ phản chứng: Khi chúng tôi tin rằng một câu lệnh có dạng ∀ 푥푥 푥푥 (푥푥) là sai, chúng tôi sẽ tìm kiếm một ví dụ phản chứng.

Ví dụ: Chứng tỏ rằng câu lệnh “Mọi số nguyên dương là tổng bình phương của hai số nguyên” là sai.


Chương 7. Phương trình Laplace

Xem xét vấn đề bắt đầu & amp Delta u-cu = f & amp & amp text mathcal, hãn [3pt] & amp u = g & amp & amp text Gamma_- label [3pt] & amp part_ nu u - alpha u = h & amp & amp text Gamma _ + nhãn kết thúc ở đâu $ mathcal$ là một miền có giới hạn được kết nối, $ Gamma $ ranh giới của nó (trơn), bao gồm hai phần không giao nhau $ Gamma _- $ và $ Gamma _ + $ và $ nu $ một đơn vị bên trong bình thường đến $ Gamma $ , $ part_ nu u: = nabla u cdot nu $ là một đạo hàm thông thường của các hàm có giá trị thực $ u $, $ c $ và $ alpha $.

begin - & amp int_ mathcal fu , dxdy = - int_ mathcal (u Delta u-cu ^ 2) , dxdy [3pt] = & amp int_ mathcal (| nabla u | ^ 2 + cu ^ 2) , dxdy + int _ Gamma u part_ nu u , ds [3pt] = & amp int_ mathcal (| nabla u | ^ 2 + cu ^ 2) , dxdy + int _ < Gamma _-> g part_ nu u , ds + int _ < Gamma _ +> ( alpha u ^ 2 + hu) , ds end nơi để chuyển từ dòng đầu tiên sang dòng thứ hai, chúng tôi sử dụng đẳng thức $ u Delta u = nabla (u cdot u) - | nabla u | ^ 2 $ và công thức Gauss, và để chuyển đến dòng thứ ba, chúng tôi đã sử dụng $ u = g $ trên $ Gamma _- $ và $ part_ nu u = alpha u + h $ trên $ Gamma _ + $. Do đó, giả sử rằng begin c ge 0, qquad alpha ge 0 label kết thúc chúng tôi kết luận rằng $ f = g = h0 ngụ ý nabla u = 0 $ và sau đó $ u = const $ và trừ khi begin c equiv 0, quad alpha equiv 0, qquad Gamma _- = blankset label kết thúc chúng tôi kết luận rằng $ u = 0 $.

Vì vậy, nếu ( ref) được hoàn thành nhưng ( ref) không thành vấn đề ( ref) - ( ref) không có nhiều hơn một giải pháp (giải thích tại sao). Người ta có thể chứng minh rằng giải pháp tồn tại (xin lỗi, chúng tôi không có công cụ phân tích cho việc này).

Định lý 1. Nếu ( ref) được hoàn thành nhưng ( ref) không thành vấn đề ( ref) - ( ref) là duy nhất có thể giải quyết được.

Giả sử bây giờ rằng ( ref) Được hoàn thành. Khi đó $ u = C $ là một nghiệm với $ f = h = 0 $. Vì vậy, bài toán không có nhiều hơn một hằng số modulo giải pháp. Cũng bắt đầu int_ mathcalf , dxdy = int_ mathcal Delta u , dxdy = - int_ Gamma part_ nu u , ds end và do đó giải pháp của begin & amp Delta u = f & amp & amp text mathcal, hãn [3pt] & amp part_ nu u = h & amp & amp text Gamma nhãn kết thúc không tồn tại trừ khi bắt đầu int_ mathcalf , dxdy + int_ Gamma h , ds = 0. hãn kết thúc Người ta có thể chứng minh điều đó theo giả định ( ref) giải pháp tồn tại (xin lỗi, chúng tôi không có công cụ phân tích cho việc này).

  1. Nếu ( ref) là vấn đề hoàn thành ( ref) - ( ref) có một giải pháp iff ( ref) Được hoàn thành.
  2. Giải pháp này là duy nhất trong một điều kiện bổ sung begin int_ mathcal u , dx = 0. hãn kết thúc

Nhận xét 1. Chắc chắn, các đối số và kết quả này có trong bất kỳ chiều nào.


1.7: Định lý Lame - Toán học

Tất cả các bài báo do MDPI xuất bản được cung cấp ngay lập tức trên toàn thế giới theo giấy phép truy cập mở. Không có sự cho phép đặc biệt nào được yêu cầu để sử dụng lại toàn bộ hoặc một phần của bài báo do MDPI xuất bản, bao gồm cả các hình và bảng. Đối với các bài báo được xuất bản theo giấy phép Creative Common CC BY truy cập mở, bất kỳ phần nào của bài báo có thể được sử dụng lại mà không được phép với điều kiện là bài báo gốc được trích dẫn rõ ràng.

Báo cáo tính năng đại diện cho nghiên cứu tiên tiến nhất với tiềm năng đáng kể để có tác động cao trong lĩnh vực này. Các báo cáo tính năng được gửi theo lời mời hoặc đề xuất của cá nhân bởi các biên tập viên khoa học và trải qua đánh giá ngang hàng trước khi xuất bản.

Báo cáo nổi bật có thể là một bài báo nghiên cứu ban đầu, một nghiên cứu tiểu thuyết quan trọng thường liên quan đến một số kỹ thuật hoặc phương pháp tiếp cận, hoặc một bài báo đánh giá toàn diện với các cập nhật ngắn gọn và chính xác về tiến bộ mới nhất trong lĩnh vực này đánh giá một cách có hệ thống những tiến bộ thú vị nhất trong khoa học văn chương. Loại giấy này cung cấp triển vọng về các hướng nghiên cứu trong tương lai hoặc các ứng dụng có thể có.

Các bài báo của Editor’s Choice dựa trên các khuyến nghị của các biên tập viên khoa học của các tạp chí MDPI từ khắp nơi trên thế giới. Các biên tập viên chọn một số lượng nhỏ các bài báo được xuất bản gần đây trên tạp chí mà họ tin rằng sẽ đặc biệt thú vị đối với các tác giả, hoặc quan trọng trong lĩnh vực này. Mục đích là cung cấp ảnh chụp nhanh một số công trình thú vị nhất được xuất bản trong các lĩnh vực nghiên cứu khác nhau của tạp chí.


1.7: Định lý Lame - Toán học

Tất cả các bài báo do MDPI xuất bản được cung cấp ngay lập tức trên toàn thế giới theo giấy phép truy cập mở. Không có sự cho phép đặc biệt nào được yêu cầu để sử dụng lại toàn bộ hoặc một phần của bài báo do MDPI xuất bản, bao gồm cả các hình và bảng. Đối với các bài báo được xuất bản theo giấy phép Creative Common CC BY truy cập mở, bất kỳ phần nào của bài báo có thể được sử dụng lại mà không được phép với điều kiện là bài báo gốc được trích dẫn rõ ràng.

Báo cáo tính năng đại diện cho nghiên cứu tiên tiến nhất với tiềm năng đáng kể để có tác động cao trong lĩnh vực này. Các báo cáo tính năng được gửi theo lời mời hoặc đề xuất của cá nhân bởi các biên tập viên khoa học và trải qua đánh giá ngang hàng trước khi xuất bản.

Báo cáo nổi bật có thể là một bài báo nghiên cứu ban đầu, một nghiên cứu tiểu thuyết quan trọng thường liên quan đến một số kỹ thuật hoặc phương pháp tiếp cận, hoặc một bài báo đánh giá toàn diện với các cập nhật ngắn gọn và chính xác về tiến bộ mới nhất trong lĩnh vực này đánh giá một cách có hệ thống những tiến bộ thú vị nhất trong khoa học văn chương. Loại giấy này cung cấp triển vọng về các hướng nghiên cứu trong tương lai hoặc các ứng dụng có thể có.

Các bài báo của Editor’s Choice dựa trên các khuyến nghị của các biên tập viên khoa học của các tạp chí MDPI từ khắp nơi trên thế giới. Các biên tập viên chọn một số lượng nhỏ các bài báo được xuất bản gần đây trên tạp chí mà họ tin rằng sẽ đặc biệt thú vị đối với các tác giả, hoặc quan trọng trong lĩnh vực này. Mục đích là cung cấp ảnh chụp nhanh một số công trình thú vị nhất được xuất bản trong các lĩnh vực nghiên cứu khác nhau của tạp chí.


Khoảng cách nhỏ giữa các số nguyên tố

Chúng tôi giới thiệu một cải tiến của phương pháp sàng GPY để nghiên cứu $ k $ -tuples nguyên tố và khoảng cách nhỏ giữa các số nguyên tố. Việc cải tiến này tránh được những hạn chế trước đây của phương pháp và cho phép chúng tôi chỉ ra rằng đối với mỗi $ k $, phỏng đoán $ k $ -tuples nguyên tố chiếm một tỷ lệ dương của $ k $ -tuples có thể chấp nhận được. Đặc biệt, $ liminf_(p_-p_n) [ElliottHalberstam] P. D. T. A. Elliott và H. Halberstam, & quot Một phỏng đoán trong lý thuyết số nguyên tố, & quot trong Symposia Mathematica, Vol. IV, London: Academic Press, 1970, trang 59-72.

[FriedlanderGranville] J. Friedlander và A. Granville, & quot Các đánh giá về phân phối tương đương của các số nguyên tố. Tôi, & quot Ann. của Toán học., quyển sách. 129, Iss. 2, trang 363-382, 1989. [GGPY] D. A. Goldston, S. W. Graham, J. Pintz và C. Y. Yildirim, & quot Khoảng cách nhỏ giữa các tích của hai số nguyên tố, & quot Proc. Luân Đôn. Môn Toán. Soc., quyển sách. 98, điều hành. 3, trang 741-774, 2009. [GPY: ManyPrimes] D. A. Goldston, J. Pintz, và C. Y. Yildirim, & quotPrimes in tuples. III. Về sự khác biệt $ p_-p_n $, & quot Funct. Khoảng Bình luận. Môn Toán., quyển sách. 35, trang 79-89, 2006. [GPY] D. A. Goldston, J. Pintz, và C. Y. Yildirim, & quotPrimes in tuples. Tôi, & quot Ann. của Toán học., quyển sách. 170, điều hành. 2, trang 819-862, 2009. [GoldstonYildirim] D. A. Goldston và C. Y. Yildirim, & quot Tương quan lớn hơn của tổng số chia liên quan đến số nguyên tố. III. Khoảng cách nhỏ giữa các số nguyên tố, & quot Proc. Luân Đôn. Môn Toán. Soc., quyển sách. 95, điều hành. 3, trang 653-686, 2007.

Các bài giải Toán lớp 7 Chương 14 - Định lý Pythagoras

Các lời giải Toán lớp 7 Chương 14 Định lý Pythagoras ’được cung cấp ở đây với lời giải từng bước đơn giản. Các lời giải cho Định lý Pythagoras được các học sinh Lớp 7 cực kỳ yêu thích. Các giải pháp Định lý Pythagoras 'Toán học rất hữu ích để bạn nhanh chóng hoàn thành bài tập và chuẩn bị cho các kỳ thi. Tất cả các bài giải câu hỏi và đáp án môn Toán lớp 7 chương 14 được chúng tôi cung cấp miễn phí tại đây cho các bạn. Bạn cũng sẽ thích trải nghiệm không có quảng cáo trên Giải pháp Giải pháp Toán học của Meritnation. Tất cả các bài Giải bài tập môn Toán lớp 7 đều được các chuyên gia biên soạn và có độ chính xác 100%.

Trang số 90:

Câu hỏi 1:

Trong các hình bên dưới, hãy tìm giá trị của & # 39x'.

Câu trả lời:

Trong tam giác vuông góc LMN, & angM = 90 ∘. Do đó, bên LN là cạnh huyền.
Theo định lý Pythagoras & # 39,
l(LN) 2 = l(LM) 2 + l(MN) 2
& rArr (x) 2 = (7) 2 + (24) 2
& rArrx 2 = 49 + 576
& rArrx 2 = 625
& rArrx 2 = (25) 2
& rArrx = 25
& there4 giá trị của x là 25.

Trong tam giác vuông cân PQR, & angQ = 90 ∘. Do đó, PR bên là cạnh huyền.
Theo định lý Pythagoras & # 39,
l(PR) 2 = l(QR) 2 + l(PQ) 2
& rArr (41) 2 = (x) 2 + (9) 2
& rArr1681 = x 2 + 81
& rArrx 2 = 1681 & trừ 81
& rArrx 2 = 1600
& rArrx 2 = (40) 2
& rArrx = 40
& there4 giá trị của x là 40.

Trong tam giác vuông EDF, & angD = 90 ∘. Do đó, cạnh EF là cạnh huyền.
Theo định lý Pythagoras & # 39,
l(EF) 2 = l(ED) 2 + l(DF) 2
& rArr (17) 2 = (x) 2 + (8) 2
& rArr289 = x 2 + 64
& rArrx 2 = 289 & trừ 64
& rArrx 2 = 225
& rArrx 2 = (15) 2
& rArrx = 15
& there4 giá trị của x là 15.

Trang số 90:

Câu hỏi 2:

Trong ∆PQR vuông góc, & ang P = 90 & deg. Nếu l(PQ) = 24 cm và l(PR) = 10 cm, tìm chiều dài của seg QR.

Câu trả lời:


Trong tam giác vuông góc PQR, & angP = 90 ∘. Do đó, QR bên là cạnh huyền.
Theo định lý Pythagoras & # 39,
l(QR) 2 = l(PQ) 2 + l(PR) 2
& rArrl(QR) 2 = (24) 2 + (10) 2
& rArrl(QR) 2 = 576 + 100
& rArrl(QR) 2 = 676
& rArrl(QR) 2 = (26) 2
& rArrl(QR) = 26
& there4 Chiều dài seg QR = 26 cm.

Trang số 90:

Câu hỏi 3:

Trong ∆LMN vuông góc, & ang M = 90 & deg. Nếu l(LM) = 12 cm và l(LN) = 20 cm, tìm độ dài đoạn MN.

Câu trả lời:

Trong tam giác vuông góc LMN, & angM = 90 ∘. Do đó, bên LN là cạnh huyền.
Theo định lý Pythagoras & # 39,
l(LN) 2 = l(MN) 2 + l(LM) 2
& rArr (20) 2 = l(MN) 2 + (12) 2
& rArr400 = l(MN) 2 + 144
& rArrl(MN) 2 = 400 & trừ 144
& rArrl(MN) 2 = 256
& rArrl(MN) 2 = (16) 2
& rArrl(MN) = 16
& có4 Chiều dài seg MN = 16 cm.

Trang số 90:

Câu hỏi 4:

Đỉnh của một cái thang dài 15 m lên tới cửa sổ cách mặt đất 9 m. Khoảng cách giữa chân tường và chân thang là bao nhiêu?

Câu trả lời:

Cho LN là bậc thang có chiều dài 15 m đang dựa vào tường. Gọi M là chân tường và L là vị trí của cửa sổ.
Cửa sổ cách mặt đất 9 m. Bây giờ, MN là khoảng cách giữa chân tường và chân thang.
Trong tam giác vuông góc LMN, & angM = 90 ∘. Do đó, bên LN là cạnh huyền.
Theo định lý Pythagoras & # 39,
l(LN) 2 = l(MN) 2 + l(LM) 2
& rArr (15) 2 = l(MN) 2 + (9) 2
& rArr225 = l(MN) 2 + 81
& rArrl(MN) 2 = 225 & trừ 81
& rArrl(MN) 2 = 144
& rArrl(MN) 2 = (12) 2
& rArrl(MN) = 12
& there4 Chiều dài của seg MN = 16 m.
Do đó, khoảng cách giữa chân tường và chân thang là 12 m.

Trang số 90:

Câu hỏi 1:

Tìm các bộ ba số Pitago trong số các bộ số sau.
(i) 3, 4, 5
(ii) 2, 4, 5
(iii) 4, 5, 6
(iv) 2, 6, 7
(v) 9, 40, 41
(vi) 4, 7, 8

Câu trả lời:


Biết rằng, nếu trong một bộ ba số tự nhiên, bình phương của số lớn nhất bằng tổng bình phương của hai số kia thì ba số đó tạo thành bộ ba số Pitago.

(i) Tập hợp các số đã cho là (3, 4, 5).
Số lớn nhất trong tập hợp đã cho là 5.
5 2 = 25 4 2 = 16 3 2 = 9
Bây giờ, 16 + 9 = 25
& ở đó4 4 2 + 3 2 = 5 2
Do đó, (3, 4, 5) tạo thành một bộ ba Pitago.

(ii) Tập hợp các số đã cho là (2, 4, 5).
Số lớn nhất trong tập hợp đã cho là 5.
5 2 = 25 4 2 = 16 2 2 = 4
Bây giờ, 16 + 4 = 20 & 25
& ở đó4 4 2 + 2 2 & ne 5 2
Do đó, (2, 4, 5) không tạo thành bộ ba Pitago.

(iii) Tập hợp các số đã cho là (4, 5, 6).
Số lớn nhất trong tập hợp đã cho là 6.
6 2 = 36 5 2 = 25 4 2 = 16
Bây giờ, 25 + 16 = 41 & ne 36
& ở đó4 5 2 + 4 2 & ne 6 2
Do đó, (4, 5, 6) không tạo thành bộ ba Pitago.

(iv) Tập hợp các số đã cho là (2, 6, 7).
Số lớn nhất trong tập hợp đã cho là 7.
7 2 = 49 6 2 = 36 2 2 = 4
Bây giờ, 4 + 36 = 40 & 49
& ở đó4 2 2 + 6 2 & ne 7 2
Do đó, (2, 6, 7) không tạo thành bộ ba Pitago.

(v) Tập hợp các số đã cho là (9, 40, 41).
Số lớn nhất trong tập hợp đã cho là 41.
9 2 = 81 40 2 = 1600 41 2 = 1681
Bây giờ, 81 + 1600 = 1681
& ở đó4 9 2 + 40 2 = 41 2
Do đó, (9, 40, 41) tạo thành một bộ ba Pitago.

(vi) Tập hợp các số đã cho là (4, 7, 8).
Số lớn nhất trong tập hợp đã cho là 8.
8 2 = 64 7 2 = 49 4 2 = 16
Bây giờ, 16 + 49 = 65 & ne 64
& ở đó4 4 2 + 7 2 & ne 8 2
Do đó, (4, 7, 8) không tạo thành bộ ba Pitago.

Trang số 90:

Câu hỏi 2:

Các cạnh của một số hình tam giác được cho dưới đây. Tìm xem những hình nào là tam giác vuông?
(i) 8, 15, 17
(ii) 11, 12, 15
(iii) 11, 60, 61
(iv) 1.5, 1.6, 1.7
(v) 40, 20, 30

Câu trả lời:


Biết rằng, nếu trong một bộ ba số tự nhiên, bình phương của số lớn nhất bằng tổng bình phương của hai số kia thì ba số đó tạo thành bộ ba số Pitago. Nếu độ dài các cạnh của một tam giác tạo thành một tam giác thì tam giác đó là tam giác vuông.

(i) Các cạnh của tam giác đã cho là 8, 15 và 17.
Hãy để chúng tôi kiểm tra xem tập đã cho (8, 15, 17) có tạo thành bộ ba Pitago hay không.
Số lớn nhất trong tập hợp đã cho là 17.
(17) 2 = 289 (15) 2 = 225 (8) 2 = 64
Bây giờ, 225 + 64 = 289
& ở đó4 (15) 2 + (8) 2 = (17) 2
Do đó, (8, 15, 17) tạo thành một bộ ba Pitago.
Do đó, tam giác đã cho có các cạnh 8, 15 và 17 là tam giác vuông.

(ii) Các cạnh của tam giác đã cho là 11, 12 và 15.
Hãy để chúng tôi kiểm tra xem tập đã cho (11, 12, 15) có tạo thành bộ ba Pitago hay không.
Số lớn nhất trong tập hợp đã cho là 15.
(15) 2 = 225 (11) 2 = 121 (12) 2 = 144
Bây giờ, 121 + 144 = 265 & ne 225
& ở đó4 (11) 2 + (12) 2 & ne (15) 2
Do đó, (11, 12, 15) không tạo thành bộ ba Pitago.
Do đó, tam giác đã cho có các cạnh 8, 15 và 17 không phải là tam giác vuông.

(iii) Các cạnh của tam giác đã cho là 11, 60 và 61.
Hãy để chúng tôi kiểm tra xem tập đã cho (11, 60, 61) có tạo thành bộ ba Pitago hay không.
Số lớn nhất trong tập hợp đã cho là 61.
(61) 2 = 3721 (11) 2 = 121 (60) 2 = 3600
Bây giờ, 121 + 3600 = 3721
& ở đó4 (11) 2 + (60) 2 = (61) 2
Do đó, (11, 60, 61) tạo thành bộ ba Pitago.
Do đó, tam giác đã cho có các cạnh 11, 60 và 61 là tam giác vuông.

(iv) Các cạnh của tam giác đã cho là 1,5, 1,6 và 1,7.
Chúng ta hãy kiểm tra xem tập đã cho (1.5, 1.6, 1.7) có tạo thành bộ ba Pitago hay không.
Số lớn nhất trong tập hợp đã cho là 1,7.
(1.7) 2 = 2.89 (1.5) 2 = 2.25 (1.6) 2 = 2.56
Bây giờ, 2,25 + 2,56 = 4,81 & gần 2,89
& ở đó4 (1.5) 2 + (1.6) 2 & ne (1.7) 2
Do đó, (1.5, 1.6, 1.7) không tạo thành bộ ba Pitago.
Do đó, tam giác đã cho có các cạnh 1,5, 1,6 và 1,7 không phải là tam giác vuông.

(v) Các cạnh của tam giác đã cho là 40, 20 và 30.
Hãy để chúng tôi kiểm tra xem tập hợp đã cho (40, 20, 30) có tạo thành bộ ba Pitago hay không.
Số lớn nhất trong tập hợp đã cho là 40.
(40) 2 = 1600 (20) 2 = 400 (30) 2 = 900
Bây giờ, 400 + 900 = 1300 & 1600
& ở đó4 (20) 2 + (30) 2 & ne (40) 2
Do đó, (40, 20, 30) không tạo thành bộ ba Pitago.
Do đó, tam giác đã cho có các cạnh 40, 20 và 30 không phải là tam giác vuông.


Gabriel Lamé

Gabriel Lamé là sinh viên tại École Polytechnique, nhập học năm 1813 và tốt nghiệp năm 1817. Trong những năm đại học này, Lamé đã viết các bài báo nghiên cứu, và anh ấy đã xuất bản bài báo đầu tiên của mình Giao điểm Mémoire sur les des lignes et des surface Tôi ở Tạp chí của Gergonne năm 1816 - 17. Sau khi tốt nghiệp École Polytechnique, Lamé học kỹ sư tại École des Mines ở Paris, tốt nghiệp từ đó vào năm 1820. Trong khi tại École des Mines Lamé đã xuất bản công trình thứ hai của mình, lần này dựa trên một phương pháp mà ông đã phát minh ra để tính toán các góc giữa các mặt của tinh thể.

Năm 1820, Lamé cùng với đồng nghiệp Émile Clapeyron đến Nga. Chúng ta nên đưa ra một số thông tin cơ bản về sự kiện này, về mặt nó, có vẻ là một bước chuyển sự nghiệp kỳ lạ đối với hai nhà toán học trẻ tuổi. Alexander I là hoàng đế của Nga từ năm 1801 đến năm 1825. Cách mạng Pháp và các sự kiện diễn ra ở Pháp sau đó đã cho Alexander thấy tầm quan trọng của kiến ​​thức khoa học và các ứng dụng của nó đối với kỹ thuật quân sự và phát triển công nghiệp. Ông hiểu rằng để Nga trở nên hùng mạnh thì nước Nga phải tuân theo. Ông hướng đến châu Âu và các nhà khoa học châu Âu và cố gắng đưa ra các chính sách khuyến khích họ hợp tác với các nhà khoa học Nga. Ông khuyến khích các giáo viên đến Nga để giảng dạy những lý thuyết khoa học mới nhất và tạo mối liên hệ khoa học giữa Nga và châu Âu. Phù hợp với chính sách này, chính phủ Nga đã yêu cầu Pháp đáp ứng bằng cách cử Lamé và Clapeyron đến St Petersburg.

Lamé được bổ nhiệm làm giáo sư và kỹ sư tại Institut et Corps du Genie des Voies de Communication ở St Petersburg. Ban đầu mọi thứ khá khó khăn đối với Lamé nhưng sau đó chuyến thăm của anh ấy đã cho thấy hiệu quả cao. Ông giảng về các chủ đề phân tích, vật lý, cơ học, hóa học và kỹ thuật. Ông đã xuất bản các bài báo trên cả tạp chí tiếng Nga và tiếng Pháp trong suốt 12 năm ở đó, một số bài báo cùng với Clapeyron. Chẳng hạn, họ đã xuất bản trong Journal des voies de Communications, các Journal du genie Civil, các Bulletin des sciences mathématiques, các Receuil des savants etrangersTạp chí für die reine und angewandte Mathematik (Tạp chí của Crelle) sau khi nó bắt đầu được xuất bản vào năm 1826.

Trong [6] có liên quan đến một tình tiết thú vị xảy ra trong thời gian Lamé ở St Petersburg. Nó liên quan đến nỗ lực của Lamé trong việc truyền bá những ý tưởng phân tích chặt chẽ mới của Cauchy. Một giáo sư tại Viện nơi Lamé giảng dạy đã viết một cuốn sách trong đó có bằng chứng về định lý Taylor. Lamé đưa ra một bản thảo chỉ trích cách chứng minh bằng cách sử dụng các lập luận của Cauchy. Một khía cạnh khác trong công việc của Lamé ở St Petersburg là sự tham gia của anh ấy trong việc giúp đỡ các kế hoạch đang được vạch ra để xây dựng cầu và đường xung quanh thành phố. Tại thời điểm này, ông nhận thức rõ hơn về tiềm năng phát triển đường sắt rộng lớn, và đây sẽ là chủ đề được ông rất quan tâm sau khi trở về Pháp. Trước đó, anh đã có mặt khi tuyến Liverpool-Manchester khai trương tại Anh vào ngày 15 tháng 9 năm 1830.

Bradley [4] cho biết nhiều chi tiết hơn về thời gian của Lamé ở Nga. Cô ấy kết luận trong bài báo của mình rằng: -

Năm 1832 Lamé trở lại Paris và lúc đầu ông thành lập một công ty kỹ thuật được thành lập cùng với Clapeyron và hai người khác. Chỉ sau một vài tháng, và vẫn vào năm 1832, Lamé nhận chức chủ tịch vật lý tại École Polytechnique. Tuy nhiên, ông không hạn chế sở thích của mình đối với việc giảng dạy và nghiên cứu, vì ông vẫn là một kỹ sư sẵn sàng cho công việc tư vấn trong lĩnh vực đó. Năm 1836, ông được bổ nhiệm làm kỹ sư trưởng mỏ và ông cũng tham gia vào việc xây dựng tuyến đường sắt từ Paris đến Versailles và tuyến đường sắt từ Paris đến St Germain, được khai trương vào năm 1837.

Lamé được bầu vào Académie des Sciences năm 1843 khi Louis Puissant qua đời để lại một chỗ trống trong phần hình học. Trong năm sau, ông rời ghế vật lý của mình tại École Polytechnique và nhận một bài đăng tại Sorbonne về vật lý toán học và xác suất. Ông được bổ nhiệm vào ghế chủ tịch vật lý toán học và xác suất tại Sorbonne vào năm 1851.

Anh ấy đã làm việc về nhiều chủ đề khác nhau. Thông thường các vấn đề trong các nhiệm vụ kỹ thuật mà ông đảm nhận đã khiến ông nghiên cứu các câu hỏi toán học. Ví dụ, công trình nghiên cứu sự ổn định của các hầm và thiết kế cầu treo đã khiến ông nghiên cứu về lý thuyết đàn hồi. Trên thực tế, đây không phải là một sự quan tâm nhất thời, vì Lamé đã có những đóng góp đáng kể cho chủ đề này. Một ví dụ khác là công trình của ông về sự dẫn nhiệt đã đưa ông đến với lý thuyết tổng quát về tọa độ đường cong.

Tọa độ Curvilinear đã chứng tỏ là một công cụ rất mạnh trong tay Lamé. Ông đã sử dụng chúng để biến đổi phương trình Laplace thành các tọa độ hình elip và do đó tách các biến và giải phương trình kết quả. Thương hiệu trong sự nghiệp của Lamé đã chuyển từ chủ đề này sang chủ đề khác một cách khá hợp lý nhưng ông thường nghiên cứu các vấn đề rất xa so với nguyên tác. Điều này xảy ra với tọa độ đường cong vì ông đã được dẫn đến nghiên cứu phương trình

Ông cũng đã làm những công việc quan trọng về hình học vi phân và trong một đóng góp khác cho lý thuyết số, ông đã chỉ ra rằng số lần chia trong thuật toán Euclide không bao giờ vượt quá năm lần số chữ số trong số nhỏ hơn.

Như chúng ta đã đề cập ở trên, ông đã nghiên cứu về toán học kỹ thuật và độ đàn hồi, trong đó hai hằng số đàn hồi được đặt theo tên của ông. Ông đã nghiên cứu sự khuếch tán trong vật liệu kết tinh.

Lamé được nhiều người coi là nhà toán học hàng đầu của Pháp trong thời đại của ông, đặc biệt là Gauss, người không bao giờ khen ngợi một cách dễ dàng đưa ra quan điểm này. Kỳ lạ thay, ông được coi trọng bên ngoài nước Pháp hơn bên trong, vì người Pháp dường như cảm thấy rằng ông quá thực dụng đối với một nhà toán học và quá lý thuyết đối với một kỹ sư. Ý kiến ​​riêng của ông cho rằng tọa độ đường cong là đóng góp quan trọng nhất của ông, nhưng có những khúc quanh kỳ lạ trong lịch sử toán học và rất nhanh sau khi Lamé giới thiệu chúng thì tọa độ đường cong đã trở nên lỗi thời thông qua các phép tổng quát được giới thiệu bởi Hermite, Klein và Bôcher.


1.7: Định lý Lame - Toán học

Một điểm tò mò tự nhiên sẽ là tự hỏi về thuật toán Euclide thực hiện bao nhiêu bước cho một cặp số nguyên nhất định. Như một biến thể nhỏ, người ta có thể tự hỏi cặp số "nhỏ nhất" tạo ra $ n $ bước là gì.

Để hỗ trợ việc đưa ra các phỏng đoán về điều trên, chúng ta có thể nhờ đến công nghệ để tìm số bước mà Thuật toán Euclide thực hiện đối với một số cặp số nguyên.

Dưới đây là một số phép tính mà người ta có thể thực hiện trong Mathematica hoặc R cho đến cuối này:

Trong R, hàm sau sẽ đếm số bước mà Thuật toán Euclide yêu cầu để tính $ gcd (m, n) $:

Sau đó, chúng ta chỉ cần áp dụng điều này cho hàm cho nhiều cặp giá trị $ (m, n) $ và ghi lại kết quả trong một ma trận - có thể được thực hiện cho tất cả lt m, n le 35 $ với như sau:

Xuất ma trận này sang tệp các giá trị được phân tách bằng dấu phẩy (CSV) có tên "steps.csv" với write.csv (m, "steps.csv") sẽ tạo ra một tệp mà người ta có thể mở trong Excel và định dạng giống như bảng được hiển thị phía dưới:

Mathematica

Chúng ta có thể triển khai Thuật toán Euclide trong Mathematica bằng cách thu hút mối quan hệ đệ quy ở trung tâm của nó. Có lẽ cách ngắn nhất để làm điều này sẽ là như sau:

Lưu ý, với một chút sửa đổi công thức ở trên có thể dễ dàng theo dõi xem Thuật toán Euclide thực hiện bao nhiêu bước để tìm gcd của hai số:

Chúng ta có thể tạo một bảng có bao nhiêu bước mà các cặp giá trị khác nhau cần trong Thuật toán Euclidean để tính ước số chung lớn nhất của chúng bằng đoạn mã bổ sung sau:

Chạy phần trên sẽ tạo ra một bảng tương tự như bảng được hiển thị trước đó được tạo bởi R

Bây giờ, khi nhìn vào bảng, hãy để ý số nguyên dương $ a $ nhỏ nhất mà có số nhỏ hơn $ b $ để thuật toán Euclide được áp dụng cho $ a $ và $ b $ dừng ở bước $ n $ là $ ( n + 2) Số Fibonacci $ nd. Hơn nữa, $ b $ tương ứng là số Fibonacci $ (n + 1) $ st.

Thật là thú vị! Kết quả này được gọi là Định lý Lame - được đặt theo tên của Gabriel Lame, một nhà toán học người Pháp vào những năm 1800.


Các Ước tính Giải quyết cho Người vận hành Lamé và Sự thất bại của Ước tính Carleman

Trong bài báo này, chúng tôi xem xét toán tử Lamé (- Delta ^ * ) và nghiên cứu ước tính phân giải, ước tính Sobolev thống nhất và ước tính Carleman cho (- Delta ^ * ). Đầu tiên, chúng tôi nhận được các ước tính độ phân giải sắc nét (L ^ p ) - (L ^ q ) cho (- Delta ^ * ) để có thể chấp nhận p, q. Điều này mở rộng trường hợp cụ thể (q = frac

) do Barceló et al. [4] và Cossetti [8]. Thứ hai, chúng tôi cho thấy sự thất bại của ước tính Sobolev thống nhất và ước tính Carleman cho (- Delta ^ * ). Với mục đích này, chúng tôi phân tích trực tiếp hệ số Fourier của dung môi phân giải. Điều này cho phép chúng tôi chứng minh không chỉ giới hạn trên mà còn cả giới hạn dưới trên trình phân giải, vì vậy chúng tôi nhận được các giới hạn sắc nét (L ^ p ) - (L ^ q ) cho độ phân giải của (- Delta ^ * ). Đáng chú ý, các ước lượng Sobolev và Carleman thống nhất có liên quan hóa ra lại sai đối với toán tử Lamé (- Delta ^ * ) mặc dù các ước tính phân giải thống nhất cho (- Delta ^ * ) hợp lệ cho một số phạm vi p, q. Điều này trái ngược với kết quả cổ điển liên quan đến Laplacian ( Delta ) do Kenig, Ruiz và Sogge [23] trong đó ước tính độ phân giải thống nhất đóng một vai trò quan trọng trong việc chứng minh ước tính Sobolev và Carleman thống nhất cho ( Delta ). Chúng tôi cũng mô tả vị trí của (L ^ q ) -giá trị của (- Delta ^ * + V ) với tiềm năng phức tạp V bằng cách sử dụng ước tính độ phân giải sắc nét (L ^ p ) - (L ^ q ) cho (- Delta ^ * ).