Bài viết

5.5E: Phương pháp hệ số không xác định II (Bài tập) - Toán học


Q5.5.1

Trong Bài tập 5.5.1-5.5.17 tìm một giải pháp cụ thể.

1. (y '' + 3y '+ 2y = 7 cos x- sin x )

2. (y '' + 3y '+ y = (2-6x) cos x-9 sin x )

3. (y '' + 2y '+ y = e ^ x (6 cos x + 17 sin x) )

4. (y '' + 3y'-2y = -e ^ {2x} (5 cos2x + 9 sin2x) )

5. (y '' - y '+ y = e ^ x (2 + x) sin x )

6. (y '' + 3y'-2y = e ^ {- 2x} left [(4 + 20x) cos 3x + (26-32x) sin 3x right] )

7. (y '' + 4y = -12 cos2x-4 sin2x )

8. (y '' + y = (- 4 + 8x) cos x + (8-4x) sin x )

9. (4y '' + y = -4 cos x / 2-8x sin x / 2 )

10. (y '' + 2y '+ 2y = e ^ {- x} (8 cos x-6 sin x) )

11. (y '' - 2y '+ 5y = e ^ x left [(6 + 8x) cos 2x + (6-8x) sin2x right] )

12. (y '' + 2y '+ y = 8x ^ 2 cos x-4x sin x )

13. (y '' + 3y '+ 2y = (12 + 20x + 10x ^ 2) cos x + 8x sin x )

14. (y '' + 3y '+ 2y = (1-x-4x ^ 2) cos2x- (1 + 7x + 2x ^ 2) sin2x )

15. (y '' - 5y '+ 6y = -e ^ x left [(4 + 6x-x ^ 2) cos x- (2-4x + 3x ^ 2) sin x right] )

16. (y '' - 2y '+ y = -e ^ x left [(3 + 4x-x ^ 2) cos x + (3-4x-x ^ 2) sin x right] )

17. (y '' - 2y '+ 2y = e ^ x left [(2-2x-6x ^ 2) cos x + (2-10x + 6x ^ 2) sin x right] )

Q5.5.2

Trong Bài tập 5.5.18-5.5.21 tìm một giải pháp cụ thể và vẽ biểu đồ cho nó.

18. (y '' + 2y '+ y = e ^ {- x} left [(5-2x) cos x- (3 + 3x) sin x right] )

19. (y '' + 9y = -6 cos 3x-12 sin 3x )

20. (y '' + 3y '+ 2y = (1-x-4x ^ 2) cos2x- (1 + 7x + 2x ^ 2) sin2x )

21. (y '' + 4y '+ 3y = e ^ {- x} left [(2 + x + x ^ 2) cos x + (5 + 4x + 2x ^ 2) sin x right] )

Q5.5.3

Trong Bài tập 5.5.22-5.5.26 giải quyết vấn đề giá trị ban đầu.

22. (y '' - 7y '+ 6y = -e ^ x (17 cos x-7 sin x), quad y (0) = 4, ; y' (0) = 2 )

23. (y '' - 2y '+ 2y = -e ^ x (6 cos x + 4 sin x), quad y (0) = 1, ; y' (0) = 4 )

24. (y '' + 6y '+ 10y = -40e ^ x sin x, quad y (0) = 2, quad y' (0) = - 3 )

25. (y '' - 6y '+ 10y = -e ^ {3x} (6 cos x + 4 sin x), quad y (0) = 2, quad y' (0) = 7 )

26. (y '' - 3y '+ 2y = e ^ {3x} left [21 cos x- (11 + 10x) sin x right], ; y (0) = 0, quad y '(0) = 6 )

Q5.5.4

Trong Bài tập 5.5.27-5.5.32 sử dụng nguyên tắc chồng chất để tìm một giải pháp cụ thể. Ở đâu được chỉ định, hãy giải quyết vấn đề giá trị ban đầu.

27. (y '' - 2y'-3y = 4e ^ {3x} + e ^ x ( cos x-2 sin x) )

28. (y '' + y = 4 cos x-2 sin x + xe ^ x + e ^ {- x} )

29. (y '' - 3y '+ 2y = xe ^ x + 2e ^ {2x} + sin x )

30. (y '' - 2y '+ 2y = 4xe ^ x cos x + xe ^ {- x} + 1 + x ^ 2 )

31. (y '' - 4y '+ 4y = e ^ {2x} (1 + x) + e ^ {2x} ( cos x- sin x) + 3e ^ {3x} + 1 + x )

32. (y '' - 4y '+ 4y = 6e ^ {2x} +25 sin x, quad y (0) = 5, ; y' (0) = 3 )

Q5.5.5

Trong Bài tập 5.5.33-5.5.35 giải quyết vấn đề giá trị ban đầu và vẽ đồ thị của giải pháp.

33. (y '' + 4y = -e ^ {- 2x} left [(4-7x) cos x + (2-4x) sin x right], ; y (0) = 3, quad y '(0) = 1 )

34. (y '' + 4y '+ 4y = 2 cos2x + 3 sin2x + e ^ {- x}, quad y (0) = - 1, ; y' (0) = 2 )

35. (y '' + 4y = e ^ x (11 + 15x) +8 cos2x-12 sin2x, quad y (0) = 3, ; y '(0) = 5 )

Q5.5.6

36.

  1. Xác minh rằng nếu [y_p = A (x) cos omega x + B (x) sin omega x ] trong đó (A ) và (B ) hai lần có thể phân biệt được thì [ begin { căn chỉnh} y_p '& = (A' + omega B) cos omega x + (B '- omega A) sin omega x quad mbox {và} y_p' '& = (A' ' +2 omega B '- omega ^ 2A) cos omega x + (B' '- 2 omega A' - omega ^ 2B) sin omega x. End {align} ]
  2. Sử dụng kết quả của (a) để xác minh rằng [ begin {align} ay_p '' + by_p '+ cy_p = & left [(ca omega ^ 2) A + b omega B + 2a omega B' + bA '+ aA' ' right] cos omega x + & left [-b omega A + (ca omega ^ 2) B-2a omega A' + bB '+ aB' ' right] sin omega x. end {căn chỉnh} ]
  3. Sử dụng kết quả của (a) để xác minh rằng [y_p '' + omega ^ 2 y_p = (A '' + 2 omega B ') cos omega x + (B' '- 2 omega A') sin omega x. ]
  4. Chứng minh Định lý 5.5.2.

37. Cho (a ), (b ), (c ) và ( omega ) là các hằng số, với (a ne0 ) và ( omega> 0 ), và để cho

[P (x) = p_0 + p_1x + cdots + p_kx ^ k quad text {và} quad Q (x) = q_0 + q_1x + cdots + q_kx ^ k, ]

trong đó ít nhất một trong các hệ số (p_k ), (q_k ) khác không, vì vậy (k ) là độ lớn hơn của (P ) và (Q ).

  1. Chứng tỏ rằng nếu ( cos omega x ) và ( sin omega x ) không phải là nghiệm của phương trình bổ sung [ay '' + by '+ cy = 0, ] thì có đa thức [ A (x) = A_0 + A_1x + cdots + A_kx ^ k quad text {và} quad B (x) = B_0 + B_1x + cdots + B_kx ^ k tag {A} ] sao cho [ begin {array} {lcl} quad (ca omega ^ 2) A + b omega B + 2a omega B '+ bA' + aA '' & = P phantom {.} -b omega A + ( ca omega ^ 2) B-2a omega A '+ bB' + aB '' & = Q, end {array} ] where ((A_k, B_k) ), ((A_ {k-1 }, B_ {k-1}) ),…, ((A_0, B_0) ) có thể được tính liên tiếp bằng cách giải hệ thống [ begin {array} {lcl} phantom {-} (ca omega ^ 2) A_k + b omega B_k & = p_k phantom {.} -b omega A_k + (ca omega ^ 2) B_k & = q_k, end {array} ] và if (1 le r le k ), [ begin {array} {lcl} phantom {-} (ca omega ^ 2) A_ {kr} + b omega B_ {kr} & = p_ {kr} + cdots phantom {.} -b omega A_ {kr} + (ca omega ^ 2) B_ {kr} & = q_ {kr} + cdots, end {array} ] trong đó các thuật ngữ được chỉ ra bởi “ ( cdots ) ​​”phụ thuộc vào các hệ số đã tính toán trước đó với các chỉ số con lớn hơn (kr ). Kết luận từ điều này và Bài tập 5.5.36b rằng [y_p = A (x) cos omega x + B (x) sin omega x tag {B} ] là một nghiệm cụ thể của [ay '' + by '+ cy = P (x ) cos omega x + Q (x) sin omega x. ]
  2. Kết luận từ Bài tập 5.5.36c rằng phương trình [a (y '' + omega ^ 2 y) = P (x) cos omega x + Q (x) sin omega x tag {C} ] không có nghiệm là dạng (B) với (A ) và (B ) như trong (A). Sau đó chỉ ra rằng có các đa thức [A (x) = A_0x + A_1x ^ 2 + cdots + A_kx ^ {k + 1} quad text {và} quad B (x) = B_0x + B_1x ^ 2 + cdots + B_kx ^ {k + 1} ] sao cho [ begin {array} {rcl} a (A '' + 2 omega B ') & = P a (B' '- 2 omega A ') & = Q, end {array} ] trong đó các cặp ((A_k, B_k) ), ((A_ {k-1}, B_ {k-1}) ),…, ( (A_0, B_0) ) có thể được tính liên tiếp như sau: [ begin {align} A_k & = - {q_k over2a omega (k + 1)} B_k & = phantom {-} {p_k over2a omega (k + 1)}, end {align} ] và nếu (k ge 1 ), [ begin {align} A_ {kj} & = - {1 over2 omega} left [{q_ {kj} over a (k-j + 1)} - (k-j + 2) B_ {k-j + 1} right] B_ {kj} & = phantom {-} { 1 over2 omega} left [{p_ {kj} over a (k-j + 1)} - (k-j + 2) A_ {k-j + 1} right] end {align} ] cho (1 le j le k ). Kết luận rằng (B) với sự lựa chọn này của các đa thức (A ) và (B ) là một nghiệm cụ thể của (C).

38. Chứng tỏ rằng Định lý 5.5.1 bao hàm định lý tiếp theo:

Định lý ( PageIndex {1} )

Giả sử ( omega ) là một số dương và (P ) và (Q ) là các đa thức. Gọi (k ) là độ lớn hơn của (P ) và (Q ). Sau đó, phương trình

[ay '' + bởi '+ cy = e ^ { lambda x} left (P (x) cos omega x + Q (x) sin omega x right) ]

có một giải pháp cụ thể

[y_p = e ^ { lambda x} left (A (x) cos omega x + B (x) sin omega x right), tag {A} ]

Ở đâu

[A (x) = A_0 + A_1x + cdots + A_kx ^ k quad text {và} quad B (x) = B_0 + B_1x + cdots + B_kx ^ k, ]

với điều kiện (e ^ { lambda x} cos omega x ) và (e ^ { lambda x} sin omega x ) không phải là nghiệm của phương trình bổ sung. Phương trình

[a left [y '' - 2 lambda y '+ ( lambda ^ 2 + omega ^ 2) y right] = e ^ { lambda x} left (P (x) cos omega x + Q (x) sin omega x right) ]

(() mà (e ^ { lambda x} cos omega x ) và (e ^ { lambda x} sin omega x ) là nghiệm của phương trình bổ sung () ) có một giải pháp cụ thể ở dạng (A), trong đó

[A (x) = A_0x + A_1x ^ 2 + cdots + A_kx ^ {k + 1} quad text {và} quad B (x) = B_0x + B_1x ^ 2 + cdots + B_kx ^ {k +1}. ]

39. Bài tập này trình bày một phương pháp đánh giá tích phân

[y = int e ^ { lambda x} left (P (x) cos omega x + Q (x) sin omega x right) , dx ]

ở đâu ( omega ne0 ) và

[P (x) = p_0 + p_1x + cdots + p_kx ^ k, quad Q (x) = q_0 + q_1x + cdots + q_kx ^ k. ]

  1. Chứng tỏ rằng (y = e ^ { lambda x} u ), trong đó [u '+ lambda u = P (x) cos omega x + Q (x) sin omega x. tag {A} ]
  2. Chứng tỏ rằng (A) có một nghiệm cụ thể có dạng [u_p = A (x) cos omega x + B (x) sin omega x, ] trong đó [A (x) = A_0 + A_1x + cdots + A_kx ^ k, quad B (x) = B_0 + B_1x + cdots + B_kx ^ k, ] và các cặp hệ số ((A_k, B_k) ), ((A_ {k-1}, B_ {k-1}) ),…, ((A_0, B_0) ) có thể được tính liên tiếp dưới dạng nghiệm của các cặp phương trình thu được bằng cách cân bằng các hệ số của (x ^ r cos omega x ) và (x ^ r sin omega x ) cho (r = k ), (k-1 ),…, (0 ).
  3. Kết luận rằng [ int e ^ { lambda x} left (P (x) cos omega x + Q (x) sin omega x right) , dx = e ^ { lambda x} left (A (x) cos omega x + B (x) sin omega x right) + c, ] trong đó (c ) là hằng số tích hợp.

40. Sử dụng phương pháp của Bài tập 5.5.39 để đánh giá tích phân.

  1. ( int x ^ {2} cos x dx )
  2. ( int x ^ {2} e ^ {x} cos x dx )
  3. ( int xe ^ {- x} sin 2x dx )
  4. ( int x ^ {2} e ^ {- x} sin x dx )
  5. ( int x ^ {3} e ^ {x} sin x dx )
  6. ( int e ^ {x} [x cos x - (1 + 3x) sin x] dx )
  7. ( int e ^ {- x} [(1 + x ^ {2}) cos x + (1_x ^ {2}) sin x] dx )

Vị trí của một hạt chuyển động trên một đường thẳng được cho bởi s (t) = (e ^ (- t)) (cos (5t)) với t> 0, trong đó t tính bằng giây. Nếu hạt đổi hướng tại thời điểm T giây thì T phải thỏa mãn phương trình: cos (5T) = 0 5T = arctan (-1/5) 5e ^ (- t) sin (5t) =

Factort sau đó sử dụng các nhận dạng cơ bản để đơn giản hóa biểu thức dưới đây và xác định biểu thức nào sau đây không phải là cot tương đương ^ 2 a * tan ^ 2 a + cot ^ 2 a A. csc ^ 2 alpha B.1 / sin ^ 2 alpha C.1 / 1-cos ^ 2 alpha D.sec ^ 2 alpha E.1 + cot ^ 2 alpha

Biểu thức nào sau đây tương đương với (cos (3x)) / sin (x) cos (x))? csc (x) cos (2x) - sec (x) sin (2x) sec (x) cos (2x) - csc (x) sin (2x) sec (x) cos (x) - csc (x) sin (x ) csc (x) cos (x) - sec (x) sin (x) Đây là câu hỏi cuối cùng của tôi và tôi đã thử giải nó


GIẢI PHÁP CỔ ĐIỂN CỦA CÁC TƯƠNG ĐƯƠNG KHÁC NHAU

Trong phương pháp cổ điển, chúng tôi giải phương trình vi phân để tìm các thành phần tự nhiên và cưỡng bức hơn là các thành phần đầu vào không và trạng thái không của phản ứng. Mặc dù phương pháp này tương đối đơn giản so với phương pháp được thảo luận cho đến nay, như chúng ta sẽ thấy, nó cũng có một số nhược điểm rõ ràng.

Như Phần 2.4-5 đã chỉ ra, khi tất cả các số hạng chế độ đặc trưng của tổng phản ứng hệ thống được gộp lại với nhau, chúng tạo thành phản ứng tự nhiên của hệ thống y n (t) (còn được gọi là nghiệm đồng nhất hoặc nghiệm bổ sung). Phần còn lại của phản hồi bao gồm hoàn toàn

thuật ngữ chế độ không đặc trưng và được gọi là phản hồi cưỡng bức của hệ thống y φ (t) (còn được gọi là giải pháp cụ thể). Phương trình (2.52b) cho thấy hai thành phần này đối với dòng điện vòng trong mạch RLC của Hình 2.1a.

Tổng phản ứng của hệ thống là y (t) = y n (t) + y φ (t). Vì y (t) phải thỏa mãn hệ phương trình [Eq. (2.1)], hoặc Nhưng y n (t) được cấu tạo hoàn toàn bởi các chế độ đặc trưng. Do đó, vì vậy mà

Phản hồi tự nhiên, là sự kết hợp tuyến tính của các chế độ đặc trưng của hệ thống, có dạng giống như phản hồi đầu vào không chỉ là các hằng số tùy ý của nó là khác. Các hằng số này được xác định từ các điều kiện phụ trợ, như được giải thích ở phần sau. Bây giờ chúng ta sẽ thảo luận về một phương pháp xác định phản ứng cưỡng bức.

2.5-1 Phản ứng cưỡng bức: Phương pháp Hệ số Chưa xác định

Nhiệm vụ tương đối đơn giản là xác định y φ (t), phản ứng cưỡng bức của hệ thống LTIC, khi đầu vào x (t) sao cho nó chỉ mang lại một số hữu hạn các đạo hàm độc lập. Các đầu vào có dạng e ζt hoặc t r thuộc loại này. Ví dụ, sự phân biệt lặp đi lặp lại của e ζt tạo ra cùng một dạng

như đầu vào này, e ζt. Tương tự, sự phân biệt lặp đi lặp lại của t r chỉ tạo ra r dẫn xuất độc lập. Đáp ứng cưỡng bức đối với đầu vào như vậy có thể được biểu thị dưới dạng kết hợp tuyến tính của đầu vào và các dẫn xuất độc lập của nó. Hãy xem xét, ví dụ, đầu vào có tại 2 + bt + c. Các đạo hàm liên tiếp của đầu vào này là 2at + b và 2a. Trong trường hợp này, đầu vào chỉ có hai dẫn xuất độc lập. Do đó, phản ứng cưỡng bức có thể là

giả sử là một tổ hợp tuyến tính của x (t) và hai đạo hàm của nó. Do đó, dạng thích hợp cho y φ (t) trong trường hợp này là

Các hệ số chưa xác định β 0, β 1 và β 2 được xác định bằng cách thay biểu thức này cho y φ (t) trong phương trình. (2,53)

và sau đó cân bằng hệ số của các số hạng tương tự ở cả hai phía của biểu thức kết quả. Mặc dù phương pháp này chỉ có thể được sử dụng cho các đầu vào có số lượng hữu hạn các dẫn xuất, nhưng loại đầu vào này bao gồm nhiều loại

các tín hiệu thường gặp trong thực tế. Bảng 2.2 cho thấy nhiều loại đầu vào như vậy và dạng của phản ứng cưỡng bức tương ứng với mỗi đầu vào. Chúng tôi sẽ chứng minh quy trình này bằng một ví dụ.

Mở bảng dưới dạng bảng tính

5 (t r + a r-1 t r-1 +. + Α 1 t + α 0) e ζt)

(β r t r + β r-1 t r-1 +. + β 1 t + β 0) e ζt)

Lưu ý: Theo định nghĩa, y φ (t) không thể có bất kỳ thuật ngữ chế độ đặc trưng nào. Nếu bất kỳ thuật ngữ nào xuất hiện trong cột bên phải cho phản ứng cưỡng bức cũng là một chế độ đặc trưng của hệ thống, thì dạng chính xác của phản ứng cưỡng bức phải được sửa đổi thành tiy φ (t), trong đó i là số nguyên nhỏ nhất có thể có được sử dụng và vẫn có thể ngăn tiy φ (t) có một thuật ngữ chế độ đặc trưng. Ví dụ, khi đầu vào là e ζt, buộc

phản hồi (cột bên phải) có dạng βe ζt. Nhưng nếu nó xảy ra là một chế độ đặc trưng của hệ thống, thì dạng chính xác của

phản ứng là βte ζt (xem cặp 2). Nếu te ζt cũng xảy ra là một chế độ đặc trưng của hệ thống, thì dạng đúng của phản ứng cưỡng bức là βt 2 e ζt,

Giải phương trình vi phân nếu đầu vào và các điều kiện ban đầu là y (0 +) = 2 và y (0 +) = 3.

Đa thức đặc trưng của hệ là Do đó, các thức đặc trưng là e −t và e -2t. Phản ứng tự nhiên sau đó là sự kết hợp tuyến tính của các chế độ này, do đó

Ở đây, các hằng số tùy ý K 1 và K 2 phải được xác định từ các điều kiện ban đầu của hệ thống. Đáp ứng cưỡng bức đối với đầu vào t 2 + 5t + 3, theo Bảng 2.2 (cặp 5 với ζ = 0), là

Hơn nữa, y φ (t) thỏa mãn hệ phương trình [Eq. (2.53)] nghĩa là

Thay thế các kết quả này trong Eq. (2.54) sản lượng hoặc Hệ số bằng nhau của các lũy thừa tương tự trên cả hai vế của biểu thức này cho kết quả

Nghiệm của ba phương trình đồng thời này tạo ra β 0 = 1, β 1 = 1 và β 2 = 0. Do đó

Tổng phản ứng của hệ thống y (t) là tổng của các nghiệm tự nhiên và cưỡng bức. vì thế

do đó Đặt t = 0 và thay y (0) = 2 y (0) = 3 vào các phương trình này, ta có

Nghiệm của hai phương trình đồng thời là K 1 = 4 và K 2 = −3. vì thế

NHẬN XÉT VỀ ĐIỀU KIỆN LIÊN TỤC

Trong phương pháp cổ điển, các điều kiện ban đầu được yêu cầu tại t = 0 +. Lý do là vì tại t = 0 -, chỉ có thành phần đầu vào bằng không tồn tại và các điều kiện ban đầu tại t = 0 - chỉ có thể được áp dụng cho thành phần đầu vào bằng không. Trong phương pháp cổ điển, các thành phần trạng thái không và đầu vào không thể tách rời Do đó, các điều kiện ban đầu phải được áp dụng cho phản ứng tổng, bắt đầu tại t = 0 +.

Một hệ thống LTIC được xác định bởi phương trình

Đầu vào là x (t) = 6t 2. Tìm các giá trị sau: a. Phản ứng cưỡng bức y φ (t) b. Tổng phản ứng y (t) nếu các điều kiện ban đầu là y (0 +) = 25/18 và y (0 +) = −2/3

ĐẦU VÀO MỞ RỘNG e ζ (t) Tín hiệu hàm mũ là tín hiệu quan trọng nhất trong nghiên cứu hệ thống LTIC. Điều thú vị là phản hồi bắt buộc đối với tín hiệu đầu vào theo cấp số nhân

hóa ra rất đơn giản. Từ Bảng 2.2, chúng ta thấy rằng phản ứng cưỡng bức cho đầu vào e ζt có dạng βe ζt. Bây giờ chúng ta chỉ ra rằng β = Q (ζ) / P (ζ). [†]

Để xác định hằng số β, chúng ta thay y φt vào phương trình hệ [Eq. (2.53)] để có được Bây giờ hãy quan sát rằng

Do đó, phương trình (2.53) trở thành và

Do đó, đối với đầu vào x (t) = e ζt u (t), phản ứng cưỡng bức được đưa ra bởi

Đây là một kết quả thú vị và có ý nghĩa. Nó chỉ ra rằng đối với một đầu vào theo cấp số nhân e responset, phản ứng bắt buộc y ζ (t) là cùng một cấp số nhân nhân với H (ζ) = P (ζ) / Q (ζ). Khi đó, tổng phản ứng của hệ thống y (t) đối với đầu vào theo cấp số nhân e ζt được cho bởi [‡]

trong đó các hằng số K 1, K 2 tùy ý. K N được xác định từ các điều kiện phụ trợ. Dạng của Eq. (2.57) giả sử có N gốc phân biệt. Nếu rễ không khác biệt, nên sử dụng hình thức chế độ thích hợp.

Nhớ lại rằng tín hiệu hàm mũ bao gồm nhiều loại tín hiệu, chẳng hạn như hằng số (ζ = 0), hình sin (ζ = ± jω) và hình sin tăng dần hoặc giảm dần theo cấp số nhân (ζ = σ ± jω). Chúng ta hãy xem xét phản ứng bắt buộc đối với một số trường hợp này.

Bởi vì C = C e 0t, đầu vào hằng số là trường hợp đặc biệt của đầu vào hàm mũ Ce ζt với ζ = 0. Đáp ứng cưỡng bức cho đầu vào này sau đó được cho bởi

ĐẦU VÀO MỞ RỘNG e j ωt Ở đây ζ = jω và

ĐẦU VÀO SINUSOIDA x (t) = cos ωt Chúng ta biết rằng đáp ứng cưỡng bức cho đầu vào e ± jwt là H (± jw) e ± jwt. Vì cos ω t = (e j ωt + e −jwt) / 2 nên phản ứng cưỡng bức đối với cos ωt là

Bởi vì hai thuật ngữ ở phía bên phải là liên từ, Nhưng vì vậy

Kết quả này có thể được tổng quát cho đầu vào x (t) = cos (ωt + θ). Phản ứng bắt buộc trong trường hợp này là

Giải phương trình vi phân nếu điều kiện ban đầu là y (0 +) = 2 và

a. 10e −3t b. 5 −2t c. e d. 10 cos (3t + 30 °)

Theo Ví dụ 2.10, phản ứng tự nhiên cho trường hợp này là Đối với trường hợp này

a. Đối với đầu vào x (t) = 10e −3t ζ = −3, và

Tổng nghiệm (tổng của phản ứng cưỡng bức và phản ứng tự nhiên) là và Các điều kiện ban đầu là y (0 +) = 2 và

. Đặt t = 0 trong các phương trình ở trên và sau đó thay thế các điều kiện ban đầu sẽ thu được

Nghiệm của các phương trình này thu được K 1 = −8 và K 2 = 25. Do đó

b. Với đầu vào x (t) = 5 = 5e 0t, ζ = 0, và nghiệm đầy đủ là K 1 e −t + K 2 e −2t + 2te − t. Sử dụng các điều kiện ban đầu, chúng tôi xác định K 1 và K 2 như trong phần (a).

c. Ở đây ζ = −2, cũng là một gốc đặc trưng của hệ thống. Do đó (xem cặp 2, Bảng 2.2, hoặc ghi chú ở cuối bảng). Để tìm β, chúng ta thay yφ, (t) vào phương trình hệ thống để thu được hoặc Nhưng

Do đó hoặc Do đó, β = 2 để

Nghiệm đầy đủ là K e −t + K 2 e −2u. Sử dụng các điều kiện ban đầu, chúng tôi xác định K 1 và K 2 như trong phần (a).

d. Đối với đầu vào x (t) = 10cos (3 t + 30 °), phản ứng cưỡng bức [xem phương trình. (2.61)] là nơi

và nghiệm đầy đủ là K 1 e −1 + K 2 e −2t + 2,63cos (3t - 7,9 °). Sau đó chúng ta sử dụng các điều kiện ban đầu để xác định K 1 và K 2 như trong phần (a).

Sử dụng phương pháp cổ điển để tìm dòng điện vòng y (t) trong mạch RLC của Ví dụ 2.2 (Hình 2.1) nếu điện áp đầu vào x (t) = 10 −3t e và ban đầu

điều kiện là y (0 -) = 0 và υ c (0 -) = 5.

Các phản hồi đầu vào không và trạng thái không cho vấn đề này lần lượt được tìm thấy trong Ví dụ 2.2 và 2.6. Các phản hồi tự nhiên và bắt buộc xuất hiện trong Eq. (2.52b). Ở đây chúng ta sẽ giải bài toán này bằng phương pháp cổ điển, phương pháp này yêu cầu các điều kiện ban đầu tại t = 0 +. Những điều kiện này, đã được tìm thấy trong Eq. (2.15), là

Phương trình vòng lặp cho hệ thống này [xem Ví dụ 2.2 hoặc Phương trình. (1.55)] là

Đa thức đặc trưng là λ 2 +3 λ + 2 = (λ + 1) (λ + 2) Do đó, phản ứng tự nhiên là

Phản ứng cưỡng bức, đã được tìm thấy trong phần (a) của Ví dụ 2.11, là Tổng phản ứng là Sự khác biệt của phương trình này tạo ra Đặt t = 0 + và thay y (0 +) = 0, y (0 +) = 5 trong các phương trình này hoa lợi

Do đó, đồng ý với giải pháp được tìm thấy trước đó trong Eq. (2.52b).

Giải phương trình vi phân

sử dụng đầu vào x (t) = 5t + 3 và các điều kiện ban đầu y 0 (0) = 2 và y 0 (0) = 3.

>> y = dsolve ('D2y + 3 * Dy + 2 * y = 5 * t + 3', y (0) = 2 ',' Dy (0) = 3 ',' t ') >> disp ([ 'y (t) = (', char (y), ') u (t)']) y (t) = (-9 / 4 + 5/2 * t + 9 * exp (-t) -19 / 4 * exp (-2 * t)) u (t)

ĐÁNH GIÁ CỦA PHƯƠNG PHÁP CỔ ĐIỂN

Sự phát triển trong phần này cho thấy rằng phương pháp cổ điển tương đối đơn giản so với phương pháp tìm phản ứng dưới dạng tổng của các thành phần đầu vào không và trạng thái không. Thật không may, phương pháp cổ điển có một nhược điểm nghiêm trọng vì nó tạo ra phản ứng tổng, không thể tách thành các thành phần phát sinh từ các điều kiện bên trong và đầu vào bên ngoài. Trong nghiên cứu hệ thống, điều quan trọng là có thể biểu diễn phản ứng của hệ thống với đầu vào x (t) dưới dạng một hàm rõ ràng của x (t). Điều này là không thể trong phương pháp cổ điển. Hơn nữa, phương pháp cổ điển Sự phát triển trong phần này cho thấy rằng phương pháp cổ điển tương đối đơn giản so với phương pháp tìm phản ứng dưới dạng tổng của các thành phần đầu vào không và trạng thái không. Thật không may, phương pháp cổ điển có một nhược điểm nghiêm trọng vì nó tạo ra phản ứng tổng, không thể tách thành các thành phần phát sinh từ các điều kiện bên trong và đầu vào bên ngoài. Trong nghiên cứu hệ thống, điều quan trọng là có thể biểu diễn phản ứng của hệ thống với đầu vào x (t) dưới dạng một hàm rõ ràng của x (t). Điều này là không thể trong phương pháp cổ điển. Hơn nữa, cổ điển

Nếu chúng ta phải giải một phương trình vi phân tuyến tính cụ thể hoặc tìm một phản ứng của một hệ thống LTIC cụ thể, thì phương pháp cổ điển có thể là tốt nhất. Tuy nhiên, trong nghiên cứu lý thuyết của hệ thống tuyến tính, phương pháp cổ điển không có giá trị như vậy.

Thận trọng Chúng tôi đã chỉ ra trong Eq. (2.52a) rằng tổng phản hồi của hệ thống LTI có thể được biểu thị bằng tổng của đầu vào bằng không và đầu vào bằng không

các thành phần trạng thái. Trong Eq. (2.52b), chúng tôi đã chỉ ra rằng phản ứng tương tự cũng có thể được biểu thị bằng tổng của các thành phần tự nhiên và cưỡng bức. Chúng tôi cũng đã thấy rằng nói chung phản hồi đầu vào không giống như phản hồi tự nhiên (mặc dù cả hai đều được tạo bằng các chế độ tự nhiên). Tương tự, phản ứng trạng thái 0 không giống như phản ứng cưỡng bức. Thật không may, những tuyên bố sai lầm như vậy thường gặp trong các tài liệu.

[†] Kết quả này chỉ có giá trị nếu ζ không phải là gốc đặc trưng của hệ thống. [‡] Quan sát độ gần gũi của Eqs. (2,57) và (2,47). Tại sao có sự khác biệt giữa hai phương trình? Phương trình (2.47) là phản hồi cho một

hàm mũ bắt đầu từ −∞, trong khi phương trình (2.57) là phản ứng đối với một cấp số nhân bắt đầu tại t = 0. Khi t → ∞, phương trình. (2.57) phương pháp tiếp cận Eq. (2,47). Trong Eq. (2.47), thuật ngữ y n (t), bắt đầu từ t = −∞, đã bị phân rã tại t = 0, và do đó, bị thiếu.


3. Đi bộ ngẫu nhiên và người chơi cờ bạc & # 8217s Ruin

3.1 Đi bộ ngẫu nhiên trên lưới thông thường

Tôi đã lưu ý rằng, phương pháp đếm ngược các cách trên để nhận được kết quả được đề cập sẽ không giải quyết vấn đề trong tầm tay. Tuy nhiên, như đã lưu ý ở trên, một số người đăng ký LetsSolveMathProblems cho rằng điều đó sẽ xảy ra. Họ chỉ cần tìm ra mô hình đằng sau số cách mà mỗi kết quả có thể xảy ra — nghĩa là, một mô hình cho bạn biết số cách để thắng (hoặc thua) trong một số nước đi nhất định và do đó xác suất (hoặc trọng lượng) tương ứng với số lần di chuyển đó.

Vấn đề là không có khuôn mẫu như vậy cho một số n (nếu bạn biết về một cái, hãy cho tôi biết!), mặc dù nó sẽ hoạt động cho một n. Sẽ có hướng dẫn để xem những gì & # 8217s đang diễn ra ở đây.

Tôi sẽ xem xét n = 2, 3, 4 và 5. Chúng ta có thể sử dụng các phương pháp đếm và kỳ vọng kiểu cũ tốt, giống như ở trên, cho các phương pháp này, nhưng khác n& # 8216s yêu cầu các công thức khác nhau. Thực ra n= 2 và n= 3 sử dụng cùng một công thức (chúng tuân theo cùng một mẫu), nhưng 4 và 5 mỗi công thức tạo ra một mẫu mới.

Để bắt đầu tìm hiểu những điều này, hãy & # 8217s xem xét các lần đi bộ ngẫu nhiên. Đi bộ ngẫu nhiên là một tình huống mà bạn bắt đầu tại một điểm nào đó trên trục số và kết thúc ở một điểm khác trong một số bước nhất định. Có rất nhiều điều cần đề cập trong ý tưởng đơn giản này. Tôi sẽ chỉ xem xét những điều cơ bản.

Trước tiên, hãy cùng xem xét trường hợp đơn giản là đi từ 2 đến 4 trong hai bước. Chúng tôi không cần một sơ đồ phức tạp để xem số cách thực hiện việc này:

Tiếp theo, chúng tôi & # 8217 sẽ tìm ra số cách (hoặc đường dẫn) để đi từ 2 đến 4 trong bốn bước (lưu ý rằng không thể đến đó trong ba bước!): Từ 2 đến 3 đến 4 đến 5 đến 4: HOẶC từ 2 đến 3 đến 4 thành 3 đến 4 HOẶC từ 2 đến 1 đến 2 đến 3 thành 4 HOẶC từ 2 đến 3 thành 2 đến 3 đến 4. Đây & # 8217 là hình minh họa:

Có bốn cách để làm điều đó. Lưu ý rằng trong mỗi một trong bốn cách này, chúng ta đi một sang trái (hoặc lùi) và ba sang phải (hoặc tiến). Nói cách khác, chúng ta có thể đếm có bao nhiêu cách để đạt được từ 2 đến 4 trong bốn bước chỉ bằng cách chọn một trong số chúng làm động tác sang trái của chúng ta: 4 C1 = 4*.

[* Điều này biểu thị sự kết hợp và thường được nêu là “bốn lựa chọn một”. Tất nhiên, chúng tôi cũng có thể làm 4 C3. Bạn & # 8217cũng thường thấy những điều này được biểu thị trong các bài toán dưới dạng.

Công thức cho các phép tính này là:

Nếu bạn không quen thuộc hoặc cần xem lại các bài tổ hợp cơ bản, tôi khuyên bạn nên bắt đầu với video Khan Academy này, video này đề cập đến Hoán vị và chuyển sang phần tiếp theo về Kết hợp: & # 8220 Sắp xếp chỗ ngồi và tính toán. & # 8221]

Bây giờ, nếu chúng ta muốn đi từ 2 đến 4 trong sáu bước (lưu ý lại, chúng ta không thể làm điều đó trong năm bước), chúng ta chỉ có thể tìm ra bao nhiêu bước tiến và bước lùi là cần thiết. Ví dụ: chúng ta có thể đi từ 2 đến 3 thành 4 đến 5 thành 6 thành 5 thành 4. Đó là bốn tiến và hai lùi. Chúng tôi thấy kết quả tương tự nếu chúng tôi đi 2 đến 1 đến 0 thành 1 đến 2 thành 3 đến 4.

Điều này cho chúng ta 6 C2 = 15. Thay vì viết 15 đường dẫn đó với cùng một phương pháp như trên, tôi & # 8217 sẽ sử dụng lưới (được tạo tại GeoGebra) trong đó trục x biểu thị bước đầu tiên, thứ hai, thứ ba, thứ tư, v.v. và y -axis đại diện cho vị trí. Ví dụ: đây & # 8217 là sơ đồ để bắt đầu từ 2 và kết thúc ở 4 bốn bước:

Biểu đồ trên chứa tất cả các con đường có thể có để nhận được từ 2 đến 4 trong bốn bước. Đây là cùng một sơ đồ với hai đường dẫn được đánh dấu:

Con đường màu hồng đi từ 2 đến 1 đến 2 đến 3 đến 4 con đường màu xanh lá cây đi từ 2 đến 3 đến 4 thành 3 đến 4. Vì trục vị trí là thẳng đứng, chúng ta có thể coi đây là tăng ba, giảm một (lưu ý rằng mỗi bước đi mới phải đi về bên phải đối với trục x, nếu không, nó sẽ giống như quay ngược thời gian).

May mắn thay, có một cách đơn giản để đếm số đường dẫn trên lưới. Chúng ta có thể gọi đây là phương pháp đếm Tam giác Pascal & # 8217s, nó cũng liên quan mật thiết đến định lý nhị thức và với các tổ hợp (điều này có ý nghĩa, vì cho đến nay chúng ta đã sử dụng tổ hợp làm phím tắt). *

[* Tôi & # 8217 sẽ cố gắng giải thích phương pháp rõ ràng ở đây, nhưng có thể hữu ích hơn khi xem phương pháp này được giải thích và thực hiện trong thời gian thực, bạn có thể thực hiện trong các video YouTube sau đây, cũng đề cập đến các trường hợp bất thường — ví dụ các trường hợp trong đó các lưới chồng lên nhau hoặc có vẻ như có các khối bị xóa (sẽ sớm rõ ràng rằng vấn đề Người chơi cờ bạc & # 8217s của chúng tôi liên quan đến một bước đi ngẫu nhiên bất thường):

& # 8220 Nguyên tắc đường đi: Đường dẫn trên lưới: Hai cách tiếp cận & # 8221 của readrocks88: Độc đáo hiểu được ý tưởng cơ bản chỉ trong hơn năm phút.

& # 8220Math 12 tháng 4 7 U4L5 Pascal và Pathways & # 8221 của Kelvin Dueck: Một video dài hơn (khoảng 37 phút) đi sâu hơn vào Pascal & # 8217s Triangle.

& # 8220Các bí mật toán học của tam giác Pascal & # 8211 Wajdi Mohamed Ratemi & # 8221 của TED-ed: Video ngắn này (chỉ dưới năm phút) không & # 8217t về các đường dẫn trên lưới, nhưng cung cấp một cái nhìn tổng quan đẹp về Tam giác Pascal & # 8217s ( bao gồm một chút về khai triển nhị thức và chỉ ra rằng Pascal hoàn toàn không phải là người đầu tiên khám phá ra công cụ toán học này).

Một tìm kiếm sẽ mang lại nhiều hướng dẫn khác.]

Tất cả những gì chúng ta cần làm là đếm số cách đi đến từng điểm, cho đến khi chúng ta đến điểm cuối cùng. Đây một lần nữa là cùng một sơ đồ từ 2 đến 4 trong bốn bước, với phương pháp đếm được bao gồm (nếu điều này không làm rõ mọi thứ ngay lập tức, hy vọng nó sẽ rõ ràng hơn khi chúng ta xem thêm các ví dụ):

Bây giờ, hãy & # 8217s áp dụng điều này để nhận từ 2 đến 4 trong sáu bước. Tôi đã tính toán rằng đây là 6 C2 = 15. Khi vẽ một sơ đồ như vậy, tôi muốn bắt đầu với con đường bao gồm vị trí thấp nhất mà tôi có thể đến — đây là & # 8217s 0, vì chúng ta có thể đi từ 2 đến 1 đến 0 đến 1 đến 2 t0 3 đến 4 —Cùng với vị trí cao nhất mà chúng ta có thể đến, là 6 (tức là từ 2 đến 3 đến 4 đến 5 đến 6 đến 5 đến 4):

Sau đó, tôi điền vào phần còn lại của lưới. Đây & # 8217 là toàn bộ lưới, với các số được điền để cho biết đường dẫn đến mỗi điểm:

3.2 Đi bộ ngẫu nhiên tới một con bạc & # 8217s Ruin: Đếm Đường đi trên một lưới không đều

Cuối cùng, chúng tôi đã sẵn sàng quay lại vấn đề Gambler’s Ruin của chúng tôi. Như tôi đã lưu ý ở trên, vấn đề mà chúng tôi quan tâm không tạo ra lưới thông thường, do các điều kiện biên của chúng tôi.

Nhớ lại rằng chúng ta đang bắt đầu với n chip (tức là tại vị trí n trên lưới của chúng tôi) và trò chơi kết thúc khi chúng tôi đạt được 2n hoặc 0. Nói cách khác, nếu chúng ta bắt đầu với 2 chip, trò chơi kết thúc khi chúng ta có 4 chip hoặc 0 chip. Bây giờ chúng ta hãy tập trung vào điều này có ý nghĩa như thế nào đối với chiến thắng. Trên thực tế, tôi sẽ chỉ đại diện cho chiến thắng trong các sơ đồ này (một điều dễ dàng để tính đến sau này, khi tính toán kỳ vọng tổng thể).

Nếu trò chơi kết thúc khi chúng ta đánh 4, điều đó có nghĩa là chúng ta có điều kiện biên mà chúng ta không có với các bước đi ngẫu nhiên cơ bản. Ví dụ, hãy xem xét lại việc nhận được từ 2 đến 4 trong bốn bước. Chúng ta có thể đi theo con đường từ 2 đến 3 đến 4 đến 5 đến 4: HOẶC từ 2 đến 3 đến 4 đến 3 đến 4 HOẶC từ 2 đến 1 đến 2 đến 3 đến 4 HOẶC từ 2 đến 3 đến 2 đến 3 đến 4. Nhưng chỉ có hai trong số này là hợp lệ, bởi vì một khi bạn nhấn 4, trò chơi kết thúc! Tôi đã gạch bỏ những con đường không hợp lệ. Nếu chúng tôi không xóa chúng, chúng tôi sẽ đếm quá nhiều. Và nếu chúng ta đang xem xét việc đạt được từ 2 đến 4 trong sáu bước (hoặc thực sự là lượt), chúng ta sẽ phải loại bỏ bất kỳ thứ gì chạm đến 0 hoặc 4 trước khi đến lượt số sáu.

Để làm gì? Trước tiên, hãy lùi lại một bước để nhắc nhở bản thân về những gì chúng ta đang tìm kiếm. Chúng tôi đang cố gắng hình thành một chút kỳ vọng đơn giản, như được mô tả trong các tình huống xúc xắc ở trên. Điều này có nghĩa là, để bắt đầu với hai chip, chúng tôi cần điền vào thông tin sau (một lần nữa, tôi chỉ tập trung vào việc giành chiến thắng trong lần truy xuất n đến 2n trong trường hợp cụ thể này, nghĩa là đi từ 2 đến 4 chip):

[2 × (xác suất thắng trong hai lượt)] + [4 × (xác suất chiến thắng trong bốn lượt)] + [6 × (xác suất chiến thắng trong sáu lượt)] +…. mãi mãi (chúng tôi không thể hạn chế trò chơi sẽ kéo dài bao lâu. Điều này có thể cho thấy rằng trò chơi sẽ thắng & # 8217t tồn tại mãi mãi, nhưng chúng tôi không cần lo lắng về điều này ở đây.)

Tất cả những gì chúng ta còn thiếu là xác suất chiến thắng trong mỗi số lần quay. Điều này chia thành (số lượng con đường để giành chiến thắng trong nhiều lượt đó) × (1/2 thành lũy thừa của số lượt). 1/2 đến từ đâu? Dễ: xác suất thắng một lượt là 1/2. Vậy xác suất thắng trong hai lượt là (số con đường để giành chiến thắng trong hai lượt) × (1/2) 2. Tất cả điều này tương tự như những gì chúng ta đã thấy ở trên với xác suất hai viên xúc xắc được tung ra tổng thành một số nhất định.

Tôi cũng cần lưu ý rằng trong hơn hai lượt, 1/2 vẫn sẽ được nâng lên số lượt, vì cũng có 1/2 xác suất thua một lượt nhất định. Ví dụ, xác suất thắng hai lượt và sau đó thua bốn lượt là (1/2) 6, điều này tất nhiên sẽ diễn ra khác nhau vì xác suất thắng và thua không giống nhau! (Xem bên dưới để biết thêm một chút về điểm đó.)

Trong tâm trí này, chúng tôi kết thúc với:

[(2) × (số đường dẫn thắng trong hai lượt) × (1/2) 2 ] + [(4) × (số đường dẫn thắng trong bốn lượt) × (1/2) 4 ] + [(6) × (số đường dẫn thắng trong sáu lượt) × (1/2) 6] +…. và trở đi với mô hình này.

Có một mô hình rõ ràng ở đây cho tất cả mọi thứ ngoại trừ số lượng con đường để giành chiến thắng trong một số lượt nhất định. Hãy tìm mẫu đó. Tôi sẽ lập một sơ đồ để giành chiến thắng trong hai nước đi, bốn bước đi, sáu nước đi và tám nước đi, và sẽ đếm đường đi cho mỗi nước chính xác như tôi đã làm với các lưới thông thường ở trên.

Có một cách (hoặc con đường) để giành chiến thắng (tức là giành được từ 2 đến 4) trong hai nước đi (lưu ý rằng con đường dẫn đến thua đối xứng với con đường giành chiến thắng I & # 8217m không bao gồm con đường thua ở đây, nhưng thực tế này sẽ giúp chúng tôi đếm các đường dẫn đến trò chơi & # 8217s kết thúc sau):

Có hai con đường để giành chiến thắng trong bốn lượt:

Có bốn con đường để giành chiến thắng trong sáu lượt:

Một mô hình đang xuất hiện. Một hình vuông mới được thêm vào mỗi khi chúng ta tăng số lượt. Và, đối với bất kỳ thứ gì lớn hơn bốn lần di chuyển, hình vuông mới đó sẽ vượt qua những gì chúng ta đã làm trong biểu đồ trước đó hai đơn vị ở bên phải. Sẽ an toàn khi cho rằng điều này sẽ tiếp tục xảy ra lặp đi lặp lại, nhưng hãy để & # 8217s làm thêm một vài điều nữa.

Notice, too, that we are essentially bouncing around between 1 and 3 before crossing over to 4 for the win. In other words, if we pass 3, we win (and if we pass 1, we lose). I’ll demarcate those boundaries here as well:

I’d say the patter is now well established. In fact, we could have just mapped out several steps at once in order to see the pattern. Here is a diagram for winning in up to ten turns (or “moves,” as I put it in the diagram):

We now have 1 way to win in two turns 2 ways to win in four turns 4 ways to win in six turns 8 ways to win in eight turns 16 ways to win in ten turns. The ways to win are doubling, which is to say we have this sequence: 2 0 ways to win in two moves, then 2 1 , 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , … and so on.

This makes it easy to find expectation with a calculator. Recall what we are missing:

[(2) × (number of paths that win in two turns) × (1/2) 2 ] + [(4) × (number of paths that win in four turns) × (1/2) 4 ] + [(6) × (number of paths that win in six turns) × (1/2) 6 ] + …. and onward with this pattern.

[(2) × (2 0 ) × (1/2) 2 ] + [(4) × (2 1 ) × (1/2) 4 ] + [(6) × (2 2 ) × (1/2) 6 ] + ….

I’m going to rewrite this which different bracketing (and a few more terms) in order to make the probabilities more salient:

(2 × [2 0 × (1/2) 2 ]) + (4 × [2 1 × (1/2) 4 ]) + (6 × [2 2 × (1/2) 6 ]) + (8 × [2 3 × (1/2) 8 ]) + (10 × [2 4 × (1/2) 10 ]) + (12 × [2 5 × (1/2) 12 ]) + …

The probabilities (i.e., the weights for our average) are in square brackets. The probabilities alone continue indefinitely in the form 2 Tôi × (1/2) 2+2Tôi , Ở đâu Tôi starts at 0, which is one less than the turn number. Just as with the dice examples above, these probability are multiplied by the number of turns involved: 2, 4, 6, 8, 10, 12, …

Since the power to which we raise 1/2 is equal to the number of turns involved, we can represent the number of turns with (2+2Tôi).

I’m probably making this more complicated than it needs to be. The upshot is that we end up with a final expression of: (2+2Tôi) × 2 Tôi × (1/2) 2+2Tôi . To add this up for large Tôi‘s, simply pop this into a sigma calculator (if you need a refresher on sigma notation, see this page at Math Is Fun calculator-wise, I like Desmos):

I constructed it so that the number of turns is on the left and the probability (slightly simplified) is on the right. Recall that we know the final answer should be 2 2 , or 4. The answer here is 2 because we’ve only included the number of ways to win. Losing here is symmetrical to winning, so all we need to do now is double the number of ways to win this updates our probabilities to reflect the number of ways to win or lose, which effectively doubles the final result of the above expectation, which yields 4. And that’s that.

When each player has two chips, we expect the game to last about four turns on average.

(Note that if we remove the (2+2i) from the expression, the series converges to 1, which is something we require of a valid probability distribution. That is, the probability that you win or lose in 2 or 4 or 6 or 8 or so on turns is 1:

This time I put the 2 out front to account for both winning and losing. This approach also works for the series considered below.)

Interestingly, we get the same pattern when starting with three chips, just replace the 2 with 3. I’ll go right to the extended diagram this time:

Pop this into a sigma calculator with appropriate adjustments (and multiplying by 2):

As expected, we get n 2 , which in this case is 3 2 = 9.

But look at what happens when n = 4:

This is a new pattern: 1, 4, 14, 48, 164, 560, 1912 (I calculated the 1912 in order to refine the search I’m about to do).

To figure out what sequence this is, I’ll pop it into The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, which yields a sequence that starts: 1, 4, 14, 48, 164, 560, 1912, 6528, …

This is sequence number A007070, which can be found here with discussion and formulas and whatnot (also included is a nearly identical sequence, but with an extra 1 at the beginning). I’ll go ahead and pop a formula for this sequence into our sigma notation as well, just for comparison’s sake.

Let’s express the sequence as a function f:

This gives: f(0) = 1 f(1) = 4 f(2) = 14 f(3) = 48 … and so on. Vì thế, f(i) will be used in the sigma notation instead of 2 Tôi or 3 Tôi :

As assumed, we get 4 2 = 16. The main point, however, is that we can’t use the same setup for n = 4 that we used for n = 2 or 3. This is also true for n = 5, which I’ll graph for up to 15 turns:

Here we get: 1, 5, 20, 75, 275, 1000. A search for this at eois brings up sequence number A030191, which is actually the same as sequence A093131, but without the starting number of 0 both sequences can be found here. I won’t bother with popping this one into our sigma notation.

It’s clear by now that there’s no obvious pattern (to me) that we can use by this method to answer the question at hand, though it’s been instructive (to me) to work through the diagrams to more intuitively understand the problem and to get practice with counting and alternative ways of modeling such problems, etc. It has also answered the question of why we can’t solve it in the same way as we would a basic random walk: we cannot pass 1 or 2n-1 until the next-to-last move before game’s end, which leads to over-counting when using standard methods. Still, it’s a pretty deterministic and well-controlled setup—and thus, good practice but also a nice reminder of how much messier and complex real-world situations must get.

At any rate, while I’m tempted to see how much more I can pull out of the above patterns, I’ll move on to finally solving the problem.


Give the oxidation number of bromine in the following:(a) KBr(b) BrF₃(c) HBrO₃(d) CBr₄

Q: Enough of a monoprotic acid is dissolved in water to produce a 1.74 M solution. The pH of the result.

A: Let, HA be the monoprotic acid. Given, concentration of monoprotic acid, [HA] = 1.74 M and, pH =.

Q: The acid-dissociation constant for chlorous acid 1HClO22 is 1.1 * 10-2. Calculate the concentrations.

A: Given: Initial Concentration of HClO2 = 0.0125 M

Q: Label attached compound as chiral or achiral.

Q: What orbitals are used to form each bond in methanol, CH3OH?

A: The orbitals are used to form each bond in methanol, CH3OH has to be determined

Q: The reaction 2 NO2 ¡ 2 NO + O2 has the rate constant k = 0.63 M - 1s - 1. (a) Based on the units for.

A: The given reaction is, 2 NO2----&gt2 NO + O2 Now, we know that the relationship o.

Q: A graduate student tried to make o-fluorophenylmagnesium bromide by adding magnesium to an ether sol.

A: Diel’s alder reaction- The conjugated diene(alkene) and dienophile(may be alkene or alkyne) reacts .

Q: Write the propagation steps for the addition of HBr to 1-methylcyclohexene in the presence of a pero.

A: The first part of the propagation steps for the addition of HBr to 1-methylcyclohexene in the presen.

Q: The pKa values of a compound with two ionizable groups are pK1 =4.10 and pK2 between 7 and 10. A bio.

A: The pK2 is to be calculated.

Q: What mass of glycerin (C3H8O3), a nonelectrolyte, must be dissolved in 200.0 g water to give a solut.

A: Given Data: Molar mass of glycerin (C3H8O3)= M =92.09 gm/mol Mass of water = W1=200.0 g freezi.


(a) Interpretation: The value of ξ , if 3 .5 mol of Al reacts to make products, is to be calculated. Concept introduction: The extent of the reaction is a physical quantity that measures the progress of the chemical reaction. It is represented by ξ . The value of extent coefficient will remain same throughout the chemical reaction. The value of ξ is given by the expression. ξ = n i − n i , 0 v i Where, • ξ is the extent of the reaction. • n i is the number of moles of i-th chemical species at time t . • n i , 0 is the number of moles of i-th chemical species at time t = 0 . • v i is the stoichiometric coefficient.

The value of ξ , if 3 .5   mol of Al reacts to make products, is to be calculated.

Concept introduction:

The extent of the reaction is a physical quantity that measures the progress of the chemical reaction. It is represented by ξ . The value of extent coefficient will remain same throughout the chemical reaction.

The value of ξ is given by the expression.

• ξ is the extent of the reaction.

• n i is the number of moles of i-th chemical species at time t .

• n i , 0 is the number of moles of i-th chemical species at time t = 0 .

• v i is the stoichiometric coefficient.

Interpretation:

Whether the possible value for ξ is equal to 5 for the given reaction is to be stated. The reason for the same is to be stated.

Concept introduction:

The extent of the reaction is a physical quantity that measures the progress of the chemical reaction. It is represented by ξ . The value of extent coefficient will remain same throughout the chemical reaction.

The value of ξ is given by the expression.

• ξ is the extent of the reaction.

• n i is the number of moles of i-th chemical species at time t .


CHAPTER V Solar and Terrestrial Radiation

This chapter discusses the solar and terrestrial radiation. The source of solar energy is believed to be fusion of four hydrogen atoms to form one helium atom, and the slight decrease in mass which occurs in this reaction accounts for the energy released in the solar interior. This energy is transferred by radiation and convection to the surface, and is then emitted as both electromagnetic and particulate radiation. The distribution of electromagnetic radiation emitted by the Sun approximates black-body radiation for a temperature of about 6000 K. Even though solar radiation is attenuated by scattering and absorption in passing through the atmosphere, the irradiance of solar radiation at the top of the atmosphere, the solar constant, may be calculated from measurements made at the Earth's surface. Satellite instruments provide measurements of long-wave radiation from the Earth and atmosphere and measurements of direct solar radiation and solar radiation reflected from the Earth and atmosphere. The flux of solar radiation per unit horizontal area at the top of the atmosphere depends strongly on zenith angle of the Sun and much less strongly on the variable distance of the Earth from the Sun.


Trừu tượng

The data from published studies were used to derive systematic relationships between learning outcomes and air quality in classrooms. Psychological tests measuring cognitive abilities and skills, school tasks including mathematical and language-based tasks, rating schemes, and tests used to assess progress in learning including end-of-year grades and exam scores were used to quantify learning outcomes. Short-term sick leave was also included because it may influence progress in learning. Classroom indoor air quality was characterized by the concentration of carbon dioxide (CO2). For psychological tests and school tasks, fractional changes in performance were regressed against the average concentrations of CO2 at which they occurred all data reported in studies meeting the inclusion criteria were used to derive the relationship, regardless of whether the change in performance was statistically significant at the examined levels of classroom air quality. The analysis predicts that reducing CO2 concentration from 2,100 ppm to 900 ppm would improve the performance of psychological tests and school tasks by 12% with respect to the speed at which the tasks are performed and by 2% with respect to errors made. For other learning outcomes and short-term sick leave, only the relationships published in the original studies were available. They were therefore used to make predictions. These relationships show that reducing the CO2 concentration from 2,300 ppm to 900 ppm would improve performance on the tests used to assess progress in learning by 5% and that reducing CO2 from 4,100 ppm to 1,000 ppm would increase daily attendance by 2.5%. These results suggest that increasing the ventilation rate in classrooms in the range from 2 L/s-person to 10 L/s-person can bring significant benefits in terms of learning performance and pupil attendance no data are available for higher rates. The results provide a strong incentive for improving classroom air quality and can be used in cost-benefit analyses.


Whether the value of the equilibrium constant remains the same or different when 0.50 atm of Krypton were part of the given equilibrium reaction and volume of the reaction remains the same, is to be predicted. Whether the given case is different or not from the condition, when volume changes, is to be predicted. Concept introduction: When any reaction is at equilibrium then a constant expresses a relationship between the reactant side and the product side. This constant is known as equilibrium constant. It is denoted by K . The equilibrium constant is independent of the initial amount of the reactant and product.

Whether the value of the equilibrium constant remains the same or different when 0.50   atm of Krypton were part of the given equilibrium reaction and volume of the reaction remains the same, is to be predicted. Whether the given case is different or not from the condition, when volume changes, is to be predicted.

Concept introduction:

When any reaction is at equilibrium then a constant expresses a relationship between the reactant side and the product side. This constant is known as equilibrium constant. It is denoted by K . The equilibrium constant is independent of the initial amount of the reactant and product.


Ordinary Differential Equations 9781461436171, 9781461436188, 1461436176

Table of contents :
Preface. Page 6
Nội dung. Page 10
List of Tables. Page 14
1.1 An Introduction to Differential Equations. Page 15
1.2 Direction Fields. Page 31
1.3 Separable Differential Equations. Page 41
1.4 Linear First Order Equations. Page 59
1.5 Substitutions. Page 77
1.6 Exact Equations. Page 87
1.7 Existence and Uniqueness Theorems. Page 99
2.1 Laplace Transform Method: Introduction. Page 115
2.2 Definitions, Basic Formulas, and Principles. Page 125
2.3 Partial Fractions: A Recursive Algorithm for Linear Terms. Page 143
2.4 Partial Fractions: A Recursive Algorithm for IrreducibleQuadratics. Page 157
2.5 Laplace Inversion. Page 165
2.6 The Linear Spaces Eq: Special Cases. Page 181
2.7 The Linear Spaces Eq: The General Case. Page 193
2.8 Convolution. Page 201
2.9 Summary of Laplace Transforms and Convolutions. Page 213
Chapter3 Second Order Constant Coefficient Linear Differential Equations. Page 217
3.1 Notation, Definitions, and Some Basic Results. Page 219
3.2 Linear Independence. Page 231
3.3 Linear Homogeneous Differential Equations. Page 243
3.4 The Method of Undetermined Coefficients. Page 251
3.5 The Incomplete Partial Fraction Method. Page 259
3.6 Spring Systems. Page 267
3.7 RCL Circuits. Page 281
Chapter4 Linear Constant Coefficient Differential Equations. Page 288
4.1 Notation, Definitions, and Basic Results. Page 290
4.2 Linear Homogeneous Differential Equations. Page 298
4.3 Nonhomogeneous Differential Equations. Page 306
4.4 Coupled Systems of Differential Equations. Page 314
4.5 System Modeling. Page 326
Chapter5 Second Order Linear Differential Equations. Page 343
5.1 The Existence and Uniqueness Theorem. Page 345
5.2 The Homogeneous Case. Page 353
5.3 The Cauchy–Euler Equations. Page 361
5.4 Laplace Transform Methods. Page 367
5.5 Reduction of Order. Page 379
5.6 Variation of Parameters. Page 385
5.7 Summary of Laplace Transforms. Page 393
Chapter6 Discontinuous Functions and the Laplace Transform. Page 394
6.1 Calculus of Discontinuous Functions. Page 396
6.2 The Heaviside Class H. Page 410
6.3 Laplace Transform Method for f(t)H. Page 426
6.4 The Dirac Delta Function. Page 438
6.5 Convolution. Page 450
6.6 Periodic Functions. Page 464
6.7 First Order Equations with Periodic Input. Page 476
6.8 Undamped Motion with Periodic Input. Page 484
6.9 Summary of Laplace Transforms. Page 496
Chapter7 Power Series Methods. Page 498
7.1 A Review of Power Series. Page 500
7.2 Power Series Solutions About an Ordinary Point. Page 516
7.3 Regular Singular Points and the Frobenius Method. Page 530
7.4 Application of the Frobenius Method:Laplace Inversion Involving Irreducible Quadratics. Page 550
7.5 Summary of Laplace Transforms. Page 566
Chapter8 Matrices. Page 567
8.1 Matrix Operations. Page 569
8.2 Systems of Linear Equations. Page 579
8.3 Invertible Matrices. Page 603
8.4 Determinants. Page 615
8.5 Eigenvectors and Eigenvalues. Page 629
9.1 Introduction. Page 639
9.2 Linear Systems of Differential Equations. Page 643
9.3 The Matrix Exponential and Its Laplace Transform. Page 659
9.4 Fulmer's Method for Computing eAt. Page 667
9.5 Constant Coefficient Linear Systems. Page 675
9.6 The Phase Plane. Page 691
9.7 General Linear Systems. Page 711
A.1 The Laplace Transform is Injective. Page 732
A.2 Polynomials and Rational Functions. Page 734
A.3 Bq Is Linearly Independent and Spans Eq. Page 736
A.4 The Matrix Exponential. Page 741
A.5 The Cayley–Hamilton Theorem. Page 742
AppendixB Selected Answers. Page 745
C.1 Laplace Transforms. Page 793
C.2 Convolutions. Page 797
Symbol Index. Page 799
Index. Page 801

Citation preview

Undergraduate Texts in Mathematics

Undergraduate Texts in Mathematics

Series Editors: Sheldon Axler San Francisco State University, San Francisco, CA, USA Kenneth Ribet University of California, Berkeley, CA, USA

Advisory Board: Colin Adams, Williams College, Williamstown, MA, USA Alejandro Adem, University of British Columbia, Vancouver, BC, Canada Ruth Charney, Brandeis University, Waltham, MA, USA Irene M. Gamba, The University of Texas at Austin, Austin, TX, USA Roger E. Howe, Yale University, New Haven, CT, USA David Jerison, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA, USA Jeffrey C. Lagarias, University of Michigan, Ann Arbor, MI, USA Jill Pipher, Brown University, Providence, RI, USA Fadil Santosa, University of Minnesota, Minneapolis, MN, USA Amie Wilkinson, University of Chicago, Chicago, IL, USA

Undergraduate Texts in Mathematics are generally aimed at third- and fourthyear undergraduate mathematics students at North American universities. These texts strive to provide students and teachers with new perspectives and novel approaches. The books include motivation that guides the reader to an appreciation of interrelations among different aspects of the subject. They feature examples that illustrate key concepts as well as exercises that strengthen understanding.

For further volumes: http://www.springer.com/series/666

William A. Adkins • Mark G. Davidson

Ordinary Differential Equations

William A. Adkins Department of Mathematics Louisiana State University Baton Rouge, LA USA

Mark G. Davidson Department of Mathematics Louisiana State University Baton Rouge, LA USA

ISSN 0172-6056 ISBN 978-1-4614-3617-1 ISBN 978-1-4614-3618-8 (eBook) DOI 10.1007/978-1-4614-3618-8 Springer New York Heidelberg Dordrecht London Library of Congress Control Number: 2012937994 Mathematics Subject Classification (2010): 34-01 © Springer Science+Business Media New York 2012 This work is subject to copyright. All rights are reserved by the Publisher, whether the whole or part of the material is concerned, specifically the rights of translation, reprinting, reuse of illustrations, recitation, broadcasting, reproduction on microfilms or in any other physical way, and transmission or information storage and retrieval, electronic adaptation, computer software, or by similar or dissimilar methodology now known or hereafter developed. Exempted from this legal reservation are brief excerpts in connection with reviews or scholarly analysis or material supplied specifically for the purpose of being entered and executed on a computer system, for exclusive use by the purchaser of the work. Duplication of this publication or parts thereof is permitted only under the provisions of the Copyright Law of the Publisher’s location, in its current version, and permission for use must always be obtained from Springer. Permissions for use may be obtained through RightsLink at the Copyright Clearance Center. Violations are liable to prosecution under the respective Copyright Law. The use of general descriptive names, registered names, trademarks, service marks, etc. in this publication does not imply, even in the absence of a specific statement, that such names are exempt from the relevant protective laws and regulations and therefore free for general use. While the advice and information in this book are believed to be true and accurate at the date of publication, neither the authors nor the editors nor the publisher can accept any legal responsibility for any errors or omissions that may be made. The publisher makes no warranty, express or implied, with respect to the material contained herein. Printed on acid-free paper Springer is part of Springer Science+Business Media (www.springer.com)

This text is intended for the introductory three- or four-hour one-semester sophomore level differential equations course traditionally taken by students majoring in science or engineering. The prerequisite is the standard course in elementary calculus. Engineering students frequently take a course on and use the Laplace transform as an essential tool in their studies. In most differential equations texts, the Laplace transform is presented, usually toward the end of the text, as an alternative method for the solution of constant coefficient linear differential equations, with particular emphasis on discontinuous or impulsive forcing functions. Because of its placement at the end of the course, this important concept is not as fully assimilated as one might hope for continued applications in the engineering curriculum. Thus, a goal of the present text is to present the Laplace transform early in the text, and use it as a tool for motivating and developing much of the remaining differential equation concepts for which it is particularly well suited. There are several rewards for investing in an early development of the Laplace transform. The standard solution methods for constant coefficient linear differential equations are immediate and simplified. We are able to provide a proof of the existence and uniqueness theorems which are not usually given in introductory texts. The solution method for constant coefficient linear systems is streamlined, and we avoid having to introduce the notion of a defective or nondefective matrix or develop generalized eigenvectors. Even the Cayley–Hamilton theorem, used in Sect. 9.6, is a simple consequence of the Laplace transform. In short, the Laplace transform is an effective tool with surprisingly diverse applications. Mathematicians are well aware of the importance of transform methods to simplify mathematical problems. For example, the Fourier transform is extremely important and has extensive use in more advanced mathematics courses. The wavelet transform has received much attention from both engineers and mathematicians recently. It has been applied to problems in signal analysis, storage and transmission of data, and data compression. We believe that students should be introduced to transform methods early on in their studies and to that end, the Laplace transform is particularly well suited for a sophomore level course in differential v

equations. It has been our experience that by introducing the Laplace transform near the beginning of the text, students become proficient in its use and comfortable with this important concept, while at the same time learning the standard topics in differential equations. Chapter 1 is a conventional introductory chapter that includes solution techniques for the most commonly used first order differential equations, namely, separable and linear equations, and some substitutions that reduce other equations to one of these. There are also the Picard approximation algorithm and a description, without proof, of an existence and uniqueness theorem for first order equations. Chapter 2 starts immediately with the introduction of the Laplace transform as an integral operator that turns a differential equation in t into an algebraic equation in another variable s. A few basic calculations then allow one to start solving some differential equations of order greater than one. The rest of this chapter develops the necessary theory to be able to efficiently use the Laplace transform. Some proofs, such as the injectivity of the Laplace transform, are delegated to an appendix. Sections 2.6 and 2.7 introduce the basic function spaces that are used to describe the solution spaces of constant coefficient linear homogeneous differential equations. With the Laplace transform in hand, Chap. 3 efficiently develops the basic theory for constant coefficient linear differential equations of order 2. For example, the homogeneous equation q.D/y D 0 has the solution space Eq that has already been described in Sect. 2.6. The Laplace transform immediately gives a very easy procedure for finding the test function when teaching the method of undetermined coefficients. Thus, it is unnecessary to develop a rule-based procedure or the annihilator method that is common in many texts. Chapter 4 extends the basic theory developed in Chap. 3 to higher order equations. All of the basic concepts and procedures naturally extend. If desired, one can simultaneously introduce the higher order equations as Chap. 3 is developed or very briefly mention the differences following Chap. 3. Chapter 5 introduces some of the theory for second order linear differential equations that are not constant coefficient. Reduction of order and variation of parameters are topics that are included here, while Sect. 5.4 uses the Laplace transform to transform certain second order nonconstant coefficient linear differential equations into first order linear differential equations that can then be solved by the techniques described in Chap. 1. We have broken up the main theory of the Laplace transform into two parts for simplicity. Thus, the material in Chap. 2 only uses continuous input functions, while in Chap. 6 we return to develop the theory of the Laplace transform for discontinuous functions, most notably, the step functions and functions with jump discontinuities that can be expressed in terms of step functions in a natural way. The Dirac delta function and differential equations that use the delta function are also developed here. The Laplace transform works very well as a tool for solving such differential equations. Sections 6.6–6.8 are a rather extensive treatment of periodic functions, their Laplace transform theory, and constant coefficient linear differential equations with periodic input function. These sections make for a good supplemental project for a motivated student.

Chapter 7 is an introduction to power series methods for linear differential equations. As a nice application of the Frobenius method, explicit Laplace inversion formulas involving rational functions with denominators that are powers of an irreducible quadratic are derived. Chapter 8 is primarily included for completeness. It is a standard introduction to some matrix algebra that is needed for systems of linear differential equations. For those who have already had exposure to this basic algebra, it can be safely skipped or given as supplemental reading. Chapter 9 is concerned with solving systems of linear differential equations. By the use of the Laplace transform, ˚ it is possible to give an explicit formula for the matrix exponential eAt D L 1 .sI A/ 1 that does not involve the use of eigenvectors or generalized eigenvectors. Moreover, we are then able to develop an efficient method for computing eAt known as Fulmer’s method. Another thing which is somewhat unique is that we use the matrix exponential in order to solve a constant coefficient system y 0 D Ay C f .t/, y.t0 / D y0 by means of an integrating factor. An immediate consequence of this is the existence and uniqueness theorem for higher order constant coefficient linear differential equations, a fact that is not commonly proved in texts at this level. The text has numerous exercises, with answers to most odd-numbered exercises in the appendix. Additionally, a student solutions manual is available with solutions to most odd-numbered problems, and an instructors solution manual includes solutions to most exercises.

Chapter Dependence The following diagram illustrates interdependence among the chapters.


Xem video: Hướng Dẫn Cách đấu Cục đẩy với Vang số (Tháng Giêng 2022).