Bài viết

6.3: Nguồn gốc của số phức - Toán học


Mục tiêu học tập

  • Hiểu định lý De Moivre và có thể sử dụng nó để tìm nghiệm nguyên của một số phức.

Một nhận dạng cơ bản là công thức của De Moivre mà chúng ta bắt đầu phần này.

Định lý ( PageIndex {1} ): Định lý De Moivre

Đối với bất kỳ số nguyên dương nào (n ), chúng tôi có

[ left (e ^ {i theta} right) ^ n = e ^ {i n theta} ]

Do đó, với mọi số thực (r> 0 ) và mọi số nguyên dương (n ), chúng ta có:

[ left (r left ( cos theta + i sin theta right) right) ^ {n} = r ^ {n} left ( cos n theta + i sin n theta đúng)]

Bằng chứng

Bằng chứng là bằng quy nạp trên (n ). Rõ ràng là công thức đúng nếu (n = 1. ) Giả sử nó đúng với (n. ) Sau đó, hãy xem xét (n + 1 ).

[ left (r left ( cos theta + i sin theta right) right) ^ {n + 1} = left (r left ( cos theta + i sin theta right) right) ^ {n} left (r left ( cos theta + i sin theta right) right) nonumber ]

mà bằng quy nạp bằng

[ begin {align} & = & r ^ {n + 1} left ( cos n theta + i sin n theta right) left ( cos theta + i sin theta right) & = & r ^ {n + 1} left ( left ( cos n theta cos theta- sin n theta sin theta right) + i left ( sin n theta cos theta + cos n theta sin theta right) right) & = & r ^ {n + 1} left ( cos left (n + 1 right) theta + i sin left (n + 1 right) theta right) end {căn chỉnh} ]

bằng các công thức tính cosin và sin của tổng hai góc.

Quy trình được sử dụng trong bằng chứng trước đó, được gọi là quy nạp toán học rất mạnh về Toán học và Khoa học Máy tính và được khám phá chi tiết hơn trong Phụ lục.

Bây giờ, hãy xem xét một hệ quả của Định lý [thm: demoivretheorem].

Hệ quả ( PageIndex {1} ): Nguồn gốc của Số phức

Gọi (z ) là một số phức khác 0. Sau đó, luôn có chính xác (k ) nhiều (k ^ {th} ) gốc của (z ) trong ( mathbb {C} ).

Bằng chứng

Đặt (z = a + bi ) và (z = left vert z right vert left ( cos theta + i sin theta right) ) là dạng cực của phức con số. Theo định lý De Moivre, một số phức

[w = r e ^ {i alpha} = r left ( cos alpha + i sin alpha right) nonumber ]

là gốc (k ^ {th} ) của (z ) nếu và chỉ khi

[w ^ k = (re ^ {i alpha}) ^ k = r ^ ke ^ {ik alpha} = r ^ {k} left ( cos k alpha + i sin k alpha right ) = left vert z right vert left ( cos theta + i sin theta right) nonumber ]

Điều này yêu cầu (r ^ {k} = left vert z right vert ) và như vậy (r = left vert z right vert ^ {1 / k} ). Ngoài ra, cả ( cos left (k alpha right) = cos theta ) và ( sin left (k alpha right) = sin theta. ) Điều này chỉ có thể xảy ra nếu

[k alpha = theta + 2 ell pi ] cho ( ell ) một số nguyên. Như vậy

[ alpha = frac { theta + 2 ell pi} {k}, ; ell = 0, 1, 2, cdots, k-1 nonumber ]

và do đó, các gốc (k ^ {th} ) của (z ) có dạng

[ left vert z right vert ^ {1 / k} left ( cos left ( frac { theta + 2 ell pi} {k} right) + i sin left ( frac { theta + 2 ell pi} {k} right) right), ; ell = 0, 1, 2, cdots, k-1 nonumber ]

Vì cosin và sin là tuần hoàn của chu kỳ (2 pi, ) nên có chính xác (k ) số phân biệt là kết quả của công thức này.

Quy trình tìm các gốc (k ^ {th} ) của (z in mathbb {C} ) như sau.

Thủ tục ( PageIndex {1} ): Tìm gốc của một số phức

Gọi (w ) là một số phức. Chúng tôi muốn tìm các gốc (n ^ {th} ) của (w ), đó là tất cả (z ) sao cho (z ^ n = w ).

Có (n ) gốc (n ^ {th} ) riêng biệt và chúng có thể được tìm thấy như sau:.

  1. Biểu thị cả (z ) và (w ) ở dạng cực (z = re ^ {i theta}, w = se ^ {i phi} ). Khi đó (z ^ n = w ) trở thành: [(re ^ {i theta}) ^ n = r ^ ne ^ {in theta} = se ^ {i phi} nonumber ] Chúng ta cần giải quyết cho (r ) và ( theta ).
  2. Giải hai phương trình sau: [ begin {align} r ^ n & = & s end {align} ] [ begin {align} e ^ {in theta} & = & e ^ {i phi } label {rootseqns} end {align} ]
  3. Các giải pháp cho (r ^ n = s ) được đưa ra bởi (r = sqrt [n] {s} ).
  4. Các giải pháp cho (e ^ {i n theta} = e ^ {i phi} ) được đưa ra bởi: [n theta = phi + 2 pi ell, ; mbox {for} ; ell = 0,1,2, cdots, n-1 nonumber ] hoặc [ theta = frac { phi} {n} + frac {2} {n} pi ell, ; mbox {for} ; ell = 0,1,2, cdots, n-1 nonumber ]
  5. Sử dụng các nghiệm (r, theta ) cho các phương trình đã cho trong ([rootseqns]) để xây dựng các căn (n ^ {th} ) có dạng (z = re ^ {i theta} ).

Lưu ý rằng một khi rễ đã thu được ở bước cuối cùng, chúng có thể được chuyển đổi sang dạng tiêu chuẩn nếu cần. Hãy xem xét một ví dụ về khái niệm này. Lưu ý rằng theo Hệ quả [cor: rootcomplexnumbers], có chính xác (3 ) căn bậc hai của một số phức.

Ví dụ ( PageIndex {1} ): Tìm rễ hình khối

Tìm ba gốc lập phương của (i. ) Nói cách khác là tìm tất cả (z ) sao cho (z ^ 3 = i ).

Giải pháp

Đầu tiên, chuyển đổi từng số thành dạng cực: (z = re ^ {i theta} ) và (i = 1 e ^ {i pi / 2} ). Phương trình bây giờ trở thành

[(re ^ {i theta}) ^ 3 = r ^ 3 e ^ {3i theta} = 1 e ^ {i pi / 2} nonumber ]

Do đó, hai phương trình chúng ta cần giải là (r ^ 3 = 1 ) và (3i theta = i pi / 2 ). Cho rằng (r in mathbb {R} ) và (r ^ 3 = 1 ) nó tuân theo (r = 1 ).

Giải phương trình thứ hai như sau. Chia đầu tiên cho (i ). Sau đó, vì đối số của (i ) không phải là duy nhất, chúng tôi viết (3 theta = pi / 2 + 2 pi ell ) cho ( ell = 0,1,2 ).

[ begin {align} 3 theta & = & pi / 2 + 2 pi ell ; mbox {for} ; ell = 0,1,2 theta & = & pi / 6 + frac {2} {3} pi ell ; mbox {for} ; ell = 0,1,2 end {căn chỉnh} ]

Đối với ( ell = 0 ): [ theta = pi / 6 + frac {2} {3} pi (0) = pi / 6 nonumber ]

Đối với ( ell = 1 ): [ theta = pi / 6 + frac {2} {3} pi (1) = frac {5} {6} pi nonumber ]

Đối với ( ell = 2 ): [ theta = pi / 6 + frac {2} {3} pi (2) = frac {3} {2} pi nonumber ]

Do đó, ba gốc được cho bởi

[1e ^ {i pi / 6}, 1e ^ {i frac {5} {6} pi}, 1e ^ {i frac {3} {2} pi} nonumber ]

Được viết ở dạng chuẩn, các gốc này tương ứng là

[ frac { sqrt {3}} {2} + i frac {1} {2}, - frac { sqrt {3}} {2} + i frac {1} {2}, - tôi không số ]

Khả năng tìm các gốc (k ^ {th} ) cũng có thể được sử dụng để nhân tử một số đa thức.

Ví dụ ( PageIndex {1} ): Giải một phương trình đa thức

Nhân tử của đa thức (x ^ {3} -27. )

Giải pháp

Đầu tiên tìm các gốc hình lập phương của 27. Bằng quy trình trên, các gốc hình lập phương này là

[3,3 left ( displaystyle frac {-1} {2} + i displaystyle frac { sqrt {3}} {2} right), nonumber ]

[3 left ( displaystyle frac {-1} {2} -i displaystyle frac { sqrt {3}} {2} right). không có số]

Bạn có thể muốn xác minh điều này bằng cách sử dụng các bước trên.

Vì thế,

[x ^ {3} -27 = left (x-3 right) left (x-3 left ( frac {-1} {2} + i frac { sqrt {3}} {2 } right) right) left (x-3 left ( frac {-1} {2} -i frac { sqrt {3}} {2} right) right) nonumber ]

Cũng lưu ý

[ left (x-3 left ( frac {-1} {2} + i frac { sqrt {3}} {2} right) right) left (x-3 left ( frac {-1} {2} -i frac { sqrt {3}} {2} right) right) = x ^ {2} + 3x + 9 nonumber ]

và vì thế

[x ^ {3} -27 = left (x-3 right) left (x ^ {2} + 3x + 9 right) nonumber ]

trong đó không thể tính đa thức bậc hai (x ^ {2} + 3x + 9 ) mà không sử dụng số phức.

Lưu ý rằng mặc dù đa thức (x ^ {3} -27 ) có tất cả các hệ số thực, nó có một số số 0 phức tạp, (3 left ( displaystyle frac {-1} {2} + i displaystyle frac { sqrt {3}} {2} right), ) và (3 left ( displaystyle frac {-1} {2} -i displaystyle frac { sqrt {3}} {2 }đúng)). Những số không này là những liên hợp phức tạp của nhau. Luôn luôn xảy ra trường hợp nếu một đa thức có hệ số thực và một căn phức, nó cũng sẽ có một căn bằng liên hợp phức.


Số phức - Câu hỏi và vấn đề với giải pháp

Các câu hỏi và câu đố với các giải pháp về số phức được trình bày. Các giải pháp chi tiết cho các ví dụ cũng được bao gồm.

Câu hỏi về Số phức có câu trả lời. Các câu hỏi là về cộng, nhân và chia phức cũng như tìm liên hợp phức.
Mô đun và đối số của số phức Các ví dụ và câu hỏi có lời giải.
Mô đun và đối số của một số phức - Máy tính.
Số phức ở dạng mũ. Ví dụ và câu hỏi với các giải pháp chi tiết.
Số phức ở dạng cực. Ví dụ và câu hỏi với các giải pháp chi tiết.
Định lý De Moivre's Power and Root. Các ví dụ và câu hỏi có lời giải chi tiết về cách sử dụng định lý De Moivre để tìm lũy thừa và nghiệm nguyên của số phức. .
Số phức - Các phép toán cơ bản. Hướng dẫn cách tìm liên hợp của một số phức và cộng, trừ, nhân, chia số phức được hỗ trợ bởi máy tính trực tuyến.
Các bài toán về số phức có lời giải và đáp án - Lớp 12.


Hình khối phức tạp

Sự kiên nhẫn của Cardano & # 8217 đối với các số phức, mặc dù rất ấn tượng, nhưng rất hạn chế. Điểm đột phá của ông xuất hiện dưới dạng một trường hợp đặc biệt kỳ lạ của nghiệm cho khối lập phương suy giảm & # 8212, chính giải pháp mà ông dựa vào giải pháp của mình cho khối tổng quát. Như được mô tả trong một trong các bài đăng trên blog của tôi và trong Paul J. Nahin & # 8217s Câu chuyện tưởng tượng: Câu chuyện về , giải pháp này như sau:

Cho một số phương trình ở dạng:

Giá trị của x có thể được tìm thấy với biểu thức:

Phương trình này, khi nó xảy ra, mặc dù nghiệm của nó luôn thực, có một trường hợp cạnh đặc biệt kỳ lạ, trong đó nghiệm này thoạt nhìn có vẻ phức tạp. Điều kiện này xảy ra khi biểu thức là âm, do đó dẫn đến căn bậc hai âm.

Cardano đã xem xét một vấn đề như vậy dẫn đến căn bậc hai âm, bậc ba suy giảm:

Khi Cardano cố gắng giải điều này bằng cách sử dụng công thức bậc ba suy giảm mà ông đã xuất bản, ông đã thu được kết quả khá khó hiểu:

Tại thời điểm này, Cardano đã rất bối rối. Mặc dù anh ta đã cố gắng đánh giá hai căn của khối lập phương, mỗi căn chứa số phức, nhưng các phương pháp của anh đã cho anh ta đi theo vòng lặp, với mỗi lần lặp lại yêu cầu anh ta đánh giá thêm một căn bậc hai khác của số phức. Cuối cùng, Cardano, đi theo con đường của những người tiền nhiệm của mình, đã từ bỏ và tuyên bố hình thức này là không thể sửa chữa được.

Tất nhiên, cũng giống như những người tiền nhiệm của mình, vấn đề mà ông đã từ bỏ quả thực có lời giải. Điều này khá rõ ràng đối với bất kỳ nhà toán học hiện đại nào quen thuộc với số phức & # 8212, biểu thức trên chỉ đơn thuần là tổng các căn lập phương của hai liên hợp phức & # 8212, tất nhiên, các căn này sẽ là liên hợp phức.


Rễ thứ n của số phức

Nhớ lại từ Công thức của De Moivre cho trang Biểu diễn cực của quyền hạn của số phức rằng nếu $ z in mathbb$, $ r = mid z mid $ và $ theta = arg (z) $ sau đó cho tất cả $ n in mathbb$ chúng tôi có rằng:

Công thức quan trọng này được gọi là công thức De Moivre. Sử dụng công thức này, chúng tôi sẽ chứng minh rằng với tất cả các số phức khác không $ z in mathbb$ tồn tại $ n $ nhiều $ n ^ < mathrm> $ root cho mỗi $ n in mathbb$ .

Định lý 1: Cho $ w in mathbb$, $ w neq 0 $ với $ w = rho ( cos phi + i sin phi) $. Sau đó, tồn tại $ n $ nhiều $ n ^ < mathrm> $ root của $ w $ được cho bởi công thức $ displaystyle left (( cos left ( frac < phi + 2 pi k> right) + i sin left ( frac < phi + 2k pi> right) right)> $ trong đó mỗi $ k in <0, 1 ,. n - 1 > $ sinh ra $ n ^ < mathrm riêng biệt> $ gốc.

Vì vậy, nếu $ z = r ( cos theta + i sin theta) $ thì $ n ^ < mathrm> $ root của $ z $ được cung cấp bởi $ displaystyle left ( cos left ( frac < theta + 2k pi> right) + i sin left ( frac < theta + 2k pi> right) right)> $.

  • Bằng chứng: Cho $ z = r ( cos theta + i sin theta) $ và cho $ w = rho ( cos phi + i sin phi) $. Sau đó, theo Công thức của De Moivre về Biểu diễn Cực của các Số phức, chúng ta có rằng:
  • Do đó $ r ^ n = rho $ và $ n theta = phi + 2k pi $ cho một số $ k in mathbb$. Chúng tôi giải quyết cho $ r $ và $ theta $. Chúng tôi có rằng:
  • Điều này thỏa mãn cho mỗi $ k in <0, 1 ,. n - 1 > $, tức là có $ n $ nhiều $ n ^ < mathrm> $ gốc cho mọi số phức khác không. $ blacksquare $

Tìm gốc rễ của một số phức



Ví dụ, giải pháp, video, trang tính, trò chơi và hoạt động để giúp học sinh PreCalculus học cách tìm nghiệm nguyên của một số phức.

Tìm gốc rễ của một số phức
Chúng ta có thể sử dụng Định lý DeMoivre để tính các căn số phức. Trong nhiều trường hợp, các phương pháp này để tính các căn số phức có thể hữu ích, nhưng đối với các lũy thừa cao hơn, chúng ta nên biết hướng dẫn bốn bước chung để tính các căn số phức. Để sử dụng Định lý DeMoivre để tìm các căn số phức, chúng ta cần hiểu về dạng lượng giác của số phức.

Làm thế nào để sử dụng Định lý DeMoivre để tính các nghiệm nguyên của một số phức?

Thêm rễ của các số phức
Chúng ta có thể sử dụng hướng dẫn bốn bước đơn giản để giúp chúng ta tìm các căn số phức, hoặc căn bậc n của số phức. Những hướng dẫn này đơn giản hóa cho chúng tôi quá trình sử dụng Định lý DeMoivre để tìm các gốc phức tạp. Phương pháp tìm nghiệm phức này sử dụng dạng lượng giác và vì vậy chúng ta nên hiểu cách chuyển từ dạng hình chữ nhật sang dạng lượng giác và từ dạng lượng giác sang dạng hình chữ nhật.

Hãy dùng thử máy tính và giải bài toán Mathway miễn phí bên dưới để thực hành các chủ đề toán học khác nhau. Hãy thử các ví dụ đã cho hoặc nhập vấn đề của riêng bạn và kiểm tra câu trả lời của bạn với các giải thích từng bước.

Chúng tôi hoan nghênh phản hồi, nhận xét và câu hỏi của bạn về trang này hoặc trang này. Vui lòng gửi phản hồi hoặc thắc mắc của bạn qua trang Phản hồi của chúng tôi.


Số học của các số phức

Nhớ lại rằng mọi số phức đều là tổng của một số thực và số ảo. Chúng tôi nói rằng điều đó có một phần thực và một phần tưởng tượng,. Nếu, những điều này được đưa ra bởi:

Trong ký hiệu trên, hãy để ý xem một số phức trông giống như một hợp số bao nhiêu (ví dụ: so sánh và). Sự khác biệt duy nhất là số dưới dấu căn bậc hai là số âm.Trong thực tế, khi nói về số học, các số phức có thể được coi như các hợp số. Khái niệm này rất hữu ích khi nhớ cách cộng, trừ, nhân hoặc chia các số phức. Giả sử rằng số phức của bạn là một số phức, thực hiện các phép toán tương tự và mọi thứ sẽ diễn ra.

Cộng và trừ

Để cộng hai số phức, phải cộng riêng phần thực và phần ảo của chúng. Để trừ hai số phức, cần trừ riêng phần thực và phần ảo của chúng.
Lưu ý: Đang thêm cũng giống như phép trừ và trừ đi cũng giống như việc thêm .


Ví dụ 5: Chuyển $ z = 8 $ sang dạng cực

Ở đây số phức nằm trong trục thực dương. Do đó $ theta = 0 $.

Do đó, dạng cực là $ z = 8 angle <0> = 8 left ( cos 0 + i sin 0 right) $

Tương tự, chúng ta có thể viết số phức dưới dạng số mũ là $ z = re ^ = 8e ^ <0 xì gà

(Xin lưu ý rằng tất cả các giá trị có thể có của đối số, arg z là $ 2 pi n + 0 = 2 pi n $ trong đó $ n = 0, pm 1, pm 2, cdots $ Theo đó chúng ta có thể lấy khác các dạng cực có thể có và dạng hàm mũ cũng có)


Cách chia số phức

Để chia số phức. Đầu tiên, tìm liên hợp phức của mẫu số, nhân tử số và mẫu số với liên từ đó và đơn giản hóa.

Ví dụ 1

Hãy chia 2 số phức sau

Xác định liên hợp của mẫu số

Liên hợp của $ (7 + 4i) $ là $ (7 red - 4i) $.

Nhân tử số và mẫu số với liên hợp.

Lưu ý: Lý do mà chúng tôi sử dụng liên hợp phức của mẫu số là để số hạng $ i $ ở mẫu số "hủy", đó là điều xảy ra ở trên với các số hạng thứ i được tô màu xanh lam $ blue <-28i + 28i> $.

Video hướng dẫn về Chia số phức

Thực hành Các vấn đề

Vấn đề 1.1

Chia các số phức dưới đây:

Xác định liên hợp của mẫu số

Liên hợp của $ 2 + 6i $ là $ (2 red - 6i) $.

Nhân tử số và mẫu số với liên hợp.

Vấn đề 1.2

Tìm thương số sau

Xác định liên hợp của mẫu số

Liên hợp của $ 5 + 7i $ là $ 5 red - 7i $.

Nhân tử số và mẫu số với liên hợp.

Vấn đề 1.3

Tìm thương số sau

Xác định liên hợp của mẫu số

Liên hợp của $ 3 + 2i $ là $ (3 red -2i) $.

Nhân tử số và mẫu số với liên hợp.

Vấn đề 1.3.1

Làm cho một dự đoán

Xem kỹ vấn đề 1.5 và 1.6 bên dưới.

Dự đoán: Bạn có nghĩ rằng sẽ có điều gì đặc biệt hoặc thú vị về một trong các thương số sau không?

Kéo xuống trang để xem câu trả lời (từ bảng tính có thể tải xuống miễn phí của chúng tôi).


6.3: Nguồn gốc của số phức - Toán học

Ví dụ đơn giản, let, và, tức là,

Như thể hiện trong Hình.2.1, đây là một parabol có tâm tại (ở đâu) và hướng lên trên đến vô cực dương, không bao giờ đi xuống bên dưới. Nó không có số 0 thực. Mặt khác, công thức bậc hai nói rằng `` căn '' được đưa ra chính thức bởi. Căn bậc hai của bất kỳ số âm nào có thể được biểu thị bằng, vì vậy đối tượng đại số mới duy nhất là. Hãy đặt tên cho nó:

Sau đó, về mặt hình thức, các gốc của là, và chúng ta có thể chính thức biểu thị đa thức theo các gốc của nó như

Chúng ta có thể coi chúng là `` căn thức '' theo nghĩa là căn bậc hai của số âm không thực sự tồn tại, hoặc chúng ta có thể mở rộng khái niệm `` căn '' để cho phép các số phức, tức là các số hình thức

Có thể kiểm tra rằng tất cả các phép toán đại số đối với số thực 2.2 đều áp dụng tốt cho các số phức. Cả số thực và số phức đều là ví dụ của một lĩnh vực toán học. 2.3 Các trường được đóng đối với phép nhân và phép cộng, và tất cả các quy tắc đại số chúng ta sử dụng trong thao tác với đa thức với hệ số thực (và căn) đều không thay đổi thành đa thức có hệ số phức và căn. Trên thực tế, các quy tắc của đại số trở nên đơn giản hơn đối với số phức bởi vì, như đã thảo luận trong phần tiếp theo, chúng ta luôn có thể nhân tử đa thức hoàn toàn trên trường của số phức trong khi chúng ta không thể làm điều này trên thực (như chúng ta đã thấy trong ví dụ).


Khiếu nại DMCA

Nếu bạn tin rằng nội dung có sẵn trên Trang web (như được định nghĩa trong Điều khoản dịch vụ của chúng tôi) vi phạm một hoặc nhiều bản quyền của bạn, vui lòng thông báo cho chúng tôi bằng cách cung cấp thông báo bằng văn bản (“Thông báo vi phạm”) chứa thông tin được mô tả bên dưới cho người được chỉ định đại lý được liệt kê bên dưới. Nếu Varsity Tutor thực hiện hành động theo Thông báo vi phạm, họ sẽ cố gắng liên hệ với bên cung cấp nội dung đó bằng địa chỉ email mới nhất, nếu có, do bên đó cung cấp cho Varsity Tutor.

Thông báo Vi phạm của bạn có thể được chuyển tiếp đến bên cung cấp nội dung hoặc cho các bên thứ ba, chẳng hạn như ChillingEffects.org.

Xin lưu ý rằng bạn sẽ phải chịu trách nhiệm bồi thường thiệt hại (bao gồm cả chi phí và phí luật sư) nếu bạn xuyên tạc một cách nghiêm trọng rằng một sản phẩm hoặc hoạt động đang vi phạm bản quyền của bạn. Vì vậy, nếu bạn không chắc chắn nội dung nằm trên hoặc được liên kết bởi Trang web vi phạm bản quyền của bạn, trước tiên bạn nên cân nhắc liên hệ với luật sư.

Vui lòng làm theo các bước sau để gửi thông báo:

Bạn phải bao gồm những điều sau:

Chữ ký thực hoặc điện tử của chủ sở hữu bản quyền hoặc người được ủy quyền đại diện cho họ Nhận dạng bản quyền bị khiếu nại là đã bị vi phạm Mô tả về bản chất và vị trí chính xác của nội dung mà bạn cho là vi phạm bản quyền của mình, một cách đầy đủ chi tiết để cho phép Varsity Tutor tìm và xác định một cách tích cực nội dung đó, chẳng hạn như chúng tôi yêu cầu liên kết đến câu hỏi cụ thể (không chỉ tên của câu hỏi) có chứa nội dung và mô tả về phần cụ thể của câu hỏi - hình ảnh, liên kết, văn bản, v.v. - khiếu nại của bạn đề cập đến tên, địa chỉ, số điện thoại và địa chỉ email của Bạn và Một tuyên bố của bạn: (a) rằng bạn thành thực tin rằng việc sử dụng nội dung mà bạn cho là vi phạm bản quyền của bạn là không được pháp luật cho phép hoặc chủ sở hữu bản quyền hoặc đại diện của chủ sở hữu đó (b) rằng tất cả thông tin có trong Thông báo vi phạm của bạn là chính xác và (c) chịu hình phạt nếu khai man chủ sở hữu bản quyền hoặc người được ủy quyền đại diện cho họ.

Gửi khiếu nại của bạn đến đại lý được chỉ định của chúng tôi tại:

Charles Cohn Varsity Tutor LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105


Xem video: Sahə vahidləri. Sahə 1 (Tháng Giêng 2022).