Bài viết

13.4E: Chuỗi và ký hiệu của chúng (Bài tập) - Toán học


21. Sử dụng ký hiệu tổng để viết tổng các số hạng ( frac {1} {2} m + 5 ) từ (m = 0 ) đến (m = 5 ).

22. Sử dụng ký hiệu tổng để viết tổng là kết quả của việc cộng số 13 hai mươi lần.

23. Sử dụng công thức tính tổng của (n ) số hạng đầu tiên của một dãy số học để tìm tổng của mười một số hạng đầu tiên của dãy số học (2,5,4,5,5, ldots )

24. Một cái thang có 15 bậc thang giảm dần, độ dài của các bậc tăng dần bằng một hiệu số chung. Nấc đầu tiên dài 5 inch và nấc cuối cùng dài 20 inch. Tổng chiều dài của các bậc thang là bao nhiêu?

25. Sử dụng công thức tính tổng của (n ) số hạng đầu tiên của một chuỗi hình học để tìm (S_ {9} ) cho chuỗi (12,6,3, frac {3} {2} , ldots )

26. Lệ phí cho ba năm đầu tiên của một thành viên câu lạc bộ săn bắn được đưa ra trong Bảng 1. Nếu lệ phí tiếp tục tăng với tốc độ tương tự, tổng chi phí cho mười năm thành viên đầu tiên sẽ là bao nhiêu?

Bảng 1
NămPhí thành viên
1$1500
2$1950
3$2535

27. Tìm tổng của chuỗi hình học vô hạn ( sum_ {k = 1} ^ { infty} 45 cdot left (- frac {1} {3} right) ^ {k-1} ) .

28. Một quả bóng có hệ số dội lại bằng ( frac {3} {5} ) độ cao của quả bóng nảy trước đó. Viết một chuỗi biểu diễn tổng quãng đường quả bóng đi được, giả sử ban đầu nó được thả rơi từ độ cao 5 feet. Tổng khoảng cách là bao nhiêu? (Gợi ý: tổng quãng đường mà quả bóng đi được trên mỗi lần tung lên là tổng độ cao của sự tăng và giảm.).
29. Alejandro gửi ( $ 80 ) thu nhập hàng tháng của mình vào một niên kim để kiếm (6,25 \% ) tiền lãi hàng năm, cộng lại hàng tháng. Sau 5 năm anh ta tiết kiệm được bao nhiêu tiền?

30. Cặp song sinh Sarah và Scott đều mở tài khoản hưu trí vào ngày sinh nhật (21 ^ { text {st}} ) của họ. Sarah gửi tiền ($ 4,800,00 ) mỗi năm, kiếm (5,5 \% ) lãi suất hàng năm, cộng dồn hàng tháng. Scott gửi tiền ($ 3,600,00 ) mỗi năm, kiếm (8,5 \% ) lãi suất hàng năm, cộng dồn hàng tháng. Cặp song sinh nào sẽ kiếm được nhiều tiền nhất vào thời điểm họ 55 tuổi? Thêm bao nhiêu?


Số bảng tính chuyển đổi hệ thống

Từ rô bốt đến quốc phòng đến máy tính, chuyển đổi từ hệ thống số này sang hệ thống số khác không bao giờ hoàn toàn phai nhạt khỏi diễn ngôn. Hoàn thiện nghệ thuật chuyển đổi giữa các hệ thống số nhị phân, bát phân, thập phân và thập lục phân với loại trang tính chuyển đổi hệ thống số có thể in này! Với vô số các vấn đề chuyển đổi tiêu chuẩn và MCQ để bổ sung cho thực hành của bạn, các bảng tính pdf dựa trên chuyển đổi cơ sở này chính xác là những gì học sinh trung học cần để xoay chuyển vận may chuyển đổi của họ. Truy cập một số trang tính này miễn phí!


Phương pháp toán học cho nhà vật lý: Hướng dẫn toàn diện

Hiện đã có phiên bản thứ 7, Phương pháp toán học cho các nhà vật lý tiếp tục cung cấp tất cả các phương pháp toán học mà các nhà khoa học và kỹ sư tham vọng có thể gặp phải khi còn là sinh viên và các nhà nghiên cứu mới bắt đầu. Văn bản bán chạy nhất này cung cấp các quan hệ toán học và các bằng chứng cần thiết cho việc nghiên cứu vật lý và các lĩnh vực liên quan. Trong khi giữ lại các đặc điểm chính của ấn bản thứ 6, ấn bản mới cung cấp sự cân bằng cẩn thận hơn về giải thích, lý thuyết và ví dụ. Sử dụng phương pháp tiếp cận kỹ năng giải quyết vấn đề để kết hợp các định lý với các ứng dụng, trọng tâm được cải thiện của cuốn sách sẽ giúp sinh viên thành công trong suốt sự nghiệp học tập và thành công trong nghề nghiệp của họ. Một số cải tiến đáng chú ý bao gồm nội dung tinh tế và tập trung hơn trong các chủ đề quan trọng, cải tiến tổ chức, ký hiệu cập nhật, giải thích sâu rộng và bộ bài tập trực quan, nhiều giải pháp vấn đề hơn, cải thiện vị trí và phạm vi độ khó của bài tập.


Đặt ký hiệu

Trong các bài học này, chúng ta sẽ tìm hiểu khái niệm về tập hợp, các phương pháp xác định tập hợp, ký hiệu tập hợp, tập hợp rỗng, ký hiệu cho ‘là một phần tử của’, tập hợp con, giao và hợp. Những bài học này là một phần của loạt Bài học về Bộ.

Bảng sau đây đưa ra tóm tắt về các ký hiệu được sử dụng trong các bộ.

Tập hợp là một tập hợp các đối tượng riêng biệt được xác định rõ ràng.

Các đối tượng riêng lẻ trong một tập hợp được gọi là các thành viên hoặc là các yếu tố của bộ.

Một số ký hiệu cho các bộ là:
<1, 2, 3> = tập hợp các số nguyên lớn hơn 0 và nhỏ hơn 4 =

Chúng ta cũng có tập hợp rỗng được ký hiệu là <> hoặc Ø, nghĩa là tập hợp không có phần tử nào.

Chúng ta có thể có các tập hợp vô hạn, ví dụ <1, 2, 3, & hellip>, nghĩa là tập hợp có vô số phần tử.

Chúng tôi có một biểu tượng cho thấy thành viên. Chúng ta liên hệ một phần tử và một tập hợp bằng cách sử dụng ký hiệu ∈. Nếu một đối tượng x là một phần tử của tập A thì ta viết x ∈ A. Nếu một đối tượng z không phải là một phần tử của tập A thì ta viết z ∉ A.

∈ biểu thị "là một phần tử của" hoặc "là một thành viên của" hoặc "thuộc về"

∉ biểu thị “không phải là một phần tử của” hoặc “không phải là thành viên của” hoặc “không thuộc về”

Thí dụ:
Nếu A = <1, 3, 5> thì 1 ∈ A và 2 ∉ A

Video

Video này giới thiệu khái niệm về tập hợp và các phương pháp khác nhau để xác định tập hợp.

(Các) ký hiệu tập hợp: Thảo luận về ký hiệu tập hợp: danh sách, mô tả và ký hiệu trình tạo tập hợp.

Video sau đây mô tả: Tập hợp Ký hiệu, Tập hợp rỗng, Biểu tượng cho “là một phần tử của’ tập hợp con, giao điểm và kết hợp.

Đặt ký hiệu: Phương pháp phân công, Đặt ký hiệu trình tạo.

Hãy dùng thử máy tính và giải bài toán Mathway miễn phí bên dưới để thực hành các chủ đề toán học khác nhau. Hãy thử các ví dụ đã cho hoặc nhập vấn đề của riêng bạn và kiểm tra câu trả lời của bạn với các giải thích từng bước.

Chúng tôi hoan nghênh phản hồi, nhận xét và câu hỏi của bạn về trang này hoặc trang này. Vui lòng gửi phản hồi hoặc thắc mắc của bạn qua trang Phản hồi của chúng tôi.


Bài tập trong phân tích

Các bài tập về Giải tích sẽ được xuất bản thành hai tập. Tập đầu tiên này bao gồm các vấn đề trong năm chủ đề cốt lõi của phân tích toán học: không gian số liệu không gian tôpô đo lường, tích phân và phép đo Martingales và cấu trúc liên kết và phân tích chức năng. Mỗi chủ đề trong năm chủ đề tương ứng với một chương khác nhau, bao gồm lý thuyết cơ bản và các định nghĩa và kết quả chính kèm theo, kèm theo các nhận xét và nhận xét phù hợp để hiểu rõ hơn về tài liệu. Ít nhất 170 bài tập / bài toán được trình bày cho mỗi chủ đề, với lời giải có sẵn ở cuối mỗi chương. Toàn bộ bộ sưu tập các bài tập cung cấp một bức tranh cân đối và hữu ích cho ứng dụng xoay quanh mỗi chủ đề.

Sự bao quát gần như bách khoa về các bài tập trong phân tích toán học này là loại đầu tiên thuộc loại này và có thể tiếp cận được với một lượng độc giả rộng rãi. Sinh viên sau đại học sẽ thấy tuyển tập các vấn đề có giá trị để chuẩn bị cho các kỳ thi sơ bộ hoặc kiểm tra chất lượng cũng như để kiểm tra sự hiểu biết sâu hơn của họ về tài liệu. Các bài tập được biểu thị theo mức độ khó. Các giảng viên giảng dạy các khóa học bao gồm một hoặc tất cả các chủ đề nêu trên sẽ thấy các bài tập giúp ích rất nhiều cho việc chuẩn bị khóa học. Các nhà nghiên cứu phân tích có thể thấy Công việc này hữu ích như một bản tóm tắt các lý thuyết phân tích được xuất bản trong một tập có thể truy cập được.

Leszek Gasińksi là Chủ tịch Lý thuyết Điều khiển và Tối ưu hóa tại Viện Khoa học Máy tính tại Đại học Jagiellonian ở Krakow, Ba Lan. Ông là đồng tác giả, cùng với Nikolaos S. Papageorgiou, của "Phân tích phi tuyến" (CRC 2005) và "Lý thuyết điểm tới hạn không trơn tru và các vấn đề giá trị biên phi tuyến" (CRC 2006). Nikolaos S. Papageorgiou là Giáo sư Toán học tại Trường Khoa học Vật lý và Toán học Ứng dụng tại Đại học Kỹ thuật Quốc gia ở Athens, Hy Lạp. Ông là đồng tác giả, cùng với Leszek Gasińksi, của "Phân tích phi tuyến" (CRC 2005) và "Lý thuyết điểm tới hạn không êm và các vấn đề giá trị biên phi tuyến" (CRC 2006).

“Cuốn sách trình bày hầu hết các định lý tiêu chuẩn trong phân tích thực, cấu trúc liên kết và phân tích chức năng cũng như một loạt các vấn đề với lời giải của chúng. … Cách trình bày sáng suốt và trang nhã. Các ký hiệu là tiêu chuẩn trong toàn bộ văn bản. … Hữu ích cho sinh viên tốt nghiệp và giảng viên có sở thích về xác suất, tài chính, lý thuyết đo lường, cấu trúc liên kết, phương trình vi phân riêng và lý thuyết toán tử…. Một cuốn sách như vậy chắc chắn phải tồn tại trong mọi thư viện, nơi các sách toán học khác trong các chủ đề tương tự cư trú ”. (Dhruba Adhikari, MAA Reviews, maa.org, tháng 12 năm 2015)

“Các chủ đề được đề cập sẽ mang hầu như bất kỳ sinh viên nghiêm túc nào từ toán học đại học nâng cao qua các kỳ thi đủ điều kiện sau đại học…. Tổng kết: Khuyến nghị. Sinh viên đại học và sinh viên sau đại học của khối trên. ” (D. V. Feldman, Choice, Quyển 52 (9), tháng 5, 2015)

“Bộ sách này là tập hợp các bài toán thú vị trong phân tích thực và phân tích chức năng. Nó được gửi đến các sinh viên đại học và sau đại học nâng cao cũng như các nhà nghiên cứu về phân tích ứng dụng và thuần túy. … Toàn bộ bộ sưu tập các bài tập cung cấp một bức tranh cân đối và hữu ích cho ứng dụng xoay quanh mỗi chủ đề. Người đánh giá rất khuyến khích cuốn sách này cho tất cả các thư viện toán học. ” (Vicenţiu D. Rădulescu, zbMATH, Quyển 1298, 2014)


Cải thiện kỹ thuật chơi piano của bạn với các bài tập Hanon!

Các bài tập piano của Hanon đã được xây dựng tỉ mỉ để mang lại mức độ luyện tập tối ưu cho các nghệ sĩ piano ở mọi trình độ và khả năng. Loạt bài tập đầy đủ có thành tích đã được chứng minh trong việc cải thiện kỹ năng kỹ thuật, tốc độ và độ chính xác kéo dài trở lại tốt hơn một thế kỷ.

Xuất bản lần đầu năm 1873, Nghệ sĩ dương cầm Virtuoso của Charles Louis Hanon đã trở thành nguồn cảm hứng quý giá cho các giáo viên, sinh viên và nghệ sĩ biểu diễn piano. 60 bài tập ban đầu của Hanon hiện đã được hoàn thiện và chuyển đổi thành từng phím chính, mang đến cho người tham gia những bài tập và luyện tập hiệu suất tối đa.

Để đạt được những lợi ích tối đa từ tiến trình hợp lý của các bài tập Hanon, bạn nên thực hành các bài tập piano này hàng ngày. Bằng cách đó, học sinh sẽ nhanh chóng nhận thấy sự khác biệt khi các ngón tay của họ trở nên khỏe hơn và thành thạo hơn rất nhiều trong các công việc và kỹ thuật đầy thách thức.

Yếu tố quan trọng của các bài tập ngón đàn piano là tập trung vào việc lặp đi lặp lại hàng ngày để tăng cường sức mạnh cho bàn tay và các ngón tay. Ý tưởng chính là tăng cường tính độc lập và tính linh hoạt trong các chữ số biểu diễn, cho phép mọi nghệ sĩ dương cầm điêu luyện bên trong sân khấu âm nhạc.

Thông qua việc thực hành tập trung và tập trung các bài tập này, tất cả học sinh có thể đạt được các nguyên tắc cơ bản về hiệu suất và chơi tuyệt vời.

Với sức mạnh, độ bền và trình độ tổng quát mà các bài tập ngón đàn piano có thể khuyến khích, không có gì ngạc nhiên khi tác phẩm tỏa sáng tuyệt vời của Charles Louis Hanon vẫn là tài liệu chính cho tất cả các nghệ sĩ piano mong muốn cải thiện toàn bộ khả năng chơi piano của họ.


Phân tích thực tế tương tác

Tập hợp là những khối xây dựng cơ bản nhất trong toán học, và thực tế không dễ để đưa ra một định nghĩa chính xác về tập đối tượng toán học. Tuy nhiên, khi các tập hợp được giới thiệu, người ta có thể so sánh chúng, xác định các phép toán tương tự như phép cộng và phép nhân trên chúng, và sử dụng chúng để xác định các đối tượng mới, chẳng hạn như các loại hệ thống số khác nhau. Trên thực tế, hầu hết các chủ đề trong phân tích hiện đại cuối cùng đều dựa trên các tập hợp.

Vì vậy, rất tốt nếu bạn có hiểu biết cơ bản về các tập hợp, và chúng ta sẽ xem xét một vài sự kiện cơ bản trong phần này. Hầu hết, nếu không phải tất cả, phần này nên quen thuộc và mục đích chính của nó là xác định ký hiệu cơ bản để không bị nhầm lẫn trong phần còn lại của văn bản này.

  • A B: A là một tập con của B có nghĩa là mọi phần tử trong A cũng được chứa trong B.
  • A B: Một liên hợp B là tập hợp tất cả các phần tử nằm trong A hoặc trong B hoặc trong cả hai.
  • A B: Giao điểm B là tập hợp tất cả các phần tử nằm trong cả hai tập hợp A và B.
  • A B: A trừ B là tất cả các phần tử từ A không có trong B.
  • comp (A): Phần bù của A gồm tất cả các phần tử không thuộc A.
  • Hai tập hợp là rời rạc nếu A B = 0 (tập hợp rỗng)
  • Hai tập hợp A và B bằng nhau nếu A B và B A

Các tập hợp được sử dụng phổ biến nhất là tập hợp số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và số thực, và tập hợp rỗng. Chúng thường được biểu thị bằng các ký hiệu sau:

  • N = <1, 2, 3, 4 ,. > = số tự nhiên (đôi khi số 0 cũng được coi là một phần của số tự nhiên)
  • Z = <. -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ,. > = số nguyên
  • Q =

    (đọc là "tất cả các số p / q, sao cho p và q là các phần tử của Z") = số hữu tỉ

  • R = số thực
  • 0 = tập hợp rỗng (tập hợp không chứa phần tử)
  • Xác định các tập hợp sau: E = , O = , A = , B = < x R: -1 & lt x & lt 7> và I = . Sau đó:
    1. Nói cách khác, tập hợp E, O và I là gì?
    2. Tìm A B, A B, A B, comp (A).
    3. Tìm O E, O I, comp (I).

Các bộ có thể được kết hợp bằng cách sử dụng các thao tác trên giống như cộng và nhân các số. Các luật quen thuộc như luật kết hợp, giao hoán và phân phối cũng sẽ đúng cho các tập hợp. Ví dụ, kết quả tiếp theo sẽ minh họa luật phân phối các luật khác được để lại dưới dạng bài tập.

Nhiều kết quả trong lý thuyết tập hợp có thể được minh họa bằng cách sử dụng biểu đồ Venn, như trong chứng minh trên. Tuy nhiên, các sơ đồ như vậy không thể hiện các chứng minh chặt chẽ về mặt toán học. Tuy nhiên, trước khi một bằng chứng thực tế được phát triển, trước tiên cần phải hình thành một bức tranh tinh thần về các giả định, kết luận và hàm ý của một định lý. Đối với quá trình này, một biểu đồ Venn có thể rất hữu ích. Bạn có thể thực hành biểu đồ Venn bằng cách sử dụng chúng cho một số câu đúng / sai trong bài tập.

Có nhiều định lý khác liên quan đến hoạt động trên tập hợp. Một điều đặc biệt thú vị là định lý về các định luật De Morgan, bởi vì nó xử lý với bất kỳ số bộ nào (thậm chí là nhiều vô hạn). Việc vẽ một biểu đồ Venn trong một tình huống như vậy là không thể, nhưng một bằng chứng toán học có thể dễ dàng giải quyết tình huống này:

Định lý 1.1.4: Các định luật De Morgan
tức là phần bù của giao của bất kỳ số bộ nào bằng hợp của các phần bù của chúng.

tức là phần bù của sự kết hợp của bất kỳ số bộ nào bằng giao của các phần bù của chúng.

Cho đến nay, chúng tôi đã xem xét một số dữ kiện cơ bản từ lý thuyết tập hợp và cũng có ý tưởng về cách một khóa học về Phân tích thực sẽ tiến hành:

Đầu tiên, có những định nghĩa, nêu chính xác những gì chúng ta đang nói đến. Từ các định nghĩa đó, chúng tôi rút ra các kết quả mới, dựa trên các kết quả cũ, ký hiệu và logic. Các kết quả mới được gọi là Định lý (nếu chúng quan trọng hoặc rộng rãi), Định đề (nếu chúng thú vị, nhưng không áp dụng rộng rãi) và Corollaries (thường là các định lý hoặc mệnh đề trong các tình huống đặc biệt). Chúng tôi sẽ tiến hành theo cách đó trong suốt văn bản.

Phần khó nhất của Phân tích thực là cố gắng hiểu các bằng chứng của kết quả mới, hoặc thậm chí phát triển các bằng chứng của riêng bạn. Mặc dù có một số phương pháp 'chung' để chứng minh, nhưng bạn cần phải có nhiều kinh nghiệm và thực hành trước khi cảm thấy quen thuộc với việc đưa ra các chứng minh của riêng mình. Tuy nhiên, chỉ một số bằng chứng đòi hỏi sự khéo léo thực sự, và nhiều bằng chứng khác có thể được hiểu bằng cách xem xét cẩn thận các định nghĩa của các thuật ngữ liên quan. Do đó, như một quy luật:

Hãy nhớ rằng một bằng chứng có thể (hầu như) không bao giờ được đưa ra bằng các ví dụ. Việc tìm ra một vài ví dụ chắc chắn có thể hữu ích - và trên thực tế luôn phải được thực hiện trước khi bắt đầu chứng minh - nhưng chúng không thể tạo thành một bằng chứng chặt chẽ cho một tuyên bố chung chung.

Hai loại bằng chứng sẽ được gặp thường xuyên và cần được chú ý đặc biệt:


Mục lục

Chúng tôi học bằng cách làm. Chúng tôi học toán bằng cách giải quyết các vấn đề. Cuốn sách này là tập đầu tiên của bộ sách các bài toán trong giải tích toán học. Nó chủ yếu dành cho sinh viên nghiên cứu các nguyên tắc cơ bản của phân tích. Tuy nhiên, với cách tổ chức, cấp độ và lựa chọn các vấn đề, nó cũng sẽ là một lựa chọn lý tưởng cho các cuộc hội thảo hướng dẫn hoặc giải quyết vấn đề, đặc biệt là những cuộc hội thảo hướng tới kỳ thi Putnam. Khối lượng cũng phù hợp cho việc tự học.

Mỗi phần của cuốn sách bắt đầu với các bài tập tương đối đơn giản, nhưng cũng có thể chứa các vấn đề khá khó khăn. Rất thường một số bài tập liên tiếp liên quan đến các khía cạnh khác nhau của một vấn đề hoặc định lý toán học. Phần trình bày tài liệu này được thiết kế để giúp sinh viên hiểu và khuyến khích họ tự đặt câu hỏi và bắt đầu nghiên cứu. Bộ sưu tập các bài toán trong cuốn sách cũng nhằm giúp các thầy cô giáo có nhu cầu đưa các bài toán vào bài giảng. Giải pháp cho tất cả các vấn đề được cung cấp.

Cuốn sách bao gồm ba chủ đề: số thực, dãy số và dãy số, và được chia thành hai phần: bài tập và / hoặc bài toán và lời giải. Các chủ đề cụ thể được đề cập trong tập này bao gồm: các tính chất cơ bản của số thực, phân số liên tục, dãy đơn điệu, giới hạn của dãy, định lý Stolz, tổng của dãy, kiểm tra sự hội tụ, dãy kép, sắp xếp dãy, tích Cauchy và tích vô hạn .


Tổng các thuật ngữ của một chuỗi hình học (Chuỗi hình học)

Để tìm tổng của n số hạng đầu tiên của một dãy hình học, hãy sử dụng công thức,
S n = a 1 (1 & trừ r n) 1 & trừ r, & thinsp & thinsp r & ne 1,
trong đó n là số số hạng, a 1 là số hạng đầu tiên và r là tỉ số chung.

Tìm tổng của 8 số hạng đầu tiên của chuỗi hình học nếu a 1 = 1 và r = 2.

S 8 = 1 (1 & trừ 2 8) 1 & trừ 2 = 255

Tìm S 10 của dãy hình học 24 + 12 + 6 + ⋯.

S 10 = 24 (1 & trừ (1 2) 10) 1 & trừ 1 2 = 3069 64

(Bạn đang tìm S 10 cho chuỗi 3 & trừ 6 + 12 & trừ 24 + ⋯, có tỉ số chung là & trừ 2.)

S n = a 1 (1 & trừ r n) 1 & trừ r S 10 = 3 [1 & trừ (& trừ 2) 10] 1 & trừ (& trừ 2) = 3 (1 & trừ 1024) 3 = & trừ 1023

Tải xuống các ứng dụng công cụ học tập miễn phí và sách luyện thi của chúng tôi

Tên của các bài kiểm tra tiêu chuẩn thuộc sở hữu của chủ sở hữu nhãn hiệu và không liên kết với Varsity Tutor LLC.

4,9 / 5,0 Đánh giá mức độ hài lòng trong 100.000 phiên qua. Kể từ ngày 27/4/18.

Các nhãn hiệu phương tiện truyền thông thuộc sở hữu của các phương tiện truyền thông tương ứng và không liên kết với Varsity Tutor.

Tuyên bố giành giải thưởng dựa trên các giải thưởng của CBS Local và Houston Press.

Varsity Tutor không có liên kết với các trường đại học được đề cập trên trang web của nó.

Varsity Tutor kết nối người học với các chuyên gia. Người hướng dẫn là những nhà thầu độc lập điều chỉnh dịch vụ của họ cho từng khách hàng, sử dụng phong cách, phương pháp và tài liệu riêng của họ.


MathHelp.com

Nếu bạn lấy & quot 2 & quot ở bên phải của dấu & quot; trích dẫn & quot từ bên dưới n và chuyển nó thành nhân một nửa trên dấu ngoặc đơn, bạn có thể thấy rằng công thức tính tổng, trên thực tế, n nhân với & hạn ngạch & quot của các điều khoản đầu tiên và cuối cùng.

Suy nghĩ về công thức tính tổng theo cách này có thể là một cách hữu ích để ghi nhớ công thức. (Nhân tiện: Công thức tính tổng có thể được chứng minh bằng cách sử dụng quy nạp.)

Tổng của đầu tiên n các điều khoản của một chuỗi được gọi là & quotthe n -th tổng một phần & quot, và thường được ký hiệu là & quot Sn & quot.

Tìm tổng riêng thứ 35, S 35, của dãy số học với các số hạng

Tổng từng phần thứ 35 của dãy số này là tổng của ba mươi lăm số hạng đầu tiên. Một vài số hạng đầu tiên của dãy là:

Các thuật ngữ có một sự khác biệt chung, vì vậy đây thực sự là một dãy số học. Số hạng cuối cùng trong tổng từng phần sẽ là:

Sau đó, cắm vào công thức, tổng từng phần thứ 35 là:

Tổng từng phần thứ 35: S 35 = 350

Tôi có thể tìm thấy sự khác biệt chung trong dãy số trên chỉ đơn giản bằng cách nhìn vào công thức cho các số hạng của dãy số. Bởi vì đây là một dãy số học, khi đó mỗi số hạng là một số tiền cố định lớn hơn số hạng trước đó. Nếu chúng tôi đang sử dụng một biến liên tục, chẳng hạn như & quot x & quot chúng tôi đã sử dụng khi vẽ đồ thị đường thẳng, thay vì biến rời rạc n , thì & quot & quot sẽ là một đường thẳng tăng một nửa ở mỗi bước.

Chúng ta có thể sử dụng những gì chúng ta đã học về hệ số góc của một đường thẳng và cách điều này liên quan đến phương trình của một đường thẳng, để đọc ra sự khác biệt chung từ công thức cho các số hạng. điều này có thể tiết kiệm một chút thời gian cho bài kiểm tra.

Tìm giá trị của tổng sau:

Từ công thức, & quot 2n & ndash 5 & quot, cho n - Số hạng thứ ba, tôi có thể thấy rằng mỗi số hạng sẽ lớn hơn số hạng trước hai đơn vị. (Nếu tôi không chắc chắn về điều này, tôi luôn có thể thêm một số giá trị cho n để xác nhận.) Vì vậy, đây thực sự là một tổng số học. Nhưng tổng kết này bắt đầu lúc n = 15, không phải lúc n = 1 và công thức tính tổng áp dụng cho các tổng bắt đầu từ n = 1. Vì vậy, làm thế nào tôi có thể làm việc với tổng kết này? Bằng cách sử dụng một thủ thuật nhỏ:

Cách nhanh nhất để tìm giá trị của tổng này là tìm tổng riêng của thứ 14 và 47, sau đó lấy số 47 trừ đi số 14. S 14 là tổng của số hạng đầu tiên đến số hạng thứ mười bốn. Bằng cách thực hiện phép trừ này, tôi sẽ trừ các số hạng đầu tiên đến mười bốn từ số hạng đầu tiên đến bốn mươi bảy, vì vậy tôi sẽ còn lại tổng của các số hạng thứ 15 đến 47.

Các điều khoản cần thiết khác là điều khoản thứ mười bốn và thứ bốn mươi bảy:

Với những giá trị này, bây giờ tôi có mọi thứ tôi cần để tìm hai tổng riêng cho phép trừ của mình: