Bài viết

5.5: Chất chống diệt khuẩn (Nguyên thủy, Tích phân)


Cho trước (f: E ^ {1} rightarrow E, ), chúng ta thường phải tìm một hàm (F ) sao cho (F ^ { prime} = f ) trên (I ), hoặc ít nhất trên (IQ. ) Chúng tôi cũng yêu cầu (F ) tương đối liên tục và hữu hạn trên (I. ) Quá trình này được gọi là phản phân biệt hoặc tích hợp.

Định nghĩa 1

Chúng tôi gọi (F: E ^ {1} rightarrow E ) là một nguyên hàm, hoặc phản đạo hàm, hoặc một tích phân không xác định, của (f ) on (I ) iff

(i) (F ) tương đối liên tục và hữu hạn trên (I, ) và

(ii) (F ) có thể phân biệt được, với (F ^ { prime} = f, ) trên (I-Q ) ít nhất.

Sau đó chúng tôi viết

[F = int f, text {hoặc} F (x) = int f (x) dx, text {on} I. ]

(Cái sau là ký hiệu cổ điển.)

Nếu một (F ) như vậy tồn tại (không phải lúc nào cũng vậy), chúng ta sẽ nói rằng ( int f ) tồn tại trên (I, ) hoặc (f ) có một nguyên hàm (hoặc phản hàm ) trên (I, ) hoặc (f ) về cơ bản là có thể tích hợp (có thể tích hợp ngắn gọn) trên (I ).

Nếu (F ^ { prime} = f ) trên một tập hợp (B subseteq I, ) chúng ta nói rằng ( int f ) chính xác trên (B ) và gọi (F ) một nguyên thủy chính xác trên (B. ) Do đó nếu (Q = blankset, int f ) là chính xác trên tất cả (I. )

Lưu ý 1. Rõ ràng, nếu (F ^ { prime} = f, ) thì ((F + c) ^ { prime} = f ) cho một hằng số hữu hạn c. Vì vậy, ký hiệu (F = int f ) là không đầy đủ; nó có nghĩa là (F ) là một trong nhiều nguyên thủy. Bây giờ chúng tôi cho thấy rằng tất cả chúng đều có dạng (F + c ) (hoặc
( int f + c). )

Định lý ( PageIndex {1} )

Nếu (F ) và G là nguyên thủy đối với (f ) trên (I ), thì (G-F ) là hằng số trên (I ).

Bằng chứng

Theo giả thiết, (F ) và (G ) tương đối liên tục và hữu hạn trên (I ); do đó (GF. ) cũng vậy, (F ^ { prime} = f ) trên (IQ ) và (G ^ { prime} = f ) trên (IP. (Q ) ) và (P ) có thể đếm được, nhưng có thể (Q neq P.) )

Do đó cả (F ^ { prime} ) và (G ^ { prime} ) bằng (f ) trên (IS, ) trong đó (S = P cup Q, ) và (S ) có thể đếm được chính nó bởi Định lý 2 của Chương 1, §9.

Do đó theo Hệ quả 3 trong §4, (F ^ { prime} = G ^ { prime} ) trên (IS ) ngụ ý (GF = c ) (hằng số) trên mỗi ([x, y ] subseteq I; ) do đó (GF = c ) (hoặc (G = F + c) ) trên (I. quad square )

Định nghĩa 2

Nếu (F = int f ) trên (I ) và nếu (a, b trong I ) (trong đó (a leq b ) hoặc (b leq a), ) chúng ta định nghĩa

[ int_ {a} ^ {b} f = int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a), text {còn được viết} F left. (x ) right | _ {a} ^ {b}. ]

Biểu thức này được gọi là tích phân xác định của (f ) từ (a ) đến (b. )

Tích phân xác định của (f ) từ (a ) đến (b ) độc lập với lựa chọn cụ thể của nguyên hàm (F ) cho (f, ) và do đó rõ ràng, cho if ( G ) là một nguyên hàm khác, Định lý 1 cho kết quả (G = F + c, ) vì vậy

[G (b) -G (a) = F (b) + c- [F (a) + c] = F (b) -F (a), ]

và không thành vấn đề cho dù chúng ta sử dụng (F ) hay (G. )

Lưu ý rằng ( int_ {a} ^ {b} f (x) dx, ) hoặc ( int_ {a} ^ {b} f, ) là một hằng số trong không gian dải ô (E ) ( một vectơ nếu (f ) là vectơ có giá trị). " (X )" trong ( int_ {a} ^ {b} f (x) dx ) chỉ là "biến giả" và nó có thể được thay thế bằng bất kỳ ký tự nào khác. Như vậy

[ int_ {a} ^ {b} f (x) d x = int_ {a} ^ {b} f (y) d y = F (b) -F (a). ]

Mặt khác, tích phân không xác định là một hàm: (F: E ^ {1} rightarrow E ).

Lưu ý 2. Tuy nhiên, chúng tôi có thể thay đổi (a ) hoặc (b ) (hoặc cả hai) trong (1). Do đó, giữ (a ) cố định và thay đổi (b, ) chúng ta có thể xác định một hàm

[G (t) = int_ {a} ^ {t} f = F (t) -F (a), quad t in I. ]

Sau đó (G ^ { prime} = F ^ { prime} = f ) trên (I, ) và (G (a) = F (a) -F (a) = 0. ) Như vậy if ( int f ) tồn tại trên (I, f ) có (a ) (duy nhất) nguyên thủy (G ) trên (I ) sao cho (G (a) = 0. ) (Nó là duy nhất bởi Định lý 1. Tại sao?)

Các ví dụ

(a) Để

[f (x) = frac {1} {x} text {và} F (x) = ln | x |, text {với} F (0) = f (0) = 0. ]

Sau đó (F ^ { prime} = f ) và (F = int f ) trên ((- infty, 0) ) và trên ((0, + infty) ) nhưng không trên (E ^ {1}, ) vì (F ) không liên tục tại (0, ) trái với Định nghĩa 1. Chúng tôi tính

[ int_ {1} ^ {2} f = ln 2- ln 1 = ln 2. ]

(b) Bật (E ^ {1}, ) cho phép

[f (x) = frac {| x |} {x} text {và} F (x) = | x |, text {with} f (0) = 1. ]

Ở đây (F ) là liên tục và (F ^ { prime} = f ) trên (E ^ {1} - {0 }. ) Như vậy (F = int f ) trên (E ^ {1} ), chính xác trên (E ^ {1} - {0 }. ) Đây (I = E ^ {1}, Q = {0 } ).

Chúng tôi tính toán

[ int _ {- 2} ^ {2} f = F (2) -F (-2) = 2-2 = 0 ]

(mặc dù (f ) không bao giờ biến mất trên (E ^ {1}) ).

Các tính chất cơ bản của tích phân tuân theo các tính chất của đạo hàm. Vì vậy, chúng tôi có những điều sau đây.

Hệ quả ( PageIndex {1} ) (tuyến tính)

Nếu ( int f ) và ( int g ) tồn tại trên (I, ) thì ( int (p f + qg) ) đối với bất kỳ vô hướng nào (p, q ) (trong trường vô hướng của (E). ) Hơn nữa, đối với bất kỳ (a, b in I, ) nào, chúng ta thu được

(i) ( int_ {a} ^ {b} (p f + q g) = p int_ {a} ^ {b} f + q int_ {a} ^ {b} g );

(ii) ( int_ {a} ^ {b} (f pm g) = int_ {a} ^ {b} f pm int_ {a} ^ {b} g; ) và

(iii) ( int_ {a} ^ {b} p f = p int_ {a} ^ {b} f ).

Bằng chứng

Theo giả định, có (F ) và (G ) sao cho

[F ^ { prime} = f text {on} I-Q text {và} G ^ { prime} = g text {on} I-P. ]

Do đó, cài đặt (S = P cup Q ) và (H = p F + q G, ) chúng ta có

[H ^ { prime} = p F ^ { prime} + q G ^ { prime} = p f + q g text {on} I-S, ]

với (P, Q, ) và (S ) có thể đếm được. Ngoài ra, (H = p F + q G ) tương đối liên tục và hữu hạn trên (I, ) như (F ) và (G. )

Do đó theo định nghĩa, (H = int (p f + q g) ) tồn tại trên (I, ) và bởi (1),

[ int_ {a} ^ {b} (p f + qg) = H (b) -H (a) = p F (b) + q G (b) -p F (a) -q G (a ) = p int_ {a} ^ {b} f + q int_ {a} ^ {b} g, ]

minh (i *).

Với (p = 1 ) và (q = pm 1, ) chúng ta thu được (ii *).

Lấy (q = 0, ) ta được (iii *). ( quad square )

Hệ quả ( PageIndex {2} )

Nếu cả ( int f ) và ( int | f | ) tồn tại trên (I = [a, b], ) thì

[ left | int_ {a} ^ {b} f right | leq int_ {a} ^ {b} | f |. ]

Bằng chứng

Như trước đây, hãy

[F ^ { prime} = f text {và} G ^ { prime} = | f | text {on} I-S (S = Q cup P, text {đều có thể đếm được),} ]

trong đó (F ) và (G ) tương đối liên tục và hữu hạn trên (I ) và (G = int | f | ) là thực. Ngoài ra, ( left | F ^ { prime} right | = | f | = G ^ { prime} ) trên (I-S. ) Do đó theo Định lý 1 của §4,

[| F (b) -F (a) | leq G (b) -G (a) = int_ {a} ^ {b} | f |. quad square ]

Hệ quả ( PageIndex {3} )

Nếu ( int f ) tồn tại trên (I = [a, b], ) chính xác trên (I-Q, ) thì

[ left | int_ {a} ^ {b} f right | leq M (b-a) ]

cho một số thực

[M leq sup _ {t in I-Q} | f (t) |. ]

Đây chỉ đơn giản là Hệ quả 1 của §4, khi áp dụng cho một nguyên thủy, (F = int f )

Hệ quả ( PageIndex {4} )

Nếu (F = int f ) trên I và (f = g ) trên (I-Q, ) thì (F ) cũng là một nguyên thủy của (g, ) và

[ int_ {a} ^ {b} f = int_ {a} ^ {b} g quad text {for} a, b in I. ]

(Vì vậy, chúng tôi có thể tùy ý xác định lại (f ) trên một số có thể đếm được (Q.) )

Bằng chứng

Đặt (F ^ { prime} = f ) trên (IP. ) Sau đó (F ^ { prime} = g ) trên (I- (P cup Q). ) Phần còn lại là thông thoáng. ( quad square )

Hệ quả ( PageIndex {5} ) (tích hợp theo từng phần)

Cho (f ) và (g ) là thực hoặc phức (hoặc để (f ) có giá trị vô hướng và (g ) vectơ có giá trị), cả hai tương đối liên tục trên I và có thể phân biệt trên (IQ. ) Sau đó, nếu ( int f ^ { prime} g ) tồn tại trên (I, ) thì ( int fg ^ { prime}, ) và chúng ta có

[ int_ {a} ^ {b} fg ^ { prime} = f (b) g (b) -f (a) g (a) - int_ {a} ^ {b} f ^ { prime } g quad text {cho bất kỳ} a, b in I. ]

Bằng chứng

Theo giả định, (f g ) tương đối liên tục và hữu hạn trên (I, ) và

[(f g) ^ { prime} = f g ^ { prime} + f ^ { prime} g text {on} I-Q. ]

Do đó, cài đặt (H = fg, ) chúng ta có (H = int left (fg ^ { prime} + f ^ { prime} g right) ) trên (I. ) Do đó Hệ quả 1 nếu ( int f ^ { prime} g ) tồn tại trên (I, ) thì ( int left ( left (fg ^ { prime} + f ^ { prime} g right) -f ^ { prime} g right) = int fg ^ { prime}, ) và

[ int_ {a} ^ {b} fg ^ { prime} + int_ {a} ^ {b} f ^ { prime} g = int_ {a} ^ {b} left (fg ^ { prime} + f ^ { prime} g right) = H (b) -H (a) = f (b) g (b) -f (a) g (a). ]

Như vậy (2) sau đây. ( quad square )

Việc chứng minh ba hệ luỵ tiếp theo xin được để lại cho người đọc.

Hệ quả ( PageIndex {6} ) (tính cộng của tích phân)

Nếu ( int f ) tồn tại trên (I ) thì đối với (a, b, c in I ), chúng ta có

(i) ( int_ {a} ^ {b} f = int_ {a} ^ {c} f + int_ {c} ^ {b} f );

(ii) ( int_ {a} ^ {a} f = 0; ) và

(iii) ( int_ {b} ^ {a} f = - int_ {a} ^ {b} f ).

Hệ quả ( PageIndex {7} ) (tích hợp theo từng thành phần)

Một hàm (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {n} left (^ {*} C ^ {n} right) ) có thể tích hợp trên (I ) iff tất cả các thành phần của nó ( left (f_ {1}, f_ {2}, ldots, f_ {n} right) ) là, và sau đó là Định lý 5 trong §1)

[ int_ {a} ^ {b} f = left ( int_ {a} ^ {b} f_ {1}, ldots, int_ {a} ^ {b} f_ {n} right) = sum_ {k = 1} ^ {n} vec {e} _ {k} int_ {a} ^ {b} f_ {k} text {for any} a, b in I. ]

Do đó nếu (f ) phức tạp,

[ int_ {a} ^ {b} f = int_ {a} ^ {b} f _ { mathrm {re}} + i cdot int_ {a} ^ {b} f _ { mathrm {im} } ]

(xem Chương 4, §3, Chú thích 5).

Ví dụ (tiếp theo)

(c) Xác định (f: E ^ {1} rightarrow E ^ {3} ) bằng

[f (x) = (a cdot cos x, a cdot sin x, 2 c x), quad a, c in E ^ {1}. ]

Xác minh rằng

[ int_ {0} ^ { pi} f (x) dx = left. left (a cdot sin x, -a cdot cos x, cx ^ {2} right) right | _ {0} ^ { pi} = left (0,2 a, c pi ^ {2} right) = 2 a vec {j} + c pi ^ {2} vec {k}. ]

(d) ( int_ {0} ^ { pi} e ^ {ix} dx = int_ {0} ^ { pi} ( cos x + i cdot sin x) dx = left. ( sin xi cdot cos x) right | _ {0} ^ { pi} = 2i. )

Hệ quả ( PageIndex {8} )

Nếu (f = 0 ) trên (I-Q, ) thì ( int f ) tồn tại trên (I, ) và

[ left | int_ {a} ^ {b} f right | = int_ {a} ^ {b} | f | = 0 quad text {for} a, b in I. ]

Định lý ( PageIndex {2} ) (thay đổi các biến)

Giả sử (g: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) (real) có thể phân biệt được trên (I, ) trong khi (f: E ^ {1} rightarrow E ) có giá trị gốc trên (g [I], ) chính xác trên (g [IQ] ).

Sau đó

[ int f (g (x)) g ^ { prime} (x) d x quad left (i. e., int (f circle g) g ^ { prime} right) ]

tồn tại trên (I, ) và đối với bất kỳ (a, b in I, ) chúng tôi có

[ int_ {a} ^ {b} f (g (x)) g ^ { prime} (x) dx = int_ {p} ^ {q} f (y) dy, text {where} p = g (a) text {và} q = g (b). ]

Do đó, bằng cách sử dụng ký hiệu cổ điển, chúng tôi có thể thay thế (y = g (x), ) với điều kiện là chúng tôi
cũng thay thế (dy = g ^ { prime} (x) dx ) và thay đổi giới hạn của tích phân (3). Ở đây, chúng tôi coi các biểu thức (dy ) và (g ^ { prime} (x) dx ) hoàn toàn chính thức, mà không gán chúng bất kỳ ý nghĩa riêng biệt nào bên ngoài ngữ cảnh của tích phân.

Bằng chứng

Đặt (F = int f ) trên (g [I], ) và (F ^ { prime} = f ) trên (g [IQ]. ) Sau đó là hàm tổng hợp (H = F circle g ) tương đối liên tục và hữu hạn trên (I. ) (Tại sao?) Theo Định lý 3 của §1,

[H ^ { prime} (x) = F ^ { prime} (g (x)) g ^ { prime} (x) text {for} x in I-Q; ]

I E.,

[H ^ { prime} = left (F ^ { prime} khoanh g right) g ^ { prime} text {on} I-Q. ]

Do đó (H = int (f circle g) g ^ { prime} ) tồn tại trên (I, ) và

[ int_ {a} ^ {b} (f circle g) g ^ { prime} = H (b) -H (a) = F (g (b)) - F (g (a)) = F (q) -F (p) = int_ {p} ^ {q} f. quad square ]

Lưu ý 3. Định lý không yêu cầu (g ) là 1-1 trên (I, ) nhưng nếu đúng như vậy thì người ta có thể bỏ giả định rằng ( int f ) là chính xác trên (g [IQ] . ) (Xem Vấn đề 4.)

Ví dụ (tiếp theo)

(e) Tìm ( int_ {0} ^ { pi / 2} sin ^ {2} x cdot cos x dx ).

Đây (f (y) = y ^ {2}, y = g (x) = sin x, dy = cos xdx, F (y) = y ^ {3} / 3, a = 0, ) (b = pi / 2, p = sin 0 = 0, ) và (q = sin ( pi / 2) = 1, ) vì vậy (3) hoa lợi

[ int_ {0} ^ { pi / 2} sin ^ {2} x cdot cos xdx = int_ {0} ^ {1} y ^ {2} dy = left. frac {y ^ {3}} {3} right | _ {0} ^ {1} = frac {1} {3} -0 = frac {1} {3}. ]

Đối với các hàm thực, chúng ta thu được một số suy luận về các bất đẳng thức.

Định lý ( PageIndex {3} )

Nếu (f, g: E ^ {1} rightarrow E ^ {1} ) có thể tích hợp trên (I = [a, b], ) thì chúng ta có như sau:

(i) (f geq 0 ) on (I-Q ) ngụ ý ( int_ {a} ^ {b} f geq 0 ).

(i ') (f leq 0 ) on (I-Q ) ngụ ý ( int_ {a} ^ {b} f leq 0 ).

(ii) (f geq g ) on (I-Q ) ngụ ý

[ int_ {a} ^ {b} f geq int_ {a} ^ {b} g text {(luật thống trị).} ]

(iii) Nếu (f geq 0 ) trên (I-Q ) và (a leq c leq d leq b, ) thì

[ int_ {a} ^ {b} f geq int_ {c} ^ {d} f text {(luật đơn điệu).} ]

(iv) Nếu ( int_ {a} ^ {b} f = 0, ) và (f geq 0 ) trên (IQ, ) thì (f = 0 ) trên một số (IP , P ) có thể đếm được.

Bằng chứng

Theo Hệ quả 4, chúng ta có thể xác định lại (f ) trên (Q ) để các giả định của chúng ta trong (i) - (iv) phù hợp với tất cả (I ). Vì vậy, chúng tôi viết " (I )" cho " (I-Q. )"

Theo giả định, (F = int f ) và (G = int g ) tồn tại trên (I. ) Ở đây (F ) và (G ) tương đối liên tục và hữu hạn trên ( I = [a, b], ) với (F ^ { prime} = f ) và (IP, ) cho một tập hợp có thể đếm được (P ) (không thể bỏ qua điều này (P )) . Bây giờ hãy xem xét các trường hợp (i) - (iv). ( (P ) được cố định từ đó trở đi.)

(i) Đặt (f geq 0 ) trên (I; ) tức là, (F ^ { prime} = f geq 0 ) trên (IP. ) rồi theo Định lý 2 trong §4 , (F uparrow ) trên (I = [a, b]. ) Do đó (F (a) leq F (b), ), v.v.

[ int_ {a} ^ {b} f = F (b) -F (a) geq 0. ]

Người ta chứng minh (i ') tương tự.

(ii) Nếu (f-g geq 0, ) thì bởi (i),

[ int_ {a} ^ {b} (f-g) = int_ {a} ^ {b} f- int_ {a} ^ {b} g geq 0, ]

so ( int_ {a} ^ {b} f geq int_ {a} ^ {b} g, ) như đã được xác nhận.

(iii) Cho (f geq 0 ) trên (I ) và (a leq c leq d leq b. ) Sau đó bằng (i),

[ int_ {a} ^ {c} f geq 0 text {và} int_ {d} ^ {b} f geq 0. ]

Do đó theo Hệ quả 6,

[ int_ {a} ^ {b} f = int_ {a} ^ {c} f + int_ {c} ^ {d} f + int_ {d} ^ {b} f geq int_ {c} ^ {d} f, ]

như đã khẳng định.

(iv) Tìm kiếm mâu thuẫn, giả sử ( int_ {a} ^ {b} f = 0, f geq 0 ) trên (I, ) yet (f (p)> 0 ) cho một số (p in IP ) ( (P ) như trên), do đó (F ^ { prime} (p) = f (p)> 0 ).

Bây giờ nếu (a leq p F (p) ) cho một số (c in (p, b]. ) Thì bởi ( iii),

[ int_ {a} ^ {b} f geq int_ {p} ^ {c} f = F (c) -F (p)> 0, ]

trái ngược với ( int_ {a} ^ {b} f = 0; ) tương tự trong trường hợp (a

Lưu ý 4. Vì thế

[ int_ {a} ^ {b} | f | = 0 text {implies} f = 0 text {on} [a, b] -P ]

( (P ) có thể đếm được), ngay cả đối với các hàm có giá trị vectơ (đối với (| f | ) luôn thực, và do đó Định lý 3 được áp dụng).

Tuy nhiên, ( int_ {a} ^ {b} f = 0 ) không đủ, ngay cả đối với các hàm thực (trừ khi (f ) là ký hiệu). Ví dụ,

[ int_ {0} ^ {2 pi} sin x d x = 0, text {yet} sin x not equiv 0 text {trên bất kỳ} I-P nào. ]

Xem thêm Ví dụ (b).

Hệ quả ( PageIndex {9} ) (luật đầu tiên của giá trị trung bình)

Nếu (f ) là thực và ( int f ) tồn tại trên ([a, b], ) chính xác trên ((a, b), ) thì

[ int_ {a} ^ {b} f = f (q) (b-a) text {cho một số} q in (a, b). ]

Bằng chứng

Áp dụng Hệ quả 3 trong §2 cho hàm (F = int f. Quad square )

Thận trọng: Hệ quả 9 có thể không thành công nếu ( int f ) không chính xác tại một số (p in (a, b). ) (Độ chính xác trên ([a, b] -Q ) không đủ, vì nó không đủ không có trong Hệ quả 3 của §2, được sử dụng ở đây.) Vì vậy, trong Ví dụ (b) ở trên, ( int _ {- 2} ^ {2} f = 0. ) Tuy nhiên, không có (q ) là (f (q) (2 + 2) = 0, ) vì (f (q) = pm 1. ) Lý ​​do là ( int f ) không chính xác chỉ ở (0, ) một bên trong điểm của ([- 2,2]. )


Mối liên hệ giữa tích phân bất định và tích phân xác định là gì?

Tôi muốn hiểu mối liên hệ giữa hàm nguyên thủy hoặc đạo hàm và tích phân xác định.

Vấn đề của tôi với điều này là biến độc lập được gọi là t trong công thức cho phần đầu tiên của Định lý Cơ bản của Giải tích.

Đây là tổng hợp các câu trả lời mà tôi đã thấy cho câu hỏi này. Bởi vì tôi không hiểu nó:

Nguyên thủy là một hàm $ F (x) $ sao cho

Phần đầu tiên của FTC, là thứ kết nối sự khác biệt / chống phân biệt với tích phân xác định, là:

$ F (x) = int_a ^ x f (t) dt $ hoặc “$ F (x) $ là một hàm nguyên thủy của $ f (x) $. Các giới hạn dưới a là cố định. Giới hạn trên $ x $ có thể thay đổi. ”

Bạn có thể viết $ int f (x) dx $ dưới dạng $ int_a ^ x f (t) dt + C $

Phân tích đầy đủ về vấn đề này được đưa ra trong cuốn sách giải tích của Richard Courant (được liên kết bên dưới) trang 109+.

wneilson / mathbook.pdf trang 153-154


Tích phân không xác định hữu ích / vô dụng như thế nào

Sau khi gặp một người khác bối rối vì tích phân vô định ngày hôm nay, cuối cùng tôi đã quyết định hỏi cộng đồng.

Bạn có nghĩ rằng nó là hợp lý để dạy tích phân không xác định? Ý kiến ​​của tôi là chỉ nên dạy tích hợp nhất định vì nó là cách duy nhất có ý nghĩa chính thức đối với tôi. Tất nhiên tích phân vô thời hạn có thể được sử dụng bởi những người biết họ đang làm gì, nhưng nó không biện minh cho việc đưa ra khái niệm này ngay từ ban đầu cho đến khi giáo dân.

Tôi xin lập luận như sau:

Người ta thường đọc / nghe $ int..dx $ là nghịch đảo của sự khác biệt, là phản đạo hàm của nó. Mặc dù ai cũng có thể hiểu được điều đó, nhưng tất nhiên mọi người đều biết rằng sự khác biệt là một hoạt động không thể đảo ngược khi thông tin bị mất, vì vậy không có sự nghịch đảo thực sự của hoạt động đó. Đối với tôi, việc sử dụng "anti-" theo nghĩa "gần như chống lại" là một nguồn gây nhầm lẫn.

Theo quan điểm của tôi, $ int f (x) dx $ không nên được xem như một hàm, được viết như vậy, đối với sở thích của tôi, tôi sẽ nói rằng nó không được định nghĩa rõ ràng như một hàm. Nếu nó là một hàm, của những gì biến? Chắc chắn không phải của $ x $. Sẽ có ý nghĩa hơn một chút nếu viết $ int ^ t f (x) dx $ vì bây giờ ít nhất một người có thể sử dụng nó để phân biệt. Tuy nhiên, với tư cách là một chức năng, nó không hoàn toàn rõ ràng. Tất nhiên, có những ứng dụng mà độ không đảm bảo đo cộng này (có thể là vô cùng) không đóng một vai trò nào, nhưng một lần nữa điều này không đáng quan tâm đối với những người mới được dạy về tích phân là gì.

Cách sử dụng hợp lý duy nhất của việc viết $ int f (x) dx $ mà tôi có thể tưởng tượng là một kiểu viết tắt theo nghĩa "bạn biết bạn phải chèn những ranh giới nào, vì vậy hãy bỏ qua nó". Nó giống như viết tổng mà không đưa ra ranh giới: $ sum f (n) $, mà tôi thường tránh làm, trừ khi mọi người đều biết ý nghĩa của nó.


Bằng chứng

Quay trở lại vấn đề mà chúng tôi đã xem xét ban đầu, chúng tôi đặt [latex] u =^ <2> -3 [/ latex] và sau đó [latex] du = 2xdx. [/ Latex] Viết lại tích phân theo [latex] u [/ latex]:

Sử dụng quy tắc lũy thừa cho tích phân, chúng ta có

Thay thế biểu thức ban đầu cho [latex] x [/ latex] trở lại vào giải pháp:

Chúng ta có thể khái quát quy trình trong Chiến lược Giải quyết Vấn đề sau đây.

Chiến lược giải quyết vấn đề: Tích hợp bằng cách thay thế

  1. Xem xét cẩn thận tích phân và chọn một biểu thức [latex] g (x) [/ latex] trong tích phân để đặt bằng [latex] u [/ latex]. Hãy chọn [latex] g (x). [/ Latex] sao cho [latex]^ < prime> (x) [/ latex] cũng là một phần của tích phân.
  2. Thay thế [latex] u = g (x) [/ latex] và [latex] du =^ < prime> (x) dx. [/ latex] vào tích phân.
  3. Bây giờ chúng ta có thể đánh giá tích phân đối với [latex] u [/ latex]. Nếu không thể đánh giá tích phân, chúng ta cần quay lại và chọn một biểu thức khác để sử dụng làm [latex] u [/ latex].
  4. Đánh giá tích phân theo [latex] u [/ latex].
  5. Viết kết quả dưới dạng [latex] x [/ latex] và biểu thức [latex] g (x). [/ Latex]

Sử dụng thay thế để tìm một chất chống vi khuẩn

Sử dụng phép thay thế để tìm chất chống nhiễm trùng của [latex] int 6x <(3^ <2> +4)> ^ <4> dx. [/ Latex]

Bước đầu tiên là chọn một biểu thức cho [latex] u [/ latex]. Chúng tôi chọn [latex] u = 3^ <2> +4. [/ Latex] vì sau đó [latex] du = 6xdx., [/ Latex] và chúng ta đã có du trong tích hợp. Viết tích phân theo [latex] u [/ latex]:

Nhớ lấy du là đạo hàm của biểu thức được chọn cho [latex] u [/ latex], bất kể những gì bên trong tích phân. Bây giờ chúng ta có thể đánh giá tích phân đối với [latex] u [/ latex]:

Chúng ta có thể kiểm tra câu trả lời của mình bằng cách lấy đạo hàm của kết quả tích phân. Chúng ta sẽ có được sự tích hợp. Chọn một giá trị cho C của 1, chúng tôi đặt [latex] y = frac <1> <5> <(3^ <2> +4)> ^ <5> +1. [/ Latex] Chúng tôi có

Đây chính xác là biểu thức mà chúng tôi đã bắt đầu với bên trong tích hợp.

Sử dụng phép thay thế để tìm chất chống nhiễm trùng của [latex] int 3^<2><(^ <3> -3)> ^ <2> dx. [/ Latex]


Bây giờ chúng ta sẽ xem những tính chất nào của tích phân không xác định, chúng ta sẽ sử dụng để đơn giản hóa các phép tính khi giải bất kỳ loại tích phân nào.

Thuộc tính 1

Nếu chúng ta có một hằng số đang nhân với một hàm, chúng ta có thể lấy hằng số đó ra khỏi tích phân:

Thuộc tính 2

Tích phân của phép cộng hoặc phép trừ của 2 hoặc nhiều hàm bằng phép cộng hoặc phép trừ các tích phân của chúng:

Hãy hết sức cẩn thận với tính chất này vì nó không thể mở rộng cho các tích phân có chức năng nhân hoặc chia.

Tích phân của phép nhân hai hàm số không bằng phép nhân các tích phân của chúng:

Theo cách tương tự, tích phân của phép chia hai hàm số không giống với phép chia của tích phân:


5.6. Khuyến mãi số

Quảng cáo số được áp dụng cho các toán hạng của một toán tử số học.

Các ngữ cảnh quảng cáo dạng số cho phép sử dụng:

một chuyển đổi nguyên thủy mở rộng (& phái5.1.2)

Thăng hạng số được sử dụng để chuyển đổi các toán hạng của một toán tử số thành một kiểu chung để có thể thực hiện một phép toán. Hai loại thăng cấp số là thăng cấp số đơn nguyên (& phái5.6.1) và thăng cấp số nhị phân (& phái5.6.2).

5.6.1. Quảng cáo số một

Một số toán tử áp dụng quảng cáo số một cho một toán hạng duy nhất, phải tạo ra giá trị kiểu số:

Nếu toán hạng thuộc loại thời gian biên dịch Byte, Ngắn, Ký tự hoặc Số nguyên, thì nó phải chịu chuyển đổi mở hộp (& phái5.1.8). Sau đó, kết quả được thăng cấp thành giá trị kiểu int bằng một chuyển đổi nguyên thủy mở rộng (& phái5.1.2) hoặc một chuyển đổi danh tính (& phái5.1.1).

Ngược lại, nếu toán hạng thuộc loại thời gian biên dịch Long, Float hoặc Double, thì nó phải chịu chuyển đổi unboxing (& domains5.1.8).

Ngược lại, nếu toán hạng có kiểu thời gian biên dịch là byte, short hoặc char, thì nó được thăng cấp thành giá trị kiểu int bằng một chuyển đổi nguyên thủy mở rộng (& domains5.1.2).

Nếu không, toán hạng số một ngôi vẫn được giữ nguyên và không được chuyển đổi.

Trong mọi trường hợp, chuyển đổi bộ giá trị (& phái5.1.13) sau đó sẽ được áp dụng.

Việc thăng hạng số đơn phân được thực hiện trên các biểu thức trong các trường hợp sau:

Mỗi biểu thức kích thước trong một biểu thức tạo mảng (& phái15.10)

Biểu thức chỉ số trong một biểu thức truy cập mảng (& phái15.13)

Toán hạng của toán tử cộng một bậc + (& phái15.15.3)

Toán hạng của toán tử trừ một bậc - (& phái15.15.4)

Toán hạng của toán tử bổ sung bitwise

Mỗi toán hạng, riêng biệt, của toán tử shift & gt & gt, & gt & gt & gt, hoặc & lt & lt (& domains15.19).

Khoảng cách dịch chuyển dài (toán hạng bên phải) không thúc đẩy giá trị được dịch chuyển (toán hạng bên trái) thành dài.

Ví dụ 5.6.1-1. Quảng cáo số một

Chương trình này tạo ra kết quả:

5.6.2. Quảng cáo số nhị phân

Khi một nhà điều hành áp dụng quảng cáo số nhị phân đối với một cặp toán hạng, mỗi toán hạng phải biểu thị một giá trị có thể chuyển đổi thành kiểu số, các quy tắc sau được áp dụng, theo thứ tự:

Nếu bất kỳ toán hạng nào thuộc loại tham chiếu, thì nó phải chịu chuyển đổi mở hộp (& phái5.1.8).

Mở rộng chuyển đổi nguyên thủy (& phái5.1.2) được áp dụng để chuyển đổi một trong hai hoặc cả hai toán hạng như được chỉ định bởi các quy tắc sau:

Nếu một trong hai toán hạng thuộc loại double, toán hạng còn lại được chuyển thành double.

Ngược lại, nếu một trong hai toán hạng là kiểu float, thì toán hạng còn lại sẽ được chuyển thành float.

Ngược lại, nếu một trong hai toán hạng có kiểu là long, thì toán hạng còn lại sẽ được chuyển thành dài.

Nếu không, cả hai toán hạng đều được chuyển đổi thành kiểu int.

Sau khi chuyển đổi kiểu, nếu có, chuyển đổi tập giá trị (& phái5.1.13) sẽ được áp dụng cho mỗi toán hạng.

Việc thăng hạng số nhị phân được thực hiện trên các toán hạng của một số toán tử nhất định:

Các toán tử nhân *, / và% (& phái15,17)

Các toán tử cộng và trừ cho các kiểu số + và - (& phái15.18.2)

Toán tử so sánh số & lt, & lt =, & gt, và & gt = (& phái15.20.1)

Các toán tử bình đẳng số == và! = (

Các toán tử theo chiều bit số nguyên & amp, ^, và | (& phái15.22.1)

Trong những trường hợp nhất định, toán tử điều kiện? : (& phái15,25)

Ví dụ 5.6.2-1. Quảng cáo số nhị phân

Chương trình này tạo ra kết quả:

Ví dụ chuyển đổi ký tự ASCII G thành ASCII điều khiển-G (BEL), bằng cách che tất cả trừ 5 bit thấp của ký tự. 7 là giá trị số của ký tự điều khiển này.


5.6. Biểu đồ số

Ngữ cảnh dạng số áp dụng cho các toán hạng của toán tử số học, biểu thức tạo và truy cập mảng, biểu thức điều kiện và biểu thức kết quả của biểu thức switch.

Một biểu thức xuất hiện trong một ngữ cảnh số học nếu biểu thức là một trong những biểu thức sau:

Toán hạng của toán tử cộng một bậc +, toán tử trừ một bậc - hoặc toán tử bổ sung theo bit

Một toán hạng của một toán tử nhân *, /, hoặc% (& phái15.17)

Một toán hạng của một toán tử cộng hoặc trừ cho các kiểu số + hoặc - (& phái15.18.2)

Toán hạng của toán tử shift & lt & lt, & gt & gt, hoặc & gt & gt & gt (& domains15.19). Toán hạng của các toán tử dịch chuyển này được xử lý riêng biệt chứ không phải là một nhóm. Khoảng cách dịch chuyển dài (toán hạng bên phải) không thúc đẩy giá trị được dịch chuyển (toán hạng bên trái) thành dài.

Toán hạng của toán tử so sánh số & lt, & lt =, & gt hoặc & gt = (& domains15.20.1)

Toán hạng của toán tử bình đẳng số == hoặc! = (

Toán hạng của một toán tử bitwise nguyên & amp, ^, hoặc | (& phái15.22.1)

Một biểu thức xuất hiện trong một ngữ cảnh mảng số nếu biểu thức là một trong những biểu thức sau:

Biểu thức thứ nguyên trong biểu thức tạo mảng (& phái15.10.1)

Biểu thức chỉ mục trong một biểu thức truy cập mảng (& phái15.10.3)

Một biểu thức xuất hiện trong một ngữ cảnh lựa chọn số nếu biểu thức là một trong những biểu thức sau:

Toán hạng thứ hai hoặc thứ ba của biểu thức điều kiện số (& phái15.25.2)

Biểu thức kết quả của biểu thức chuyển đổi độc lập (& phái15.28.1) trong đó tất cả các biểu thức kết quả có thể chuyển đổi thành kiểu số

Quảng cáo số xác định loại thăng cấp của tất cả các biểu thức trong ngữ cảnh số. Kiểu được thăng hạng được chọn sao cho mỗi biểu thức có thể được chuyển đổi thành kiểu được thăng hạng, và trong trường hợp là một phép toán số học, phép toán được xác định cho các giá trị của kiểu được thăng hạng. Thứ tự của các biểu thức trong ngữ cảnh số không có ý nghĩa đối với việc quảng bá số. Luật như sau:

Nếu bất kỳ biểu thức nào thuộc loại tham chiếu, biểu thức đó phải được chuyển đổi mở hộp (& phái5.1.8).

Tiếp theo, mở rộng chuyển đổi nguyên thủy (& phái5.1.2) và thu hẹp chuyển đổi nguyên thủy (& phái5.1.3) được áp dụng cho một số biểu thức, theo các quy tắc sau:

Nếu bất kỳ biểu thức nào thuộc kiểu double, thì kiểu được thăng hạng là double và các biểu thức khác không thuộc kiểu double trải qua quá trình chuyển đổi nguyên thủy mở rộng thành double.

Ngược lại, nếu bất kỳ biểu thức nào thuộc kiểu float, thì kiểu được thăng hạng là float và các biểu thức khác không thuộc kiểu float sẽ trải qua quá trình chuyển đổi nguyên thủy mở rộng thành float.

Ngược lại, nếu bất kỳ biểu thức nào có kiểu dài, thì kiểu được thăng cấp là dài và các biểu thức khác không thuộc kiểu dài sẽ trải qua quá trình chuyển đổi nguyên thủy mở rộng thành dài.

Nếu không, không có biểu thức nào thuộc kiểu double, float hoặc long. Trong trường hợp này, loại ngữ cảnh xác định cách chọn loại quảng cáo.

Trong ngữ cảnh số học kiểu số hoặc ngữ cảnh mảng số, kiểu được thăng hạng là int và bất kỳ biểu thức nào không thuộc kiểu int sẽ trải qua chuyển đổi nguyên thủy mở rộng thành int.

Trong ngữ cảnh lựa chọn số, các quy tắc sau sẽ áp dụng:

Nếu bất kỳ biểu thức nào thuộc kiểu int và không phải là một biểu thức hằng (& domains15.29), thì kiểu được thăng hạng là int và các biểu thức khác không thuộc kiểu int sẽ trải qua chuyển đổi nguyên thủy mở rộng thành int.

Ngược lại, nếu bất kỳ biểu thức nào thuộc kiểu short và mọi biểu thức khác thuộc kiểu short hoặc kiểu byte hoặc một biểu thức hằng kiểu int với giá trị có thể biểu diễn trong kiểu short, thì kiểu được thăng hạng là short và biểu thức byte trải qua quá trình chuyển đổi nguyên thủy mở rộng thành ngắn và các biểu thức int trải qua chuyển đổi nguyên thủy thu hẹp thành ngắn.

Ngược lại, nếu bất kỳ biểu thức nào thuộc kiểu byte và mọi biểu thức khác là byte kiểu hoặc một biểu thức hằng kiểu int với giá trị có thể biểu diễn trong kiểu byte, thì kiểu được thăng hạng là byte và các biểu thức int sẽ bị thu hẹp chuyển đổi nguyên thủy sang byte.

Ngược lại, nếu bất kỳ biểu thức nào thuộc kiểu char và mọi biểu thức khác là kiểu char hoặc một biểu thức hằng của kiểu int với giá trị có thể biểu diễn trong kiểu char, thì kiểu được thăng hạng là char và các biểu thức int sẽ bị thu hẹp chuyển đổi nguyên thủy sang char.

Nếu không, kiểu được thăng hạng là int và tất cả các biểu thức không thuộc kiểu int sẽ trải qua chuyển đổi nguyên thủy mở rộng thành int.

Sau (các) chuyển đổi, nếu có, chuyển đổi tập giá trị (& phái5.1.13) sẽ được áp dụng cho mỗi biểu thức.

Quảng cáo số một bao gồm việc áp dụng thăng hạng số cho một biểu thức duy nhất xảy ra trong ngữ cảnh số học hoặc ngữ cảnh mảng số.

Quảng cáo số nhị phân bao gồm việc áp dụng thăng hạng số cho một cặp biểu thức xảy ra trong ngữ cảnh số học.

Quảng cáo số chung bao gồm việc áp dụng quảng cáo số cho tất cả các biểu thức xảy ra trong ngữ cảnh lựa chọn số.

Ví dụ 5.6-1. Quảng cáo số một

Chương trình này tạo ra kết quả:

Ví dụ 5.6-2. Quảng cáo số nhị phân

Chương trình này tạo ra kết quả:

Ví dụ chuyển đổi ký tự ASCII G thành ASCII điều khiển-G (BEL), bằng cách che tất cả trừ 5 bit thấp của ký tự. 7 là giá trị số của ký tự điều khiển này.


3 câu trả lời 3

Các dẫn xuất được xem xét thông qua tích phân số. Chất chống nhiễm trùng sau

Và sau đó được giải quyết bằng số.

Ok, đây là câu trả lời được hứa hẹn trong phần bình luận. Tôi nghĩ rằng tôi sẽ có nhiều thời gian hơn để giải thích, nhưng như thường lệ, không phải vậy, vì vậy tôi sẽ chỉ thêm một số suy nghĩ

Trước hết, không có định nghĩa rõ ràng về ma trận phản đạo hàm $ A $, bởi vì ma trận đạo hàm $ D $ là một bậc từ ngắn đến bậc đầy đủ. Điều này giống với thực tế là anh ta antiderivative có một hằng số tích hợp $ c $. Vì vậy, yêu cầu $ AD = I $ od $ DA = I $ won 't hoạt động.

Có một phương pháp được gọi là sắp xếp phổ hình chữ nhật (google!), Có tính đến điều này và từ phương pháp đầu tiên xác định ma trận đạo hàm hình chữ nhật có kích thước $ N times N-1 $. Hơn nữa, trong bối cảnh này, người ta sử dụng ma trận tích hợp làm tiền điều kiện, cho phép tránh ảnh hưởng xấu đến ma trận đạo hàm có điều kiện. Tuy nhiên, những ma trận này được định nghĩa là một giải pháp cho một bài toán nội suy Birkhoff. Nhưng đây chỉ là một dấu hiệu cho thấy ma trận tích hợp có được sử dụng trong tài liệu hay không.

Bây giờ đến câu hỏi của bạn, 'tại sao chúng không được sử dụng nhiều hơn'. Điều này khá chủ quan, nhưng tôi phải nói rằng, chúng không thường xuyên cần thiết. Lấy trường hợp của bạn, tích phân số: Thay vì áp dụng ma trận (lấy $ mathcal O (N ^ 2) $ và sau đó sử dụng định lý cơ bản, người ta có thể chỉ cần sử dụng tích phân Gaussian hoặc Newton-Cotes, ít nhất là chính xác. Đối với các hàm đặc biệt mà bạn đề cập trong câu trả lời của mình, có nhiều phương pháp thích hợp hơn, nhưng ngay cả khi muốn sử dụng tích hợp số, người ta cũng có thể sử dụng phương pháp tích hợp chuẩn.


Phân tích

Cơ sở 0

Một mục nhập

Trước tiên, hãy & # 8217s kiểm tra các mảng trong đó cơ số & # 8220a & # 8221 là 0. Mảng một mục với cơ số 0 đơn giản bằng với tỷ thứ b, vì vậy 0 [6] = 10 ^ 21 = sextillion. Nếu bạn đã quen thuộc với hệ thống phân cấp phát triển nhanh, giới hạn của mảng một mục nhập cơ số 0 0 [a] là xấp xỉ f2(a) trong FGH.

Hai mục nhập

Do quy tắc thứ ba, mảng hai mục nhập Cơ sở 0 bằng với tỷ hạng thể thao B + 1 trong hệ thống Bower & # 8217s thường được sử dụng. Đây là một ví dụ nhỏ:

0[5,1] = 0[0[5,0]/1000]
0[5,0] = 10 3*5+3 = 10 18
0[5,1] = 0[10 15 ]
0[5,1] = 10 3*10^15+3

Con số này được gọi là & # 8220femtillion & # 8221 trong hệ thống Bower & # 8217s, và nó bằng với Tier 2 ở bậc 5. Dưới đây là danh sách các mảng 2 mục nhập Cơ sở 0 và một số xấp xỉ của chúng:

Giới hạn của mảng hai mục nhập Cơ sở 0 0 [a, a] là xấp xỉ f3(a) trong hệ thống phân cấp đang phát triển nhanh chóng.

Ba mục nhập

Mảng ba mục nhập cơ sở 0 tương đương với việc lặp lại các mảng hai mục nhập. Ví dụ: 0 [1,0,1] là tỷ thứ 1.000.001 thứ nhất, 0 [1,0,2] là tỷ giá 0 [1,0,1] + 1 thứ nhất, v.v. Đây là thí dụ:

0[4,1,1] = 0[4,0[4,1]]
0[4,1] = 0[0[4,0]/1000]
0[4,0] = 0[4] = 10 15
0[4,1,1] = 10 10^(3*10^12+3) 3*10^12+3

Trong đó số mũ bên trái ở trên cùng đại diện cho số tầng / tháp công suất trong số. Dưới đây là danh sách các mảng ba mục nhập Cơ sở 0 và một số xấp xỉ của chúng:

Giới hạn của mảng ba mục nhập Cơ sở 0 0 [a, a, a] là xấp xỉ f4(a) trong hệ thống phân cấp đang phát triển nhanh chóng.

4+ mục nhập

Mẫu tiếp tục cho hơn 4 mục nhập. Mảng bốn mục nhập cơ sở 0 là sự lặp lại của các mảng 3 mục nhập cơ sở 0. Đây là một bản mở rộng chưa hoàn chỉnh, vì bây giờ hầu như không thể tính được các ví dụ rời rạc:

0[6,0,0,1] = 0[6,0,[0,6,0,0,0]]
0[6,0,0,0] = 0[6]
0[6] = 10 3*6+3 = 10 21
0[6,0,0,1] = 0[6,0,10 21 ]
0[6,0,10 21 ] = 0[6,0[6,0,10 21 -1]]
0[6,0,10 21 -1] = 0[6,0[6,0,10 21 -2]]
0[6,0,10 21 -2] = 0[6,0[6,0,10 21 -3]]

I could continue evaluating with the rules, but as you can see, we already ran into a sextillion-long chain that would take millenia to compute. Base 0 5-entry are arrays are similar, as they iterate over base 0 4-entry arrays. In general, Base 0 n-entry arrays are the iteration of base 0 n-1-entry arrays. Here is a list of Base 0 4+-entry arrays and some approximations of them:

The limit of Base 0 arrays 0[a,a,a,a,a…] is approximately fω(a) in the fast-growing hierarchy.

Base 1

Now we’ll analyze arrays with a base of 1. The smallest such array 1[a] = 0[a,a,a,a…] with a 0s, or the diagionalization of base 0. This means it retains the fω(a) growth obtained from the zeroth base. We can continue with base 1 two-entry arrays:

These functions are already exceeding the Ackermann function in growth rate. We can go obviously continue with base 1 3-entry arrays, base 1 4-entry arrays, all the way up to the limit of the first base:

The limit of base 1 arrays 1[a,a,a,a…] is approximately f(a) in the fast-growing hierarchy.

Base 2

Similar behavior occurrs with a base of 2, except this time we add another ω to the growth rate roster from base 1:

f2ω+4(a)

The limit of base 2 arrays 2[a,a,a,a…] is approximately f(a) in the fast-growing hierarchy.


In mathematical analysis, primitive or antiderivative of a function f is said to be a derivable function F whose derivative is equal to the starting function. Denoting with the apex the derivative, F '(x) = f (x). The set of all primitives of a function f is called the indefinite integral of f. The calculation of the primitive is closely linked to the resolution of the integrals defined by the fundamental theorem of the integral calculation: in fact, the integral of a function is equal to the difference of the values of the primitive on the integration extremes.

This calculator calculates the derivative of a function and then simplifies it. The calculator will help to differentiate any function - from simple to the most complex. The program not only calculates the answer, it produces a step-by-step solution. The differentiation order is selected.


Xem video: Có nên đầu tư Nuôi vịt siêu nạc Grimaud,giống vịt siêu to khổng lồ. Khởi Nghiệp TV (Tháng Giêng 2022).