Bài viết

1.1: Dữ liệu thí nghiệm, sự phát triển của vi khuẩn. - Toán học


Tăng trưởng dân số trong lịch sử là một trong những khái niệm đầu tiên được khám phá trong sinh học toán học và nó tiếp tục có tầm quan trọng trung tâm. Thomas Malthus năm 1821 khẳng định một lý thuyết

"Dân số loài người có xu hướng tăng với tốc độ nhanh hơn so với khả năng sinh sống của nó và điều đó trừ khi nó được kiểm tra bởi sự kiềm chế về mặt đạo đức hoặc thảm họa (như bệnh tật, đói kém hoặc chiến tranh) chắc chắn dẫn đến nghèo đói và suy thoái lan rộng." 2

Khi làm như vậy, anh ta đã đi theo các mũi tên in đậm trong Hình 1.1. Dân số thế giới đã tăng khoảng sáu lần kể từ khi cảnh báo thảm khốc của Malthus, và các điều chỉnh bằng cách sử dụng mạng lưới bổ sung của biểu đồ vẫn đang được tranh cãi.

Ghi chú

Duane Nykamp của Đại học Minnesota đang viết Math Insight, mathinsight.org, một bộ sưu tập các trang web và ứng dụng được thiết kế để làm sáng tỏ các khái niệm cơ bản của một số chủ đề trong toán học. Một trong những trang, mathinsight.org/bacteria_growth_initial_model, là nơi hiển thị tuyệt vời tài liệu của phần này.

Dữ liệu về sự phát triển của vi khuẩn từ một V. tự nhiên thí nghiệm được trình bày trong Bảng 1.1. Quần thể được phát triển trong môi trường tăng trưởng dinh dưỡng thường được sử dụng, nhưng độ pH của môi trường đã được điều chỉnh thành pH 6,25 3.

Bảng 1.1: Kết quả đo mật độ vi khuẩn. Các đơn vị của "Mật độ dân số" là đơn vị của độ hấp thụ được đo bằng máy quang phổ.
pH 6,25
Thời gian (phút)Chỉ mục thời gian (t )Mật độ dân số (B_t )Thay đổi Cửa sổ / Đơn vị Thời gian ((B_ {t + 1} - B_ {t}) / 1 )
000.0220.014
1610.0360.024
3220.0600.041
4830.1010.068
6440.1690.097
8050.266

Làm thế nào để bạn đo mật độ vi khuẩn? Tốt nhất là bạn nên đặt, chẳng hạn 1 microlit, môi trường phát triển dưới kính hiển vi và đếm vi khuẩn trong đó. Điều này rất khó, vì vậy quy trình thường được sử dụng là truyền một chùm ánh sáng qua một mẫu môi trường tăng trưởng và đo lượng ánh sáng được hấp thụ. Mật độ vi khuẩn càng lớn thì ánh sáng được hấp thụ càng nhiều và do đó, mật độ vi khuẩn được đo bằng sự hấp thụ các đơn vị. Công cụ được sử dụng để làm điều này được gọi là máy quang phổ.

Máy quang phổ cung cấp cho bạn một phép đo độ hấp thụ ánh sáng tỷ lệ thuận với mật độ vi khuẩn (nghĩa là, độ hấp thụ ánh sáng là mật độ vi khuẩn nhân lần không đổi). Độ hấp thụ thực sự được xác định bởi

[ text {Absorbance} quad = quad- log _ {10} frac {I_ {t}} {I_ {0}} ]

trong đó (I_0 ) là cường độ ánh sáng truyền qua môi trường không có vi khuẩn và Đó là cường độ ánh sáng truyền qua môi trường có vi khuẩn tại thời điểm (t ). Nó có vẻ tự nhiên hơn khi sử dụng

[ frac {I_ {0} -I_ {t}} {I_ {0}} ]

như một thước đo độ hấp thụ. Lý do sử dụng (log_ {10} frac {I_t} {I_0} ) có liên quan đến ví dụ tiếp theo của chúng ta về độ hấp thụ ánh sáng dưới mặt hồ, nhưng chỉ dễ giải thích sau khi nghiên cứu các mô hình liên tục. Xem Chương ?? (Tập thể dục ??).

1.1.1 Các bước hướng tới xây dựng mô hình toán học.

Phần này minh họa một trình tự các bước có thể dẫn đến một mô hình toán học về sự phát triển của vi khuẩn.

Bước 1. Mô hình toán học sơ bộ: Mô tả sự phát triển của vi khuẩn. Các quần thể vi khuẩn tăng nhanh khi được nuôi ở mật độ vi khuẩn thấp trong nguồn dinh dưỡng dồi dào. Sự gia tăng dân số là do sự phân hạch nhị phân - các tế bào đơn phân chia vô tính thành hai tế bào, sau đó hai tế bào phân chia để tạo thành bốn tế bào, v.v. Thời gian cần thiết để một tế bào trưởng thành và phân chia là gần như nhau đối với hai tế bào bất kỳ.

Bước 2. Kí hiệu. Bước đầu tiên để xây dựng phương trình cho một mô hình toán học là giới thiệu ký hiệu. Trong trường hợp này, dữ liệu liên quan đến thời gian và mật độ vi khuẩn, và rất dễ dàng để (t ) biểu thị thời gian và (B_t ) biểu thị mật độ vi khuẩn tại thời điểm t. Tuy nhiên, dữ liệu được đọc trong bội số của 16 phút và nó sẽ giúp ký hiệu của chúng tôi thay đổi tỷ lệ thời gian để (t ) là 0, 1, 2, 3, 4 hoặc 5. Do đó, B3 là mật độ vi khuẩn tại thời điểm (3 lần 16 = 48 ) phút. Thời gian được thay đổi tỷ lệ được hiển thị trong 'Chỉ mục thời gian' trong Bảng 1.1.

Bước 3. Suy ra một phương trình động lực học. Trong một số trường hợp, mô hình toán học của bạn sẽ đủ rõ ràng để bạn có thể viết phương trình động trực tiếp từ mô hình. Đối với sự phát triển này, trước tiên chúng tôi xem xét các tính toán bổ sung và đồ thị của dữ liệu.

Bước 3a. Tính toán tỷ lệ thay đổi từ dữ liệu. Bảng 1.1 chứa một cột được tính toán, "Thay đổi dân số trên một đơn vị thời gian". Trong Mô hình Toán học, thời gian để một tế bào trưởng thành và phân chia là gần như không đổi và sự thay đổi tổng thể của tổng thể trên một đơn vị thời gian sẽ cung cấp thông tin hữu ích.

Khám phá 1.1.1 Thực hiện điều này. Nó quan trọng. Giả sử thời gian để một tế bào trưởng thành và phân chia là τ phút. Những phần nào của các tế bào sẽ phân chia mỗi phút?

Sử dụng ký hiệu của chúng tôi,

[B_ {0} = 0,022, quad B_ {1} = 0,036, quad B_ {2} = 0,060, quad text {v.v.} ]

[B_ {1} -B_ {0} = 0,014, quad B_ {2} -B_ {1} = 0,024, quad text {v.v.} ]

Bước 3b. Đồ thị của Dữ liệu. Một bước quan trọng khác trong mô hình hóa là thu được hình ảnh trực quan của dữ liệu. Hình 1.1.1 là ba biểu đồ minh họa sự phát triển của vi khuẩn. Sự phát triển của vi khuẩn A là biểu đồ của cột 3 so với cột 2, B là biểu đồ của cột 4 so với cột 2 và C là biểu đồ của cột 4 so với cột 3 từ Bảng 1.1.

Hình ( PageIndex {1} ): (A) Mật độ quần thể vi khuẩn, (B_t ), so với chỉ số thời gian, t. (B) Sự thay đổi mật độ dân số trên một đơn vị thời gian, (B_ {t + 1} - B_t ), so với chỉ số thời gian, (t ). (C) Sự thay đổi mật độ dân số trên một đơn vị thời gian, (B_ {t + 1} - B_t ), so với mật độ dân số, (B_t ).

Ghi chú

Trong dữ liệu biểu đồ, biểu thức 'plot B vs A' có nghĩa là B là tọa độ dọc và A là tọa độ ngang. Học sinh đôi khi đảo ngược trục, và phá vỡ một quy ước thường được sử dụng bắt đầu cách đây khoảng 350 năm. Khi vẽ biểu đồ mật độ vi khuẩn so với thời gian, học sinh có thể đặt mật độ vi khuẩn trên trục hoành và thời gian trên trục tung, trái với thông lệ được sử dụng rộng rãi. Có lẽ nếu nhà toán học giới thiệu hình học giải tích, Rene DesCartes ở Pháp và Bỉ, sống ở Trung Quốc, nơi các tài liệu được đọc từ trên xuống dưới theo các cột và từ phải sang trái, thì việc vẽ biểu đồ của dữ liệu sẽ tuân theo một quy ước khác.

Chúng tôi đề nghị bạn sử dụng quy ước đã được thiết lập.

Biểu đồ Sự phát triển của vi khuẩn A là một hình ảnh cổ điển về sự tăng trưởng mật độ thấp với biểu đồ cong lên cho thấy tốc độ tăng trưởng ngày càng tăng. Quan sát từ Sự phát triển của vi khuẩn B cho thấy tốc độ phát triển (cột 4, tỷ lệ dọc) đang tăng dần theo thời gian.

Đồ thị Sự phát triển của vi khuẩn C là một đồ thị quan trọng đối với chúng tôi, vì nó liên quan đến sự gia tăng của vi khuẩn với mật độ vi khuẩn và sự gia tăng của vi khuẩn dựa trên sự phân chia tế bào được mô tả trong mô hình toán học của chúng tôi. Bởi vì các điểm nằm gần đúng trên một đường thẳng, nên dễ dàng có được một phương trình mô tả mối quan hệ này. Lưu ý: Xem Khám phá 1.1.1.

Bước 3c. Mô tả phương trình của dữ liệu. Hình 1.1.2 là sự tái tạo của biểu đồ Sự phát triển của vi khuẩn C trong đó điểm (0,15, 0,1) được đánh dấu bằng dấu ‘+’ và một đường được vẽ qua (0, 0) và (0,15, 0,1). Hệ số góc của đoạn thẳng là 2/3. Đường thẳng là "vừa mắt" với bốn điểm đầu tiên. Đường có thể 'phù hợp' hơn về mặt định lượng, nhưng không cần thiết phải làm như vậy ở giai đoạn này.

Khám phá 1.1.2 Thực hiện điều này.

  1. Tại sao đường thẳng trong Hình 1.1.2 phải đi qua (0, 0)?
  2. Giả sử hệ số góc của đoạn thẳng là 2/3. Ước tính thời gian cần thiết để một tế bào trưởng thành và phân chia.

Điểm thứ năm, là ((B_ {4}, B_ {5} - B_ {4}) = (0,169, 0,097) ) nằm dưới dòng. Bởi vì đường thẳng này rất gần với bốn điểm đầu tiên, có một gợi ý rằng trong khoảng thời gian thứ tư, mức tăng trưởng (B_ {5} - B_ {4} = 0,97 ) thấp hơn kỳ vọng hoặc có thể, (B_ {5} = 0,266 ) là một lỗi đo lường và phải lớn hơn. Những vi khuẩn này thực sự đã được phát triển và đo trong 160 phút và chúng ta sẽ thấy trong Tập II, Chương 14 rằng giá trị đo được (B_ {5} = 0,266 ) phù hợp với dữ liệu còn lại. Sự phát triển của vi khuẩn sẽ chậm lại sau (t = 4 ) hoặc sau 64 phút.

Hình ( PageIndex {2} ): Một đường phù hợp với bốn điểm dữ liệu đầu tiên về sự phát triển của vi khuẩn. Đường chứa (0,0) và (0,15, 0,1) và có độ dốc = 2/3.

Độ dốc của đường trong Sự phát triển của vi khuẩn C là ( frac {0,1} {0,15} = frac {2} {3} ) và hệ số chặn y là 0. Do đó, phương trình của đường là

[y = frac {2} {3} x ]

Bước 3d. Chuyển đổi phương trình dữ liệu thành phương trình động. Các điểm trong Sự phát triển của vi khuẩn C được vẽ biểu đồ bằng cách cho (x = B_t ) và (y = B_ {t + 1} - B_ {t} ) cho (t ) = 0, 1, 2, 3, và 4. Nếu chúng ta thay x và y vào phương trình dữ liệu (y = frac {2} {3} x ), chúng ta nhận được [B_ {t + 1} -B_ {t} = frac {2} {3} B_ {t} label {1.1} ] Phương trình ref {1.1} là trường hợp đầu tiên của chúng tôi về một phương trình động mô tả một quá trình sinh học.

Bước 4. Nâng cao mô hình toán học sơ bộ của Bước 1. Mô hình toán học sơ bộ ở Bước 1 mô tả sự phân chia tế bào vi mô và có thể được mở rộng để mô tả mật độ tế bào vĩ mô quan sát được trong thí nghiệm. Người ta có thể ngoại suy từ tuyên bố ban đầu, nhưng dữ liệu quan sát được hướng dẫn sự phát triển.

Nói cách khác, Phương trình ref {1.1} nói rằng sự phát triển trong khoảng thời gian (t ^ {th} ) là ( frac {2} {3} ) lần (B_t ), vi khuẩn hiện diện tại thời điểm (t ), đầu kỳ. Số ( frac {2} {3} ) được gọi là tỷ lệ tăng trưởng tương đối - mức tăng trưởng mỗi khoảng thời gian bằng 2/3 quy mô dân số hiện tại. Nói một cách tổng quát hơn, người ta có thể nói:

Mô hình toán học 1.1.1 Sự phát triển của vi khuẩn. Một phần cố định của các tế bào phân chia mỗi khoảng thời gian. (Trong trường hợp này, hai phần ba số tế bào phân chia cứ sau 16 phút.)

Bước 5. Tính toán một nghiệm cho phương trình động lực học. Đầu tiên, chúng tôi tính toán các ước tính của (B_1 ) và (B_2 ) được dự đoán bằng phương trình động. Phương trình động ref {1.1} xác định sự thay đổi mật độ vi khuẩn ((B_ {t + 1} - B_ {t}) ) từ (t ) theo thời gian (t + 1 ). Để hữu ích, giá trị ban đầu của (B_0 ) là bắt buộc. Chúng tôi giả định điểm dữ liệu ban đầu, (B_0 = 0,022 ) là điểm tham chiếu của chúng tôi. Sẽ rất tiện lợi khi thay đổi (B_ {t + 1} - B_ {t} = frac {2} {3} B_t ) thành cái mà chúng tôi gọi là sự lặp lại phương trình:

[B_ {t + 1} -B_ {t} = frac {2} {3} B_ {t} quad B_ {t + 1} = frac {5} {3} B_ {t} label { 1,2} ]

Phương trình lặp lại ref {1.2} là viết tắt cho ít nhất năm phương trình

[B_ {1} = frac {5} {3} B_ {0}, quad B_ {2} = frac {5} {3} B_ {1}, quad B_ {3} = frac { 5} {3} B_ {2}, quad B_ {4} = frac {5} {3} B_ {3}, quad text {và} quad B_ {5} = frac {5} { 3} B_ {4} ]

Bắt đầu bằng (B_ {0} = 0,022 ), chúng ta có thể tính

[ begin {array} {l}
B_ {1} = frac {5} {3} B_ {0} = frac {5} {3} 0,022 = 0,037
B_ {2} = frac {5} {3} B_ {1} = frac {5} {3} 0,037 = 0,061
end {array} ]

Khám phá 1.1.3 Sử dụng (B_ {0} = 0.022 ) và (B_ {t + 1} = frac {5} {3} B_t ) để tính toán (B_ {1}, B_ {2}, B_ {3} , B_ {4} ) và (B_ {5} ). Cũng có một số ký hiệu quan trọng được sử dụng để mô tả các giá trị của (B_t ) được xác định bởi phép lặp (B_ {t + 1} = frac {5} {3} B_ {t} ). Chúng tôi có thể viết

[ begin {array} {lll}
B_ {1} & = frac {5} {3} B_ {0}
B_ {2} & = frac {5} {3} B_ {1} & B_ {2} = frac {5} {3} left ( frac {5} {3} B_ {0} right) & = frac {5} {3} frac {5} {3} B_ {0}
B_ {3} & = frac {5} {3} B_ {2} & B_ {3} = frac {5} {3} left ( frac {5} {3} frac {5} {3 } B_ {0} right) & = frac {5} {3} frac {5} {3} frac {5} {3} B_ {0}
end {array} ]

Khám phá 1.1.4 Viết phương trình cho B4 theo B0, sử dụng mẫu của phương trình cuối cùng.

Tại khoảng thời gian 5, chúng tôi nhận được

[B_ {5} = frac {5} {3} frac {5} {3} frac {5} {3} frac {5} {3} frac {5} {3} B_ {0 } ]

cồng kềnh và thường được viết

[B_ {5} = left ( frac {5} {3} right) ^ {5} B_ {0} ]

Hình thức chung là

[B_ {t} = left ( frac {5} {3} right) ^ {t} B_ {0} = B_ {0} left ( frac {5} {3} right) ^ { t} nhãn {1.3} ]

Sử dụng mật độ dân số ban đầu, (B_ {0} = 0,022 ), Phương trình ref {1.3} trở thành

[B_ {t} = 0.022 left ( frac {5} {3} right) ^ {t} label {1.4} ]

và là lời giải cho điều kiện ban đầu và phương trình động ref {1.1}

[B_ {0} = 0,022, quad B_ {t + 1} -B_ {t} = frac {2} {3} B_ {t} ]

Các quần thể có sự tăng trưởng được mô tả bằng một phương trình có dạng

[P_ {t} = P_ {0} R ^ {t} quad text {với} quad R> 1 ]

được cho là thể hiện sự tăng trưởng theo cấp số nhân.

Phương trình ref {1.4} được viết theo chỉ số thời gian, (t ). Về mặt thời gian, (T ) tính bằng phút, (T = 16t ) và Phương trình ref {1.4} có thể được viết

[B_ {T} = 0.022 left ( frac {5} {3} right) ^ {T / 16} = 0.022 (1.032) ^ {T} label {1.5} ]

Bước 6. So sánh các dự đoán từ Mô hình Toán học với dữ liệu ban đầu. Chúng tôi đã làm tốt như thế nào? Tức là, các giá trị được tính toán của mật độ vi khuẩn, (B_t ), khớp với các giá trị quan sát được tốt như thế nào? Các giá trị gốc và giá trị tính toán được thể hiện trong Hình 1.1.3.

pH 6,25
Thời gian (phút)Chỉ số thời gianMật độ dân sốMật độ tính toán
000.0220.022
1610.0360.037
3220.0600.061
4830.1010.102
6440.1690.170
8050.2660.283

Hình ( PageIndex {3} ): So sánh dạng bảng và đồ thị giữa mật độ vi khuẩn thực tế (o) với mật độ vi khuẩn được tính từ Công thức 1.3 (+).

Các giá trị được tính toán trùng khớp chặt chẽ với các giá trị quan sát được ngoại trừ lần đo cuối cùng mà giá trị quan sát được nhỏ hơn giá trị được dự đoán từ mô hình toán học. Ảnh hưởng của sự đông đúc tế bào hoặc ô nhiễm môi trường hoặc tuổi của tế bào bắt đầu xuất hiện sau một giờ thí nghiệm và mô hình không tính đến điều này. Chúng tôi sẽ quay lại dân số này với dữ liệu cho 80 phút tăng trưởng tiếp theo trong Phần 15.6.1 và sẽ phát triển một mô hình mới sẽ tính đến tốc độ gia tăng giảm dần khi quy mô dân số tăng lên.

1.1.2 Liên quan đến tính hợp lệ của một mô hình.

Chúng tôi đã sử dụng mô hình dân số một lần và thấy rằng nó khớp với dữ liệu khá tốt. Tuy nhiên, tính hợp lệ của một mô hình chỉ được thiết lập sau khi sử dụng nhiều lần trong nhiều phòng thí nghiệm và kiểm tra quan trọng các lực và tương tác dẫn đến các phương trình mô hình. Các mô hình phát triển khi kiến ​​thức tích lũy. Mô hình vũ trụ của nhân loại đã phát triển từ niềm tin rằng Trái đất là trung tâm của vũ trụ, đến mô hình của Copernic rằng mặt trời là trung tâm của vũ trụ, đến nhận thức rằng mặt trời chỉ là một ngôi sao trong số khoảng 200 tỷ trong một thiên hà, với nhận thức đáng ngạc nhiên gần đây (Hubble, 1923) rằng thiên hà Milky Way của chúng ta chỉ là một thiên hà đơn lẻ giữa một vũ trụ thiên hà khổng lồ.

Thật may mắn là phương trình giải của chúng tôi phù hợp với dữ liệu, nhưng phải thừa nhận rằng hai tham số quan trọng, (P_0 ) và (r ), đã được tính toán từ dữ liệu, vì vậy sự phù hợp có thể không phải là một bất ngờ lớn. Các phương trình khác cũng khớp với dữ liệu. Hình parabol, (y = 0,0236 + 0,000186 t + 0,00893 t ^ 2 ), được tính theo hình vuông nhỏ nhất vừa với năm điểm dữ liệu đầu tiên được thể hiện trong Hình 1.1.4 và nó cũng khớp với dữ liệu (P_ {t} = 0,022 (5/3) t ). Chúng tôi thích (P_ {t} = 0,022 (5/3) t ) như một lời giải thích về dữ liệu trên đường parabol thu được bằng phương pháp bình phương nhỏ nhất vì nó có được từ sự hiểu biết về sự phát triển của vi khuẩn như được mô tả bởi mô hình trong khi phương trình parabol chỉ đơn giản là một đối sánh của phương trình với dữ liệu.

Bài tập cho Phần 1.1, Dữ liệu thí nghiệm, sự phát triển của vi khuẩn

Hình ( PageIndex {4} ): Biểu đồ (y = 0,0236 + .000186 t + 0,00893 t ^ {2} ) (+) phù hợp bậc hai bởi bình phương nhỏ nhất với sáu điểm dữ liệu đầu tiên (o) của sự tăng trưởng V. natriegens trong Bảng 1.1

Bài tập 1.1.1 Tính toán B1, B2 và B3 như trong Bước 5 của phần này cho

  1. (B_ {0} = 4 quad B_ {t + 1} -B_ {t} = 0,5 B_ {t} )
  2. (B_ {0} = 4 quad B_ {t + 1} -B_ {t} = 0,1 B_ {t} )
  3. (B_ {0} = 0,2 quad B_ {t + 1} -B_ {t} = 0,05 B_ {t} )
  4. (B_ {0} = 0,2 quad B_ {t + 1} -B_ {t} = 1 B_ {t} )
  5. (B_ {0} = 100 quad B_ {t + 1} -B_ {t} = 0,4 B_ {t} )
  6. (B_ {0} = 100 quad B_ {t + 1} -B_ {t} = 0,01 B_ {t} )

Bài tập 1.1.2 Viết phương trình nghiệm cho các điều kiện ban đầu và phương trình động của Bài tập 1.1.1 tương tự như lời giải Phương trình ref {1.4}, (B_ {t} = (5/3) ^ {t} 0.022 ) của cặp (B_ {0} = 0,022, B_ {t + 1} - B_ {t} = (2/3) B_ {t} ).

Bài tập 1.1.3 Quan sát rằng biểu đồ Sự phát triển của vi khuẩn C là một biểu đồ của (B_ {t + 1} - B_ {t} so với B_ {t} ) Các điểm là ( left (B_ {0}, B_ {1} -B_ {0} right), left (B_ {1}, B_ {2} -B_ {1} right) ), v.v. Tọa độ thứ hai, (B_ {t + 1} - B_ {t} ) là mức tăng dân số trong khoảng thời gian (t ), với điều kiện dân số ở đầu khoảng thời gian là (B_ {t} ). Giải thích tại sao điểm (0, 0) sẽ là một điểm của đồ thị này.

Bài tập 1.1.4 Trong Bảng 1.2 đưa ra bốn bộ dữ liệu. Đối với mỗi tập dữ liệu, hãy tìm một số (r ) sao cho các giá trị (B_ {1}, B_ {2}, B_ {3}, B_ {4}, B_ {5} ) và (B_6 ) được tính toán từ phương trình chênh lệch

[B_ {0} = text {như đã cho trong bảng,} quad B_ {t + 1} -B_ {t} = r B_ {t} ]

gần với các số tương ứng trong bảng. Tính toán các số, (B_1 ) thành (B_6 ) bằng cách sử dụng giá trị (r ) của bạn trong phương trình, (B_ {t + 1} = (1 + r) B_t ) và so sánh bạn đã tính số với dữ liệu gốc.

Đối với mỗi tập dữ liệu, hãy thực hiện theo các bước 3, 5 và 6. Đường bạn vẽ gần với dữ liệu trong bước 3 phải đi qua (0, 0).

Bài tập 1.1.5 Vi khuẩn V. tự nhiên cũng được trồng trong môi trường tăng trưởng với pH 7,85. Dữ liệu cho thí nghiệm đó được trình bày trong Bảng 1.3. Lặp lại phân tích trong các bước 1 - 9 của phần này cho dữ liệu này. Sau khi hoàn thành các bước 1 - 9, hãy so sánh tốc độ tăng trưởng tương đối được tính toán của bạn V. tự nhiên ở pH 7,85 với tốc độ tăng trưởng tương đối được tính toán của chúng tôi là 2/3 ở pH 6,25.

Bài tập 1.1.6 Điều kiện ban đầu và phương trình động nào sẽ mô tả sự tăng trưởng của một Escherichia coli dân số trong môi trường dinh dưỡng có 250.000 E coli tế bào trên mililit khi bắt đầu thử nghiệm và một phần tư số tế bào được chia sau mỗi 30 phút.

Bảng 1.2: Các bảng dữ liệu cho Bài tập 1.1.4
(a)(b)(c)(d)
(t ) (B_t ) (t ) (B_t ) (t ) (B_t ) (t ) (B_t )
01.9900.015022.10287
12.6810.021123.41331
23.6320.031226.12375
34.8930.040327.53450
46.6340.055430.54534
58.9350.075534.45619
612.1060.106636.66718
Bảng 1.3: Dữ liệu cho Bài tập 1.1.5, V. tự nhiên sinh trưởng trong môi trường có pH 7,85.
pH 7,85
Thời gian (phút)Mật độ dân số
00.028
160.047
320.082
480.141
640.240
800.381

2 Merriam Webster’s Collegiate Dictionary, Tenth Edition.

3 Thử nghiệm là một dự án học kỳ của Deb Christensen, trong đó một số V. tự nhiên quần thể đã được phát triển trong một phạm vi giá trị pH.


Sự phát triển và sinh lý của vi sinh vật: một lời kêu gọi cho sự khéo léo


Hầu như mọi thí nghiệm vi sinh đều bắt đầu bằng việc nuôi cấy vi sinh. Do đó, như đã chỉ ra ban đầu bởi Monod (1949), xử lý môi trường nuôi cấy vi sinh vật là một phương pháp cơ bản của vi sinh vật học và việc nắm vững các kỹ thuật canh tác khác nhau nên là một phần của tay nghề thủ công của mọi nhà vi sinh vật học. Điều này đặc biệt quan trọng đối với nghiên cứu sinh lý vi sinh vật, vì thành phần và hành vi của vi sinh vật phụ thuộc nhiều vào môi trường sinh trưởng của chúng. Các nhà vi sinh học lỗi lạc đã nhiều lần chỉ ra rằng chúng ta nên quan tâm nhiều hơn đến môi trường và điều kiện nuôi cấy. Tuy nhiên, điều này rõ ràng là không được tuân thủ đủ nghiêm ngặt vì những sai lầm trong các nguyên tắc canh tác cơ bản thường được tìm thấy trong các tài liệu nghiên cứu đã xuất bản. Những sai lầm thường gặp nhất là sử dụng các phương tiện tăng trưởng không phù hợp và ít hoặc không kiểm soát được tốc độ tăng trưởng cụ thể, và một số ví dụ sẽ được thảo luận chi tiết ở đây. Do đó, đây là một lời kêu gọi cho sự khéo léo của các nhà vi sinh vật học tốt hơn khi nuôi cấy vi sinh vật cho các thí nghiệm sinh lý. Lời kêu gọi này không chỉ dành cho các nhà nghiên cứu mà nó có lẽ còn quan trọng hơn đối với việc giảng dạy môn học của chúng ta.

& # x0201Công trình nghiên cứu về sự phát triển của các vi khuẩn không phải là một chủ đề hoặc một nhánh nghiên cứu chuyên biệt: nó là phương pháp cơ bản của Vi sinh vật học "


Nội dung mô hình:

Chúng tôi giả định rằng sự phát triển của vi khuẩn tuân theo Mô hình Logistic, đặt nồng độ vi khuẩn là x và hàm chặn là r (x).

Chúng tôi đã phân tích toàn diện mối quan hệ giữa vận tốc dòng vào và hàm tăng trưởng, cố gắng xây dựng một hàm của các tham số đường cong tăng trưởng liên quan đến vận tốc dòng vào.

Vì có quá nhiều tham số trong (=), chúng tôi đơn giản hóa nó và chỉ xem xét (=).

Thông thường, nồng độ vi khuẩn ban đầu là khoảng (25 × 10 ^ 6 ) tế bào / mL.

Chúng tôi đã chọn năm giá trị u = 5, 8, 10, 12 và 15 để xây dựng năm đường cong tăng trưởng.

Hình 1: Đường cong tăng trưởng của vi khuẩn


Hiệu suất tủ lạnh dân dụng dựa trên các chỉ số vi sinh vật trong quá trình bảo quản thịt bò xay được đánh giá bằng cách sử dụng các công cụ vi sinh vật dự đoán

Mục đích của nghiên cứu này là phát triển quy trình đánh giá hiệu suất tủ lạnh dựa trên nhiệt độ (giá trị 2 × 10 6) của thịt bò xay được bảo quản trong ngăn dưới cùng được đặt thành Thịt tươi (0 ° C). Các tác động được phân tích là nhiệt độ môi trường xung quanh (LT, 21,1 ° C / HT, 32,2 ° C), khối lượng thực phẩm (LL, 22,5 kg / HL, 39,0 kg), độ mở cửa và chế độ máy nén tủ lạnh (SS, tốc độ đơn / VS, tốc độ thay đổi ). Các mô hình vi sinh dự đoán đã xuất bản về tốc độ tăng trưởng theo cấp số nhân và nhiệt độ thịt bò xay (kiểm tra 48 giờ) được sử dụng để xác định các chỉ số bảo quản tuyệt đối (API) và tương đối (RPI). Đối với chế độ VS, API (log CFU / g) dao động từ 1,7 (LT / LL) đến 3,1 (HT / HL) cho Listeria monocytogenes và 1,6 đến 2,5 cho Pseudomonas putida. Giảm nhiệt độ thịt bò xay với nguy cơ đóng băng tối thiểu mang lại giá trị API thấp hơn đáng kể cho thấy nhu cầu cài đặt tủ lạnh dưới 5 ° C. Phân tích xác suất xem xét mô hình và sự thay đổi của phép đo nhiệt độ đã xác nhận nhu cầu này. Ở 2 ° C theo khuyến nghị để bảo quản thịt bò xay, API2 ° C sẽ là 1,1 (L. monocytogenes) và 1,4 logCFU / g (P. putida). RPI được định nghĩa là tỷ lệ của API thử nghiệm trên API2 ° C giá trị mang lại & gt 1 xác nhận rằng logic điều khiển tủ lạnh phải xem xét việc bảo quản ngoài việc tuân thủ sử dụng năng lượng. Trong nghiên cứu này, SS vượt trội hơn so với máy nén VS tiết kiệm năng lượng, tuy nhiên, việc tối ưu hóa máy nén khi xét đến việc sử dụng năng lượng và bảo quản thực phẩm sẽ ưu tiên loại sau. Kết luận, giá trị API và RPI là những công cụ hữu hiệu để đánh giá hiệu suất bảo quản thực phẩm bằng vi sinh vật của tủ lạnh và việc sử dụng nó có thể được mở rộng để phân tích bất kỳ phân đoạn nào của chuỗi phân phối thực phẩm lạnh. Chuyển đổi dữ liệu thời gian-nhiệt độ thành các chỉ số hoạt động của vi sinh vật là thực tế và hiệu quả về chi phí.

Đây là bản xem trước nội dung đăng ký, truy cập thông qua tổ chức của bạn.


Sự di chuyển được kiểm soát cao của bạch cầu trung tính đến vị trí nhiễm trùng có thể bị thay đổi khi chúng được huấn luyện với lipopolysaccharides (LPS), với LPS liều cao tăng cường mô hình di chuyển của bạch cầu trung tính về phía tín hiệu nguồn vi khuẩn và LPS liều siêu thấp gây ra hoặc di chuyển về phía tín hiệu trung gian hoặc rối loạn điều hòa và chuyển động dao động. Các nghiên cứu thực nghiệm sử dụng thiết bị chip hóa trị liệu vi lỏng với hai thuốc hóa trị đối nhau cho thấy sự di chuyển bạch cầu trung tính khác nhau sau thử thách với các liều LPS khác nhau. Những thay đổi biểu sinh gây ra những thay đổi trong hành vi di cư của bạch cầu trung tính vẫn chưa được biết. Chúng tôi đã phát triển hai mô hình toán học đánh giá các tương tác cơ học chịu trách nhiệm cho việc ra quyết định di cư của bạch cầu trung tính khi tiếp xúc với thuốc hóa trị cạnh tranh và thử thách với LPS. Mô hình đầu tiên, xem xét sự tương tác giữa mật độ thụ thể của hai chất hóa trị cạnh tranh, kinase của chúng và LPS, cho thấy tính nhất quán giữa tỷ lệ cao và thấp của mật độ thụ thể hóa trị chính và trung gian. Đặc biệt, ở trạng thái cân bằng, chúng tôi quan sát thấy mật độ thụ thể bằng nhau đối với LPS thấp (& # x0003c 15ng / mL) và sự thống trị của các thụ thể đối với chất hóa trị chính đối với LPS cao (& # x0003e 15ng / mL). Mô hình thứ hai, bao gồm các tương tác bổ sung với kinase điều hòa tín hiệu ngoại bào ở cả dạng phosphoryl hóa và không phosphoryl hóa, có một kết quả động bổ sung, động lực dao động cho cả hai thụ thể, như đã thấy trong dữ liệu. Đặc biệt, nó đã tìm thấy mật độ thụ thể bằng nhau khi không có dao động đối với thử thách LPS siêu thấp và cao (& # x0003c 0.4 và 1.1 & # x0003cLPS & # x0003c 375 ng / mL) mật độ thụ thể bằng nhau với động lực học thụ thể dao động cho LPS siêu thấp (0,5 & # x0003c LPS & # x0003c 1,1ng / mL) và sự thống trị của các thụ thể đối với chất hóa trị chính đối với LPS siêu cao (& # x0003e376 ng / mL). Dự đoán cơ chế và loại thách thức LPS bên ngoài chịu trách nhiệm cho sự di chuyển của bạch cầu trung tính sang thuốc hóa trị chống viêm, di chuyển sang thuốc hóa trị có khả năng dung nạp hoặc chuyển động dao động là kiến ​​thức cần thiết trong việc thiết kế các can thiệp chống lại các bệnh miễn dịch, chẳng hạn như nhiễm trùng huyết.

Các nhà nghiên cứu gần đây đã thách thức giáo điều rằng khả năng miễn dịch bẩm sinh là như nhau ở mọi thử thách. Người ta đã chứng minh rằng các đại thực bào có thể phát triển các loại bộ nhớ khác nhau tùy thuộc vào loại mồi mà chúng gặp phải thông qua lập trình lại biểu sinh (Yuan và cộng sự, 2016a, b). Ví dụ, họ có thể phát triển kiểu hình trí nhớ khiến họ ít phản ứng hơn hoặc thậm chí không chịu được thử thách, hoặc họ có thể phát triển kiểu hình trí nhớ khiến họ phản ứng tốt hơn với thử thách. Quan niệm tương tự này gần đây đã được chúng tôi chỉ ra đối với việc ra quyết định di cư của bạch cầu trung tính, và người ta cho rằng phản ứng đang ảnh hưởng đến kết quả của các bệnh truyền nhiễm. Ví dụ, trong nhiễm trùng huyết hoặc nhiễm COVID-19, hệ thống miễn dịch phản ứng quá mức do tình trạng viêm mức độ thấp cơ bản khiến bạch cầu trung tính lựa chọn giữa các kiểu hình di cư kháng viêm và kháng viêm (Alves-Filho và cộng sự, 2005, 2010). Kết quả là, bạch cầu trung tính có thể di chuyển đến các cơ quan khỏe mạnh và giải phóng kho vũ khí chống vi khuẩn của chúng trong mô khỏe mạnh, dẫn đến suy cơ quan ở phổi, thận hoặc tim. Các cơ chế miễn dịch bẩm sinh được đào tạo cơ bản vẫn chưa được làm sáng tỏ đầy đủ, với các sửa đổi biểu sinh đóng vai trò quan trọng trong việc cảm ứng trí nhớ bẩm sinh hoặc rèn luyện (Pillay và cộng sự, 2010 Demaret và cộng sự, 2015). Trong nghiên cứu này, chúng tôi khảo sát trí nhớ bẩm sinh trong bối cảnh ra quyết định di cư của bạch cầu trung tính.

Khả năng di chuyển của bạch cầu trung tính đóng một vai trò quan trọng trong khả năng của tế bào trong việc loại bỏ nhiễm trùng và giải quyết tình trạng viêm. Trong quá trình nhiễm trùng và viêm, các chất hóa trị được giải phóng, báo hiệu và kích hoạt các bạch cầu trung tính trong máu. Bạch cầu trung tính phải có khả năng di chuyển chính xác trong mô đến vị trí nhiễm trùng cụ thể, mà không bị chuyển hướng sang các vị trí khác, trong một quá trình được gọi là hóa điều hòa. Chemotaxis là một quá trình được điều chỉnh cao bao gồm việc kích hoạt các con đường khác nhau và sự phân cực xuôi chiều của tế bào (Kolaczkowska và Kubes, 2013). Bước đầu tiên trong điều trị hóa chất là nhận biết các chất hóa trị bằng tế bào. Tế bào có các thụ thể cụ thể trên bề mặt của chúng đối với các chất hóa trị khác nhau. Các thụ thể hóa trị này là các thụ thể kết hợp với protein G (GPCR), được điều chỉnh bởi nhiều loại kinase thụ thể kết hợp với protein G (GRK) (Murphy, 1994 Dianqing, 2005). Khi được liên kết bởi một chất chủ vận cụ thể, trong trường hợp này là một chất hóa trị, các GPCR trải qua quá trình phosphoryl hóa, liên kết với các protein G và giải mẫn cảm với thụ thể. Điều này dẫn đến nội tại của thụ thể, kích hoạt các con đường truyền tín hiệu xuôi dòng và kích hoạt các phản ứng của tế bào, chẳng hạn như phân cực tế bào và điều hòa hóa học (Murphy, 1994 Dianqing, 2005 Futosi et al., 2013). Sau khi nội hóa, các thụ thể có thể được tái chế trở lại bề mặt tế bào, nơi chúng có thể được liên kết một lần nữa bởi chất chủ vận của thụ thể. Quá trình này rất quan trọng trong điều trị hóa học, vì nó cho phép tế bào tiếp tục cảm nhận chất hóa trị và di chuyển theo hướng của nó (Neel và cộng sự, 2005). Hầu hết các thụ thể hóa trị tương tự nhau trong phản ứng của chúng với liên kết phối tử tuy nhiên có sự khác biệt nhỏ trong các con đường tín hiệu được kích hoạt (Heit và cộng sự, 2002, 2008). Trong mô, bạch cầu trung tính tiếp xúc với một số chất hóa trị cùng một lúc, có nguồn gốc từ mầm bệnh, tế bào trong mô, nội mô và một số nguồn khác (Kolaczkowska và Kubes, 2013). Tế bào phải ưu tiên các tín hiệu này để loại bỏ mầm bệnh một cách thích hợp. Người ta đã đưa ra giả thuyết rằng bạch cầu trung tính có hệ thống phân cấp bên trong, nơi các chất hóa trị có nguồn gốc từ các nguồn vi khuẩn và hệ thống bổ thể, chẳng hạn như fMLP và C5a (Heit và cộng sự, 2002 Petri và Sanz, 2018), có tiền lệ so với các chất hóa trị trung gian, chẳng hạn như LTB4 và IL-8, được tiết ra bởi các tế bào miễn dịch khác. Điều này dẫn đến bạch cầu trung tính di chuyển đến thuốc hóa trị đích cuối thay vì thuốc hóa trị trung gian trong môi trường cạnh tranh (Heit và cộng sự, 2002, 2008 Wang và cộng sự, 2016b), cho phép bạch cầu trung tính ưu tiên một mầm bệnh xâm nhập. Hệ thống phân cấp này được cho là xảy ra thông qua việc kích hoạt các con đường tín hiệu khác nhau, trong đó các chất hóa trị đích cuối phát tín hiệu qua p38 MAPK và các chất hóa trị trung gian phát tín hiệu qua PI3K (Heit và cộng sự, 2002, 2008).

Sự di chuyển được kiểm soát cao của bạch cầu trung tính đến vị trí nhiễm trùng, cũng như tương tác động của chúng với mầm bệnh, có thể bị thay đổi khi chúng được điều hòa trước với Lipopolysaccharides (LPS) để tạo mồi nội độc tố. Trong nghiên cứu trước đây, chúng tôi đã chỉ ra rằng việc huấn luyện với LPS liều cao (100 ng / mL) giúp tăng cường sự di chuyển của bạch cầu trung tính đến mục tiêu cuối cùng, có nguồn gốc từ vi khuẩn, tín hiệu nguồn fMLP. Ngược lại, huấn luyện với liều siêu thấp LPS (1 ng / mL) làm thay đổi kiểu hình di cư của bạch cầu trung tính, hoặc di chuyển về phía tín hiệu trung gian LTB4 hoặc trở nên mất kiểm soát và thể hiện các mô hình di cư dao động (Jones và cộng sự, 2016 Boribong và cộng sự, 2019). Trong khi dữ liệu thực nghiệm cho thấy bạch cầu trung tính được huấn luyện với LPS thay đổi kiểu hình di cư, nó không cung cấp thông tin về các cơ chế phân tử gây ra sự khác biệt trong hành vi. Quá trình ra quyết định di cư được điều chỉnh một cách tinh vi bởi các mạng lưới tín hiệu phức tạp có thể nhận và giải thích một cách linh hoạt các tín hiệu phân tử và tế bào từ bên ngoài và bên trong. Sự phức tạp nội tại của quá trình ra quyết định tế bào miễn dịch đã tạo ra khó khăn cho các nhà miễn dịch học thực nghiệm trong việc xác định cơ chế của bệnh, mặc dù đã có những nghiên cứu thực nghiệm mở rộng với các phương pháp tiếp cận tế bào và phân tử thông thường. Người ta ngày càng công nhận rằng các nghiên cứu liên ngành kết hợp các phương pháp tiếp cận mô hình thực nghiệm và toán học là cần thiết.

Trong nghiên cứu này, chúng tôi nghiên cứu các cơ chế phân tử của quá trình ra quyết định di cư của bạch cầu trung tính khi có các chất hóa trị cạnh tranh và thách thức bên ngoài với LPS, bằng cách xây dựng các mô hình toán học xác định về sự tương tác giữa hai thụ thể hóa trị, Thụ thể Peptide 1 (FPR1) và Thụ thể Leukotriene B4 1 (BLT1), và các phân tử quan trọng tham gia vào quá trình điều chỉnh của chúng. Chúng tôi quan tâm đến việc xác định mối quan hệ giữa động lực của thụ thể và mô hình di chuyển, và trong việc định lượng liều LPS dẫn đến sự di chuyển của bạch cầu trung tính sang chất hóa trị chống viêm, hướng tới chất hóa trị có độ phân giải cao, hoặc trong rối loạn điều hòa và dao động của bạch cầu trung tính (Fan và Malik, 2003 Liu và cộng sự, 2012 Byrne và cộng sự, 2014). Mô hình sẽ khớp về mặt định tính với kết quả thử nghiệm của công trình trước đây của chúng tôi, trong đó kích thích với nồng độ LPS siêu thấp sẽ dẫn đến BLT1 lớn hơn FPR1 và kích thích với nồng độ LPS cao sẽ dẫn đến FPR1 lớn hơn BLT1 (Boribong et al ., 2019). Chúng tôi xây dựng một mô hình với hành vi bistable, với mô típ cho tính ổn định đến từ sự ức chế lẫn nhau phi tuyến tính của GRK2 và GRK5 (xem Hình 1). Sự ức chế kép dẫn đến việc kích hoạt các con đường tín hiệu khác nhau (p38 / JNK so với ERK), dẫn đến sự khác biệt trong sự di chuyển của bạch cầu trung tính chức năng (Davenport và cộng sự, 2020). Both GRK2 and GRK5 have been demonstrated to be critical mediators of the molecular alterations that occur in the inflammatory disorders, but the complex mutual inhibition interaction has largely been ignored (Philipp et al., 2014). Mathematical models have been used before to model cellular decision-making (Day et al., 2006 Kadelka et al., 2019), neutrophil chemotaxis (Ionides et al., 2004 Postma and van Haastert, 2016 Bayani et al., 2020), immune responses (Reynolds et al., 2006 Fischer, 2008 Nelson et al., 2009 Vodovotz et al., 2009) and bistable dynamics (Ciupe et al., 2007, 2018 Leber et al., 2016).


13.1 Bacteria

Bacteria (singular: bacterium) are prokaryotic microorganisms. Typically, a few micrometers in length, bacteria have a number of shapes, ranging from spheres to rods and spirals. Bacteria were among the first life forms to appear on Earth, and are present in most of its habitats. Bacteria inhabit soil, water, acidic hot springs, radioactive waste, and the deep portions of Earth’s crust. Bacteria also live in symbiotic and parasitic relationships with plants and animals. Most bacteria have not been characterized, and only about half of the bacterial phyla have species that can be grown in the laboratory. The study of bacteria is known as bacteriology, a branch of microbiology. There are typically 40 million bacterial cells in a gram of soil and a million bacterial cells in a milliliter of fresh water. There are approximately 5x10 30 bacteria on Earth forming a biomass which exceeds that of all plants and animals. Bacteria are vital in many stages of the nutrient cycle by recycling nutrients such as the fixation of nitrogen from the atmosphere. The nutrient cycle includes the decomposition of dead bodies and bacteria are responsible for the putrefaction stage in this process. In the biological communities surrounding hydrothermal vents and cold seeps, extremophile bacteria provide the nutrients needed to sustain life by converting dissolved compounds, such as hydrogen sulfide and methane, to energy. In March 2013, data reported by researchers in October 2012, was published. It was suggested that bacteria thrive in the Mariana Trench, which with a depth of up to 11 kilometers is the deepest known part of the oceans. Other researchers reported related studies that microbes thrive inside rocks up to 580 meters below the sea floor under 2.6 kilometers of ocean off the coast of the northwestern United States. The largest number of bacteria in humans exist in the gut flora, and a large number on the skin. The vast majority of the bacteria in the body are rendered harmless by the protective effects of the immune system, though many are beneficial particularly in the gut flora. However, several species of bacteria are pathogenic and cause infectious diseases. The most common fatal bacterial diseases are respiratory infections, with tuberculosis alone killing about 2 million people per year, mostly in sub-Saharan Africa. In developed countries, antibiotics are used to treat bacterial infections and are also used in farming, making antibiotic resistance a growing problem. In industry, bacteria are important in sewage treatment and the breakdown of oil spills, the production of cheese and yogurt through fermentation, and the recovery of gold, palladium, copper and other metals in the mining sector, as well as in biotechnology, and the manufacture of antibiotics and other chemicals.


Content Preview

The null hypothesis can be thought of as the opposite of the "guess" the research made (in this example the biologist thinks the plant height will be different for the fertilizers). So the null would be that there will be no difference among the groups of plants. Specifically in more statistical language the null for an ANOVA is that the means are the same. We state the Null hypothesis as:

(H_0 colon mu_1 = mu_2 = ⋯ = mu_k)

cho k levels of an experimental treatment.

The reason we state the alternative hypothesis this way is that if the Null is rejected, there are many possibilities.

For example, (mu_1 e mu_2 = ⋯ = mu_k) is one possibility, as is (mu_1=mu_2 emu_3= ⋯ =mu_k). Many people make the mistake of stating the Alternative Hypothesis as: (mu_1 emu_2 e⋯ emu_k) which says that every mean differs from every other mean. This is a possibility, but only one of many possibilities. To cover all alternative outcomes, we resort to a verbal statement of ‘not all equal’ and then follow up with mean comparisons to find out where differences among means exist. In our example, this means that fertilizer 1 may result in plants that are really tall, but fertilizers 2, 3 and the plants with no fertilizers don't differ from one another. A simpler way of thinking about this is that at least one mean is different from all others.

If we look at what can happen in a hypothesis test, we can construct the following contingency table:

Type I Error
(alpha) = probability of Type I Error

You should be familiar with type I and type II errors from your introductory course. It is important to note that we want to set (alpha) before the experiment (a-priori) because the Type I error is the more ‘grevious’ error to make. The typical value of (alpha) is 0.05, establishing a 95% confidence level. For this course we will assume (alpha) =0.05.

Remember the importance of recognizing whether data is collected through experimental design or observational.

For categorical treatment level means, we use an F statistic, named after R.A. Fisher. We will explore the mechanics of computing the F statistic beginning in Lesson 2. The F value we get from the data is labeled (F_< ext>).

As with all other test statistics, a threshold (critical) value of F is established. Điều này F value can be obtained from statistical tables and is referred to as (F_< ext>) or (F_alpha). As a reminder, this critical value is the minimum value for the test statistic (in this case the F test) for us to be able to reject the null.

Các F distribution, (F_alpha), and the location of Acceptance / Rejection regions are shown in the graph below:


Người giới thiệu

Abery NW, Gunasekera RM, De Silva SS: Growth and nutrient utilization of Murray cod (Maccullochella peelii peelii) fingerlings fed diets with varying levels of soybean meal and blood meal. Aquac Res 2002, 33: 279-289. 10.1046/j.1355-557x.2002.00672.x

AOAC: Official Methods of Analysis of the Association of Official Analytical Chemists. Edited by: Helrich K. Association of Official Analytical Chemists, Arlington, VA, USA 1990.

Baccarelli A, Mocarelli P, Patterson DG, Bonzini M, Pesatori AD, Caporaso N, et al.: Immunologic effects of dioxin: new results from seveso and comparison with other studies. Environ Health Persp 2002, 110: 1169-1173. 10.1289/ehp.021101169

Bell JG, Henderson RJ, Tocher DR, McGhee F, Dick JR, Porter A, et al.: Substituting fish oil with crude palm oil in the diet of Atlantic salmon (Salmo salar) affects tissue fatty acid compositions and hepatic fatty acid metabolism. J Nutr 2002, 132: 222-230.

Bell JG, Tocher DR, Henderson RJ, Dick JR, Crampton VO: Altered fatty acid compositions in Atlantic salmon (Salmo salar) fed diets containing linseed and rapeseed oils can be partially restored by a subsequent fish oil finishing diet. J Nutr 2003, 133: 2793-2801.

Bell JG, McGhee F, Campbell PJ, Sargent JR: Rapeseed oil as an alternative to marine fish oil in diets of post-smolt Atlantic salmon (Salmo salar): changes in flesh fatty acid composition and effectiveness of subsequent fish oil “wash out”. Aquaculture 2003, 218: 515-528. 10.1016/S0044-8486(02)00462-3

Bell JG, Henderson RJ, Tocher DR, Sargent JR: Replacement of dietary fish oil with increasing levels of linseed oil: modification of flesh fatty acid compositions in Atlantic salmon (Salmo salar), using a fish oil finishing diet. Lipids 2004, 39: 223-232. 10.1007/s11745-004-1223-5

Birnbaum LS, Tuomisto J: Non-carcinogenic effects of TCDD in animals. Food Addit Contam 2000, 17: 275-288. 10.1080/026520300283351

Caballero MJ, Obach A, Rosenlund G, Montero D, Gisvold M, Izquierdo MS: Impact of different dietary lipid sources on growth, lipid digestibility, tissue fatty acid composition and histology of rainbow trout (Oncorhynchus mykiss). Aquaculture 2002, 214: 253-271. 10.1016/S0044-8486(01)00852-3

Chen YC, Nguyen J, Semmens K, Beamer S, Jaczynski J: Enhancementof omega-3 fatty acid content in rainbow trout (Oncorhynchusmykiss) fillets. J Food Science 2006, 71(7):C383-C389. 10.1111/j.1750-3841.2006.00115.x

Chen YC, Nguyen J, Semmens K, Beamer S, Jaczynski J: Chemical changes in omega-3-enhanced farmed rainbow trout (Oncorhynchusmykiss) fillets during abusive-temperature storage. Food Control 2008, 19(6):599-608. 10.1016/j.foodcont.2007.06.011

Christie WW: Lipid analysis. 2nd edition. Pergamon Press, Oxford 1982.

Committee on Medical Aspects of Food Policy: Nutritional Aspects of Cardiovascular Disease. Department of Health Report on Health and Social Subjects, No. 46, HMSO, London 1994.

De Silva S, Gunasekera R, Collins R, Ingram B: Performance of juvenile Murray cod (Maccullochella peelii peelii), fed with diets of different protein to energy ratio. Aquacult Nutr 2002, 8: 79-85. 10.1046/j.1365-2095.2002.00191.x

Folch JM, Lees M, Sloane-Stanley GH: A simple method for the isolation and purification of total lipids from animal tissues. J Biol Chem 1957, 226: 497-509.

Fritsche KL, Johnston PV: Effect of dietary a-linolenic acid on growth, metastasis, fatty acid profile and prostaglandin production of two marine mammary adenocarcinomas. J Nutr 1990, 120: 1601-1609.

Glencross B, Hawkins W, Curnow J: Evaluation of canola oils as alternative lipid resources in diets for juvenile red sea bream (Pagrus auratus). Aquacult Nutr 2003, 9: 305-315. 10.1046/j.1365-2095.2003.00257.x

Greene DHS, Selivonchick DP: Effects of dietary vegetable, animal and marine lipids on muscle lipid and haematology of rainbow trout (Oncorhynchus mykiss). Aquaculture 1990, 89: 165-182. 10.1016/0044-8486(90)90308-A

Guillou A, Soucy P, Khalil M, Adambounou L: Effects of dietary vegetable and marine lipid on growth, muscle fatty acid composition and organoleptic quality of flesh of brook charr (Salvelinus fontinalis). Aquaculture 1995, 136: 351-362. 10.1016/0044-8486(95)00053-4

Henderson RJ, Tocher DR: The lipid composition and biochemistry of freshwater fish. Prog Lipid Res 1987, 26: 281-347. 10.1016/0163-7827(87)90002-6

Hites RA, Foran JA, Carpenter DO, Hamilton MC, Knuth BA, Schwager SJ: Global assessment of organic contaminants in farmed salmon. Science 2004, 303: 226-229. 10.1126/science.1091447

Hites RA, Foran JA, Schwager SJ, Knuth BA, Hamilton MC, Carpenter DO: Global assessment of polybrominated diphenyl ethers in farmed and wild salmon. Environ Sci Technol 2004, 38: 4945-4949. 10.1021/es049548m

Izquierdo MS, Obach A, Arantzamendi L, Montero D, Robaina L, Rosenlund G: Dietary lipid sources for sea bream and sea bass: growth performance, tissue composition and flesh quality. Aquacult Nutr 2003, 9: 397-407. 10.1046/j.1365-2095.2003.00270.x

Izquierdo MS, Montero D, Robaina L, Caballero MJ, Rosenlund G, Gine’s R: Alterations in fillet fatty acid profile and flesh quality in gilthead sea bream (Sparus aurata) fed vegetable oils for a long term period, recovery of fatty acid profiles by fish oil feeding. Aquaculture 2005, 250: 431-444. 10.1016/j.aquaculture.2004.12.001

Jacobs MN, Ferrario J, Byrne C: Investigation of polychlorinated dibenzo-p-dioxins dibenzo-p-furans and selected coplanar biphenyls in Scottish farmed Atlantic salmon (Salmo salar). Chemosphere 2002, 47: 183-191. 10.1016/S0045-6535(01)00201-6

Jacobs MN, Covaci A, Schepens P: Investigation of selected persistant organic pollutants in farmed Atlantic salmon (Salmo salar), salmon aquaculture feed, and fish oil components of the feed. Environ Sci Technol 2002, 36: 2797-2805. 10.1021/es011287i

Kanazawa A, Teshima SI, Ono K: Relationship between essential fatty acid requirements of aquatic animals and the capacity for bioconversion of linolenic acid to highly unsaturated fatty acids. Comp Biochem Phys 1979, 63B: 295-298.

Kanazawa A, Teshima SI, Sakamoto M, Awal M: Requirements of Tilapia zilli for essential fatty acids. B Jpn Soc Sci Fish 1980, 46: 1353-1356. 10.2331/suisan.46.1353

Kubow S: Lipid oxidation products in foods and atherogenesis. Nutr Rev 1993, 51: 33-40.

Lauritzen L, Hansen HS, Jorgensen MH, Michaelsen KF: The essentiality of long chain n-3 fatty acids in relation to development and function of the brain and retina. Prog Lipid Res 2001, 40: 1-94. 10.1016/S0163-7827(00)00017-5

Martino RC, Cyrino JEP, Portz L, Trugo LC: Performance and fatty acid composition of surubim (Pseudoplatystoma coruscans) fed diets with animal and plant lipids. Aquaculture 2002, 209: 233-246. 10.1016/S0044-8486(01)00847-X

Montero D, Robaina L, Caballero MJ, Gine’s R, Izquierdo MS: Growth, feed utilization and flesh quality of European sea bass (Dicentrarchus labrax) fed diets containing vegetable oils: A time-course study on the effect of a re-feeding period with a 100% fish oil diet. Aquaculture 2005, 248: 121-134. 10.1016/j.aquaculture.2005.03.003

New M: Global aquaculture: current trends of challenges for the 21st century. World Aquac 1999, 30: 8-13.

NRC (National Research Council): Nutrient Requirement of Fish. National Academy Press, Washington, DC 1993.

Rosenlund G, Obach A, Sandberg MG, Standal H, Tveit K: Effect of alternative lipid sources on long-term growth performance and quality of Atlantic salmon (Salmo salar). Aquac Res 2001, 32: 323-328.

Simmons CA, Turk P, Beamer S, Jaczynski J, Semmens K, Matak KE: The effect of a flaxseed oil-enhanced diet on the product quality of farmed brooktrout (Salvelinusfontinalis) fillets. J Food Science 2011, 76(3):192-197. 10.1111/j.1750-3841.2011.02070.x

Simopoulos AP, Leaf A, Salem N: Workshop on the essentiality of and recommended dietary intakes for omega-6 and omega-3 fatty acids. International Society for the Study of Fatty Acids and Lipids. J Am Coll Nutr 1999, 18(5):487-489.

Subhadra B, Lochmann R, Rawles S, Chen RG: Effect of dietary lipid source on the growth, tissue composition and hematological parameters of largemouth bass (Micropterus salmoides). Aquaculture 2006, 255: 210-222. 10.1016/j.aquaculture.2005.11.043

Tocher DR, Harvie DG: Fatty acid compositions of the major phosphoglycerides from fish neural tissues: (n-3) and (n-6) polyunsaturated fatty acids in rainbow trout (Salmo gairdneri) and cod (Gadus morhua) brains and retinas. Fish Physiol Biochem 1988, 5: 229-239. 10.1007/BF01874800

Tocher DR: Metabolism and functions of lipids and fatty acids in teleost fish. Rev Fish Sci 2003, 11: 107-184. 10.1080/713610925

Torstensen L, Frøyland L, Lie O: Replacing dietary fish oil with increasing levels of rapeseed oil and olive oil, effects on Atlantic salmon (Salmo salar) tissue and lipoprotein composition and lipogenic enzyme activities. Aquacult Nutr 2004, 10: 175-192. 10.1111/j.1365-2095.2004.00289.x

Turchini GM, Gunasekera RM, De Silva SS: Effect of crude oil extracts from trout offal as a replacement for fish oil in the diets of the Australian native fish Murray cod (Maccullochella peelii peelii). Aquac Res 2003, 34: 697-708. 10.1046/j.1365-2109.2003.00870.x

Turchini GM, Mentasti T, Frøyland L, Orban E, Caprino F, Moretti VM, et al.: Effects of alternative dietary lipid sources on performance, tissue chemical composition, mitochondrial fatty acid oxidation capabilities and sensory characteristics in brown trout (Salmo trutta). Aquaculture 2003, 225: 251-267. 10.1016/S0044-8486(03)00294-1

Van Den Heuvel RL, Koppen G, Staessen JA, Hond ED, Verheyen G, Nawrot TS, et al.: Immunologic biomarkers in relation to exposure markers of PCBs and dioxins in Flemish adolescents (Belgium). Environ Health Persp 2002, 110: 595-600. 10.1289/ehp.02110595

Waagbø R, Sandnes K, Torrissen OJ, Sandvin A, Lie Ø: Chemical and sensory evaluation of fillets from Atlantic salmon (Salmo salar) fed three different levels of n-3 polyunsaturated fatty acids at two levels of vitamin E. Food Chem 1993, 46: 361-366. 10.1016/0308-8146(93)90005-Z

Ways P, Hanahan DJ: Characterization and quantification of red cell lipids in normal man. J Lipid Res 1964, 5: 318-328.

Wonnacott EJ, Lane RL, Kohler CC: Influence of dietary replacement of menhaden oil with canola oil on fatty acid composition of sunshine bass. N Am J Aquacult 2004, 66: 243-250. 10.1577/A03-049.1


Giới thiệu

The rapid growth in the development of modern communication technology has made data transmission easier and faster. However, this made the transmitted data are easier to be copied, modified, or destroyed by unauthorized users or for unauthorized access by eavesdropper, attacker, and etc. Thus, protecting the secrecy of data whether in its place or during transmission is a critical issue. Data encryption and data hiding are two major techniques of information security to maintain data secrecy.

Encryption is a data transformation that encrypted data into cipher text and a meaningless form which no one can read it unless who has the key to decrypt the encryption. Data hiding techniques concern with hiding secret data within a carrier in an invisible manner. The carrier can be digital media such as text, audio, image, video, and multimedia and called the cover for secret data. Data hiding has two main branches, steganography and watermarking. The present work focuses on steganography and use images as the cover for hiding secret data. Steganography conceals the secret data inside the cover image in such away which no one can even know there is a secret data there.

Image steganography is common and used most widely with the comparison of other types of steganography. This popularity because images have a large amount of redundant data that can be used to hide secret data easily, and because images take into consideration the advantage of the limited power of the human visual system (HVS) [1–4]. In image steganography, the original image called the cover image, the stego image is the image that results from embedding secret data inside the original image. The cover and stego images should be more similar, so it will be harder for an unauthorized person to know the stego image.

There are many steganographic approaches for hiding data. The most famous steganographic approach is the least significant bit (LSB) where LSB refers to the last or the right-most bit in a binary number. This approach replaces some LSBs of the cover image with the secret data bits of the hidden message. LSB is easy and simple in computations but the capacity is low. Simple LSB approach is also not robust because of the easiness of retrieving the secret message by retrieving the LSBs [5, 6]. The LSB inversion approach is preferable because it enhances the stego image quality. In this approach, instead of replacing with secret data, the LSBs of each pixel cover are inverted based on secret data values [5].

Many improved LSB methods to maximize the capacity with enhancing the stego image quality have been proposed. Sayuthi et al. [7] proposed a new technique used modulus arithmetic to merge secret data into a cover image instead of direct substitution as applied in normal LSB technique. In this technique, a module is proposed to test the cover image. This method works in a fully spatial domain manner. Pixels are used in a decimal value (0–255).

Aisha and Wilson [8] presented a simple method to conceal a compressed secret data using arithmetic division operation and various other logical operations within the edges of a color image. First, they used Canny edge detection algorithm to obtain the edges. After that, compressed secret data by using a compression method in the wavelet domain. Then used arithmetic division operation to hide compressed secret data into edges areas of the cover color image. They used PSNR and SSIM to evaluate the stego image quality. Experimental results show that the proposed scheme achieves large embedding capacity and high imperceptibility.

Cheng [9] introduced an inverted pattern (IP) LSB substitution technique to enhance the stego image quality. This technique combines the processing of secret data before embedding and the processing of stego images after embedding. The technique takes short time to embed secret data into the cover image. The results indicate that this technique has a better quality of stego image than the optimal LSB substitution and the optimal pixel adjustment process (OPAP) LSB substitution methods.

Mohammed and Rossilawati [5] proposed the bit inversion method to improve the quality of the stego image in color images. This method introduced two levels of security to the standard LSB steganography. The first level is using the two colors, green and blue, instead of using the three colors in the standard LSB. The second level is reversing the bits of pixels of the stego image after applying the standard LSB. The purpose of this method is handling the weaknesses of the standard LSB Steganography besides increasing the capacity.

Orooba [10] presented a new robust steganographic scheme using adding operation between LSB of pixels in the image and secret data. In the extraction procedure, two keys are used to extract secret data which improve the power of hiding and the difficulty of breaking. Experimental results demonstrate that this technique is a good technique, easy to use and efficient in security. In the future, they intend to develop the system encodes the secret hide text before.

Marghny and Loay [11] introduced a data hiding technique based on simple LSB substitution scheme for gray images. They partitioned the cover image into two parts. The first for embedding and inverting some bits have the secret bits to enhance the results. The second part indicates which bits are inverted in the first part. After embedding, they apply an optimal LSBs method to improve the quality of stego image. The experimental results indicate that their method has better performance compared to the corresponding methods, in terms of capacity and PSNR.

Khodaei and Faez [12] presented a new adaptive data-hiding approach for grayscale images. The approach based on LSB substitution and pixel value differencing (PVD) methods. Experimental results indicated that the approach has capacity and stego image quality better than those of Wu et al.’s, Yang et al.’s and Lee et al.’s methods. Also, the approach needs a low time complexity. Also, the approach is secure against the RS detection attack and steganalysis detector using SPAM features.

Vajiheh et al. [13] proposed an adaptive method which used LSB-M as its embedding method. They identified edges in the cover image and then altered with embedding data in it. The secure locations of an image are determinate by using a complexity measure based on a local neighborhood analysis. Their method gives a better performance which obtaining higher PSNR values with respect to comparable adaptive methods.

In [14], a new steganography approach to develop a FPPD based distributed steganography is presented. This technique allows for sending multiple secret data components across multiple cover images. A modulus function is added to change the value for a reference pixel. When the secret data is larger than the cover image, another cover image can be used, and so on. The PSNR for this technique is below the original FPPD method. This decrease because modulus function changes the value for reference point.

Kamaldeep and Rajkumar [15] presented a new scheme based on XOR for hiding data into gray images using three bit XOR steganography system. The maximum no of bits used to hidden data in this technique is equal to X*Y*3, where XY are the rows and columns of the image. The time complexity which is equal to O(1) is also calculated. Experimental results show that this scheme exceeds over existing methods and gives good imperceptibility.

Steganographic techniques have three core properties high capacity, good imperceptibility, and robustness. These three requirements cannot be achieved in one technique, so the sender should consider his priorities [16]. Therefore, the purpose of the proposed method is to enhance the capacity taking high visual quality into consideration. This is evidenced by comparing the present method with the available steganographic techniques Cheng [9], Marghny and Loay [11] and Khodaei and Faez [12]. The results show that the proposed method gives high capacity and good imperceptibility in comparison with the previous methods.

To improve the image quality, the value of LSBs are inverted instead of replacing their values with secret data. Arithmetic operations are used to reduce the magnitude of embedded data and hence increasing the capacity. The result of subtracting the minimum number from the maximum number (R refers to this value) decides the number of bits that will be inverted. This means that according to the R value, the number of LSBs of each pixel that will be inverted in the first part is decided. If this value less than or equal 127 then four LSBs of each pixel will be inverted otherwise five LSBs will be inverted.

The presented method is based on inverting LSBs and some arithmetic operations. Among the arithmetic operations used there is an arithmetic division operation similar to that used in Aisha and Wilson [8] method. But in the presented method, before applying the division operation, first the maximum and minimum values in the secret data are determined and then subtract the minimum and all values of the secret data from this maximum value. After that, apply a division operation for the results by 32 and then 8. Finally, embed the results by inverting the value of LSBs of the grayscale image. While in the [8] method, the divisor is 8. First, they used the Canny edge detection algorithm and a dynamically generated threshold to obtain the edges in the cover image. Then, compress the secret data using a compression method in the wavelet domain. Finally, they apply a division operation and logical operations to embed the secret data in the edges of the color image. The division by 32 then 8 increase the security of the proposed technique which is better than division by 8. By this way, the unauthorized user needs to know two quotients, the reminder and also makes four mathematical operations (i.e., two multiplication and two addition) to extract the secret data. While in division by 8, he needs only one quotient, the reminder and makes two mathematical operations (i.e., one multiplication and one addition).

The paper is organized such that in “The Optimal LSBs technique” section the optimal LSB method is presented. “The proposed method” section explains the proposed method. The results are discussed in “Experimental results” section. Finally, the conclusion is introduced in the “Conclusion” section.


6. Geometry and Measures

6.1. Constructions and Loci

6.1.2. Powerpoint with answers for worksheet

6.1.3. Worksheet of key questions

6.1.4. Exam Style Questions and Answers

6.1.5. Spec point- use the standard ruler and compass constructions (perpendicular bisector of a line segment, constructing a perpendicular to a given line from/at a given point, bisecting a given angle) use these to construct given figures and solve loci problems know that the perpendicular distance from a point to a line is the shortest distance to the line

6.2. Vectors

6.2.3. Past Paper Questions and Answers

6.2.4. 9-1 Style Questions and Answers

6.2.5. Spec point- apply addition and subtraction of vectors, multiplication of vectors by a scalar, and diagrammatic and column representations of vectors

6.2.6. MyMaths link- adding and subtracting vectors

6.2.7. MyMaths link- reading and geometric proof

6.3. Circle Theorems

6.3.4. Past Paper Questions and Answers

6.3.5. Exam Style Questions- Circle Theorems Proofs

6.3.6. 9-1 Style Questions and Answers

6.3.7. Spec Point- Identify and apply circle definitions and properties, including: centre, radius, chord, diameter, circumference, tangent, arc, sector and segment - Apply and prove the standard circle theorems concerning angles, radii, tangents and chords, and use them to prove related results

6.3.8. MyMaths link- Theorems

6.4. Lượng giác

6.4.1. Right Angled Triangles

6.4.1.2.1. Video Help- Finding a Side

6.4.1.3. Powerpoint with questions

6.4.1.4. Exam Style Questions and Answes

6.4.1.5. 9-1 Style Questions and Answers- Trig

6.4.1.6. 9-1 Style Questions and Answers- Pythagoras

6.4.1.7. Spec Point- know the formulae for: Pythagoras’ theorem a2 + b2 = c2, and the trigonometric ratios, sin θ=opposite/hypotenuse cos θ = adjacent/hypotenuse and tan θ = opposite/adjacent apply them to find angles and lengths in right-angled triangles and, where possible, general triangles in two and three dimensional figures -know the exact values of sin θ and cos θ for θ = 0°, 30°, 45°, 60° and 90° know the exact value of tan θ for θ = 0°, 30°, 45° and 60°

6.4.1.8. MyMaths link - Pythagoras

6.4.1.9. MyMaths link- SOHCAHTOA

6.4.1.10. MyMaths link- Special Angles

6.4.2. Non- Right Angled Triangles

6.4.2.1. SINE and COSINE Rule

6.4.2.1.1. Video Help- Sine Rule (Finding a length)

6.4.2.1.2. Video Help- Sine Rule (Finding an angle)

6.4.2.3. Powerpoint with questions

6.4.2.4. Exam Style Questions and Answers

6.4.2.5. 9-1 Style Questions and Answers

6.4.2.7. MyMaths link- Sine Rule

6.4.2.8. MyMaths link- Cosine Rule Angle

6.4.2.8.1. MyMaths link- Cosine Rule Sides

6.4.2.9. MyMaths link- Area of Triangle

6.4.3. Trigonometry Exact Values

6.4.3.2. Exam Style Questions and Answers

6.4.3.3. 9-1 Style Questions and Answers

6.4.3.5. Spec Point- know the exact values of sin θ and cos θ for θ = 0°, 30°, 45°, 60° and 90° know the exact value of tan θ for θ = 0°, 30°, 45° and 60°. Knowledge of how to find exact values from the triangles is key.

6.4.4.2. Practise Questions and Answers

6.4.4.3. Exam Style Questions and Answers

6.4.4.4. MyMaths link- First 5 parts only

6.5. Transformations

6.5.1.4.1. Negative and Fractional Enlargements

6.5.1.6. Past Paper Questions and Answers

6.5.1.7. Spec point- identify, describe and construct congruent and similar shapes, including on coordinate axes, by considering rotation, reflection, translation and enlargement (including fractional and negative scale factors)

6.5.2.3. Past Paper Questions and Answers (Skip 2b 4b 5b 7c as not on spec)

6.5.2.4. Exam Style Questions and Answers (Ignore questions that are e.g. 2f(x) or f(2x) )

6.6. Polygons and Angles in Parallel Lines

6.6.1. Angles in Parallel lines

6.6.1.1. Interior and Exterior Angles

6.6.3. Past paper Questions and Answers

6.6.4. 9-1 Style Questions and Answers- Parallel lines

6.6.5. Exam Style Questions and Answers- Polygons

6.6.6. MyMaths link- Angles in Parallel Lines

6.6.7. MyMaths link- Interior and Exterior Angles

6.6.8. Spec point- apply the properties of angles at a point, angles at a point on a straight line, vertically opposite angles understand and use alternate and corresponding angles on parallel lines derive and use the sum of angles in a triangle (e.g. to deduce and use the angle sum in any polygon, and to derive properties of regular polygons)

6.7. 3D Shapes

6.7.2. Practise Questions and Answers

6.7.3. Powerpoint- Similarity and Scale Factors

6.7.4. Powerpoint- Volumes and Surface Areas

6.7.5. Exam Style Questions and Answers- Sphere

6.7.6. Exam Style Questions Area and Volume Scale Factor

6.7.7. 9-1 Style Questions and Answers- Similarity and Congruence

6.7.8. 9-1 Style Questions and Answers- Volumes

6.7.9. MyMaths link- Volumes of Cylinder

6.7.10. MyMaths link- Volumes of Prisms

6.7.11. MyMaths link- Volumes of Cones and Spheres

6.8. 2D Shapes

6.8.1.3. Practise Questions and Answers

6.8.2.1.1. Areas of Sectors and Segments

6.8.2.3. Past paper questions and answers

6.8.2.4. Past Paper Questions and Answers- Area of Sectors and Arc Lengths

6.8.2.5. 9-1 Style Questions and Answers- Area of Sectors and Arc Lengths


Xem video: NTTU Phân lập vi khuẩn (Tháng Giêng 2022).