Bài viết

9,0: Mở đầu cho Nhận dạng và Phương trình Lượng giác - Toán học


Toán học có ở khắp mọi nơi, ngay cả ở những nơi mà chúng ta có thể không nhận ra ngay lập tức. Biểu đồ hình sin trong Hình ( PageIndex {1} ) mô hình bản nhạc đang phát trên điện thoại, đài hoặc máy tính. Các đồ thị như vậy được mô tả bằng cách sử dụng các phương trình và hàm số lượng giác. Trong chương này, chúng ta thảo luận về cách vận dụng các phương trình lượng giác một cách đại số bằng cách áp dụng các công thức và đồng dạng lượng giác khác nhau. Chúng ta cũng sẽ tìm hiểu một số cách mà các phương trình lượng giác được sử dụng để mô hình hóa các hiện tượng trong cuộc sống thực.


Hãy xem xét ví dụ quen thuộc về tam giác vuông 45-45-90, có các góc là 4 5 ∘, 45 ^ khoanh, 4 5 ∘, 4 5 ∘, 45 ^ khoanh, 4 5 ∘ và 9 0 ∘. 90 ^ khoanh tròn. 9 0 ∘. Theo định lý Pitago, một tam giác như vậy phải có cạnh huyền có độ dài là 2 sqrt <2> 2

Lần của mỗi chân:

Trong trường hợp này, liên quan đến một trong các góc nhọn của tam giác, người ta có thể viết tỷ số các cạnh là

cạnh huyền cạnh đối diện = 1 2, cạnh huyền cạnh kề = 1 2, cạnh huyền cạnh đối diện = 1. frac < text> < text> = frac <1> < sqrt <2>>, quad frac < text> < text> = frac <1> < sqrt <2>>, quad frac < text> < text> = 1. cạnh huyền đối diện = 2

1, cạnh huyền cạnh cạnh = 2

1, cạnh kề bên đối diện = 1.

Lần của chân ngắn hơn trong khi cạnh huyền có chiều dài gấp đôi chiều dài của chân ngắn hơn:

cạnh huyền cạnh đối diện = 1 2, cạnh huyền cạnh kề = 3 2, cạnh huyền cạnh đối diện = 1 3. frac < text> < text> = frac <1> <2>, quad frac < text> < text> = frac < sqrt <3>> <2>, quad frac < text> < text> = frac <1> < sqrt <3>>. cạnh huyền cạnh đối diện = 2 1, cạnh huyền cạnh huyền = 2 3

, Cạnh bên đối diện với bên = 3

Trong cả hai trường hợp, việc xác định các góc nhọn của tam giác vuông sẽ xác định tỷ lệ tương đối giữa mỗi cạnh. Khi một góc nhỏ hơn và góc kia lớn hơn, cạnh đối diện với góc lớn hơn sẽ lớn hơn trong khi cạnh đối diện với góc nhỏ hơn sẽ nhỏ hơn.

Không có lý do gì mà tỷ lệ không thể được chỉ định cho bất kì tam giác vuông tùy ý. Về nguyên tắc, với một trong các góc nhọn của tam giác vuông, tỉ số giữa mỗi cặp cạnh là cố định. Nói cách khác, tỷ lệ giữa các bên có thể được coi là chức năng số đo của một góc nhọn. Trong lượng giác, ba tỷ số tạo thành cơ sở định nghĩa của ba hàm lượng giác cơ bản, được gọi là sin, cô sintiếp tuyến.

  • Các sin của θ theta θ được viết là sin ⁡ θ sin < theta> sin θ và được định nghĩa là tỷ số sin ⁡ θ = cạnh huyền bên đối diện. sin < theta> = frac < text> < text>. sin θ = cạnh huyền đối diện.

  • Các cô sin của θ theta θ được viết dưới dạng cos ⁡ θ cos < theta> cos θ và được định nghĩa là tỷ số cos ⁡ θ = cạnh huyền cạnh kề. cos < theta> = frac < text> < text>. cos θ = cạnh huyền cạnh.

  • Các tiếp tuyến của θ theta θ được viết là tan ⁡ θ tan < theta> tan θ và được định nghĩa là tỷ số tan ⁡ θ = cạnh đối diện cạnh kề = sin ⁡ θ cos ⁡ θ. tan < theta> = frac < text> < text> = frac < sin < theta >> < cos < theta >>. tan θ = cạnh kề đối diện = cos θ sin θ.

Ngoài ra, vì chúng thường xuyên được sử dụng, các nghịch đảo của sin, cosin và tiếp tuyến cũng có tên: chúng là cosecant, đương cătcotangent.

  • Các cosecant của θ theta θ được viết dưới dạng csc ⁡ θ csc < theta> csc θ và được định nghĩa là csc ⁡ θ = 1 sin ⁡ θ. csc < theta> = frac <1> < sin < theta >>. csc θ = sin θ 1.

  • Các đương căt của θ theta θ được viết là sec ⁡ θ sec < theta> sec θ và được định nghĩa là sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ. sec < theta> = frac <1> < cos < theta >>. giây θ = cos θ 1.

  • Các cotangent của θ theta θ được viết là cot ⁡ θ cot < theta> cot θ và được định nghĩa là cot ⁡ θ = 1 tan ⁡ θ. cot < theta> = frac <1> < tan < theta >>. cot θ = tan θ 1.

Mặc dù các giá trị của các hàm lượng giác đối với một số góc nhất định có thể được tính là một số đại số (tức là có thể biểu diễn được dưới dạng phân số và nghiệm nguyên), nói chung sin hoặc côsin của một góc tùy ý có thể là siêu nghiệm. Điều này được chứng minh bằng định lý Baker.

Tính giá trị của sáu hàm lượng giác cho θ = 3 0 ∘ theta = 30 ^ circle θ = 3 0 ∘.

Từ những gì chúng ta biết về tam giác vuông 30-60-90, chúng ta có

sin ⁡ 3 0 ∘ = cạnh huyền cạnh đối diện = 1 2, cos ⁡ 3 0 ∘ = cạnh huyền cạnh kề = 3 2, tan ⁡ 3 0 ∘ = cạnh huyền cạnh đối diện = 1 3. sin <30 ^ circle> = frac < text> < text> = frac <1> <2>, quad cos <30 ^ circle> = frac < text> < text> = frac < sqrt <3>> <2>, quad tan <30 ^ circle> = frac < text> < text> = frac <1> < sqrt <3>>. sin 3 0 ∘ = cạnh huyền đối diện = 2 1, cos 3 0 ∘ = cạnh huyền cạnh huyền = 2 3

, Tan 3 0 ∘ = cạnh kề cạnh đối diện = 3

​ 1 ​ .

Như vậy

csc ⁡ 3 0 ∘ = 1 sin ⁡ 3 0 ∘ = 2, sec ⁡ 3 0 ∘ = 1 cos ⁡ 3 0 ∘ = 2 3, cot ⁡ 3 0 ∘ = 1 tan ⁡ 3 0 ∘ = 3. □ csc <30 ^ circle> = frac <1> < sin <30 ^ circle >> = 2, quad sec <30 ^ circle> = frac <1> < cos <30 ^ circle >> = frac <2> < sqrt <3>>, quad cot <30 ^ circle> = frac <1> < tan <30 ^ circle >> = sqrt <3> . _ vuông csc 3 0 ∘ = sin 3 0 ∘ 1 = 2, sec 3 0 ∘ = cos 3 0 ∘ 1 = 3

2, cot 3 0 ∘ = tan 3 0 ∘ 1 = 3

​ . □ ​

Nhắc lại rằng hai góc và cạnh giữa chúng hoặc hai cạnh và góc giữa chúng xác định một tam giác duy nhất. Cuối cùng, các hàm lượng giác cho phép người ta xác định tất cả các cạnh và góc chưa biết cho một tam giác xác định duy nhất.


9,0: Mở đầu cho Nhận dạng và Phương trình Lượng giác - Toán học

Lượng giác chồng chất. Bên này là bao lâu?

(10,69-3,2 = 7,49 tan42 ^ o = frac<7.49> tan42 ^ o xấp xỉ.9 \ frac<7.49>=0.9 o dapprox6.74\\sin37^o=frac<6.74> sin37 ^ o khoảng 0.602 \ frac <6.74>= 0,602 đến e khoảng 11,2 11,2 + 4,3 = 15,5 sin53 ^ o = frac<15,5> sin53 ^ o khoảng 8,8 \ frac<15,5> = 0,8 đến f khoảng 12,4 )

(12.4-2.2 = 10.2 g ^ 2 = 10.2 ^ 2 + 1.7 ^ 2 đến g xấp xỉx10.34 cos21 ^ o = frac <10.34> cos21 ^ o khoảng 0,934 \ frac <10,34>= 0.934 to h = 11.07 11.07 + 1.7 = 12.77 sin71 ^ o = frac<12,77> sin71 ^ o xấp xỉ 0,946 \ frac<12,77> = 0,946 đến x khoảng 12,1 (cm) leftarrow Answer )



Bài học này chia nhỏ các hàm logarit phức tạp thành các thành phần cơ bản của chúng: cơ số (b), giá trị đầu vào cố định (y) và đầu ra của hàm, x. Do đó, logarit được viết là b x = y. Bài học này cũng đề cập đến Nhận dạng Sản phẩm, Nhận dạng Thương số, Nhận dạng Nguồn và các cơ sở thay đổi.

Cả tọa độ cực và hình chữ nhật đều đề cập đến một điểm trên biểu đồ hoặc đồ thị. Thông thường, định lý Pitago được sử dụng để tìm các tọa độ tương ứng. Đọc bài học này để biết các mẹo chuyển đổi nhanh chóng!


Lượng giác

Từ sơ đồ sau, chúng ta thấy rằng sin (& pi - & theta) = sin & theta và cos (- & theta) = cos & theta. Chúng tôi sử dụng điều này để tìm nghiệm của một số phương trình trig.

Trường hợp 1: -1 & ley& le 1, nghĩa là giá trị của y nằm giữa -1 và 1, vì vậy có một giải pháp.

Tập hợp tất cả các giải pháp để tội(x) = y

Ở đâu k có thể là bất kỳ số nguyên nào, giải pháp cho x bao gồm sin -1 (y) cộng với tất cả bội số chẵn của &số Pi, cùng với dấu trừ sin -1 (y) cộng với tất cả kỳ quặc bội số của &số Pi.

Trường hợp 2: -1 & gt y hoặc là y & gt 1, nghĩa là giá trị của y quá lớn hoặc quá nhỏ để có thể có một giải pháp.

Trường hợp 1: -1 & ley& le 1

Tập hợp tất cả các giải pháp để cos (x) = y

Ở đâu k có thể là bất kỳ số nguyên nào

Trường hợp 2: -1 & gt y hoặc là y & gt 1

Tập hợp tất cả các giải pháp để tan (x) = y


Nguồn gốc của dạng cực

Mặc dù Euler’s Identity đi theo dạng cực của số phức, nhưng không thể suy ra dạng cực (đặc biệt là sự xuất hiện tự phát của số e) mà không cần tính tích.

Chúng ta bắt đầu với dạng hình chữ nhật của một số phức:

Từ sơ đồ và lượng giác, chúng ta có thể thực hiện các phép thay thế sau:

Từ đây, chúng ta có thể suy ra r:

Hàm cis& phi hóa ra bằng etôi & phi. Đây là phần không thể hiển thị nếu không có phép tính. Hai dẫn xuất được hiển thị dưới đây:


9,0: Mở đầu cho Nhận dạng và Phương trình Lượng giác - Toán học

Câu hỏi từ Aakash, một sinh viên:

chu kỳ của hàm f (x) = cos3x + sin4x + tan4x

Khoảng thời gian của một hàm trig

Chu kỳ của một hàm trig t (x) là khoảng cách tính bằng x để mẫu tự lặp lại.

Đồ thị của hàm số tiếp tuyến tan (x) có dạng như sau (x ở đây là độ):

Vì vậy, khoảng thời gian trong trường hợp này là 180 & deg, vì mẫu lặp lại sau mỗi 180 đơn vị x. Nếu chúng ta thay x bằng 3x + 90 & deg, thì biểu đồ tan (3x + 90 & deg), nó trông như thế này:

Vì vậy, khoảng thời gian của hàm này là 60 & deg. Trên thực tế, thừa số đó đứng trước dấu x cho chúng ta biết chu kỳ sẽ như thế nào, nếu chúng ta biết chu kỳ là bình thường (không có hệ số cho trước). Trong trường hợp tan (), nó là 180 & deg. Bạn nhân chu kỳ bình thường với nghịch đảo của thừa số trước x. Bạn sẽ có thể tự mình xác định điều gì là bình thường đối với sin và côsin.

Thêm các hàm trig

Khi bạn thêm các hàm trig lại với nhau, mẫu tổng thể sẽ lặp lại khi có một số nguyên của tất cả các chu kỳ riêng lẻ. Giả sử bạn đã có bốn hàm trig: 60 & deg, 360 & deg, 16 & deg và 9 0 & deg. Bạn tìm bội số chung (LCM) thấp nhất của các số liệu này để tìm chu kỳ của hàm tổng thể:

Giải quyết vấn đề của bạn theo cách tương tự: Đầu tiên tìm chu kỳ của mỗi hàm trig, sau đó tìm LCM và bạn sẽ có chu kỳ tổng thể của tổng các hàm trig.


9,0: Mở đầu cho Nhận dạng và Phương trình Lượng giác - Toán học

    • Kỹ thuật, R & ampD
    • Phân tích Tài chính, Thống kê & amp Kinh doanh
    • Giáo dục
    • Phần mềm & amp Web
      • Học tập
      • Cần giúp đỡ?
      • Hỗ trợ cao cấp
        • Trong khoảng
        • Làm việc với chúng tôi
        • Khả năng phán đoán

        • Nhà xuất bản: John Wiley & Sons, Inc.
        • Năm: 2008
        • ISBN: 9780471614432 (Bìa mềm)
        • 540 trang
        • Dựa trên: Phiên bản 6

        Mô tả Được thiết kế để học sinh đọc, cuốn sách này - được viết bằng Mathmatica 6 - tập trung vào các chủ đề cần thiết để thành công trong giải tích và chuẩn bị cho học sinh về phép tính tích phân. Bao gồm lời nói đầu dành cho giáo viên hướng dẫn và các giải pháp từng bước cho các bài tập số lẻ để học sinh có thể mô hình hóa các ứng dụng của riêng mình đối với những gì họ đã học. Ngoài ra, phần mở đầu chương và phần tóm tắt cuối chương làm nổi bật tài liệu sẽ nghiên cứu.

        Tác giả, Sheldon Axler, là người nhận được giải thưởng của Hiệp hội Toán học Hoa Kỳ về viết thư. Nội dung Con số thực | Hàm và Đồ thị của chúng | Các hàm tuyến tính, bậc hai, đa thức và hợp lý | Số mũ và Logarit | Khu vực, evà Logarit tự nhiên | Hàm lượng giác | Các ứng dụng của lượng giác | Chuỗi, Chuỗi và Giới hạn Các chủ đề liên quan Đại số, Giải tích và Phân tích, Hình học


        Câu hỏi 4

        Lời giải cho câu hỏi 4
        Hãy để "phần trăm" không xác định được ký hiệu là y%, vì chúng tôi đang tìm kiếm phần trăm. "là" được biểu thị bằng bằng và "của" bằng một phép nhân. Do đó, câu hỏi trên có thể được chuyển thành một phương trình toán học như sau:
        4 = y% * 32
        Bây giờ chúng tôi giải quyết cho y% không xác định
        y% = 4/32 = 0,125
        Chúng tôi đã tìm thấy dạng thập phân thành y% có thể được thay đổi thành dạng phần trăm bằng cách nhân và chia nó cho 100. Do đó
        y% = 0,125 = 12,5 / 100 = 12,5%
        Như một bài tập, hãy kiểm tra xem 12,5% trong tổng số 32 là 4.


        Chỉnh sửa phương trình trong Trình chỉnh sửa phương trình

        Nếu bạn đã sử dụng Trình chỉnh sửa phương trình để chèn một phương trình, bạn có thể chỉnh sửa phương trình đó trong Trình chỉnh sửa phương trình.

        Bấm đúp vào đối tượng phương trình mà bạn muốn chỉnh sửa.

        Sử dụng các ký hiệu, mẫu hoặc khuôn khổ trên Phương trình thanh công cụ để chỉnh sửa phương trình.

        Trong Word, Excel hoặc Outlook, để quay lại tài liệu của bạn, hãy bấm vào bất kỳ đâu trong tài liệu.

        Trong PowerPoint, để quay lại bản trình bày, trong Trình chỉnh sửa phương trình, trên Tập tin menu, bấm vào Thoát và trở lại bản trình bày.

        Để tìm hiểu cách sử dụng các phương trình cài sẵn bằng cách sử dụng Phương trình , hãy xem Viết phương trình hoặc công thức.