Bài viết

5.2: Công thức Tích phân Cauchy cho Đạo hàm - Toán học


Công thức tích phân Cauchy có giá trị lặp lại nhiều lần. Vì vậy, bây giờ chúng ta đưa ra nó cho tất cả các đạo hàm (f ^ {(n)} (z) ) của (f ). Điều này sẽ bao gồm công thức cho các hàm như một trường hợp đặc biệt.

Định lý ( PageIndex {1} ) Công thức tích phân Cauchy cho các đạo hàm

Nếu (f (z) ) và (C ) thỏa mãn các giả thuyết tương tự như đối với công thức tích phân Cauchy thì đối với tất cả (z ) bên trong (C ) chúng ta có

[f ^ {(n)} (z) = dfrac {n!} {2 pi i} int_C dfrac {f (w)} {(w - z) ^ {n + 1}} dw , n = 0, 1, 2, ... ]

trong đó, (C ) là một đường cong đơn giản khép kín, hướng ngược chiều kim đồng hồ, (z ) nằm bên trong (C ) và (f (w) ) là phân tích trên và bên trong (C ).

Ví dụ ( PageIndex {1} )

Đánh giá (I = int_C dfrac {e ^ {2z}} {z ^ 4} dz ) trong đó (C: | z | = 1 ).

Giải pháp

Với công thức dẫn xuất của Cauchy, điều này thật dễ dàng. Cho (f (z) = e ^ {2z} ). Sau đó,

[I = int_C dfrac {f (z)} {z ^ 4} dz = dfrac {2 pi i} {3!} F '' '(0) = dfrac {8} {3} pi i. ]

Ví dụ ( PageIndex {2} )

Bây giờ, hãy đặt (C ) là đường bao được hiển thị bên dưới và đánh giá tích phân tương tự như trong ví dụ trước.

Giải pháp

Một lần nữa điều này rất dễ dàng: tích phân giống như ví dụ trước, tức là (I = dfrac {8} {3} pi i ).

5.3.1 Một cách tiếp cận khác đối với một số ví dụ cơ bản

Giả sử (C ) là một đường cong đơn giản đóng quanh 0. Chúng ta đã thấy rằng

[ int_ {C} dfrac {1} {z} dz = 2 pi i. ]

Công thức tích phân Cauchy cho kết quả tương tự. Tức là, hãy đặt (f (z) = 1 ), thì công thức cho biết

[ dfrac {1} {2 pi i} int_ {C} dfrac {f (z)} {z - 0} dz = f (0) = 1. ]

Tương tự như vậy, công thức của Cauchy cho các dẫn xuất cho thấy

[ int_ {C} dfrac {1} {(z) ^ n} dz = int_ {C} dfrac {f (z)} {z ^ {n + 1}} dz = f ^ { (n)} (0) = 0, text {cho số nguyên} n> 1. ]

5.3.2 Các ví dụ khác

Ví dụ ( PageIndex {3} )

Tính toán ( int_C dfrac { cos (z)} {z (z ^ 2 + 0)} dz ) qua đường bao được hiển thị.

Giải pháp

Cho (f (z) = cos (z) / (z ^ 2 + 8) ). (f (z) ) là giải tích trên và bên trong đường cong (C ). Nghĩa là, các gốc của (z ^ 2 + 8 ) nằm ngoài đường cong. Vì vậy, chúng tôi viết lại tích phân thành

[ int_C dfrac { cos (z) / (z ^ 2 + 8)} {z} dz = int_C dfrac {f (z)} {z} dz = 2 pi if (0) = 2 pi i dfrac {1} {8} = dfrac { pi i} {4}. ]

Ví dụ ( PageIndex {4} )

Tính toán ( int_C dfrac {1} {(z ^ 2 + 4) ^ 2} dz ) trên đường bao được hiển thị.

Giải pháp

Chúng tôi tính mẫu số là

[ dfrac {1} {(z ^ 2 + 4) ^ 2} = dfrac {1} {(z - 2i) ^ 2 (z + 2i) ^ 2}. ]

Để cho

[f (z) = dfrac {1} {(z + 2i) ^ 2}. ]

Clear (f (z) ) là phân tích bên trong (C ). Vì vậy, theo công thức của Cauchy cho các dẫn xuất:

[ int_C dfrac {1} {(z ^ 2 + 4) ^ 2} dz = int_C dfrac {f (z)} {(z - 2i) ^ 2} = 2 pi i f '( 2i) = 2 pi i [ dfrac {-2} {(z + 2i) ^ 3}] _ {z = 2i} = dfrac {4 pi i} {64 i} = dfrac { pi} {16} ]

Ví dụ ( PageIndex {5} )

Tính ( int_C dfrac {z} {z ^ 2 + 4} dz ) qua đường cong (C ) được hiển thị bên dưới.

Giải pháp

Tích phân có điểm kỳ dị tại ( pm 2i ) và đường cong (C ) bao quanh chúng. Giải pháp cho giải pháp trước đó sẽ không hoạt động vì chúng tôi không thể tìm thấy (f (z) ) thích hợp để phân tích toàn bộ bên trong (C ). Giải pháp của chúng tôi là chia đường cong thành hai phần. Lưu ý rằng (C_3 ) được duyệt cả về phía trước và phía sau.


Tách đường cong ban đầu (C ) thành 2 phần mà mỗi phần chỉ bao quanh một điểm kỳ dị.

Chúng ta có

[ dfrac {z} {z ^ 2 + 4} = dfrac {z} {(z - 2i) (z + 2i)}. ]

Chúng tôi để

[f_1 (z) = dfrac {z} {z + 2i} text {và} f_2 (z) = dfrac {z} {z - 2i}. ]

Vì thế,

[ dfrac {z} {z ^ 2 + 4} = dfrac {f_1 (z)} {z - 2i} = dfrac {f_2 (z)} {z + 2i}. ]

Tích phân, có thể được viết dưới dạng

[ int_ {C} dfrac {z} {z ^ 2 + 4} dz = int_ {C_1 + C_3 - C_3 + C_2} dfrac {z} {z ^ 2 + 4} dz = int_ {C_1 + C_3} dfrac {f_1 (z)} {z - 2i} dz + int_ {C_2 - C_3} dfrac {f_2 (z)} {z + 2i} dz ]

Vì (f_1 ) là giải tích bên trong đường cong đóng đơn giản (C_1 + C_3 ) và (f_2 ) là giải tích bên trong đường cong đóng đơn giản (C_2 - C_3 ), công thức Cauchy áp dụng cho cả hai tích phân. Tổng tích phân bằng

[2 pi i (f_1 (2i) + f_2 (-2i)) = 2 pi i (1/2 + 1/2) = 2 pi i. ]

Nhận xét. 1. Chúng tôi cũng có thể giải quyết vấn đề này bằng cách sử dụng phân số từng phần:

[ dfrac {z} {(z - 2i) (z + 2i)} = dfrac {A} {z - 2i} + dfrac {B} {z + 2i}. ]

Kết quả là (A = f_1 (2i) ) và (B = f_2 (-2i) ). Có thể dễ dàng áp dụng công thức tích phân Cauchy cho cả hai số hạng.

2. Lưu ý quan trọng. Trong một chủ đề sắp tới, chúng tôi sẽ hình thành định lý dư Cauchy. Điều này sẽ cho phép chúng tôi tính tích phân trong Ví dụ 5.3.3-5.3.5 một cách dễ dàng hơn và ít đặc biệt hơn.

5.3.3 Bất đẳng thức tam giác đối với tích phân

Chúng ta đã thảo luận về bất đẳng thức tam giác trong ghi chú của Chủ đề 1. Nó nói rằng

[| z_1 + z_2 | le | z_1 | + | z_2 |, ]

với bằng nhau nếu và chỉ khi (z_1 ) và (z_2 ) nằm trên cùng một tia từ gốc tọa độ.

Một biến thể hữu ích của tuyên bố này là

[| z_1 | - | z_2 | le | z_1 - z_2 |. ]

Điều này xảy ra vì Công thức 5.3.17 ngụ ý

[| z_1 | = | (z_1 - z_2) + z_2 | le | z_1 - z_2 | + | z_2 |. ]

Bây giờ trừ đi (z_2 ) từ cả hai bên cho Công thức 5.3.18

Vì một tích phân về cơ bản là một tổng, điều này chuyển thành bất đẳng thức tam giác đối với tích phân. Chúng tôi sẽ trình bày nó theo hai cách sẽ hữu ích cho chúng tôi.

Định lý ( PageIndex {2} ) Bất đẳng thức tam giác đối với tích phân

Giả sử (g (t) ) là một hàm có giá trị phức của một biến thực, được định nghĩa trên (a le t le b ). Sau đó

[| int_ {a} ^ {b} g (t) dt | le int_ {a} ^ {b} | g (t) | dt, ]

với bằng nhau nếu và chỉ khi các giá trị của (g (t) ) đều nằm trên cùng một tia từ gốc.

Bằng chứng

Điều này theo sau bằng cách tính gần đúng tích phân dưới dạng tổng Riemann.

[| int_ {a} ^ {b} g (t) dt | khoảng | sum g (t_k) Delta t | le sum | g (t_k) | Delta t khoảng int_ {a} ^ {b} | g (t) | dt. ]

Bất đẳng thức ở giữa chỉ là bất đẳng thức tam giác chuẩn đối với tổng các số phức.

Định lý ( PageIndex {3} ) Bất đẳng thức tam giác đối với tích phân II

Đối với bất kỳ hàm (f (z) ) và bất kỳ đường cong ( gamma ), chúng ta có

[| int _ { gamma} f (z) dz | le int _ { gamma} | f (z) | | dz |. ]

Đây (dz = gamma '(t) dt ) và (| dz | = | gamma' (t) | dt ).

Bằng chứng

Điều này tiếp sau ngay định lý trước:

[| int _ { gamma} f (z) dz | = | int_ {a} ^ {b} f ( gamma (t)) gamma '(t) dt | le int_ {a} ^ {b} | f ( gamma (t)) | | gamma '(t) | dt = int _ { gamma} | f (z) | | dz |. ]

Hệ quả

Nếu (| f (z) |

[| int_C f (z) dz | le M cdot text {(độ dài của} C). ]

Bằng chứng

Cho ( gamma (t) ), với (a le t le b ), là một tham số hóa của (C ). Sử dụng bất đẳng thức tam giác

[| int_C f (z) dz | le int_C | f (z) | | dz | = int_ {a} ^ {b} | f ( gamma (t)) | | gamma '(t) | dt le int_ {a} ^ {b} M | gamma' (t) | dt = M cdot text {(độ dài của} C). ]

Ở đây chúng tôi đã sử dụng cái đó

[| gamma '(t) | dt = sqrt {(x') ^ 2 + (y ') ^ 2} dt = ds, ]

yếu tố sức mạnh.

Ví dụ ( PageIndex {6} )

Tính tích phân thực

[I = int _ {- infty} ^ { infty} dfrac {1} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} dx ]

Giải pháp

Bí quyết là tích hợp (f (z) = 1 / (z ^ 2 + 1) ^ 2 ) trên đường bao đã đóng (C_1 + C_R ) được hiển thị, và sau đó cho thấy rằng đóng góp của (C_R ) đến tích phân này biến mất khi (R ) chuyển đến ( infty ).

Điểm kỳ dị duy nhất của

[f (z) = dfrac {1} {(z + i) ^ 2 (z - i) ^ 2} ]

bên trong đường bao là (z = i ). Để cho

[g (z) = dfrac {1} {(z + i) ^ 2}. ]

Vì (g ) là phân tích trên và bên trong đường bao, công thức của Cauchy cho

[ int_ {C_1 + C_R} f (z) dz = int_ {C_1 + C_R} dfrac {g (z)} {(z - i) ^ 2} dz = 2 pi i g '( i) = 2 pi i dfrac {-2} {(2i) ^ 3} = dfrac { pi} {2}. ]

Chúng tôi tham số hóa (C_1 ) bằng

[ gamma (x) = x, text {với} -R le x le R. ]

Vì thế,

[ int_ {C_1} f (z) dz = int _ {- R} ^ {R} dfrac {1} {(x ^ 2 + 1) ^ 2} dx. ]

Điều này chuyển đến (I ) (giá trị chúng ta muốn tính toán) là (R to infty ).

Tiếp theo, chúng tôi tham số hóa (C_R ) bằng

[ gamma ( theta) = R e ^ {i theta}, text {with} 0 le theta le pi. ]

Vì thế,

[ int_ {C_R} f (z) dz = int_ {0} ^ { pi} dfrac {1} {(R ^ 2 e ^ {2i theta} + 1) ^ 2} Tôi lại ^ {i theta} d theta ]

Theo bất đẳng thức tam giác cho tích phân, nếu (R> 1 )

[| int_ {C_R} f (z) dz | le int_ {0} ^ { pi} | dfrac {1} {(R ^ 2 e ^ {2i theta} + 1) ^ 2} iRe ^ {i theta} | d theta. ]

Từ đẳng thức tam giác ở dạng Công thức 5.3.18, chúng ta biết rằng

[| R ^ 2 e ^ {2i theta} + 1 | ge | R ^ 2 e ^ {2i theta} | - | 1 | = R ^ 2 - 1. ]

Vì vậy,

[ dfrac {1} {| R ^ 2 e ^ {2i theta} + 1 |} le dfrac {1} {R ^ 2 - 1} Rightarrow dfrac {1} {| R ^ 2 e ^ {2i theta} + 1 | ^ 2} le dfrac {1} {(R ^ 2 - 1) ^ 2}. ]

Sử dụng công thức 5.3.34, sau đó chúng ta có

[| int_ {C_R} f (z) dz | le int_ {0} ^ { pi} | dfrac {1} {(R ^ 2 e ^ {2i theta} + 1) ^ 2} iRe ^ {i theta} | d theta le int_ {0} ^ { pi} dfrac {R} {(R ^ 2 - 1) ^ 2} d theta = dfrac {1} {(R ^ 2 - 1) ^ 2}. ]

Rõ ràng giá trị này chuyển thành 0 khi (R ) đi đến vô cùng. Do đó, tích phân trên đường bao (C_1 + C_R ) chuyển đến (I ) khi (R ) lớn hơn. Nhưng

[ int_ {C_1 + C_R} f (z) dz = pi / 2 ]

cho tất cả (R> 1 ). Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng (I = pi / 2 ).

Như một sự kiểm tra sự tỉnh táo, chúng tôi lưu ý rằng câu trả lời của chúng tôi là thực tế và tích cực như nó cần phải có.


Chứng minh chặt chẽ về các dẫn xuất cấp cao hơn tạo thành công thức Tích phân Cauchy.

Tôi đang nghiên cứu Công thức Tích phân Cauchy từ cuốn sách của Ahlfors. Tôi không thể hiểu một số điểm. Nếu bạn có thể thảo luận về chúng một chút, nó sẽ rất hữu ích cho tôi.

Tôi đã thêm phần này từ cuốn sách.

Tại sao phương trình (24) không đủ để nói rằng đạo hàm của tất cả các bậc của hàm giải tích $ f (z) $ là không có giải tích?

Trong bổ đề 3, đầu tiên chúng ta chỉ ra rằng $ F_1 (z) $ là liên tục. Tại sao? Để phân tích, chúng ta muốn đạo hàm liên tục của hàm $ F_1 $.

Bạn có thể mở rộng một chút biểu thức $ F_n (z) - f_n (z_0) $ trong Bổ đề 3 được không.

Tại sao Bổ đề 3 là cần thiết cho một chứng minh chặt chẽ của phương trình 23 và 24?

Cảm ơn lòng giúp đỡ tốt bụng của bạn.


Công thức tích phân Poisson & # 39s cho $ f & # 39 (re ^)$

Bạn vui lòng giúp tôi điều tra Vấn đề 72 trong Chương 5, "Công thức tích phân Cauchy và các định lý liên quan," của Các biến phức tạp, Murray R. Spiegel, Loạt bài phác thảo của Schaum:

Nếu $ f (z) $ là giải tích bên trong và trên vòng tròn $ C $ được xác định bởi $ | z | = R $ và nếu $ z = re ^$ là bất kỳ điểm nào bên trong $ C, $ chứng tỏ rằng $ f '(re ^) = frac i <2 pi> int_0 ^ <2 pi> frac) sin ( theta - phi)> <(R ^ 2 - 2Rr cos ( theta - phi) + r ^ 2) ^ 2> d phi. $

  • Công thức trên có sai không?
  • Nếu vậy, có lỗi chính tả trong công thức không?
  • Một lần nữa, nếu vậy, có phải là dẫn xuất của tôi dưới đây cho $ f '(re ^) $ đúng không?
  • Nếu vậy, có cách nào để diễn đạt tích phân của tôi để nhận được hệ số $ sin ( theta - phi) $ trong tử số không? (Tôi đã tính $ R ^ 2 - r ^ 2 $ ra khỏi tử số, nhưng điều đó dường như không dẫn đến biểu thức như vậy.)

Câu trả lời của Mark Viola đặt ra nhiều câu hỏi hơn:

  • Có cách nào để thể hiện tích phân của Mark để nhận được thừa số $ sin ( theta - phi) $ trong tử số không?
  • Giả sử rằng các công thức của Mark và của tôi là đúng (nếu không, hãy tìm một sai sót trong một trong các phép dẫn xuất hoặc một ví dụ phản chứng), có cách nào để chứng minh rằng chúng tương đương nhau mà không cần quan tâm đến thực tế là cả hai đều được suy ra một cách chính xác không?

Tôi nghĩ rằng công thức của Spiegel là sai vì nếu tôi đặt $ f (z) = z $, thì $ f '(z) = 1 = f' (0) $. Nhưng nếu tôi đặt $ r = 0, theta = 0, R = 1, f (Re ^) = e ^$ trong công thức trên, tôi nhận được $ f '(0) = 1/2 ne 1 $.

Dẫn xuất của tôi cho $ f '(re ^) $ bắt chước cách chứng minh công thức tích phân Poisson nhưng bắt đầu bằng công thức tích phân Cauchy cho đạo hàm đầu tiên:


5.2: Công thức Tích phân Cauchy cho Đạo hàm - Toán học

Toán 185 - Giới thiệu về Giải tích phức - Mùa xuân 2015
Người hướng dẫn: & nbsp & nbsp Jason Murphy & nbsp (để biết thông tin liên hệ, hãy nhấp vào đây)

GSI: Edward Scerbo (853 Evans, giờ hành chính, từ Thứ Hai đến Thứ Sáu, 4 giờ chiều và 6 giờ chiều)

Giờ hành chính:& nbsp & nbsp Thứ Ba. 2 & ndash 3: 30 tối, Thứ Năm. 3:30 & ndash5pm ở 857 Evans

Piazza:& nbsp & nbsp Đối với các diễn đàn thảo luận, v.v., bạn có thể tìm thấy liên kết đăng ký Piazza tại đây.

Số kiểm soát khóa học: & nbsp & nbsp 54239

Điều kiện tiên quyết: & nbsp & nbsp Toán 104

Sách giáo khoa:& nbsp & nbsp Phân tích phức tạp bởi Elias Stein và Rami Shakarchi

  • Bài tập về nhà
  • Giữa kỳ - tại lớp, Thứ Ba, ngày 10 tháng Ba
  • Bài kiểm tra cuối cùng - Thứ Tư, ngày 13 tháng 5 lúc 11:30 sáng tại 310 Tòa nhà khai thác tưởng niệm Hearst
  • Bài tập về nhà (20%), Giữa kỳ (30%), Cuối kỳ (50%)
  • Bài tập về nhà (20%), Cuối cùng (80%)
  • Bạn không thể vượt qua khóa học này nếu không tham gia kỳ thi cuối khóa.
  • Bất kỳ xung đột nào do tín ngưỡng tôn giáo hoặc các hoạt động ngoại khóa phải được giải quyết
    vào cuối tuần thứ hai (ngày 30 tháng Giêng).
  • Không có bài kiểm tra bù nào sẽ được thực hiện cho các kỳ thi trượt giữa kỳ.
  • Bạn có thể tự do cộng tác trong các bài tập về nhà và / hoặc tìm kiếm các nguồn bên ngoài
    tuy nhiên, để nhận được tín dụng, bạn phải viết ra các giải pháp bằng ngôn từ của riêng bạn và
    trích dẫn bất kỳ nguồn nào bạn sử dụng. (Đọc tài liệu này để thảo luận về tính trung thực trong học tập.)
  • Các câu hỏi hoặc khiếu nại liên quan đến việc chấm điểm bài tập hoặc giữa kỳ phải được
    được giải quyết trong vòng hai tuần kể từ ngày bài tập hoặc giữa kỳ được trả lại cho lớp.
  • Bài tập về nhà muộn sẽ không được chấp nhận.

Lịch học: & nbsp & nbsp Bảng sau sẽ được cập nhật trong suốt học kỳ.


Toán kỹ thuật 5 2-2 Kỹ thuật IP Đại học KLEF

Giới thiệu tính liên tục, phương trình Cauchy-Riemann, Hàm giải tích, Hàm điều hòa, hệ trực giao, tích phân đường trong mặt phẳng phức Định lý tích phân Cauchy, Sự tồn tại của tích phân không xác định, Công thức tích phân Cauchy.

Đạo hàm của hàm giải tích, chuỗi Laurent, điểm kỳ dị và số 0, Định lý dư, Đánh giá tích phân thực, các loại tích phân thực khác

Ánh xạ chuẩn, Các phép biến đổi giai thừa tuyến tính, các phép biến đổi giai thừa tuyến tính đặc biệt, ánh xạ theo các hàm khác. Trường tĩnh điện sử dụng lập bản đồ hình dạng, các bài toán về nhiệt, dòng chất lỏng, công thức tích phân Poisson.

Phân biệt số và tích hợp, các Newton chuyển tiếp và lùi lại sự khác biệt của phường để tính toán các dẫn xuất. Các đạo hàm sử dụng công thức Strilling, s.– Quy tắc đơn giản 1/3, Phương trình sai phân: Phương trình sai phân tuyến tính, Phương trình sai phân đồng nhất tuyến tính với hệ số không đổi

Số nghiệm của phương trình vi phân thông thường,. Phương pháp Eulers - Phương pháp eulers cải tiến và sửa đổi, phương pháp Runga kutta.

Số nghiệm của phương trình đạo hàm riêng: Phân loại các phương trình đạo hàm riêng của phương trình vòng lặp cấp 2 và nghiệm của nó bằng quy trình Liebmanns, nghiệm của phương trình Poissons.


5.2: Công thức Tích phân Cauchy cho Đạo hàm - Toán học

Bạn sắp xóa công việc của bạn về hoạt động này. Bạn có chắc chắn muốn làm điều này?

Phiên bản cập nhật có sẵn

Đây là một phiên bản cập nhật của hoạt động này. Nếu bạn cập nhật lên phiên bản mới nhất của hoạt động này, thì tiến trình hiện tại của bạn đối với hoạt động này sẽ bị xóa. Bất kể, hồ sơ hoàn thành của bạn sẽ vẫn còn. Bạn muốn tiến hành như thế nào?

Trình chỉnh sửa biểu thức toán học

Chúng tôi tìm thấy các đạo hàm của các hàm phức tạp

Chúng ta bắt đầu với đạo hàm của một hàm phức tại.

Bằng chứng Chúng tôi sẽ sử dụng phép tính thừa số Chúng tôi có

Vì điều này phù hợp với tất cả, chúng ta có thể viết.

Nếu một chức năng có thể phân biệt được tại, thì nó phải liên tục ở đó.

Chứng minh Như vậy và liên tục tại.

Tiếp theo, chúng tôi nêu các quy tắc quen thuộc để phân biệt mở rộng từ các hàm của một biến thực đến các hàm phức.

Chứng minh Chúng tôi chứng minh quy tắc thương và để lại các bài tập khác. Nếu thì Quy tắc thương số tuân theo từ việc kết hợp quy tắc tương hỗ này với quy tắc tích.

Tiếp theo, giả sử, sau đó công thức thay thế của cho

Giới hạn cuối cùng này bằng nếu là thực và bằng nếu hoàn toàn là tưởng tượng. Vì nếu, giới hạn này không tồn tại và không thể phân biệt được tại.
Do đó chỉ có thể phân biệt được tại và


Đề cương hàng ngày cho Toán 555 Phân tích phức hợp ứng dụng, mùa thu năm 2011

Số phức. Mặt phẳng phức tạp. Liên hợp phức tạp. Môđun. Tranh luận. Lập luận trong sản phẩm. Đảo ngược. Nghiệm của phương trình bậc hai. Rễ. Hình ảnh của một hình tròn lớn bởi một đa thức. Giới hạn và tiêu chí Cauchy.

Thông tin khóa học. Chương 1, Chương 2, Chương 6.

Kiểm tra Weierstrass M. Hàm số mũ. Nguồn gốc thứ hai của de Moivre. Phân biệt các hàm từ R ^ 2 với chính nó. Hình ảnh của các vòng tròn bằng các phép biến đổi tuyến tính của mặt phẳng.

Phép biến đổi tuyến tính của mặt phẳng và định nghĩa của đạo hàm phức. Cauchy-Riemann. Tổng sản phẩm, thương số, thành phần. Các ví dụ. f '= 0. Sự mở rộng và thu hẹp cục bộ bởi các hàm giải tích.

Định lý Green. Công thức tích phân Cauchy. Phần 5.6 là một bằng chứng thay thế. Thay thế hoạt động mà không giả định tính liên tục của các dẫn xuất. Công dụng 5.3. HW 3.

Giới thiệu về mở rộng Taylor. Bán kính hội tụ. Kiểm tra Weierstrass M. Khai triển Taylor của các hàm giải tích. Định lý Weierstrass.

Không có chuỗi Fourier. Các phần trong sách không được đề cập: 1.4, 5.3, 5.4, 8.2, 9.3, 11.3. Nếu không, chúng tôi có các chủ đề từ Chương 1 đến Chương 11 cùng với các tài liệu phát tay. Lưu ý rằng cách xử lý của chúng tôi đối với nhiều chủ đề, ví dụ: Định lý tích phân Cauchy khá khác biệt. Vì vậy, chúng tôi đã không thực hiện Phần 5.3, 5.4, nhưng đã chứng minh Định lý Cauchy. Nó sử dụng Định lý Green, điều đó không có trong văn bản. Một số chủ đề không có trong tài liệu cũng như văn bản, chẳng hạn như Định lý Hàm số Nghịch đảo. Theo tôi, các văn bản & quot; Bình luận & quot được thực hiện rất tốt.

Ví dụ thô 12.22. Tích phân không đúng, hội tụ tuyệt đối và có điều kiện. Đánh giá tích phân bằng phương pháp dư. Ví dụ 12,31.

Ví dụ về ánh xạ. Phương trình chiết suất nhiệt. Ví dụ về các giải pháp của vấn đề Dirichlet. Giá trị trung bình thuộc tính và số nguyên tử tối đa / tối thiểu cho các hàm điều hòa. Phản ánh chính. Tính duy nhất cho bài toán Dirichlet trong một phiến.

Luận thuyết của Maxwell về Điện và Từ trường, Tập I, Điều 203-205 và Hình XIII. Feynmann Bài giảng Vật lý, Vol. II, Mục VII-5. Việc sàng lọc không phải là cuối cùng.


Nội dung

Công thức trên các vùng được kết nối đơn giản

(Nhớ lại rằng một đường cong là đồng hình với một đường cong không đổi nếu tồn tại một phép đồng hình trơn từ đường cong đến đường cong không đổi. Theo trực giác, điều này có nghĩa là người ta có thể thu nhỏ đường cong thành một điểm mà không cần thoát ra khỏi không gian.) Phiên bản đầu tiên là một phiên bản đặc biệt trường hợp này bởi vì trên một tập được kết nối đơn giản, mọi đường cong đóng đều là đồng hình với một đường cong không đổi.

mà dấu vết của vòng tròn đơn vị. Đây là tích phân sau:

Như Édouard Goursat đã chỉ ra, định lý tích phân Cauchy có thể được chứng minh chỉ khi giả sử rằng đạo hàm phức f ′ (z) < displaystyle f '(z)> tồn tại ở mọi nơi trong U < displaystyle U>. Điều này có ý nghĩa vì sau đó người ta có thể chứng minh công thức tích phân Cauchy cho các hàm này, và từ đó suy ra các hàm này có thể phân biệt vô hạn.

dấu vết của vòng tròn đơn vị, và sau đó là tích phân đường dẫn

Định lý tích phân Cauchy dẫn đến công thức tích phân Cauchy và định lý phần dư.

Nếu người ta giả định rằng các đạo hàm riêng của một hàm số phức là liên tục, thì định lý tích phân Cauchy có thể được chứng minh như là hệ quả trực tiếp của định lý Green và thực tế là phần thực và phần ảo của f = u + iv < displaystyle f = u + iv> phải thỏa mãn các phương trình Cauchy – Riemann trong vùng giới hạn bởi γ < displaystyle gamma>, và hơn thế nữa trong vùng lân cận mở U của vùng này. Cauchy đã đưa ra chứng minh này, nhưng sau đó nó đã được Goursat chứng minh mà không cần đến các kỹ thuật từ phép tính vectơ, hoặc tính liên tục của đạo hàm riêng.

Nhưng vì phần thực và phần ảo của hàm holomorphic trong miền D < displaystyle D>, u < displaystyle u> và v < displaystyle v> phải thỏa mãn phương trình Cauchy – Riemann ở đó:

Do đó, chúng tôi thấy rằng cả hai tích phân (và do đó là tích phân của chúng) đều bằng không


Định lý tích phân Cauchy

Một định lý cơ bản trong phân tích phức tạp phát biểu như sau.

Định lý 1 Nếu $ D subset mathbb C $ là một tập hợp mở được kết nối đơn giản và $ f: D to mathbb C $ là một chức năng đa hình, thì tích phân của $ f (z) , dz $ dọc theo bất kỳ đường cong khép kín nào có thể chỉnh lại $ gamma subset D $ vanishes: begin hãn int_ gamma f (z) , dz = 0 ,. kết thúc

Phía bên trái của eqref là tích phân của dạng vi phân (phức) $ f (z) , dz $ (xem thêm Tích phân trên đa tạp). Chính xác hơn, nếu $ alpha: mathbb S ^ 1 to mathbb C $ là một tham số hóa Lipschitz của đường cong $ gamma $, thì begin hãn int_ gamma f (z) , dz = int_0 ^ <2 pi> f ( alpha (t)) , dot < alpha> (t) , dt , end (quan sát điều đó để eqref để được xác định rõ ràng, tức là không phụ thuộc vào tham số đã chọn, nói chung chúng ta phải quyết định hướng cho đường cong $ gamma $ tuy nhiên vì eqref quy định rằng tích phân biến mất, việc lựa chọn hướng không quan trọng trong bối cảnh hiện tại).

Một phiên bản tương đương của định lý tích phân Cauchy tuyên bố rằng (theo cùng một giả định của Định lý 1), cho trước bất kỳ đường dẫn nào (có thể điều chỉnh) $ eta: [0,1] đến D $ tích phân [ int_ eta f (z) , dz ] chỉ phụ thuộc vào hai điểm cuối $ eta (0) $ và $ eta (1) $, và do đó nó độc lập với việc lựa chọn đường dẫn tích hợp $ eta $. Về cơ bản, đây là công thức ban đầu của định lý được đề xuất bởi A.L. Cauchy (1825) (xem [Ca]) các công thức tương tự có thể được tìm thấy trong các chữ cái của C.F. Gauss (1811). Chứng minh Cauchy liên quan đến giả định bổ sung rằng đạo hàm (phức) $ f '$ là liên tục, chứng minh hoàn chỉnh đầu tiên được đưa ra bởi E. Goursat [Go2]. Tính chất của các hàm giải tích được thể hiện bởi định lý tích phân Cauchy hoàn toàn đặc trưng cho chúng (xem định lý Morera), và do đó tất cả các tính chất cơ bản của các hàm giải tích có thể được suy ra từ định lý tích phân Cauchy.

Đối với một tập hợp mở tùy ý $ D subset mathbb C $ hoặc trên bề mặt Riemann, định lý tích phân Cauchy có thể được phát biểu như sau: nếu $ f: D to mathbb C $ là holomorphic và $ gamma subset D $ một đồng vị đường cong có thể chỉnh sửa khép kín thành $, rồi đến eqref nắm giữ.

Một khái quát của định lý tích phân Cauchy cho các hàm số phức của một số biến phức tạp (xem Hàm giải tích để biết định nghĩa) là định lý Cauchy-Poincaré.

Định lý 2 Nếu $ D subset mathbb C ^ n $ là một tập hợp mở và $ f: D to mathbb C $ là một hàm holomorphic, thì đối với mọi bề mặt có định hướng trơn tru $ n + 1 $ -dimensional (thực) $ Sigma $ với ranh giới trơn $ một phần Sigma $ chúng ta có [ int_ < part Sigma> f (z) , dz = 0 , ] trong đó $ dz $ biểu thị dạng vi phân $ dz_1 wedge dz_2 wedge ldots wedge dz_n $.


Khi $ n = 1 $ bề mặt $ Sigma $ và miền $ D $ có cùng thứ nguyên (thực) (trường hợp của định lý tích phân Cauchy cổ điển) khi $ n & gt1 $, $ Sigma $ có thứ nguyên nhỏ hơn $ D $. Xem thêm Phần dư của một hàm giải tích Tích phân Cauchy.


Khái quát hóa

Các chức năng mượt mà

Một phiên bản của công thức tích phân Cauchy cũng phù hợp với các hàm trơn, vì nó dựa trên định lý Stokes. Để cho D là một đĩa trong C và giả sử rằng f là một phức hợp có giá trị C 1 hàm khi đóng D. Khi đó (Hörmander 1966, Định lý 1.2.1)

Người ta có thể sử dụng công thức biểu diễn này để giải các phương trình Cauchy – Riemann không thuần nhất trong D. Thật vậy, nếu φ là một chức năng trong D, sau đó là một giải pháp cụ thể f của phương trình là một hàm holomorphic bên ngoài sự hỗ trợ của μ. Hơn nữa, nếu trong một tập hợp mở D,

cho một số φC k (D) (k& # 160≥ & # 1601), sau đó cũng ở C k (D) và thỏa mãn phương trình

Kết luận đầu tiên là, ngắn gọn, rằng tích chập μk(z) của một biện pháp được hỗ trợ nhỏ gọn với Nhân Cauchy

là một hàm holomorphic ngoài sự hỗ trợ của μ. Đây p.v. biểu thị giá trị chính. Kết luận thứ hai khẳng định rằng hạt nhân Cauchy là một nghiệm cơ bản của phương trình Cauchy-Riemann. Lưu ý rằng đối với các hàm có giá trị phức tạp mượt mà f hỗ trợ nhỏ gọn trên C công thức tích phân Cauchy tổng quát đơn giản hóa thành

và là một bản trình bày lại thực tế rằng, được coi là một phân phối, là một giải pháp cơ bản của toán tử Cauchy-Riemann . [1] Công thức tích phân Cauchy tổng quát có thể được suy ra cho bất kỳ vùng mở bị giới hạn nào X với C 1 biên ∂X từ kết quả này và công thức tính đạo hàm phân phối của hàm đặc trưng χX của X:

trong đó sự phân bố ở phía bên phải biểu thị sự tích hợp đường viền dọc theoX. [ 2 ]

Một số biến

Trong một số biến phức tạp, công thức tích phân Cauchy có thể được tổng quát hóa thành nhiều đĩa (Hörmander 1966, Định lý 2.2.1). Để cho D là polydisc được cho là sản phẩm Descartes của n mở đĩa D1, . Dn:

Giả sử rằng f là một hàm holomorphic trong D liên tục khi đóng cửa D. Sau đó

Ở đâu ζ=(ζ1. ζn) ∈ D.

Trong đại số thực

Công thức tích phân Cauchy có thể tổng quát hóa cho không gian vectơ thực của hai hoặc nhiều chiều. Cái nhìn sâu sắc về tính chất này đến từ đại số hình học, trong đó các đối tượng ngoài đại lượng vô hướng và vectơ (chẳng hạn như bivector phẳng và trivector thể tích) được xem xét, và một sự tổng quát hóa thích hợp của định lý Stokes.

Phép tính hình học xác định một toán tử đạo hàm dưới sản phẩm hình học của nó — nghĩa là, cho một -Trường vector , Dẫn xuất thường bao gồm các điều khoản của lớp . Ví dụ, một trường vectơ () thường có trong đạo hàm của nó một phần vô hướng, phân kỳ (), và một phần bivector, cuộn tròn (). Toán tử đạo hàm cụ thể này có hàm Green:

Ở đâu là diện tích bề mặt của một quả bóng đơn vị trong không gian (nghĩa là , chu vi của một hình tròn có bán kính 1, và , diện tích bề mặt của hình cầu có bán kính 1). Theo định nghĩa về chức năng của Green, . Tính chất hữu ích này có thể được sử dụng cùng với định lý Stokes tổng quát:

ở đâu, cho một -không gian vectơ chiều, là một -vector và là một -giám đốc. Chức năng về nguyên tắc có thể được cấu tạo từ bất kỳ sự kết hợp nào của đa vũ trụ. Việc chứng minh định lý tích phân Cauchy cho không gian có chiều cao hơn dựa vào việc sử dụng định lý Stokes tổng quát về đại lượng và sử dụng quy tắc sản phẩm:

khi nào , được gọi là chức năng monogenic, sự tổng quát của các hàm holomorphic thành không gian có chiều cao hơn — thực sự, có thể chỉ ra rằng điều kiện Cauchy-Riemann chỉ là biểu thức hai chiều của điều kiện đơn nguyên. Khi điều kiện đó được đáp ứng, số hạng thứ hai trong tích phân bên phải biến mất, chỉ còn lại

Ở đâu đó có phải là đơn vị của đại số không -vector, phương pháp giả. Kết quả là

Do đó, như trong trường hợp hai chiều (phân tích phức hợp), giá trị của một hàm phân tích (đơn nguyên) tại một điểm có thể được tìm thấy bằng một tích phân trên bề mặt bao quanh điểm, và điều này không chỉ hợp lệ đối với các hàm vô hướng mà còn cả vectơ và các chức năng chung của đa động cơ.


Xem video: Matematik misolni oson yol bilan ishlash usuli (Tháng Giêng 2022).