Bài viết

14.6: Khoảnh khắc và trọng tâm của khối lượng - Toán học


Sử dụng một tích phân duy nhất, chúng tôi có thể tính toán khối tâm cho vật thể một chiều có mật độ thay đổi và vật thể hai chiều có mật độ không đổi. Với một tích phân kép, chúng ta có thể xử lý hai thứ nguyên và mật độ thay đổi.

Cũng như trước đây, tọa độ của khối tâm là

[ bar x = {M_y over M} qquad bar y = {M_x over M}, ]

trong đó (M ) là tổng khối lượng, (M_y ) là mômen quanh trục (y ) - và (M_x ) là mômen quanh trục (x ) -. (Bạn có thể muốn xem lại các khái niệm trong Phần 9.6.)

Chìa khóa của phép tính, giống như trước đây, là tính gần đúng của khối lượng. Trong trường hợp hai chiều, chúng ta coi mật độ ( sigma ) là khối lượng trên một diện tích hình vuông, vì vậy khi mật độ không đổi, khối lượng là (( hbox {mật độ}) ( hbox {area}) ). Nếu chúng ta có một vùng hai chiều với mật độ thay đổi được cho bởi ( sigma (x, y) ) và chúng ta chia vùng đó thành các vùng con nhỏ với vùng ( Delta A ), thì khối lượng của một vùng con là xấp xỉ ( sigma (x_i, y_j) Delta A ), tổng khối lượng xấp xỉ tổng của nhiều trong số này và như thường lệ, tổng trở thành một tích phân trong giới hạn:

[M = int_ {x_0} ^ {x_1} int_ {y_0} ^ {y_1} sigma (x, y) , dy , dx, ]

và tương tự đối với các phép tính trong hệ tọa độ trụ. Sau đó, như trước đây

[ eqalign {
M_x & = int_ {x_0} ^ {x_1} int_ {y_0} ^ {y_1} y sigma (x, y) , dy , dx cr
M_y & = int_ {x_0} ^ {x_1} int_ {y_0} ^ {y_1} x sigma (x, y) , dy , dx. Cr
}]

Ví dụ ( PageIndex {1} )

Tìm khối tâm của một tấm mỏng, đồng nhất có hình dạng là vùng giữa (y = cos x ) và (x ) - trục giữa (x = - pi / 2 ) và ( x = pi / 2 ). Vì mật độ là không đổi, chúng ta có thể lấy ( sigma (x, y) = 1 ).

Rõ ràng là ( bar x = 0 ), nhưng đối với thực tế, chúng ta hãy tính nó bằng cách nào. Đầu tiên, chúng tôi tính toán khối lượng:

[ begin {align *} M & = int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_0 ^ { cos x} 1 , dy , dx [4pt] & = int_ {- pi / 2} ^ { pi / 2} cos x , dx [4pt] & = left. sin x right | _ {- pi / 2} ^ { pi / 2 } = 2. End {align *} ]

Kế tiếp,

[ begin {align *} M_x & = int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_0 ^ { cos x} y , dy , dx [4pt] & = int_ {- pi / 2} ^ { pi / 2} {1 over2} cos ^ 2 x , dx [4pt] & = { pi over4}. end {align *} ]

Cuối cùng,

[ begin {align *} M_y & = int _ {- pi / 2} ^ { pi / 2} int_0 ^ { cos x} x , dy , dx [4pt] & = int_ {- pi / 2} ^ { pi / 2} x cos x , dx [4pt] & = 0. end {align *} ]

Vì vậy, ( bar x = 0 ) như mong đợi, và ( bar y = pi / 4/2 = pi / 8 ). Đây là vấn đề tương tự như trong ví dụ 9.6.4; nó có thể hữu ích để so sánh hai giải pháp.

Ví dụ ( PageIndex {2} )

Tìm khối tâm của một tấm hai chiều chiếm phần tư hình tròn (x ^ 2 + y ^ 2 le1 ) trong góc phần tư thứ nhất và có mật độ (k (x ^ 2 + y ^ 2) ) . Rõ ràng là do tính đối xứng của cả vùng và hàm mật độ (cả hai đều quan trọng!), ( Bar x = bar y ). Chúng tôi sẽ làm cả hai để kiểm tra công việc của chúng tôi.

Nhảy ngay vào:

[ begin {align *} M & = int_0 ^ 1 int_0 ^ { sqrt {1-x ^ 2}} k (x ^ 2 + y ^ 2) , dy , dx [4pt] & = k int_0 ^ 1 x ^ 2 sqrt {1-x ^ 2} + {(1-x ^ 2) ^ {3/2} over3} , dx. end {align *} ]

Tích phân này là điều chúng ta có thể làm, nhưng hơi khó chịu. Vì mọi thứ trong tầm nhìn đều liên quan đến một vòng tròn, hãy sao lưu và thử các tọa độ cực. Sau đó (x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 ) và

[ begin {align *} M & = int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ {1} k (r ^ 2) , r , dr , d theta [4pt] & = k int_0 ^ { pi / 2} left. {r ^ 4 over4} right | _0 ^ 1 , d theta [4pt] & = k int_0 ^ { pi / 2} {1 over4} , d theta [4pt] & = k { pi over8}. end {align *} ]

Tốt hơn nhiều. Tiếp theo, vì (y = r sin theta ),

[ begin {align *} M_x & = k int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ {1} r ^ 4 sin theta , dr , d theta
[4pt] & = k int_0 ^ { pi / 2} {1 over5} sin theta , d theta
[4pt] & = k left .- {1 over5} cos theta right | _0 ^ { pi / 2} = {k over5}. End {align *} ]

Tương tự,

[ begin {align *} M_y & = k int_0 ^ { pi / 2} int_0 ^ {1} r ^ 4 cos theta , dr , d theta
[4pt] & = k int_0 ^ { pi / 2} {1 over5} cos theta , d theta
[4pt] & = k left. {1 over5} sin theta right | _0 ^ { pi / 2} = {k over5}. End {align *} ]

Cuối cùng, ( bar x = bar y = {8 over5 pi} ).


Xem video: ĐÓNG CỬA NGAY ĐIRÙNG RỢN GẤP 10 COVID- Biết Sụp Đổ TCB Tung Virus MỚI KINH HOÀNG CỦA NHÂN LOẠI (Tháng Giêng 2022).