Bài viết

5.5: Các tùy chọn khác để tìm đạo hàm đại số - Toán học


Mục tiêu học tập

Trong phần này, chúng tôi cố gắng hiểu những ý tưởng được tạo ra bởi những câu hỏi quan trọng sau:

  • Làm thế nào để phương pháp phân số từng phần cho phép bất kỳ hàm hữu tỉ nào trở thành phản phân biệt?
  • Trong lịch sử, bảng tích phân đóng vai trò gì trong việc nghiên cứu giải tích và làm thế nào một bảng có thể được sử dụng để đánh giá các tích phân như R √ a 2 + u 2 du?
  • Một hệ thống đại số máy tính có thể đóng vai trò gì trong quá trình tìm kiếm các đạo hàm?

Trong các phần trước, chúng ta đã học hai kỹ thuật chống phân biệt rất cụ thể: thay thế u và tích hợp từng phần. Quy tắc đầu tiên được sử dụng để đảo ngược quy tắc chuỗi, trong khi quy tắc sau để đảo ngược quy tắc sản phẩm. Nhưng chúng tôi đã thấy rằng mỗi cái chỉ hoạt động trong những trường hợp rất đặc biệt. Ví dụ, trong khi R xex 2 dx có thể được đánh giá bằng phép thay thế u và R xex dx bằng cách tích phân theo từng phần, cả hai phương pháp đều không cung cấp một lộ trình để đánh giá R e x 2 dx. Thực tế đó không phải là một thiếu sót cụ thể của hai kỹ thuật phản phân biệt này, vì hóa ra không tồn tại một đạo hàm đại số cơ bản cho e x 2. Nói cách khác, bất kể chúng ta có thể phát triển và học cách thực thi những phương pháp chống phân biệt nào, không có phương pháp nào trong số chúng có thể cung cấp cho chúng ta một công thức đơn giản không liên quan đến tích phân cho một hàm F (x) thỏa mãn F 0 (x) = ex 2. Trong phần này của văn bản, mục tiêu chính của chúng tôi là hiểu rõ hơn về một số lớp hàm luôn có thể được chống phân biệt, cũng như tìm hiểu một số tùy chọn để làm như vậy. Đồng thời, chúng tôi muốn nhận ra rằng có nhiều hàm mà công thức đại số cho một hàm phản nguyên tố không tồn tại, và cũng đánh giá cao vai trò của công nghệ máy tính trong việc giúp chúng ta tìm ra các hàm phản nguyên tố của các hàm phức tạp khác. Xuyên suốt, thật hữu ích khi nhớ lại những gì chúng ta đã học được cho đến nay: cách đảo ngược quy tắc chuỗi thông qua thay thế chữ u, cách đảo ngược quy tắc sản phẩm thông qua tích hợp theo từng bộ phận và về tổng thể, có những vấn đề phức tạp và khó khăn cần giải quyết khi cố gắng để tìm chất chống nhiễm độc.

Xem trước Hoạt động ( PageIndex {1} ):

Đối với mỗi tích phân không xác định dưới đây, câu hỏi chính là quyết định xem liệu tích phân có thể được đánh giá bằng cách sử dụng phép thay thế u, tích phân theo từng phần, kết hợp của cả hai hay không. Đối với các tích phân mà câu trả lời của bạn là khẳng định, hãy nêu (các) phép thay thế mà bạn sẽ sử dụng. Thực sự không cần thiết phải đánh giá hoàn toàn bất kỳ tích phân nào, trừ khi tích phân có thể được đánh giá ngay lập tức bằng cách sử dụng một hàm phản cơ bản quen thuộc.

  1. Z x 2 sin (x 3) dx, Z x 2 sin (x) dx, Z sin (x 3) dx, Z x 5 sin (x 3) dx
  2. Z 1 1 + x 2 dx, Z x 1 + x 2 dx, Z 2x + 3 1 + x 2 dx, Z e x 1 + (e x) 2 dx,
  3. Z x ln (x) dx, Z ln (x) x dx, Z ln (1 + x 2) dx, Z x ln (1 + x 2) dx,
  4. Z x √ 1 - x 2 dx, Z 1 √ 1 - x 2 dx, Z x √ 1 - x 2 dx, Z 1 x √ 1 - x 2 dx, ./

Phương pháp phân số từng phần

Phương pháp phân số từng phần được sử dụng để tích phân các hàm hữu tỉ, và về cơ bản liên quan đến việc đảo ngược quá trình tìm mẫu số chung. Ví dụ, giả sử chúng ta có hàm R (x) = 5x x 2 − x − 2 và muốn đánh giá Z 5x x 2 - x - 2 dx. Suy nghĩ về mặt đại số, nếu chúng ta quy đồng mẫu số, chúng ta có thể thấy R có thể xuất hiện như thế nào từ tổng của hai phân số có dạng A x − 2 + B x + 1. Đặc biệt, giả sử rằng 5x (x - 2) (x + 1) = A x - 2 + B x + 1. Nhân cả hai vế của phương trình cuối cùng này với (x - 2) (x + 1), ta thấy rằng 5x = A (x + 1) + B (x - 2). Vì chúng ta muốn phương trình này giữ nguyên với mọi giá trị của x, chúng ta có thể sử dụng các lựa chọn sâu sắc về các giá trị x cụ thể để giúp chúng ta tìm A và B. Lấy x = −1, chúng ta có 5 (−1) = A (0) + B (−3), và do đó B = 5 3. Chọn x = 2, nó theo sau 5 (2) = A (3) + B (0) nên A = 10 3. Do đó, bây giờ chúng ta biết rằng Z 5x x 2 - x - 2 dx = Z 10/3 x - 2 + 5/3 x + 1 dx.

Biểu thức tích phân tương đương này dễ đánh giá và do đó chúng ta thấy rằng Z 5x x 2 - x - 2 dx = 10 3 ln | x - 2 | + 5 3 ln | x + 1 | + C. Hóa ra rằng với bất kỳ hàm hữu tỉ nào R (x) = P (x) Q (x) trong đó bậc của đa thức P nhỏ hơn 7 bậc của đa thức Q, phương pháp phân số từng phần có thể được sử dụng Viết lại hàm hữu tỉ dưới dạng tổng các hàm hữu tỉ đơn giản hơn ở một trong các dạng sau: A x - c, A (x - c) n, hoặc Ax + B x 2 + k trong đó A, B và c là các số thực, và k là một số thực dương. Bởi vì mỗi dạng cơ bản này là một dạng mà chúng ta có thể chống phân biệt, các phân số từng phần cho phép chúng ta chống phân biệt bất kỳ hàm hợp lý nào. Một hệ thống đại số máy tính như Maple, Mathematica hoặc WolframAlpha có thể được sử dụng để tìm phân số từng phần của bất kỳ hàm hữu tỉ nào. Trong WolframAlpha, nhập phân số từng phần 5x / (xˆ2-x-2) cho kết quả đầu ra là 5x x 2 - x - 2 = 10 3 (x - 2) + 5 3 (x + 1). Chúng tôi chủ yếu sẽ sử dụng công nghệ để tạo ra các phân số từng phần của các hàm hợp lý, và sau đó làm việc từ đó để đánh giá các tích phân quan tâm bằng cách sử dụng các phương pháp đã thiết lập.

Hoạt động ( PageIndex {2} ):

Đối với mỗi bài toán sau, hãy đánh giá tích phân bằng cách sử dụng phép phân tích từng phần được cung cấp.

  1. Z 1 x 2 - 2x - 3 dx, cho rằng 1 x 2−2x − 3 = 1/4 x − 3 - 1/4 x + 1
  2. Z x 2 + 1 x 3 - x 2 dx, cho rằng x 2 + 1 x 3 − x 2 = - 1 x - 1 x 2 + 2 x − 1
  3. Z x - 2 x 4 + x 2 dx, cho rằng x − 2 x 4 + x 2 = 1 x - 2 x 2 + −x + 2 1 + x 2 C

Nếu bậc của P lớn hơn hoặc bằng bậc của Q, phép chia dài có thể được sử dụng để viết R dưới dạng tổng của một đa thức cộng với một hàm hữu tỉ trong đó bậc của tử số nhỏ hơn mẫu số.

Sử dụng Bảng Tích phân

Giải tích có một lịch sử lâu đời, với những ý tưởng quan trọng xuất phát từ thời các nhà toán học Hy Lạp vào năm 400-300 trước Công nguyên. Cơ sở chính của nó lần đầu tiên được nghiên cứu và hiểu một cách độc lập bởi Isaac Newton và Gottfried Wilhelm Leibniz vào cuối những năm 1600, làm cho những ý tưởng hiện đại về giải tích đã có hơn 300 năm tuổi. Có thể nhận ra rằng cho đến cuối những năm 1980, máy tính cá nhân về cơ bản không tồn tại, vì vậy phép tính toán (và các toán học khác) phải được thực hiện bằng tay trong khoảng 300 năm. Tuy nhiên, trong suốt 30 năm qua, máy tính đã cách mạng hóa nhiều khía cạnh của thế giới chúng ta đang sống, bao gồm cả toán học. Trong phần này, chúng ta sẽ đi thăm quan lịch sử ngắn trước phần thảo luận sau về vai trò của hệ thống đại số máy tính trong việc đánh giá tích phân vô định. Đặc biệt, chúng tôi xem xét một loại tích phân liên quan đến một số biểu thức căn nhất định mà cho đến khi hệ thống đại số máy tính ra đời, thường được đánh giá bằng cách sử dụng một bảng tích phân. Như đã thấy trong bảng tích phân rút gọn trong Phụ lục A, cũng có nhiều dạng tích phân liên quan đến √ a 2 ± w2 và √ w2 - a 2. Những quy tắc tích phân này có thể được phát triển bằng cách sử dụng một kỹ thuật được gọi là thay thế lượng giác mà chúng tôi chọn bỏ qua; thay vào đó, chúng tôi sẽ chỉ chấp nhận các kết quả được trình bày trong bảng. Để xem các quy tắc này cần thiết và được sử dụng như thế nào, hãy xem xét sự khác biệt giữa Z 1 √ 1 - x 2 dx, Z x √ 1 - x 2 dx và Z √ 1 - x 2 dx. Tích phân đầu tiên là một tích phân cơ bản quen thuộc, và kết quả là arcsin (x) + C. Tích phân thứ hai có thể được đánh giá bằng cách sử dụng phép thay thế u tiêu chuẩn với u = 1 - x 2. Tuy nhiên, thứ ba không quen thuộc và không có tác dụng thay thế chữ u. Trong Phụ lục A, chúng ta tìm quy tắc (8) Z √ a 2 - u 2 du = u 2 √ a 2 - u 2 + a 2 2 arcsin ua + C. Sử dụng các phép thế a = 1 và u = x (sao cho du = dx), theo đó Z √ 1 - x 2 dx = x 2 √ 1 - x 2 - 1 2 arcsin x + C. Một điểm quan trọng cần lưu ý là bất cứ khi nào chúng ta áp dụng một quy tắc trong bảng, chúng ta thay thế chữ u. Điều này đặc biệt quan trọng khi tình huống phức tạp hơn so với việc cho phép u = x như trong ví dụ trước. Ví dụ, giả sử chúng ta muốn đánh giá tích phân Z √ 9 + 64x 2 dx. Một lần nữa, chúng ta muốn sử dụng Quy tắc (3) từ bảng, nhưng bây giờ hãy làm như vậy với a = 3 và u = 8x; chúng tôi cũng chọn tùy chọn “+” trong quy tắc. Với sự thay thế này, nó theo sau rằng du = 8dx, do đó, dx = 1 du. Áp dụng phép thay thế này, Z √ 9 + 64x 2 dx = Z √ 9 + u 2 · 1 8 du = 1 8 Z √ 9 + u 2 du. Theo Quy tắc (3), bây giờ chúng ta thấy rằng Z √ 9 + 64x 2 dx = 1 8 u 2 √ u 2 + 9 + 9 2 ln | u + √ u 2 + 9 | + C = 1 8 8x 2 √ 64x 2 + 9 + 9 2 ln | 8x + √ 64x 2 + 9 | + C. Trong các bài toán như bài toán này, điều cần thiết là chúng ta không quên tính đến yếu tố 1 8 phải có trong đánh giá.

Hoạt động ( PageIndex {3} ):

Đối với mỗi tích phân sau đây, hãy đánh giá tích phân bằng cách sử dụng phép thay thế u và / hoặc một mục từ bảng trong Phụ lục A.

  1. Z √ x 2 + 4 dx
  2. Z x √ x 2 + 4 dx
  3. Z 2 √ 16 + 25x 2 dx
  4. Z 1 x 2 √ 49 - 36x 2 dx C

Sử dụng Hệ thống Đại số Máy tính

Hệ thống đại số máy tính (CAS) là một chương trình máy tính có khả năng thực hiện toán học biểu tượng. Ví dụ đơn giản, nếu chúng ta yêu cầu CAS giải phương trình ax2 + bx + c = 0 cho biến x, trong đó a, b và c là các hằng số tùy ý, chương trình sẽ trả về x = −b ± √ b 2− 4ac 2a. Trong khi nghiên cứu để phát triển CAS đầu tiên bắt đầu từ những năm 1960, các chương trình này đã trở nên phổ biến hơn và được công bố rộng rãi vào đầu những năm 1990. Hai ví dụ ban đầu nổi bật là chương trình Maple và Mathematica, là một trong những hệ thống đại số máy tính đầu tiên cung cấp giao diện người dùng đồ họa. Ngày nay, Maple và Mathematica là những gói phần mềm chuyên nghiệp đặc biệt mạnh mẽ có khả năng thực thi một loạt các phép tính toán học phức tạp đáng kinh ngạc. Chúng cũng rất đắt tiền, vì mỗi chương trình là một chương trình độc quyền. CAS SAGE là một giải pháp thay thế miễn phí, mã nguồn mở cho Maple và Mathematica.

Đối với mục đích của văn bản này, khi chúng ta cần sử dụng CAS, thay vào đó chúng ta sẽ chuyển sang một công cụ tính toán tương tự, nhưng hơi khác, “công cụ kiến ​​thức tính toán” dựa trên web được gọi là WolframAlpha. Có hai tính năng của WolframAlpha làm cho nó nổi bật so với các tùy chọn CAS được đề cập ở trên: (1) không giống như Maple và Mathematica, WolframAlpha miễn phí (miễn là chúng tôi sẵn sàng chịu khó thông qua một số quảng cáo bật lên); và (2) không giống bất kỳ cú pháp nào trong số ba, cú pháp trong WolframAlpha rất linh hoạt. Hãy nghĩ về WolframAlpha giống như thực hiện tìm kiếm trên Google: chương trình sẽ giải thích những gì là đầu vào và sau đó cung cấp một bản tóm tắt các tùy chọn. Nếu chúng ta muốn WolframAlpha đánh giá một tích phân cho chúng ta, chúng ta có thể cung cấp cú pháp của nó chẳng hạn như tích phân xˆ2 dx mà chương trình phản hồi với hằng số Z x 2 dx = x 3 3 +. Mặc dù có nhiều điều cần nhiệt tình về các chương trình CAS như WolframAlpha, nhưng có một số điều chúng ta nên thận trọng:

  1. CAS chỉ phản hồi chính xác những gì là đầu vào;
  2. CAS có thể trả lời bằng cách sử dụng các hàm mạnh mẽ từ toán học cao cấp; và
  3. có những vấn đề mà ngay cả CAS cũng không thể làm được nếu không có sự hiểu biết bổ sung của con người.

Mặc dù (1) có thể không cần phải nói, chúng ta phải cẩn thận với đầu vào của mình: nếu chúng ta nhập cú pháp xác định một hàm khác với vấn đề quan tâm, CAS sẽ hoạt động với chính xác hàm mà chúng ta xác định. Ví dụ, nếu chúng ta quan tâm đến việc đánh giá tích phân

[Z 1 16 - 5x 2 dx, ]

và chúng tôi nhập nhầm tích phân 1/16 - 5xˆ2 dx, CAS sẽ (chính xác) trả lời bằng 1 16 x - 5 3 x 3. Điều cần thiết là chúng ta phải đủ thông thạo về phản phân biệt để nhận ra rằng hàm này không thể là hàm mà chúng ta tìm kiếm: tích phân một hàm hữu tỉ chẳng hạn như 1 16−5x 2, chúng ta mong đợi hàm logarit có mặt trong kết quả. Về (2), ngay cả đối với một tích phân tương đối đơn giản như R 1 16−5x 2 dx, một số CAS sẽ gọi các hàm nâng cao hơn là các hàm đơn giản. Ví dụ, nếu chúng ta sử dụng Maple để thực hiện lệnh int (1 / (16-5 * xˆ2), x); chương trình đáp ứng với Z 1 16 - 5x 2 dx = √ 5 20 arctanh (√ 5 4 x). Mặc dù điều này đúng (tiết kiệm cho hằng số tùy ý bị thiếu, mà Maple không bao giờ báo cáo), hàm tiếp tuyến hyperbol nghịch đảo không phải là một hàm phổ biến và cũng không quen thuộc; một cách đơn giản hơn để diễn đạt hàm này có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng phương pháp phân số từng phần và tình cờ là kết quả được báo cáo bởi WolframAlpha:

[Z 1 16 - 5x 2 dx = 1 8 √ 5 log (4 √ 5 + 5 √ x) - log (4 √ 5 - 5 √ x) + hằng số. ]

Sử dụng các hàm phức tạp từ toán học cao cấp hơn đôi khi là cách CAS nói với người dùng "Tôi không biết làm thế nào để giải quyết vấn đề này." Ví dụ: nếu chúng ta muốn đánh giá Z e −x 2 dx và chúng ta yêu cầu WolframAlpha làm như vậy, kết quả tích hợp đầu vào exp (-xˆ2) dx trong đầu ra

[Z e −x 2 dx = √ π 2 erf (x) + hằng số. ]

Hàm “erf (x)” là hàm lỗi, thực sự được xác định bởi một tích phân:

[erf (x) = 2 √ π Z x 0 e −t 2 dt. ]

Vì vậy, trong việc sản xuất đầu ra liên quan đến tích phân, CAS về cơ bản đã báo cáo lại cho chúng tôi câu hỏi mà chúng tôi đã đặt ra. Cuối cùng, như đã nhận xét ở (3) ở trên, đôi khi CAS sẽ thực sự thất bại nếu không có thêm một số hiểu biết của con người. Nếu chúng ta coi tích phân

[Z (1 + x) e x √ 1 + x 2e 2x dx ]

và yêu cầu WolframAlpha đánh giá

[int (1 + x) * exp (x) * sqrt (1 + xˆ2 * exp (2x)) dx, ]

chương trình suy nghĩ một lúc rồi báo cáo (không tìm thấy kết quả nào về hàm số toán học chuẩn) Nhưng thực tế tích phân này không khó đánh giá như vậy. Nếu ta đặt u = xex thì du = (1 + x) ex dx, nghĩa là tích phân đứng trước có dạng Z (1 + x) ex √ 1 + x 2e 2x dx = Z √ 1 + u 2 du, mà là một điều đơn giản để bất kỳ CAS nào đánh giá. Vì vậy, những quan sát ở trên về hệ thống đại số máy tính khiến chúng ta phải tiến hành một cách thận trọng: mặc dù bất kỳ CAS nào cũng có khả năng đánh giá một loạt các tích phân (cả xác định và vô hạn), nhưng đôi khi kết quả có thể làm chúng ta hiểu nhầm. Chúng ta phải suy nghĩ cẩn thận về ý nghĩa của kết quả đầu ra, liệu nó có phù hợp với những gì chúng ta mong đợi hay không và liệu nó có hợp lý để tiếp tục hay không.

Tóm lược

Trong phần này, chúng tôi gặp phải những ý tưởng quan trọng sau:

  • Phương pháp phân số từng phần cho phép bất kỳ hàm hữu tỷ nào được phản phân biệt, bởi vì bất kỳ hàm đa thức nào cũng có thể được tính thành tích của các số hạng bậc hai tuyến tính và bất khả quy. Điều này cho phép bất kỳ hàm hữu tỉ nào được viết dưới dạng tổng của một đa thức cộng với các số hạng hữu tỉ có dạng A (x − c) n (với n là số tự nhiên) và Bx + C x 2 + k (với k là thực dương con số).
  • Cho đến khi các hệ thống đại số máy tính phát triển, các bảng tích phân đã cho phép sinh viên giải tích dễ dàng đánh giá các tích phân như R √ a 2 + u 2 du, trong đó a là một số thực dương. Bảng tích phân ngắn có thể được tìm thấy trong Phụ lục A.
  • Hệ thống đại số máy tính có thể đóng một vai trò quan trọng trong việc tìm ra các đạo hàm, mặc dù chúng ta phải thận trọng khi sử dụng đầu vào chính xác, để xem các chức năng nâng cao bất thường hoặc không quen thuộc mà CAS có thể trích dẫn trong kết quả của nó và xem xét khả năng CAS có thể cần thêm hỗ trợ hoặc thông tin chi tiết từ chúng tôi để trả lời một câu hỏi cụ thể.

Toán học: Phương pháp phân tích & amp

Bạn có thể dùng thử miễn phí một tháng cho bất kỳ InThinking trang web nếu bạn chưa có đăng ký trả phí hoặc bản dùng thử miễn phí cho chủ đề đó trong hai năm qua.

Các trang web dành cho giáo viên của chúng tôi bao gồm TRUY CẬP HỌC SINH TÍCH HỢP cho phép bạn đặt nhiệm vụ và đưa ra phản hồi trực tuyến. Quyền truy cập của học sinh dễ dàng thiết lập, bạn có thể đặt các tác vụ đọc, viết, thảo luận và trắc nghiệm và bạn có thể theo dõi sự tiến bộ của học sinh.

Chúng tôi rất tiếc rằng bản dùng thử miễn phí của chúng tôi chỉ dành cho các trường IB.

Đăng nhập


Có, độ mịn tương đương với gradient là khác không đối với mỗi $ x in overline < mathbb F> _q ^ n setminus <0 > $.

Tôi sẽ định nghĩa độ mịn của siêu bề mặt được xác định bởi $ Q_d $ với điều kiện là đối với mỗi $ x $ như vậy, gradient hoặc giá trị của $ Q_d $ tại $ x $ là khác không, nhưng như bạn lưu ý, bởi tính đồng nhất và thực tế rằng $ d $ là số nguyên tố của $ p $, nếu giá trị khác không thì gradient là khác không.

Kiểm tra trên $ overline < mathbb F> _q $ chứ không phải $ mathbb F_q $ là thực sự cần thiết.

Ví dụ: sửa cơ sở cho phần mở rộng trường $ mathbb F_$, đưa ra một phản đối giữa $ mathbb F_$ và $ mathbb F_q $. Bản đồ định mức gửi từng phần tử của $ mathbb F_$ thành định thức trên $ mathbb F_q $ của hành động nhân của nó trên $ mathbb F_$ có thể được biểu diễn dưới dạng đa thức bậc $ n $ trong tọa độ $ n $. Đặt $ d = n $ và $ Q_ = Q_d = $ đa thức này. Sau đó, bởi vì chuẩn là một phép đồng cấu phụ từ của các nhóm nhân, có $ frac$ phần tử của chuẩn $ a $ cho mỗi $ a in mathbb F_q ^ times $, vì vậy $ sum_ psi (Q (x)) = sum_> psi ( tên nhà điều hành(x)) = 1 + frac Tổng_ psi (x) = 1 - frac $ không thỏa mãn sự ràng buộc của Deligne đối với $ n & gt2 $ và $ q $ lớn.

Tuy nhiên, $ Q_d $ không bao giờ biến mất tại bất kỳ $ x trong mathbb F_q ^ n $ nào, và do đó gradient của nó cũng không. Vì vậy việc kiểm tra quá trình đóng đại số là thực sự cần thiết!

Bạn có thể tránh làm việc với bao đóng đại số chỉ bằng cách sử dụng các định nghĩa liên quan đến việc kiểm tra từng điểm. Ví dụ: độ mượt tương đương với tuyên bố rằng giá trị lý tưởng được tạo bởi $ Q_d $ và $ frac < một phần Q_d> < một phần x_i> $ cho tất cả $ i $ chứa $ x_1 ^ N, dot, x_n ^ N $ cho một số $ N $.

Bạn nói đúng rằng chúng tôi không muốn chuyển đến tập hợp biến mất của $ Q_d $ và sau đó là lý tưởng - chúng tôi chỉ muốn xem xét bản thân $ Q_d $ và liệu nó có thỏa mãn điều kiện gradient hay không. Biến mất kế hoạch của $ Q_d $ nhạy cảm với việc sử dụng quyền hạn theo nghĩa này, đó là lý do tại sao điều này được gọi là điều kiện mịn trên bề mặt siêu bề mặt hơn là điều kiện mịn trên $ Q_d $. Nếu bạn thích, điều này tương đương với độ trơn của tập hợp biến mất cộng với thực tế là $ Q_d $ không chia hết cho bình phương của một đa thức không tầm thường.

Đúng là nếu gradient của $ Q_d $ không biến mất trên $ mathbb C ^ n setminus <0 > $, thì nó sẽ biến mất trên $ overline < mathbb F> _p ^ n setminus <0 > $ cho tất cả trừ rất nhiều $ p $. Điều này cũng đúng đối với bất kỳ trường đóng đại số nào của đặc tính không.

Bằng chứng thực sự không yêu cầu chương trình ở đó. Đây là hai cách tiếp cận:

(1) Theo Nullstellensatz, điều này ngụ ý rằng $ frac < một phần Q_d> < một phần x_1>, dot, frac < một phần Q_d> < một phần x_n> $ được tạo ra lý tưởng chứa một sức mạnh của $ lý tưởng (x_1, dot, x_n) $ và đặc biệt chứa $ x_1 ^ N, dot, x_n ^ N $ cho một số $ N $. Vì vậy, một số kết hợp $ mathbb C [x_1, dot, x_n] $-tuyến tính của các đạo hàm đó bằng $ x_1 ^ N $, một số kết hợp tuyến tính là $ x_2 ^ N $, v.v.

Chúng ta có thể chọn một bản đồ tuyến tính $ mathbb C to mathbb Q $ có thành phần với $ mathbb Q to mathbb C $ là danh tính. (Trên thực tế, chúng ta chỉ cần làm điều này đối với tập hợp con hữu hạn chiều của $ mathbb C $ được tạo ra bởi các hệ số của kết hợp tuyến tính.) Cắm các hệ số của tất cả các đa thức vào $ mathbb C [x_1, dot, x_n ] $ vào bản đồ này, chúng ta thấy rằng một số kết hợp $ mathbb Q [x_1, dot, x_n] $ -linear của các đạo hàm đó bằng $ x_1 ^ N $, v.v.

Xoá các mẫu số, ta thấy có một số tự nhiên $ M $ sao cho một số $ mathbb Z [x_1, dot, x_n] $-tuyến tính kết hợp của các đạo hàm đó bằng $ M x_1 ^ N $, $ mathbb Z [x_1, dot, x_n] Kết hợp $ -linear của các đạo hàm đó bằng $ M x_2 ^ N $, v.v.

Nó theo sau đối với tất cả $ p $ không chia $ M $, nếu $ x_1, dot, x_n in overline < mathbb F> _p $ không phải là tất cả 0, thì một trong các dẫn xuất này là không có giá trị, như mong muốn.

(2) Tồn tại một đa thức phổ quát, số phân biệt, trong các hệ số của đa thức thuần nhất $ f $ bậc $ d $, biến mất khi và chỉ khi các đạo hàm của $ f $ đều biến mất tại một số điểm khác biệt trên một đại số đóng trường đặc trưng không phân chia $ d $. Điều này có thể nhận được dưới dạng kết quả của Macauley của các đạo hàm riêng của $ f $.

Nếu điều kiện không mạ giữ trên $ mathbb C $, thì giá trị phân biệt là khác không, vì vậy nó là khác không mod $ p $ cho tất cả trừ rất nhiều $ p $, do đó, điều kiện không mạ giữ cho tất cả trừ rất nhiều $ p $.


5.5: Các tùy chọn khác để tìm đạo hàm đại số - Toán học

Trong mô hình Simulink & # x00AE, một vòng lặp đại số xảy ra khi một vòng lặp tín hiệu chỉ tồn tại với các khối cấp dữ liệu trực tiếp trong vòng lặp. Nguồn cấp dữ liệu trực tiếp nghĩa là Simulink cần giá trị của tín hiệu đầu vào của khối để tính toán đầu ra của nó ở bước thời gian hiện tại. Một vòng lặp tín hiệu như vậy tạo ra sự phụ thuộc vòng tròn của các đầu ra và đầu vào của khối trong cùng một bước thời gian. Điều này dẫn đến một phương trình đại số cần giải ở mỗi bước thời gian, thêm chi phí tính toán vào mô phỏng.

Một số ví dụ về các khối có đầu vào cấp dữ liệu trực tiếp là:

Trạng thái-Không gian, khi hệ số ma trận D khác không

Chuyển Fcn, khi tử số và mẫu số có cùng thứ tự

Zero-Pole, khi khối có nhiều số 0 bằng các cực

Nguồn cấp dữ liệu gián tiếp khối duy trì một biến Trạng thái. Hai ví dụ là Tích phân và Độ trễ đơn vị.

Để xác định xem một khối có nguồn cấp dữ liệu trực tiếp hay không, hãy đọc Nét đặc trưng phần của trang tham chiếu khối.

Hình bên cho thấy một ví dụ về vòng lặp đại số. Khối Sum là một biến đại số xa được hạn chế để bằng với đầu vào đầu tiên u dấu trừ xa (ví dụ, xa = uxa ).

Giải pháp của vòng lặp đơn giản này là xa = u/2 .

Giải thích toán học

Simulink chứa một bộ giải số để mô phỏng phương trình vi phân thông thường (ODE), là những hệ phương trình mà bạn có thể viết dưới dạng

Ở đâu x là vectơ trạng thái và t là biến thời gian độc lập.

Một số hệ phương trình chứa các ràng buộc bổ sung liên quan đến biến độc lập và vectơ trạng thái, nhưng không phải là đạo hàm của vectơ trạng thái. Hệ thống như vậy được gọi là phương trình đại số vi phân (DAEs),

Thời hạn đại số đề cập đến các phương trình không liên quan đến bất kỳ đạo hàm nào. Bạn có thể thể hiện các DAE phát sinh trong kỹ thuật ở dạng nửa rõ ràng

x ˙ = f (x, x a, t) 0 = g (x, x a, t),

fg có thể là các hàm vectơ.

Phương trình đầu tiên là phương trình vi phân.

Phương trình thứ hai là phương trình đại số.

Véc tơ của các biến vi phân là x.

Vectơ của các biến đại số là xa.

Trong các mô hình Simulink, các vòng lặp đại số là các ràng buộc đại số. Mô hình với các vòng lặp đại số xác định một hệ phương trình đại số vi phân. Simulink giải các phương trình đại số (vòng lặp đại số) bằng số cho xa ở mỗi bước của bộ giải ODE.

Mô hình trong hình tương đương với hệ phương trình này ở dạng bán tường minh:

x ˙ = f (x, x a, t) = x a 0 = g (x, x a, t) = - x + u - 2 x a.

Tại mỗi bước của bộ giải ODE, bộ giải vòng lặp đại số phải giải quyết ràng buộc đại số cho xa trước khi tính đạo hàm x ˙.

Phiên dịch vật lý

Xảy ra khi mô hình hóa các hệ thống vật lý, thường do các định luật bảo toàn, chẳng hạn như bảo toàn khối lượng và năng lượng

Xảy ra khi bạn chọn một hệ tọa độ cụ thể cho một mô hình

Giúp áp đặt các ràng buộc thiết kế đối với các phản hồi của hệ thống trong một hệ thống động

Sử dụng Simscape & # x2122 để lập mô hình các hệ thống bao gồm các lĩnh vực cơ khí, điện, thủy lực và các lĩnh vực vật lý khác dưới dạng mạng vật lý. Simscape xây dựng các DAE đặc trưng cho hành vi của một mô hình. Phần mềm tích hợp các phương trình này với phần còn lại của mô hình và sau đó giải các DAE trực tiếp. Simulink giải quyết đồng thời các biến cho các thành phần trong các miền vật lý khác nhau, tránh các vấn đề với vòng lặp đại số.

Vòng lặp đại số nhân tạo

An vòng lặp đại số nhân tạo xảy ra khi một hệ thống con nguyên tử hoặc khối Mô hình khiến Simulink phát hiện ra một vòng lặp đại số, ngay cả khi nội dung của hệ thống con không chứa một đường dẫn trực tiếp từ đầu vào đến đầu ra. Khi bạn tạo một hệ thống con nguyên tử, tất cả các khối Inport đều được cấp dữ liệu trực tiếp, dẫn đến một vòng lặp đại số.

Bắt đầu với mô hình bao gồm, mô hình này đại diện cho việc kiểm soát tỷ lệ đơn giản của nhà máy được mô tả

có thể được viết lại ở dạng không gian trạng thái dưới dạng

Hệ thống không có biến đại số cũng như không có nguồn cấp dữ liệu trực tiếp và không chứa vòng lặp đại số.

Sửa đổi mô hình như được mô tả trong các bước sau:

Bao bọc các khối Bộ điều khiển và Nhà máy trong một hệ thống con.

Trong hộp thoại hệ thống con, hãy chọn Coi như đơn vị nguyên tử để làm cho hệ thống con trở thành nguyên tử.

bên trong Chẩn đoán của Tham số Cấu hình Mô hình, hãy đặt Vòng lặp đại số tham số lỗi.

Khi mô phỏng mô hình này, một vòng lặp đại số xảy ra bởi vì hệ thống con là đường dẫn trực tiếp, mặc dù đường dẫn bên trong hệ thống con nguyên tử không phải là đường dẫn trực tiếp. Mô phỏng dừng lại với lỗi vòng lặp đại số.

Cách hoạt động của trình giải vòng lặp đại số

Khi một mô hình có chứa một vòng lặp đại số, Simulink sử dụng một trình giải phi tuyến tính tại mỗi bước thời gian để giải quyết vòng lặp đại số. Bộ giải thực hiện lặp lại để xác định lời giải cho ràng buộc đại số, nếu có. Kết quả là, các mô hình có vòng lặp đại số có thể chạy chậm hơn các mô hình không có vòng lặp đại số.

Simulink sử dụng thuật toán vùng tin cậy dogleg để giải các vòng lặp đại số. Dung sai được sử dụng nhỏ hơn bộ giải ODE Reltol và Abstol. Điều này là do Simulink sử dụng “phương pháp ODE rõ ràng” để giải các phương trình đại số vi phân Index-1 (DAEs).

Để bộ giải vòng lặp đại số hoạt động,

Phải có một khối mà trình giải vòng lặp có thể phá vỡ vòng lặp và cố gắng giải vòng lặp.

Mô hình phải có tín hiệu kép thực sự.

Ràng buộc đại số cơ bản phải là một hàm trơn

Ví dụ: giả sử mô hình của bạn có khối Sum với hai đầu vào & # 8212 một phần cộng, phần còn lại trừ. Nếu bạn cung cấp đầu ra của khối Sum cho một trong các đầu vào, bạn sẽ tạo một vòng lặp đại số trong đó tất cả các khối đều bao gồm nạp trực tiếp.

Khối Sum không thể tính toán đầu ra nếu không biết đầu vào. Simulink phát hiện vòng lặp đại số và trình giải vòng lặp đại số giải quyết vòng lặp bằng cách sử dụng một vòng lặp lặp lại. Trong ví dụ về khối Sum, phần mềm sẽ tính toán kết quả chính xác theo cách này:

xa(t) = u(t) / 2.(1)

Bộ giải vòng lặp đại số sử dụng phương pháp tìm kiếm dựa trên gradient, phương pháp này yêu cầu các đạo hàm bậc nhất liên tục của ràng buộc đại số tương ứng với vòng lặp đại số. Kết quả là, nếu vòng lặp đại số chứa các điểm không liên tục, bộ giải vòng lặp đại số có thể bị lỗi.

Các thuật toán tìm kiếm theo vùng và vùng tin cậy trong trình giải vòng lặp đại số

Bộ giải vòng lặp đại số Simulink sử dụng một trong hai thuật toán để giải các vòng lặp đại số:

Theo mặc định, Simulink chọn bộ giải vòng lặp đại số tốt nhất và có thể chuyển đổi giữa hai phương pháp trong quá trình mô phỏng. Để bật rõ ràng lựa chọn bộ giải vòng lặp đại số tự động cho mô hình của bạn, tại dòng lệnh MATLAB & # x00AE, hãy nhập:

Để chuyển sang thuật toán vùng tin cậy, tại dòng lệnh MATLAB, hãy nhập:

Nếu bộ giải vòng lặp đại số không thể giải quyết vòng lặp đại số bằng thuật toán vùng tin cậy, hãy thử mô phỏng mô hình bằng thuật toán tìm kiếm dòng.

Để chuyển sang thuật toán tìm kiếm theo dòng, tại dòng lệnh MATLAB, hãy nhập:

Chương trình Fortran HYBRD1 trong Hướng dẫn sử dụng cho MINPACK-1 [2]

Powell’s “Một chương trình con Fortran để giải các hệ thống bằng phương trình phi tuyến tính,” trong Phương pháp số cho phương trình đại số phi tuyến [ 3 ]

Hạn chế của bộ giải vòng lặp đại số

Giải toán vòng lặp đại số là một quá trình lặp đi lặp lại. Bộ giải vòng lặp đại số Simulink chỉ thành công nếu vòng lặp đại số hội tụ đến một câu trả lời xác định. Khi vòng lặp không hội tụ hoặc hội tụ quá chậm, mô phỏng thoát ra với lỗi.

Trình giải vòng lặp đại số không thể giải quyết các vòng lặp đại số có chứa bất kỳ điều nào sau đây:

Các khối có đầu ra có giá trị rời rạc

Các khối có đầu ra không nhân đôi hoặc phức tạp

Hàm ý của các vòng lặp đại số trong một mô hình

Nếu mô hình của bạn chứa một vòng lặp đại số:

Bạn không thể tạo mã cho mô hình.

Bộ giải vòng lặp đại số Simulink có thể không giải được vòng lặp đại số.

Trong khi Simulink đang cố gắng giải quyết vòng lặp đại số, mô phỏng có thể thực thi chậm.

Đối với hầu hết các mô hình, bộ giải vòng lặp đại số rất tốn kém về mặt tính toán cho bước đầu tiên. Simulink giải quyết các bước thời gian tiếp theo một cách nhanh chóng vì một điểm khởi đầu tốt cho xa có sẵn từ bước thời gian trước đó.


Giải phương trình mũ với các cơ số khác nhau - Khái niệm

Carl dạy toán cấp trên ở một số trường và hiện đang điều hành công ty dạy kèm của riêng mình. Anh ấy cá rằng không ai có thể đánh bại tình yêu của anh ấy đối với các hoạt động ngoài trời chuyên sâu!

Đôi khi chúng ta được đưa ra phương trình mũ với các cơ sở khác nhau về các số hạng. Để giải các phương trình này, chúng ta phải biết logarit và cách sử dụng chúng với lũy thừa. Chúng tôi có thể truy cập các biến trong một số mũ trong phương trình mũ với các cơ số khác nhau bằng cách sử dụng logarit và quy tắc lũy thừa của logarit để loại bỏ cơ số và chỉ có số mũ.

Bây giờ chúng ta sẽ nói về việc giải phương trình mũ khi cơ số của chúng ta khác nhau. Được rồi, ngay tại đây tôi có một phương trình mũ và những gì chúng tôi đang cố gắng làm là giải cho x được chứ? Đối với bài toán cụ thể này, chúng ta biết rằng 8 và 16 đều có chung cơ số 2 nên chúng ta có thể viết lại cả hai dưới dạng lũy ​​thừa của 2 để giá trị này trở thành 2 lập phương thành 2x và 16 là 2 lập phương thành x + 4. Sử dụng lũy ​​thừa của logarit nhân các lũy thừa 2 với 6x bằng 2 với 4x + 16, cơ số của chúng ta bằng nhau và do đó chúng ta có thể chỉ cần đặt các số mũ của chúng ta bằng 6x là 4x + 16, 2x bằng 16, x là bằng 8. Vì vậy, khi các cơ số của chúng ta có ít nhất một lũy thừa, chúng khá dễ giải, bạn nhận được cơ số của chúng bằng nhau nên số mũ của chúng bằng nhau.
Cuộc sống không phải lúc nào cũng dễ dàng như vậy được không? Vì vậy, chúng ta sẽ nói về vấn đề bây giờ là khi nào chúng ta có cơ sở để không chia sẻ một sức mạnh được chứ? Ở đây chúng ta có 7 và 12, có 2 cách khác nhau để thực hiện việc này. Cách đầu tiên là cách mà tôi muốn chúng ta làm cho thoải mái và về cơ bản đó là tìm cách nào đó để hạ số mũ này xuống được chứ? Những gì chúng ta sẽ sử dụng là quy tắc lũy thừa từ logarit có ổn không? Chúng ta có thể lấy nhật ký của cả hai bên, không vấn đề gì chúng ta làm nhật ký nào miễn là giống nhau, vì vậy đối với cái này, tôi sẽ sử dụng nhật ký tự nhiên, nếu bạn muốn sử dụng nhật ký cơ sở 10, nó sẽ hoạt động tốt vì vậy nếu tôi lấy nhật ký tự nhiên của cả hai bên được không? Một khi chúng ta có một, lấy nhật ký tự nhiên chỉ là một phép toán. Tôi có thể thêm 4 vào cả hai cạnh mà không sao, tôi có thể chia cho 2 ở cả hai bên không sao miễn là chúng ta lấy nhật ký tự nhiên của cả hai bên giống như bất kỳ thứ gì khác được chứ? Vì vậy, một khi chúng ta có log tự nhiên ở phía trước, chúng ta có thể lấy số mũ này xuống phía trước để những gì chúng ta thực sự có ở đây là x log tự nhiên của 7 bằng log tự nhiên của 12. Log tự nhiên của 7 chỉ là a số được rồi, nó là một số xấu, nó là một số mà chúng ta không biết là chúng ta có thể cắm nó vào máy tính của mình và tìm ra nó nhưng nó chỉ là một số nên chúng ta có thể chia cho số đó được không? Và những gì chúng ta kết thúc là x bằng log tự nhiên của 12 hơn log tự nhiên của 7 được không? Đây là những gì được gọi đơn giản là dạng sẵn sàng cho máy tính bởi vì log tự nhiên là một bản ghi mà chúng ta có thể đưa vào máy tính của mình để chúng ta có thể khá dễ dàng chỉ cần cắm log tự nhiên của 12 trên log tự nhiên của 7 để tìm ra x là được?
Going to the other way which is a way some of you may want, starts doing these but eventually we're going to want to sort of we do off that because it's not going to always work okay? So I have the same exact problem over here okay? 7x is 7 to the x is equal to 12, if you remember this is called exponential form okay we have 7 to a power is equal to 12 we could fairly easily put this in to logarithmic form by bringing the 7 down around and what we would end up with is x is equal to log base 7 of 12 okay? So now we have log base 7 of 12 we don't know how to evaluate that because log base 7 isn't on our calculator. So what we can do is use the change of base formula in order to put this in our calculator, remember the change of base formula we drop down the base and make its own log so this would end up being x is equal to, could choose our base I'm going to do log base 10 in this case the common log, log base 12 over log base 7, you could do natural log if you wanted to but using our logarithmic form, we were able to get the same exact answer as we did over here just a slightly different form remember the change of base says that these two things are equal, so whenever we're solving exponential equations where our bases aren't the same or we can get them to be the same we have to use logarithms in order to solve them.


Algebra II B

Part A: Which answer choice correctly explains approximately how much Lynton should charge per bike rental to maximize his profit?

Part B: How much will Lynton earn per day if he maximizes his profit?

Part A: What are the zeros to the nearest hundredth?

Part B: What is the solution set for the inequality?

Part A: Will the object reach a height of 20 feet? Why or why not?

Part B: After how many seconds will the object reach the ground?

Which rational equation correctly describes the event in which the Iguanas win y of the remaining games and reach the same winning percentage as the Scorpions?

The second box has a width that is 10 inches narrower than its length, and its height is 4 times longer than its width.

The first box can fit 1500 cubic inches of material inside of it, and twice as much material can fit in the second box.

Janice is keeping track of the height of a bougainvillea bush over time. She tracks its growth for 4 years, at which point the bush has grown 30 feet tall. Janice finds that the height of the bush, h, can be determined using the function h(t)=15t, where t is the time in years since the bush was planted.

Part A: What is the independent variable?

Part B: What is the dependent variable?

Graph of function S of t, which is a cosine function above the x-axis and fluctuates between about 1.3 and 7.2. The x-axis is labeled
© 2017 FlipSwitch. Created using GeoGebra.

Use the graph to answer the following questions.

Part A: What is the fluctuation of interference, in decibel levels, throughout the morning?

Graph of function A of e, which starts at point (0,10) and decreases as it moves in the positive direction of the x-axis.
© 2017 FlipSwitch. Created using GeoGebra.

Use the graph to answer the following questions.

Part A: At what point did the metal have the most surface area?

Part A: Which quantity is the independent variable?

Part B: Which quantity is the dependent variable?

Part C: Which graph is scaled appropriately for this situation?

Two squares located back-to-back with the area measurements described in the question.
© 2017 FlipSwitch. Created using GeoGebra.

The area of the larger building is 10y square feet. The area of the smaller building is 5x square feet. Momoko decides to install a path that runs a length of 140 feet along the perimeter of the complex.

A: Which equation represents the amount of money Rada is spending on candy?

B: Which equation represents the total weight of candy that Rada is buying?

A graph of a parabola opening downward and passing through the points (0, 12), (1, 20.04), (2.55, 24.76), (4, 20.64), (5, 13), and (6.1, 0).
© 2017 FlipSwitch. Created using GeoGebra.

What is the maximum height reached by the rocket?

After how many seconds does the rocket reach that height?

The system potentially has _blank 1_ solution(s) because _blank 2_.

Use substitution to find the solution.

Which statements correctly describe the system?

Use substitution to find the solution.

Use substitution to find the solution.

A graph of the system given in the problem.
© 2017 FlipSwitch. Created using GeoGebra.

Which statements correctly describe the system?

A graph of the system given in the problem. The graph of the function negative 9 x to the 5th, minus 5x y to the third equals 27 is represented by two curves. The first goes down to negative infinity as x approaches negative infinity and goes up to infinity as x approaches zero. The second curve goes down to negative infinity as x approaches zero from the right, comes up to approximately negative two when x is 1, and goes back down to negative infinity as x approaches infinity. The other equation in the system, negative 2 y to the fourth, plus 7 x squared equals 3, is also represented by two curves that appear as parabolas flattened at the vertices. One is open to the left with a vertex at approximately (negative 0.7, 0). The other is open to the right with a vertex at approximately (0.7, 0).
© 2017 FlipSwitch. Created using GeoGebra.

Part A: What is (are) the solution(s) of the system?

Part B: The graph of the system of equations shows only a portion of the graph of the system. Are there other real solutions for this system that are not pictured? Why or why not?

Melinda, Vincent, Paige, and Vivica each reach a different conclusion about the system of equations.


Great Job! This concludes our lesson on quadratic functions.

Bình luận

Cần thêm trợ giúp với nghiên cứu đại số của bạn?

Nhận quyền truy cập vào hàng trăm ví dụ video và thực hành các vấn đề với đăng ký của bạn! & # Xa0

Bấm vào đây để biết thêm thông tin về các tùy chọn đăng ký giá cả phải chăng của chúng tôi.

Bạn chưa sẵn sàng đăng ký? & # Xa0 Đăng ký khóa học Bồi dưỡng trước Đại số MIỄN PHÍ của chúng tôi.

THÀNH VIÊN KHÓA HỌC ĐIỆN TỬ LỚP ALGEBRA

Bấm vào đây để biết thêm thông tin về các khóa học điện tử Lớp Đại số của chúng tôi.


How to Find the Slope of an Equation

This article was co-authored by our trained team of editors and researchers who validated it for accuracy and comprehensiveness. wikiHow's Content Management Team carefully monitors the work from our editorial staff to ensure that each article is backed by trusted research and meets our high quality standards.

There are 8 references cited in this article, which can be found at the bottom of the page.

This article has been viewed 363,111 times.

The slope of a line is a measure of how fast it is changing. This can be for a straight line -- where the slope tells you exactly how far up (positive slope) or down (negative slope) a line goes while it goes how far across. Slope can also be used for a line tangent to a curve. Or, it can be for a curved line when doing Calculus, where slope is also known as the "derivative" of a function. Either way, think of slope simply as the "rate of change" of a graph: if you make the variable "x" bigger, at what rate does "y" change? That is a way to see slope as a cause and an effect event.


5.5: Other Options for Finding Algebraic Derivatives - Mathematics

COVID-19 has impacted many institutions and organizations around the world, disrupting the progress of research. Through this difficult time APS and the Physical Review editorial office are fully equipped and actively working to support researchers by continuing to carry out all editorial and peer-review functions and publish research in the journals as well as minimizing disruption to journal access.

We appreciate your continued effort and commitment to helping advance science, and allowing us to publish the best physics journals in the world. And we hope you, and your loved ones, are staying safe and healthy.

Many researchers now find themselves working away from their institutions and, thus, may have trouble accessing the Physical Review journals. To address this, we have been improving access via several different mechanisms. See Off-Campus Access to Physical Review for further instructions.


AP Calculus BC Flashcards

For those who want to challenge themselves mathematically, the Advanced Placement Calculus BC course is an option. The College Board notes that while the Advanced Placement (AP) Calculus AB and AP Calculus BC courses are similar and cover topics in calculus, the AP Calculus BC differs in the scope of the course. That is, it includes topics that the Calculus AB course does not. The level of difficulty is not the difference, but the information that students learn and are tested on is the difference.

The College Board recommends that high school students who are interested in taking AP Calculus BC have already taken algebra, geometry, trigonometry, analytic geometry, and elementary functions. This course covers roughly two semesters of college-level calculus, whereas the other AP Calculus course only covers the first semester.

If you&rsquore looking for flashcards for AP Calculus BC, look no further than the set of free online flashcards offered through Varsity Tutors&rsquo Learning Tools. There are hundreds of these flashcards in the set, covering topics that go beyond derivatives, integrals, functions, graphs, and limits. Those topics include polynomial approximations and series, Taylor series, and geometric series flashcards.

These AP Calculus BC study flashcards are a unique option when you&rsquore looking for something to help you study. Because they are available online, you can use them anytime you have an internet connection and a chunk of time to study and prepare for your AP Calculus BC test. Each flash card features a problem to solve and multiple options for answers.

You&rsquoll know instantly if you chose the correct answer, and if not, you&rsquoll also find out what makes the correct answer the right one, because each of these flashcards explains the theory or work behind the answer. You can choose a specific area of AP Calculus to study with this Learning Tool, or you can choose the overall AP Calculus BC link and review a variety of subject areas even more useful, as you move through the flashcards, you can pick and choose the cards you deal with &ndash you can go backward from an answer and return to the previous question, or, you can skip through flashcards without giving any answer at all.

Questions on these AP Calculus BC study flashcards are similar to what you&rsquoll find when you sit down to take your AP exam. They won&rsquot be the exact questions, but they&rsquoll be similar. The exam has two parts: multiple-choice questions and free response questions.

When you create an account with Varsity Tutors, you can personalize your flashcards with the flashcards creator, which comes in handy if you&rsquore not finding what you need in the pre-made set. You can also track your progress through the online flashcards and track how well you&rsquore doing with the other Learning Tools that you might access.

There are several other study aids available through Varsity Tutors&rsquo Learning Tools. When it comes to this particular subject, you can also access Full-Length Practice Tests, many Practice Tests on specific concepts, a Question of the Day option that allows deeper exploration of a specific topic every day, and an interactive syllabus tool called Learn by Concept.


Xem video: TUGILGAN KUNINGIZNI TOPAMAN! matematik tryuk (Tháng Giêng 2022).