Bài viết

4: Định luật Sines và Định luật Cosin - Toán học


Trước đây, chúng ta đã sử dụng các mối quan hệ lượng giác cơ bản trong tam giác vuông để tìm khoảng cách và góc chưa biết. Vì vậy, từ các mối quan hệ của tam giác vuông, chúng ta có thể suy ra các mối quan hệ có thể được sử dụng trong bất kỳ tam giác nào.

  • 4.1: Quy luật Sines
    Định luật sin dựa trên các mối quan hệ của tam giác vuông có thể được tạo ra với chiều cao của một tam giác.
  • 4.2: Quy luật Sines - Trường hợp mơ hồ
    Nhiều câu trả lời nảy sinh khi chúng ta sử dụng các hàm lượng giác nghịch đảo. Đối với các bài toán trong đó chúng ta sử dụng Định luật sin cho một góc và hai cạnh, có thể có một tam giác, hai tam giác có thể có hoặc không có tam giác nào. Có sáu kịch bản khác nhau liên quan đến trường hợp mơ hồ của Định luật sin: ba kết quả là một tam giác, một kết quả là hai tam giác và hai kết quả là không có tam giác.
  • 4.3: Định luật Cosin
  • 4.4: Ứng dụng

Hình thu nhỏ: Định luật cosin với các góc nhọn. (CC BY SA 3.0 Chưa được báo cáo; Mở rộng quy mô qua Wikipedia)


Toán học PreCalculus Toán học tại Nebraska

Mặc dù tam giác vuông cho phép chúng ta giải quyết nhiều ứng dụng, nhưng việc tìm các trường hợp mà tam giác chúng ta quan tâm không có góc vuông thường gặp hơn.

Two radar stations located 20 miles apart both detect a UFO located between them. Góc nâng của trạm đầu tiên đo được là 15 độ. Góc nâng mà trạm thứ hai đo được là 35 độ. Độ cao của UFO là gì?

Chúng ta thấy rằng tam giác tạo bởi UFO và hai trạm không phải là tam giác vuông. Tất nhiên, trong bất kỳ tam giác nào, chúng ta có thể vẽ một đường vuông góc từ đỉnh này sang cạnh đối diện, tạo thành hai tam giác vuông, nhưng sẽ rất hay nếu có các phương pháp làm việc trực tiếp với các tam giác không vuông. Trong phần này, chúng ta sẽ mở rộng về lượng giác tam giác vuông và điều chỉnh nó thành các tam giác không vuông.

Dán nhãn tam giác chuẩn cho tiểu mục

Trước khi bắt đầu giải các tam giác không vuông, trước tiên chúng ta phải quyết định một cách chuẩn để dán nhãn cho chúng. Dưới đây là hình ảnh mô tả cách ghi nhãn tam giác chuẩn mà chúng ta sẽ sử dụng trong phần này. Các cặp chữ cái giống nhau được gán cho mỗi góc và cạnh đối diện của nó. Chữ in hoa được sử dụng cho các góc và chữ thường được sử dụng cho các cạnh tương ứng. Điều quan trọng là phải sử dụng quy ước này khi áp dụng Định luật Sines và Định luật Cosin.

Luật tiểu mục của Sines

Bây giờ chúng ta sẽ tìm ra cái được gọi là Định luật Sines. Định luật Sines thiết lập mối quan hệ giữa các cặp góc và cạnh trong các tam giác không nhất thiết là tam giác vuông. Cho một tam giác không vuông tùy ý được dán nhãn theo cách chuẩn, chúng ta có thể vẽ một đường vuông góc từ một trong các đỉnh đến cạnh đối diện của nó, chúng ta tạm thời gắn nhãn (h text <,> ) để tạo ra hai tam giác vuông. Chúng tôi sẽ sử dụng (h ) để tìm mối quan hệ giữa (a text <,> ) (A text <,> ) (b text <,> ) và (B text < .> )

Sử dụng mối quan hệ tam giác vuông, chúng ta có

Giải cả hai phương trình cho (h text <,> ) chúng ta nhận được

Vì (h ) giống nhau trong cả hai phương trình, chúng tôi thiết lập

Chia cả hai vế cho (ab text <,> ) chúng ta kết luận rằng

Lưu ý rằng chúng ta có thể vẽ (h ) vuông góc với (a ) hoặc (b ) thay vì (c text <.> ) Nếu chúng ta vẽ (h ) vuông góc ở một khía cạnh khác, chúng ta có thể thiết lập tương tự

Gọi chung ba mối quan hệ này được gọi là Quy luật Sines.

Luật của Sines

Cho một tam giác có các góc và các cạnh đối diện được đánh dấu như hình bên,

Để rõ ràng, chúng ta gọi cạnh (a ) là cạnh tương ứng của góc (A text <.> ) Tương tự, chúng ta gọi góc (A ) là góc tương ứng của cạnh (a text <.> )

Chúng tôi cũng làm như vậy đối với cạnh (b ) và góc (B ) và đối với cạnh (c ) và góc (C text <.> )

Khi chúng ta sử dụng Định luật Sines, chúng ta có thể sử dụng bất kỳ cặp tỷ lệ nào như một phương trình. Trong trường hợp đơn giản nhất, chúng ta biết hai góc và một trong các cạnh tương ứng.

Ví dụ 93

Trong hình tam giác dưới đây, giải các cạnh và góc chưa biết.

Chúng tôi giải quyết cho góc chưa biết trước. Vì ba góc phải cộng 180 độ, chúng ta có thể xác định rằng

Để tìm một cạnh chưa biết bằng cách sử dụng Định luật Sines, chúng ta cần biết góc tương ứng và một tỷ lệ đã biết khác.

Vì chúng ta biết góc (50 ^ circle ) và cạnh tương ứng của nó, chúng ta có thể sử dụng ( sin (50 ^ circle) / 10 ) làm một trong hai tỷ lệ. Để giải cho vế (b text <,> ), chúng ta sẽ sử dụng góc tương ứng của nó, (30 ^ circle text <.> ) Sử dụng Định luật Sines, chúng ta có thể thiết lập phương trình

Để giải cho (b text <,> ), chúng ta có thể nhân cả hai vế của phương trình với (b ) để có được điều đó

Sau đó, chúng ta có thể nhân cả hai vế với nghịch đảo của ( sin (50 ^ circle) / 10 ) để nhận được (b ) bằng chính nó. Vì vậy,

Tương tự, để giải cho vế (c text <,> ), chúng ta có thể sử dụng Định luật Sines để thiết lập phương trình

Giải quyết cho (c text <,> ) chúng ta nhận được điều đó

Bây giờ chúng ta đã giải cho tất cả các cạnh và góc chưa biết của tam giác, như hình dưới đây.

Ví dụ 94

Tìm độ cao của UFO từ đầu phần.

Để tìm độ cao của UFO, (h text <,> ) trước tiên chúng ta có thể tìm khoảng cách từ một trạm radar đến UFO, được gắn nhãn là cạnh (a ) trong hình bên dưới và sau đó sử dụng các mối quan hệ tam giác vuông để tìm chiều cao của UFO, (h text <.> )

Vì các góc trong tam giác phải cộng với (180 ) độ, nên góc chưa biết của tam giác được hiển thị bên dưới là (C = 180 ^ circle-15 ^ circle-35 ^ circle = 130 ^ circle text <.> )

Vì góc này đối diện với cạnh của độ dài 20, nên bây giờ chúng ta có thể sử dụng Định luật Sines để giải độ dài cạnh (a ) bằng cách thiết lập phương trình

Giải quyết cho (a text <,> ) chúng ta nhận được điều đó

Therefore, the distance from one radar station to the UFO is about 15 miles.

Bây giờ chúng ta đã biết độ dài cạnh (a text <,> ), chúng ta có thể sử dụng các mối quan hệ tam giác vuông để giải cho (h text <.> )

Sử dụng hàm sin, chúng tôi nhận được rằng

Giải quyết cho (h text <,> ) chúng tôi nhận được điều đó

Therefore, the altitude of the UFO is 3.876 miles.

Ngoài việc giải các tam giác trong đó biết hai góc, định luật Sines có thể được sử dụng để giải một góc khi biết hai cạnh và một góc tương ứng.

Ví dụ 95

Trong hình tam giác dưới đây, giải các cạnh và góc chưa biết.

Khi chọn cặp tỷ lệ nào từ Định luật Sines để sử dụng, chúng ta luôn muốn chọn một cặp mà chúng ta biết ba trong bốn phần thông tin trong phương trình.

Trong trường hợp này, chúng ta biết góc (85 ^ circle ) và cạnh tương ứng của nó, vì vậy chúng ta sẽ sử dụng tỷ lệ ( sin (85 ^ circle) / 12 text <.> ) Vì cái khác duy nhất của chúng ta thông tin đã biết là cạnh có độ dài 9, ta sẽ sử dụng cạnh đó và giải cho góc tương ứng của nó. Sử dụng Định luật Sines, chúng ta nhận được phương trình

Để giải cho (B text <,> ), chúng ta có thể nhân cả hai vế của phương trình với (9 ) để có được điều đó

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng hàm sin nghịch đảo để giải cho (B text <.> ) Hãy nhớ rằng khi chúng ta sử dụng hàm sin nghịch đảo, có hai câu trả lời có thể xảy ra. Sử dụng máy tính, chúng tôi nhận được điều đó

Để giải quyết một giải pháp khả thi khác, chúng ta có thể sử dụng phép đối xứng để có được điều đó

Nếu (B khoảng 131,656 ^ khoanh tròn văn bản <,> ) thì (A khoảng 180 ^ vòng tròn - 85 ^ vòng tròn - 131,656 ^ vòng tròn = -36,656 ^ vòng tròn văn bản <,> ) mà không có ý nghĩa. Do đó, chúng ta có thể bỏ qua giải pháp khả thi thứ hai này và kết luận rằng giải pháp khả thi duy nhất cho góc này là

Bây giờ chúng ta có hai góc, chúng ta có thể giải cho góc thứ ba. Vì tất cả các góc phải cộng lại đến (180 ) độ, chúng tôi có

Bây giờ chúng ta đã biết (A text <,> ), chúng ta có thể tiếp tục như trong các ví dụ trước đó để tìm mặt chưa biết (a text <.> ) Bằng cách sử dụng Luật Đường, chúng ta có

Giải quyết cho (a text <,> ) chúng ta nhận được điều đó

Bây giờ chúng ta đã giải cho tất cả các cạnh và góc chưa biết của tam giác, như hình dưới đây.

Thận trọng 96

Lưu ý rằng trong bài toán trên, khi chúng ta sử dụng Định luật Sines để giải một góc chưa biết, có thể có hai cách giải. Điều này được gọi là và có thể phát sinh khi chúng ta biết hai cạnh và một góc không bao gồm. Trong trường hợp không rõ ràng, chúng ta có thể thấy rằng một tập hợp thông tin cụ thể có thể dẫn đến 2 giải pháp, 1 giải pháp hoặc không có giải pháp nào cả. Tuy nhiên, khi có hình ảnh chính xác về tam giác hoặc bối cảnh phù hợp, chúng ta có thể xác định được góc nào mong muốn.

Ví dụ 97

Cho (A = 80 ^ circle text <,> ) (a = 120 text <,> ) và (b = 121 text <,> ) tìm các cạnh và góc tương ứng và bị thiếu. Nếu có nhiều hơn một giải pháp khả thi, hãy hiển thị cả hai.

Chúng ta hãy bắt đầu bằng cách vẽ một bức tranh với thông tin đã cho.

Để giải cho (B text <,> ), chúng ta có thể nhân cả hai vế của phương trình với (121 ) để có được điều đó

Bây giờ chúng ta có thể sử dụng hàm sin nghịch đảo để giải cho (B text <.> ) Sử dụng máy tính của chúng ta, chúng ta nhận được điều đó

Để giải quyết một giải pháp khả thi khác, chúng ta có thể sử dụng phép đối xứng để có được điều đó

Vì cả hai câu trả lời này đều có ý nghĩa, chúng ta cần xem xét điều gì sẽ xảy ra cho mỗi câu trả lời. Nếu (B khoảng 83.224 ^ vòng tròn văn bản <,> ) thì (C khoảng 180 ^ vòng tròn 80 ^ vòng quanh 83.224 ^ vòng tròn khoảng 16,776 ^ vòng tròn văn bản <.> ) Bây giờ chúng ta đã biết (C text <,> ), chúng ta có thể sử dụng lại Luật Dòng để tìm (c text <:> )

Giải quyết cho (c text <,> ) chúng ta nhận được điều đó

Bây giờ chúng tôi đã giải quyết tất cả các ẩn số cho giá trị này của (B text <.> )

Bây giờ hãy xem xét trường hợp (B khoảng 96,776 ^ khoanh tròn văn bản <.> ) Nếu (B khoảng 96,776 ^ khoanh tròn văn bản <,> ) thì (C khoảng 180 ^ khoanh tròn- 80 ^ circle-96.776 ^ circle khoảng.224 ^ circle text <.> ) Bây giờ chúng ta đã biết (C text <,> ), chúng ta có thể sử dụng Luật Sines một lần nữa để tìm (c text <:> )

Giải quyết cho (c text <,> ) chúng ta nhận được điều đó

Bây giờ chúng ta đã giải được tất cả các ẩn số cho giá trị này của (B text <.> ) Tất cả cùng nhau, chúng ta nhận được rằng có hai tam giác có thể có (a text <,> ) (A text <,> ) và (b ) như đã cho:

Định luật phụ của Cosin

Suppose a boat leaves port, travels 10 miles, turns 20 degrees, and travels another 8 miles. Thuyền cách cảng bao xa?

Thật không may, trong khi Định luật Sines cho phép chúng ta giải quyết nhiều trường hợp tam giác không vuông, nó không cho phép chúng ta giải quyết các tam giác trong đó một góc đã biết nằm giữa hai cạnh đã biết, có nghĩa là nó không phải là góc tương ứng cho một cạnh đã biết. Để làm được điều này, chúng ta cần một công cụ khác: Định luật Cosin.

Tương tự như Định luật Sines, Định luật Cosin thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác và các góc của nó. Đặc biệt, nó liên quan đến cả ba cạnh và * bất kỳ * nào trong ba góc. Chúng ta sẽ suy ra nó bằng cách vẽ thêm một đường thẳng vuông góc và sử dụng những gì chúng ta biết về tam giác vuông.

Cho một tam giác không vuông tùy ý, chúng ta có thể vẽ một đường vuông góc từ đỉnh này sang cạnh đối diện, chúng ta tạm thời gắn nhãn (h text <,> ) để tạo ra hai tam giác vuông. Chúng tôi sẽ chia cơ sở (b ) thành hai phần, một trong số đó chúng tôi sẽ tạm thời gắn nhãn (x text <.> )

Từ hình này, chúng ta có thể thiết lập mối quan hệ tam giác vuông

Sử dụng Định lý Pitago, chúng ta cũng có thể thiết lập

Cả hai phương trình này đều có thể được giải cho (h ^ 2 )

Vì vế trái của mỗi phương trình là (h ^ 2 text <,> ) nên vế phải phải bằng nhau

Kết quả này được gọi là Định luật Cosin. Nếu chúng ta vẽ đường thẳng vuông góc với một trong hai cạnh còn lại, chúng ta có thể thiết lập mối quan hệ này bằng cách sử dụng bất kỳ góc nào. Điều quan trọng cần lưu ý là vế phải của phương trình bao gồm một góc và các cạnh kề với góc đó trong khi vế trái của phương trình bao gồm cạnh đối diện với góc đó.

Định luật Cosin

Cho một tam giác có các góc và các cạnh đối diện được đánh dấu như hình bên,

Lưu ý rằng nếu một trong các góc của tam giác là 90 độ, thì công thức (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2-2ab cos (C) ) đơn giản hóa thành (c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 ) vì ( cos (90 ^ circle) = 0 text <.> )

Bạn nên công nhận đây là Định lý Pitago. Thật vậy, Định luật Cosin đôi khi được gọi là vì nó mở rộng Định lý Pitago cho các tam giác không vuông.

Ngoài việc giải cho cạnh thiếu đối với một góc đã biết, định luật Cosin cho phép chúng ta tìm các góc của một tam giác khi chúng ta biết cả ba cạnh.

Ví dụ 98

Cho (A = 25 ^ circle text <,> ) (b = 10 text <,> ) và (c = 20 text <,> ) tìm cạnh và góc còn thiếu.

Đầu tiên chúng ta hãy vẽ một hình tam giác với tất cả các thông tin đã cho.

Vì chúng ta chỉ thiếu một độ dài cạnh và nó đối diện với một góc đã biết, chúng ta sẽ sử dụng Định luật Cosin để tìm (a text <.> ) Định luật Cosin nói rằng

Tại thời điểm này, chúng ta có thể sử dụng Định luật Sines hoặc Định luật Cosin để tìm một góc khác, nhưng chúng ta sẽ sử dụng Định luật Cosin. Để tìm (B text <,> ), chúng tôi có

Sử dụng hàm cosin nghịch đảo, chúng ta nhận được rằng (B khoảng 21,13 ^ circle text <.> ) Cuối cùng, để tìm (C ), chúng ta sử dụng thực tế là có (180 ^ circle ) trong Tam giác:

Lưu ý rằng vì cosin nghịch đảo có thể trả về bất kỳ góc nào từ 0 đến 180 độ, nên sẽ không có bất kỳ trường hợp mơ hồ nào khi sử dụng Định luật Cosin để tìm một góc.


4: Định luật Sines và Định luật Cosin - Toán học

Trong bài học này, bạn sẽ học cách giải BẤT CỨ tam giác nào.

SOHCAHTOA chỉ hoạt động trong TAM GIÁC ĐÚNG !!

Nghiêm túc mà nói, CHỈ TAM GIÁC ĐÚNG. Không phải mọi vấn đề đều có, chỉ là tam giác vuông của nó. Sự thật.

Luật sin và Luật Cosin

Bạn có thể sử dụng Định luật Sines để giải một tam giác nếu bạn được

• hai thước đo góc và độ dài cạnh bất kỳ

• độ dài hai cạnh và thước đo góc không bao gồm (SSA).

Luật sin và Luật Cosin

Ví dụ 2A: Sử dụng Định luật Sines

Tìm biện pháp. Độ dài làm tròn chính xác đến phần mười và đo góc chính xác đến độ.

Thay thế các giá trị đã cho.

Chia cả hai vế cho sin 39 °.

Luật sin và Luật Cosin

Định luật Sines không thể được sử dụng để giải quyết mọi tam giác. Nếu bạn biết độ dài hai cạnh và số đo góc kèm theo hoặc nếu bạn biết cả độ dài ba cạnh, bạn không thể sử dụng Định luật Sines. Thay vào đó, bạn có thể áp dụng Định luật Cosin.

Luật sin và Luật Cosin

Bạn có thể sử dụng Định luật Cosin để giải một tam giác nếu bạn được

• độ dài hai cạnh và thước đo góc đi kèm (SAS) hoặc

BẠN CẦN CÓ ÍT NHẤT 2 MẶT ĐỂ SỬ DỤNG LUẬT MỸ PHẨM

Luật sin và Luật Cosin

Góc được tham chiếu trong Định luật Cosin nằm trên dấu bằng so với cạnh tương ứng của nó.

Luật sin và Luật Cosin

Ví dụ 3A: Sử dụng Định luật Cosin

Tìm biện pháp. Độ dài làm tròn chính xác đến phần mười và đo góc chính xác đến độ.


Chúng ta hãy nhìn vào hình tam giác vuông bên dưới. Tôi sử dụng một tam giác vuông để chúng ta có thể minh họa luật sin bằng cách áp dụng SOH-CAH-TOA.

Ví dụ, chúng ta hãy xem xét các góc $ A $ và $ C $.

  • Chúng tôi thấy rằng $ displaystyle sin (A) = frac= frac < text> < text> $. Điều này mang lại cho $ displaystyle frac <1>= frac < sin (A)> $
  • Chúng tôi thấy rằng $ displaystyle sin (C) = frac= frac < text> < text> $. Điều này mang lại cho $ displaystyle frac <1>= frac < sin (C)>$

Vì chúng ta có hai biểu thức cho $ displaystyle frac <1>$, chúng ta có thể đặt các biểu thức bằng nhau và thu được $ frac < sin (A)> = frac < sin (C)>$ Đây là loại quan hệ cơ bản trong Định luật Sines.

Nó chỉ ra rằng mối quan hệ này phù hợp với bất kỳ hai góc nào mà bạn chọn (vì vậy không bị giới hạn ở các góc $ A $ hoặc $ C $). Nó cũng chỉ ra rằng Định luật Sines không chỉ áp dụng cho các góc vuông mà còn cả các góc nhọn và góc tù.

Tuy nhiên, cách tiếp cận để suy ra Định luật Sines cho góc nhọn và góc tù là khác nhau, tôi chỉ đưa ra cách tiếp cận cho góc vuông. Tuy nhiên, vui lòng hỏi thêm nếu bạn muốn xem giải thích thêm về cách thức hoạt động của Luật Đường đối với các góc nhọn / tù.


Định luật Cosin và Sines

Nó & rsquos đủ để hiển thị phương trình cuối cùng vì phiên bản đầu tiên chỉ khác nhau về nhãn của tam giác.

Giải thích về định luật sin khá dễ thực hiện, nhưng trong một số trường hợp, chúng ta & rsquoll phải xem xét các sin là góc tù.

Đầu tiên, thả một đường vuông góc QUẢNG CÁO từ A xuống cơ sở BC của tam giác. Bàn chân D của vuông góc này sẽ nằm trên cạnh BC của tam giác khi cả hai góc BC là cấp tính. Nhưng nếu góc B là tù, sau đó là chân D sẽ nằm trên BC mở rộng theo hướng B. Tuy nhiên, nếu góc C là ngu ngốc, sau đó D sẽ xếp hàng trên BC mở rộng theo hướng C. May mắn thay, lập luận là giống nhau trong cả ba trường hợp.

Để cho NS biểu thị độ dài của dòng này QUẢNG CÁO, nghĩa là chiều cao (hoặc đường cao) của tam giác.

Khi góc B là cấp tính, sau đó là tội lỗi B = h / c. Nhưng điều này đúng ngay cả khi B là một góc tù như trong sơ đồ thứ ba. Đó, góc ABC là tù túng. Nhưng sin của một góc tù cũng giống như sin của phần bổ sung của nó. Điều đó có nghĩa là tội lỗi ABC cũng giống như tội lỗi ABD, nghĩa là, cả hai đều bằng nhau h / c.

Tương tự như vậy, không quan trọng liệu góc C là cấp tính hay tối nghĩa, tội lỗi C = h / b trong bất kỳ trường hợp nào.

Hai phương trình này cho chúng ta biết rằng NS bằng cả hai C tội Bb tội C. Nhưng từ phương trình C tội B = b tội C, chúng ta có thể dễ dàng nhận được luật sin:

Định luật cosin

Có hai phiên bản khác của định luật cosin,

a 2 = b 2 + C 2 – 2bc cos Ab 2 = a 2 + C 2 – 2AC cos B.

Để biết tại sao những luật này có hiệu lực, chúng ta sẽ phải xem xét ba trường hợp. Đối với trường hợp 1, chúng tôi & rsquo sẽ xem xét góc độ C trở nên tù túng. Trong trường hợp 2, góc C sẽ là một góc vuông. Trong trường hợp 3, góc C sẽ là cấp tính.

Chúng ta có thể suy ra các phương trình sau từ hình:

C 2 = NS 2 + NS 2
b 2 = e 2 + NS 2
NS = a + e
cos C = & ndash e / b

Các phương trình và đại số đơn giản này kết thúc đối số như sau:

C 2 = NS 2 + NS 2
= (a + e) 2 + NS 2
= a 2 + 2ae + e 2 + NS 2
= a 2 + b 2 + 2ae
= a 2 + b 2 & ndash 2ab cos C

Do đó, định luật cosin có giá trị khi C là một góc tù.

Trường hợp 2. Bây giờ hãy xem xét trường hợp khi góc ở C đúng. Côsin của một góc vuông bằng 0, do đó, định luật côsin, C 2 = a 2 + b 2 – 2ab cos C, đơn giản hóa để trở thành bản sắc của Pitago, C 2 = a 2 + b 2, cho các tam giác vuông mà chúng ta biết là hợp lệ.

Trường hợp 3. Trong trường hợp này, chúng tôi giả định rằng góc C là một tam giác nhọn. Thả một đường vuông góc QUẢNG CÁO từ A xuống cơ sở BC của tam giác. Bàn chân D của ý chí vuông góc (1) nằm trên cạnh BC nếu góc B là dấu sắc, (2) trùng với điểm B nếu góc B là đúng, hoặc (3) nằm nghiêng BC mở rộng nếu góc B là tù túng.

Để cho NS biểu thị chiều cao của tam giác, hãy NS chứng tỏ BD,e chứng tỏ ĐĨA CD.

Sau đó, chúng ta có thể đọc các mối quan hệ sau từ sơ đồ:

C 2 = NS 2 + NS 2
b 2 = e 2 + NS 2
cos C = e / b
NS 2 = (ea) 2

Phương trình cuối cùng đó yêu cầu giải thích. Nếu điểm D nằm ở một bên BC, sau đó NS = a & ndash e, nhưng nếu D nằm trên BC mở rộng, sau đó NS = e & ndash a. Trong cả hai trường hợp, NS 2 = (e & ndash a) 2 .

Các phương trình này và một chút đại số kết thúc việc chứng minh như sau:

C 2 = NS 2 + NS 2
= NS 2 & ndash e 2 + b 2
= (NS & ndash e) (NS + e) + b 2
= (a & ndash 2e) a + b 2
= a 2 + b 2 & ndash 2ae
= a 2 + b 2 & ndash 2ab cos C

Vì vậy, bây giờ chúng ta biết rằng định luật cosin có giá trị khi cả hai góc C là cấp tính và chúng tôi & rsquove đã hoàn thành cả ba trường hợp.

Tình cờ, Euclid đưa vào Các yếu tố Một vài mệnh đề, II.12 và II.13, trông rất giống định luật của cosin, nhưng chúng thực sự không phải là định luật của cosin, tất nhiên, vì lượng giác chưa được phát triển vào thời Euclid & rsquos.


Khiếu nại DMCA

Nếu bạn tin rằng nội dung có sẵn trên Trang web (như được định nghĩa trong Điều khoản dịch vụ của chúng tôi) vi phạm một hoặc nhiều bản quyền của bạn, vui lòng thông báo cho chúng tôi bằng cách cung cấp thông báo bằng văn bản (“Thông báo vi phạm”) chứa thông tin được mô tả bên dưới cho người được chỉ định đại lý được liệt kê bên dưới. Nếu Varsity Tutor thực hiện hành động theo Thông báo vi phạm, họ sẽ cố gắng liên hệ với bên cung cấp nội dung đó bằng địa chỉ email mới nhất, nếu có, do bên đó cung cấp cho Varsity Tutor.

Thông báo Vi phạm của bạn có thể được chuyển tiếp đến bên cung cấp nội dung hoặc cho các bên thứ ba, chẳng hạn như ChillingEffects.org.

Xin lưu ý rằng bạn sẽ phải chịu trách nhiệm bồi thường thiệt hại (bao gồm cả chi phí và phí luật sư) nếu bạn xuyên tạc một cách nghiêm trọng rằng một sản phẩm hoặc hoạt động đang vi phạm bản quyền của bạn. Vì vậy, nếu bạn không chắc chắn nội dung nằm trên hoặc được liên kết bởi Trang web vi phạm bản quyền của bạn, trước tiên bạn nên cân nhắc liên hệ với luật sư.

Vui lòng làm theo các bước sau để gửi thông báo:

Bạn phải bao gồm những điều sau:

Chữ ký thực hoặc điện tử của chủ sở hữu bản quyền hoặc người được ủy quyền đại diện cho họ Nhận dạng bản quyền bị khiếu nại là đã bị vi phạm Mô tả về bản chất và vị trí chính xác của nội dung mà bạn cho là vi phạm bản quyền của mình, một cách đầy đủ chi tiết để cho phép Varsity Tutor tìm và xác định một cách tích cực nội dung đó, chẳng hạn như chúng tôi yêu cầu liên kết đến câu hỏi cụ thể (không chỉ tên của câu hỏi) có chứa nội dung và mô tả về phần cụ thể của câu hỏi - hình ảnh, liên kết, văn bản, v.v. - khiếu nại của bạn đề cập đến tên, địa chỉ, số điện thoại và địa chỉ email của Bạn và Một tuyên bố của bạn: (a) rằng bạn thành thực tin rằng việc sử dụng nội dung mà bạn cho là vi phạm bản quyền của bạn là không được pháp luật cho phép hoặc chủ sở hữu bản quyền hoặc đại diện của chủ sở hữu đó (b) rằng tất cả thông tin có trong Thông báo vi phạm của bạn là chính xác và (c) chịu hình phạt nếu khai man chủ sở hữu bản quyền hoặc người được ủy quyền đại diện cho họ.

Gửi khiếu nại của bạn đến đại lý được chỉ định của chúng tôi tại:

Charles Cohn Varsity Tutor LLC
101 S. Hanley Rd, Suite 300
St. Louis, MO 63105


4: Định luật Sines và Định luật Cosin - Toán học

= cạnh của tam giác ABC chia cho sin của góc đối diện

    Đối với một tam giác ABC để tìm, b và c chúng tôi sử dụng công thức.

Đối với một tam giác ABC để tìm, a và c thì chúng ta sử dụng công thức.

Đối với một tam giác ABC cần tìm, a và b thì chúng ta sử dụng công thức.

Định luật sin và cosin rất quan trọng cần biết để có thể tìm ra lời giải cho các bài toán ứng dụng lượng giác. Biết sử dụng quy tắc nào trong các bài toán về sin và côsin là điều quan trọng để đạt được giải pháp tốt cho một bài toán về định luật sin và côsin.

Các tình huống được đưa ra trong đó một số góc hoặc cạnh của tam giác không được xác định, vì vậy luật sin và côsin được sử dụng trong các ví dụ. Các từ viết tắt dành cho các trường hợp khác nhau của luật sin và các trường hợp khác nhau của luật cosin.

Các tính năng hướng dẫn cụ thể:

• Các biểu đồ hiển thị các kịch bản luật sin và cosin khác nhau.
• Hình ảnh minh họa cho thấy tất cả các khía cạnh của luật sin và cosin.

• Bản đồ khái niệm hiển thị các kết nối giữa các khái niệm mới trong hướng dẫn này và những khái niệm đã được giới thiệu trước đó.
• Các slide định nghĩa giới thiệu các thuật ngữ khi chúng cần thiết.
• Trình bày trực quan các khái niệm
• Các ví dụ hoạt hình — được thực hiện từng bước
• Một bản tóm tắt ngắn gọn được đưa ra ở phần cuối của hướng dẫn.

Xem tất cả 24 bài học trong Pre-Calculus, bao gồm hướng dẫn khái niệm, bài tập giải và bảng gian lận:
Tự học tính toán trước bằng trực quan trong 24 giờ


Chương 1463: Khi nào sử dụng định luật Sines và định luật Cosin

Trong nhiều năm, tôi đã dạy học sinh của mình định luật sin và định luật cosin chỉ bằng một chiếc máy tính khoa học cầm tay. Thật không may, nhiều người trong số họ không có quyền truy cập vào một trong những đợt đại dịch. Tôi đã tìm thấy một số định luật sin và luật tính cosin trên mạng, nhưng tôi cảm thấy dường như tất cả chúng đều tìm ra lời giải bằng phép thuật mà không cần bất kỳ sự hiểu biết nào. Tôi muốn học sinh của mình hiểu khi nào thì sử dụng luật sin và khi nào thì sử dụng luật cosin.

Khi nào tôi nên sử dụng Luật Sines?

Sử dụng luật sin khi bạn được cung cấp ba phần thông tin sau đây về một tam giác: Góc-Góc-Cạnh, Góc-Cạnh-Góc, hoặc Góc-Cạnh-Cạnh. Dưới đây là hình ảnh tôi đã thực hiện cho thấy từng trường hợp và cách chuyển đổi luật sin để có được góc hoặc cạnh bị thiếu:

Tôi đã sử dụng Desmos để tạo ra một máy tính Law of Sines sử dụng các phương trình trên suy ra từ định luật sin. Các góc sẽ được nhập và tính bằng độ, không phải radian. Máy tính Quy luật Sines này vẫn buộc bạn phải suy nghĩ về thông tin bạn được cung cấp và bạn nên sử dụng phương trình nào. Trong bài toán của bạn, sẽ có một góc đã biết và một cạnh đã biết đối diện nhau. Gắn nhãn các giá trị đã biết này là A và a, tương ứng. Nếu bạn có một góc khác, hãy dán nhãn cho nó B. Nếu bạn có một cạnh khác, hãy dán nhãn nó b. Tìm phương trình thích hợp trong máy tính, thay các biến bằng giá trị của chúng và Desmos sẽ tính toán câu trả lời. Nếu bạn được cung cấp Angle-Side-Side, bạn sẽ cần sử dụng hàm sin nghịch đảo và bạn có thể có hai giải pháp. Vì vậy, nếu góc đã cho là góc nhọn, hãy đảm bảo thay thế “Bacute” bằng góc nhọn được tìm thấy trong công thức ở trên nó để bạn cũng sẽ có giải pháp thứ hai. Một tam giác không thể có hai góc tù, vì vậy đừng đưa ra hai nghiệm cho B nếu A là góc tù!

Một số người có thể cố gắng thêm thanh trượt vào máy tính đó vì sau đó họ sẽ không phải suy nghĩ nhiều. Việc thêm các thanh trượt sẽ khiến Desmos nhầm lẫn với quá nhiều biến, vì vậy tôi cũng đã tạo ra một định luật về máy tính sin với các thanh trượt. Các góc sẽ được nhập và tính bằng độ, không phải radian. Trong bài toán của bạn, sẽ có một góc đã biết và một cạnh đã biết đối diện nhau. Gắn nhãn các giá trị đã biết này là A và a, tương ứng. Nếu bạn có một góc khác, hãy dán nhãn cho nó B. Nếu bạn có một cạnh khác, hãy dán nhãn nó b. Thay vì nhập các giá trị vào phương trình, bạn có thể nhập các giá trị vào dưới dạng thanh trượt. Mặc định cho tất cả các thanh trượt được đặt ở 0, vì vậy nếu bất kỳ giải pháp nào của bạn là 0 hoặc không được xác định, bạn đang tìm kiếm câu trả lời không đúng chỗ hoặc bạn chưa nhập đủ thông tin. Nếu bạn sử dụng máy tính đó, bạn sẽ cần phải làm mới và tải lại nó sau mỗi bài toán.

Khi nào tôi nên sử dụng Định luật Cosin?

Định luật Cosin đủ dễ để nhập: c² = a² + b² - 2ab cos C. Nó trông hơi giống Định lý Pitago và khi C là 90º thì đó chính xác là định lý.

Sử dụng định luật cosin khi bạn được cung cấp ba phần thông tin sau đây về một tam giác: Cạnh-Góc-Cạnh hoặc Cạnh-Cạnh-Cạnh. Đây là hình ảnh tôi đã thực hiện cho thấy cả hai trường hợp:

Vì Định luật Cosin yêu cầu nhập cả a và b hai lần, tôi quyết định tiếp tục và sử dụng thanh trượt trong máy tính Định luật Cosin để giúp việc nhập liệu dễ dàng hơn một chút. Các góc sẽ được nhập và tính bằng độ, không phải radian. Nếu bạn được cung cấp Góc bên-Cạnh bên, hãy đặt góc là C. Nếu bạn được cung cấp Mặt bên-Cạnh bên, hãy gắn nhãn cạnh đối diện với góc bạn đang tìm, c. Bạn gắn nhãn a hoặc b cho mặt nào không quan trọng, nhưng mặt đối diện đó phải là c. Bạn sẽ cần sử dụng hàm cosin nghịch đảo, nhưng tôi đã có sẵn hàm đó trong máy tính cho bạn. Bạn sẽ cần phải làm mới và tải lại trước khi bắt đầu một vấn đề mới.

Vì đây là bài đăng số 1463, tôi sẽ viết một chút về con số đó.

Các yếu tố của 1463:

Vì cả 14 và 63 đều là bội của 7 nên chúng ta có thể chắc chắn rằng 1463 chia hết cho 7.

  • 1463 là một số tổng hợp.
  • Thừa số nguyên tố: 1463 = 7 × 11 × 19
  • 1463 không có số mũ nào lớn hơn 1 trong tính thừa số nguyên tố của nó, vì vậy √1463 không thể được đơn giản hóa.
  • Các số mũ trong thừa số nguyên tố là 1, 1 và 1. Thêm một vào mỗi số mũ và nhân ta được (1 + 1) (1 + 1) (1 + 1) = 2 × 2 × 2 = 8. Do đó 1463 có chính xác 8 yếu tố.
  • Các yếu tố của 1463 được phác thảo với các đối tác cặp yếu tố của chúng trong hình bên dưới.

Vì cả bốn cặp thừa số của 1463 đều chỉ chứa các số lẻ, nên 1463 có thể được viết dưới dạng hiệu của hai ô vuông dựa trên bốn cách đó:

732² - 731² = 1463 (732 là trung bình của 1 và 1463, và 731 là một nhỏ hơn.)
108² - 101² = 1463 (108 là giá trị trung bình của 7 và 209, còn 101 là kém hơn bảy.)
72² - 61² = 1463 (72 là trung bình của 11 và 133, và 61 là nhỏ hơn 11.)
48² - 29² = 1463 (48 là trung bình của 19 và 77, và 29 là nhỏ hơn mười chín.)


Luật Sines là gì?

Luật sin hay đôi khi được gọi là quy tắc sin, là một quy tắc liên hệ các cạnh của một tam giác với sin của các góc đối diện của chúng.

Trước khi tiếp tục luật sines, trước tiên chúng ta hãy hiểu ý nghĩa của thuật ngữ sin.

Xét một tam giác vuông ABC phía dưới.

Cho rằng AC là cạnh huyền của tam giác vuông ABC, thì sin của góc BCA bằng tỷ lệ chiều dài AB theo chiều dài AC.

Tương tự, sin của góc BAC bằng tỷ lệ chiều dài BC theo chiều dài AC.

Do đó, sin của một góc là tỷ số giữa độ dài cạnh đối diện của góc với độ dài cạnh huyền.

Bây giờ, hãy xem xét một tam giác xiên ABC hiển thị bên dưới. Một tam giác xiên không có góc vuông (tam giác không có góc 90 & # 8211 độ). Ba góc của tam giác này được biểu thị bằng chữ in hoa, trong khi các cạnh đối diện được biểu thị bằng chữ thường. Lưu ý rằng mỗi cạnh và góc đối diện của nó có cùng một chữ cái.

Theo luật ô sin.

Một ứng dụng thực tế của quy tắc sin là thanh sin, được sử dụng để đo góc nghiêng trong kỹ thuật.

Các ví dụ phổ biến khác bao gồm đo khoảng cách trong điều hướng và đo khoảng cách giữa hai ngôi sao trong thiên văn học.


  1. Đầu tiên, chúng ta sẽ học cách vẽ và dán nhãn cho một Tam giác xiên tiêu chuẩn, và nó sẽ giống kiểu vẽ mà chúng ta sẽ sử dụng cho toàn bộ đơn vị này.
  2. Xác định mức độ tương ứng từ thông tin đã cho, ASA hoặc AAS, và thiết lập tỷ lệ của bạn để tìm độ dài hoặc góc cạnh còn thiếu.
  3. Giải cho tất cả các phần chưa biết của tam giác.

Định nghĩa của Định luật Sines bao gồm ba tỷ lệ, trong đó chúng ta cân bằng các cạnh và các góc đối diện của chúng.

Công thức cho định luật Sines

Khi chúng ta đã thiết lập được tỷ số nào chúng ta cần giải, chúng ta chỉ cần cắm vào công thức hoặc phương trình, nhân chéo và tìm ẩn số còn thiếu (tức là cạnh hoặc góc).

Ngoài việc sử dụng phép nhân chéo, chúng tôi cũng sẽ sử dụng các hàm trig nghịch đảo và máy tính tiện dụng của chúng tôi để giúp chúng tôi tìm tất cả các phần còn thiếu của một hình tam giác.

Như bạn sẽ thấy nhanh chóng, Định luật Sines, hay Quy tắc sin, như Math is Fun gọi nó, nhanh chóng và dễ sử dụng và sẽ là một công cụ có giá trị trong vành đai công cụ của bạn để giải các hình tam giác.


Xem video: ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия. Математика (Tháng Giêng 2022).