Bài viết

2.2: Phép nhân ma trận - Toán học


Phép toán ma trận quan trọng tiếp theo mà chúng ta sẽ khám phá là phép nhân ma trận. Phép toán nhân ma trận là một trong những phép toán quan trọng và hữu ích nhất trong các phép toán của ma trận. Trong suốt phần này, chúng tôi cũng sẽ chứng minh phép nhân ma trận liên quan như thế nào đến hệ phương trình tuyến tính.

Đầu tiên, chúng tôi cung cấp một định nghĩa chính thức về các vectơ hàng và cột.

Định nghĩa ( PageIndex {1} ): Vectơ Hàng và Cột

Ma trận có kích thước (n lần 1 ) hoặc (1 lần n ) được gọi vectơ. Nếu (X ) là một ma trận như vậy, thì chúng ta viết (x_ {i} ) để biểu thị mục nhập (X ) trong hàng (i ^ {th} ) của ma trận cột, hoặc cột (i ^ {th} ) của ma trận hàng.

Ma trận (n times 1 ) [X = left [ begin {array} {c} x_ {1} vdots x_ {n} end {array} right] ] là được gọi là vector cột. Ma trận (1 times n ) [X = left [ begin {array} {ccc} x_ {1} & cdots & x_ {n} end {array} right] ] được gọi là hàng vector.

Chúng tôi có thể đơn giản sử dụng thuật ngữ vectơ trong suốt văn bản này để tham chiếu đến một vectơ cột hoặc hàng. Nếu chúng ta làm như vậy, ngữ cảnh sẽ làm cho nó rõ ràng mà chúng ta đang đề cập đến.

Trong chương này, chúng ta sẽ lại sử dụng khái niệm kết hợp tuyến tính của các vectơ như trong Định nghĩa [def: linearcombination]. Trong bối cảnh này, một tổ hợp tuyến tính là một tổng bao gồm các vectơ nhân với các đại lượng vô hướng. Ví dụ: [ left [ begin {array} {r} 50 122 end {array} right] = 7 left [ begin {array} {r} 1 4 end {array} right] +8 left [ begin {array} {r} 2 5 end {array} right] +9 left [ begin {array} {r} 3 6 end {array} right] ] là một tổ hợp tuyến tính của ba vectơ.

Hóa ra là chúng ta có thể biểu diễn bất kỳ hệ phương trình tuyến tính nào dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các vectơ. Trên thực tế, các vectơ mà chúng ta sẽ sử dụng chỉ là các cột của ma trận tăng cường tương ứng!

Định nghĩa ( PageIndex {2} ): Dạng vectơ của một hệ phương trình tuyến tính

Giả sử chúng ta có một hệ phương trình được cho bởi [ begin {array} {c} a_ {11} x_ {1} + cdots + a_ {1n} x_ {n} = b_ {1} vdots a_ {m1} x_ {1} + cdots + a_ {mn} x_ {n} = b_ {m} end {array} ] Chúng ta có thể thể hiện hệ thống này bằng dạng vector như sau: [x_1 left [ begin {array} {c} a_ {11} a_ {21} vdots a_ {m1} end {array} right] + x_2 left [ begin {array} {c} a_ {12} a_ {22} vdots a_ {m2} end {array} right] + cdots + x_n left [ begin {array } {c} a_ {1n} a_ {2n} vdots a_ {mn} end {array} right] = left [ begin {array} {c} b_1 b_2 vdots b_m end {array} right] ]

Lưu ý rằng mỗi vectơ được sử dụng ở đây là một cột từ ma trận tăng cường tương ứng. Có một vectơ cho mỗi biến trong hệ thống, cùng với vectơ không đổi.

Dạng quan trọng đầu tiên của phép nhân ma trận là nhân ma trận với một vectơ. Hãy xem xét sản phẩm được đưa ra bởi [ left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 end {array} right] left [ begin {array} {r} 7 8 9 end {array} right] ] Chúng ta sẽ sớm thấy rằng giá trị này bằng [7 left [ begin {array} {c} 1 4 end {array} right] + 8 left [ begin {array} {c} 2 5 end {array} right] +9 left [ begin {array} {c} 3 6 end {array} right] = left [ begin {array} {c} 50 122 end {array} right] ]

Nói chung, [ begin {align} left [ begin {array} {ccc} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} a_ {21} & a_ {22} & a_ { 23} end {array} right] left [ begin {array} {c} x_ {1} x_ {2} x_ {3} end {array} right] & = & x_ {1} left [ begin {array} {c} a_ {11} a_ {21} end {array} right] + x_ {2} left [ begin {array} {c} a_ { 12} a_ {22} end {array} right] + x_ {3} left [ begin {array} {c} a_ {13} a_ {23} end {array} right] & = & left [ begin {array} {c} a_ {11} x_ {1} + a_ {12} x_ {2} + a_ {13} x_ {3} a_ {21} x_ { 1} + a_ {22} x_ {2} + a_ {23} x_ {3} end {array} right] end {align} ] Vì vậy, bạn lấy (x_ {1} ) lần cột đầu tiên , thêm vào (x_ {2} ) nhân với cột thứ hai và cuối cùng (x_ {3} ) nhân với cột thứ ba. Tổng trên là tổ hợp tuyến tính của các cột của ma trận. Khi bạn nhân một ma trận ở bên trái với một vectơ ở bên phải, các số tạo nên vectơ chỉ là số vô hướng được sử dụng trong tổ hợp tuyến tính của các cột như minh họa ở trên.

Đây là định nghĩa chính thức về cách nhân ma trận (m times n ) với vectơ cột (n times 1 ).

Định nghĩa ( PageIndex {3} ): Phép nhân vectơ với ma trận

Cho (A = left [a_ {ij} right] ) là (m times n ) và cho (X ) là (n times 1 ) ma trận được cho bởi [ A = left [A_ {1} cdots A_ {n} right], X = left [ begin {array} {r} x_ {1} vdots x_ {n} end {array } đúng]]

Sau đó, sản phẩm (AX ) là vectơ cột (m times 1 ) bằng kết hợp tuyến tính sau của các cột (A ): [x_ {1} A_ {1} + x_ {2 } A_ {2} + cdots + x_ {n} A_ {n} = sum_ {j = 1} ^ {n} x_ {j} A_ {j} ]

Nếu chúng ta viết các cột của (A ) dưới dạng các mục nhập của chúng, chúng có dạng [A_ {j} = left [ begin {array} {c} a_ {1j} a_ {2j} vdots a_ {mj} end {array} right] ] Sau đó, chúng ta có thể viết product (AX ) là [AX = x_ {1} left [ begin {array} { c} a_ {11} a_ {21} vdots a_ {m1} end {array} right] + x_ {2} left [ begin {array} {c} a_ {12} a_ {22} vdots a_ {m2} end {array} right] + cdots + x_ {n} left [ begin {array} {c} a_ {1n} a_ {2n} vdots a_ {mn} end {array} right] ]

Lưu ý rằng phép nhân ma trận (m times n ) và vectơ (n times 1 ) tạo ra vectơ (m times 1 ).

Đây là một ví dụ.

Ví dụ ( PageIndex {1} ): Một vectơ được nhân bởi một ma trận

Tính toán sản phẩm (AX ) cho [A = left [ begin {array} {rrrr} 1 & 2 & 1 & 3 0 & 2 & 1 & -2 2 & 1 & 4 & 1 end {array} right], X = left [ begin {array} {r} 1 2 0 1 end {array} right] ]

Giải pháp

Chúng tôi sẽ sử dụng Định nghĩa [def :licationvectormatrix] để tính toán sản phẩm. Do đó, chúng tôi tính toán sản phẩm (AX ) như sau. [ begin {align} & 1 left [ begin {array} {r} 1 0 2 end {array} right] + 2 left [ begin {array} {r} 2 2 1 end {array} right] + 0 left [ begin {array} {r} 1 1 4 end {array} right] + 1 left [ begin {array } {r} 3 -2 1 end {array} right] & = left [ begin {array} {r} 1 0 2 end {array} right] + left [ begin {array} {r} 4 4 2 end {array} right] + left [ begin {array} {r} 0 0 0 end {array } right] + left [ begin {array} {r} 3 -2 1 end {array} right] & = left [ begin {array} {r} 8 2 5 end {array} right] end {align} ]

Sử dụng phép toán trên, chúng ta cũng có thể viết một hệ phương trình tuyến tính trong dạng ma trận. Ở dạng này, chúng ta biểu diễn hệ thống dưới dạng một ma trận nhân với một vectơ. Hãy xem xét định nghĩa sau đây.

Định nghĩa ( PageIndex {4} ): Dạng ma trận của hệ phương trình tuyến tính

Giả sử chúng ta có một hệ phương trình được cho bởi [ begin {array} {c} a_ {11} x_ {1} + cdots + a_ {1n} x_ {n} = b_ {1} a_ {21} x_ {1} + cdots + a_ {2n} x_ {n} = b_ {2} vdots a_ {m1} x_ {1} + cdots + a_ {mn} x_ {n} = b_ { m} end {array} ] Sau đó, chúng ta có thể thể hiện hệ thống này trong dạng ma trận như sau. [ left [ begin {array} {cccc} a_ {11} & a_ {12} & cdots & a_ {1n} a_ {21} & a_ {22} & cdots & a_ {2n} vdots & vdots & ddots & vdots a_ {m1} & a_ {m2} & cdots & a_ {mn} end {array} right] left [ begin {array} {c} x_ {1} x_ {2} vdots x_ {n} end {array} right] = left [ begin {array} {c} b_ {1} b_ {2} vdots b_ {m} end {array} right] ]

Biểu thức (AX = B ) còn được gọi là Biểu mẫu ma trận của hệ phương trình tuyến tính tương ứng. Ma trận (A ) đơn giản là ma trận hệ số của hệ thống, vectơ (X ) là vectơ cột được xây dựng từ các biến của hệ thống, và cuối cùng vectơ (B ) là vectơ cột được xây dựng từ các hằng số của hệ thống. Điều quan trọng cần lưu ý là bất kỳ hệ phương trình tuyến tính nào cũng có thể được viết dưới dạng này.

Chú ý rằng nếu chúng ta viết một hệ phương trình thuần nhất ở dạng ma trận, nó sẽ có dạng (AX = 0 ), đối với vectơ không (0 ).

Từ định nghĩa này, bạn có thể thấy rằng một vectơ [X = left [ begin {array} {c} x_ {1} x_ {2} vdots x_ {n} end {array} right] ] sẽ thỏa mãn phương trình (AX = B ) chỉ khi các mục (x_ {1}, x_ {2}, cdots, x_ {n} ) của vectơ (X ) là nghiệm vào hệ thống ban đầu.

Bây giờ chúng ta đã xem xét cách nhân một ma trận với một vectơ, chúng ta muốn xem xét trường hợp chúng ta nhân hai ma trận có kích thước tổng quát hơn, mặc dù các kích thước này vẫn cần phải phù hợp như chúng ta sẽ thấy. Ví dụ, trong Ví dụ [exa: vectormultbymatrix], chúng tôi nhân ma trận a (3 nhân 4 ) với vectơ (4 nhân 1 ). Chúng tôi muốn tìm hiểu cách nhân các kích thước khác của ma trận.

Chúng tôi vẫn chưa đưa ra bất kỳ điều kiện nào về thời điểm có thể thực hiện phép nhân ma trận! Đối với ma trận (A ) và (B ), để tạo thành tích (AB ), số cột của (A ) phải bằng số hàng của (B. ) Xét một sản phẩm (AB ) trong đó (A ) có kích thước (m times n ) và (B ) có kích thước (n times p ). Sau đó, tích về kích thước của ma trận được đưa ra bởi [(m times overset { text {các ma trận này phải khớp nhau!}} { Widehat {n) ; (n} times p}) = m lần p ]

Lưu ý hai con số bên ngoài cho biết kích thước của sản phẩm. Một trong những quy tắc quan trọng nhất liên quan đến phép nhân ma trận là như sau. Nếu hai số giữa không khớp nhau, bạn không thể nhân các ma trận!

Khi số cột của (A ) bằng số hàng của (B ) thì hai ma trận được cho là phù hợp và sản phẩm (AB ) thu được như sau.

Định nghĩa ( PageIndex {4} ): Phép nhân hai ma trận

Gọi (A ) là ma trận (m times n ) và (B ) là (n times p ) ma trận có dạng [B = left [B_ {1} cdots B_ {p} right] ] trong đó (B_ {1}, ..., B_ {p} ) là (n lần 1 ) cột của (B ). Sau đó, ma trận (m times p ) (AB ) được xác định như sau: [AB = A left [B_ {1} cdots B_ {p} right] = left [(AB) _ {1} cdots (AB) _ {p} right] ] trong đó ((AB) _ {k} ) là một ma trận (m times 1 ) vectơ cột cho (k ^ cột {th} ) của (AB ).

Hãy xem xét ví dụ sau.

Ví dụ ( PageIndex {2} ): Nhân hai ma trận

Tìm (AB ) nếu có thể. [A = left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} right], B = left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 0 0 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 end {array} right] ]

Giải pháp

Điều đầu tiên bạn cần xác minh khi tính một sản phẩm là liệu phép nhân có thể thực hiện được hay không. Ma trận đầu tiên có kích thước (2 lần 3 ) và ma trận thứ hai có kích thước (3 lần 3 ). Các số bên trong bằng nhau, vì vậy (A ) và (B ) là các ma trận có thể tuân thủ. Theo thảo luận ở trên (AB ) sẽ là một ma trận (2 lần 3 ). Định nghĩa [def: multilicationoftwomatrices] cung cấp cho chúng ta một cách để tính toán từng cột của (AB ), như sau.

[ left [ overset { text {First column}} { overbrace { left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {r} 1 0 -2 end {array} right]}}, overset { text {Cột thứ hai}} { overbrace { left [ begin { array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {r} 2 3 1 end {array} right ]}}, overset { text {Cột thứ ba}} { overbrace { left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {r} 0 1 1 end {array} right]}} right] ] Bạn biết cách nhân một ma trận với một vectơ, bằng cách sử dụng Định nghĩa [def :licationvectormatrix] cho mỗi cột trong số ba cột. Do đó [ left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} right] left [ begin {array} {rrr} 1 & 2 & 0 0 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 end {array} right] = left [ begin {array} {rrr} -1 & 9 & 3 -2 & 7 & 3 end {array} right] ]

Vì vectơ chỉ đơn giản là ma trận (n times 1 ) hoặc (1 times m ), chúng ta cũng có thể nhân một vectơ với một vectơ khác.

Ví dụ ( PageIndex {3} ): Phép nhân vectơ thời gian vectơ

Nhân lên nếu có thể ( left [ begin {array} {r} 1 2 1 end {array} right] left [ begin {array} {rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 end {array} right]. )

Giải pháp

Trong trường hợp này, chúng ta đang nhân ma trận có kích thước (3 lần 1 ) với ma trận có kích thước (1 nhân lần 4 ) Các số bên trong khớp nhau để tích được xác định. Lưu ý rằng sản phẩm sẽ là một ma trận có kích thước (3 nhân 4 ). Sử dụng Định nghĩa [def: multilicationoftwomatrices], chúng ta có thể tính tích này như sau (: ) [ left [ begin {array} {r} 1 2 1 end {array} right] left [ begin {array} {rrrr} 1 & 2 & 1 & 0 end {array} right] = left [ overset { text {First column}} { overbrace { left [ begin {array } {r} 1 2 1 end {array} right] left [ begin {array} {r} 1 end {array} right]}}, overset { text {Cột thứ hai }} { overbrace { left [ begin {array} {r} 1 2 1 end {array} right] left [ begin {array} {r} 2 end {array} right]}}, overset { text {Cột thứ ba}} { overbrace { left [ begin {array} {r} 1 2 1 end {array} right] left [ begin {array} {r} 1 end {array} right]}}, overset { text {Cột thứ tư}} { overbrace { left [ begin {array} {r} 1 2 1 end {array} right] left [ begin {array} {r} 0 end {array} right]}} right] ]

Bạn có thể sử dụng Định nghĩa [def :licationvectormatrix] để xác minh rằng sản phẩm này là [ left [ begin {array} {cccc} 1 & 2 & 1 & 0 2 & 4 & 2 & 0 1 & 2 & 1 & 0 end {array} right] ]

Ví dụ ( PageIndex {4} ): Một phép nhân chưa được xác định

Tìm (BA ) nếu có thể. [B = left [ begin {array} {ccc} 1 & 2 & 0 0 & 3 & 1 -2 & 1 & 1 end {array} right], A = left [ bắt đầu {array} {ccc} 1 & 2 & 1 0 & 2 & 1 end {array} right] ]

Giải pháp

Đầu tiên kiểm tra xem nó có thể được không. Sản phẩm này có dạng ( left (3 times 3 right) left (2 times 3 right). ) Các số bên trong không khớp và do đó bạn không thể thực hiện phép nhân này.

Trong trường hợp này, chúng ta nói rằng phép nhân không được xác định. Lưu ý rằng đây là những ma trận giống nhau mà chúng ta đã sử dụng trong Ví dụ [exa: multilicationoftwomatrices]. Trong ví dụ này, chúng tôi đã cố gắng tính toán (BA ) thay vì (AB ). Điều này chứng tỏ một tính chất khác của phép nhân ma trận. Mặc dù sản phẩm (AB ) có thể được xác định, chúng tôi không thể giả định rằng sản phẩm (BA ) sẽ khả thi. Do đó, điều quan trọng là phải luôn kiểm tra xem sản phẩm đã được xác định trước khi thực hiện bất kỳ phép tính nào chưa.

Trước đó, chúng ta đã định nghĩa ma trận 0 (0 ) là ma trận (có kích thước thích hợp) chứa các số không trong tất cả các mục nhập. Hãy xem xét ví dụ sau về phép nhân với ma trận 0.

Ví dụ ( PageIndex {5} ): Phép nhân với Ma trận 0

Tính tích (A0 ) cho ma trận [A = left [ begin {array} {rr} 1 & 2 3 & 4 end {array} right] ] và (2 lần 2 ) ma trận 0 được cho bởi [0 = left [ begin {array} {rr} 0 & 0 0 & 0 end {array} right] ]

Giải pháp

Trong sản phẩm này, chúng tôi tính toán [ left [ begin {array} {rr} 1 & 2 3 & 4 end {array} right] left [ begin {array} {rr} 0 & 0 0 & 0 end {array} right] = left [ begin {array} {rr} 0 & 0 0 & 0 end {array} right] ]

Do đó, (A0 = 0 ).

Lưu ý rằng chúng ta cũng có thể nhân (A ) với vectơ (2 times 1 ) 0 được cho bởi ( left [ begin {array} {r} 0 0 end {array} right] ). Kết quả sẽ là vectơ (2 times 1 ) 0. Do đó, luôn luôn xảy ra trường hợp (A0 = 0 ), đối với ma trận hoặc vectơ 0 có kích thước thích hợp.


Phép nhân ma trận: Tích của hai ma trận

Phép nhân ma trận là kiểu & # 8220messy & # 8221 vì bạn sẽ cần tuân theo một số quy trình nhất định để thực hiện đúng. Đây là loại & # 8220messy & # 8221 vì quá trình này liên quan nhiều hơn. Tuy nhiên, sau này bạn sẽ nhận ra sau khi trải qua quy trình và một số ví dụ rằng các bước cần thiết có thể quản lý được. Đừng lo lắng, tôi sẽ giúp bạn việc này!

Nhưng trước tiên, chúng ta cần đảm bảo rằng hai ma trận & # 8220 được phép & # 8221 được nhân với nhau. Nếu không, hai ma trận đã cho & # 8220 không tương thích & # 8221 sẽ được nhân lên. Nếu đúng như vậy, chúng tôi nói rằng giải pháp là không xác định.


Phép nhân ma trận: (2 & # 2152) bởi (2 & # 2152)

Giả sử chúng ta có một 2ࡨ ma trận A, có 2 hàng và 2 cột:

Giả sử chúng ta cũng có một 2ࡨ ma trận B, có 2 hàng và 2 cột:

Để nhân ma trận A với ma trận B, chúng ta sử dụng công thức sau:

Điều này dẫn đến ma trận 2 & # 2152.

Các ví dụ sau minh họa cách nhân ma trận 2 & # 2152 với ma trận 2 & # 2152 bằng số thực.

Ví dụ 1

Giả sử chúng ta có một 2ࡨ ma trận C, có 2 hàng và 2 cột:

Giả sử chúng ta cũng có một 2ࡨ ma trận D, có 2 hàng và 2 cột:

Đây là cách nhân ma trận C với ma trận D:

Điều này dẫn đến ma trận 2 & # 2152 sau:

Ví dụ 2

Giả sử chúng ta có một 2ࡨ ma trận E, có 2 hàng và 2 cột:

Giả sử chúng ta cũng có một 2ࡨ ma trận F, có 2 hàng và 2 cột:

Đây là cách nhân ma trận E với ma trận F:

Điều này dẫn đến ma trận 2 & # 2152 sau:

Ví dụ 3

Giả sử chúng ta có một 2ࡨ ma trận G, có 2 hàng và 2 cột:

Giả sử chúng ta cũng có một 2ࡨ ma trận H, có 2 hàng và 2 cột:

Đây là cách nhân ma trận G với ma trận H:

Điều này dẫn đến ma trận 2 & # 2152 sau:

Ví dụ 4

Giả sử chúng ta có một 2ࡨ ma trận I, có 2 hàng và 2 cột:

Giả sử chúng ta cũng có một 2ࡨ ma trận J, có 2 hàng và 2 cột:

Đây là cách nhân ma trận I với ma trận J:

Điều này dẫn đến ma trận 2 & # 2152 sau:


Phép nhân ma trận

Phép nhân ma trận là một phép toán được thực hiện trên hai (hoặc đôi khi nhiều hơn) ma trận, với kết quả là một ma trận khác.

Giải thích này sẽ giả định rằng học sinh đã quen thuộc với các kiến ​​thức cơ bản về ma trận, chẳng hạn như ký hiệu ma trận và các tích vectơ.

Có một số quy tắc nhất định phải được tuân theo trong quá trình nhân. Đầu tiên, khi nhân hai ma trận bất kỳ #A_ (rs) # và #B_ (tu) #, trong đó # r # và # t # lần lượt là số hàng trong ma trận #A & amp B # và # s # và # u # the số cột trong ma trận #A & amp B # tương ứng, nếu #s! = t # (nghĩa là số hàng trong # A # không bằng số cột trong # B #) thì không thể thực hiện phép nhân ma trận.

Khi nhân hai ma trận như vậy, ma trận kết quả # AB # sẽ có # r # hàng và # u # cột, nói cách khác, cùng số hàng với ma trận # A # và cùng số cột với ma trận # B # .

Mỗi mục nhập trong ma trận # AB # sẽ được tính thông qua tích số chấm của một hàng từ ma trận # A # và một cột từ ma trận # B #. Đổi tên ma trận # AB # thành # C # để dễ sử dụng, có thể tìm thấy giá trị của bất kỳ phần tử riêng lẻ nào # c_ij # bằng cách lấy tích số chấm của hàng # i # từ # A # và cột # j # từ # B #.

Hiện tại có một số khó khăn trong việc sử dụng mã toán học của Socratic để xây dựng một ma trận, vì vậy tạm thời phải sử dụng các ký hiệu khác nhau. Xét ma trận 2x3 # A #, sao cho # a_11 = 1, a_12 = 0, a_13 = 3, a_21 = 0, a_22 = 5, a_23 = -1 #, cũng như ma trận 3x2 # B # sao cho # b_11 = 4 , b_12 = 5, b_21 = 0, b_22 = -3, b_31 = -4, b_32 = 1 #. Khi đó, ma trận kết quả #AB = C # là ma trận 2x2, với
# c_11 = (a_11 * b_11) + (a_12 * b_21) + (a_13 * b_31) #,
# c_12 = (a_11 * b_12) + (a_12 * b_22) + (a_13 * b_32), #
# c_21 = (a_21 * b_11) + (a_22 * b_21) + (a_23 * b_31), #
# c_22 = (a_21 * b_12) + (a_22 + b_22) + (a_23 + b_32) #

Cắm các giá trị tương ứng, chúng ta nhận được # c_11 = -8, c_12 = 8, c_21 = 4, c_22 = -16 #

Có một số thông tin về Phép nhân ma trận ở đây trên Socratic.

Tôi nghĩ đó là một quá trình dễ dàng hơn để giải thích trực tiếp, nhưng tôi sẽ cố gắng hết sức ở đây.

Hãy xem qua một ví dụ:

Tìm hàng đầu tiên của sản phẩm

Lấy hàng đầu tiên của # ((1, 2), (3, 4)) # và đặt nó dọc trước # ((3, 5), (7, 11)) #. (Chúng tôi sẽ làm tương tự cho hàng thứ hai sau một phút nữa.)

Bây giờ nhân với cột đầu tiên và cộng để có số đầu tiên trong hàng đầu tiên của câu trả lời:
# <:( 1 xx 3), (2 xx 7):> = <:( 3), (14):> # bây giờ thêm để nhận được # 17 #

Tiếp theo nhân với cột thứ hai và cộng để có số thứ hai ở hàng đầu tiên của câu trả lời:
# <:( 1 xx 5), (2 xx 11):> = <:( 5), (22):> # bây giờ thêm để nhận được # 27 #

Hàng đầu tiên của sản phẩm là: # ((17,27)) #

Điểm này chúng tôi biết rằng sản phẩm trông giống như sau:

Tìm hàng thứ hai của sản phẩm
Tìm hàng thứ hai của sản phẩm theo quy trình tương tự bằng cách sử dụng hàng thứ hai của # ((1, 2), (3, 4)) #

# <: (3), (4):> ((3, 5), (7, 11)) # để có được: # 9 + 28 = 37 # và # 15 + 44 = 59 #

Hàng thứ hai của sản phẩm là: # ((37,59)) #

Viết câu trả lời


Công thức nhân ma trận 2x2

Ma trận nhận dạng đa nhân

Ma trận nhận dạng nhân là ma trận mà bạn có thể nhân với ma trận khác và ma trận kết quả sẽ bằng ma trận ban đầu. Ma trận nhận dạng nhân quan trọng đến mức nó thường được gọi là ma trận nhận dạng và thường được biểu thị bằng một dòng kép 1 hoặc một Tôi, bất kể kích thước ma trận nhận dạng là bao nhiêu.

Ma trận nhận dạng nhân tuân theo phương trình sau:
IA = AI = A

Ma trận nhận dạng nhân cho ma trận 2x2 là:
/>

Ví dụ về phép nhân ma trận 2x2

Sau đây sẽ chỉ ra cách nhân hai ma trận 2x2:
/>

Các thuộc tính của phép nhân ma trận

1. Phép nhân ma trận nói chung KHÔNG giao hoán
AB & ne BA

2. Phép nhân ma trận có tính chất kết hợp. Không quan trọng việc 3 hoặc nhiều ma trận được nhóm như thế nào khi được nhân, miễn là thứ tự không bị thay đổi
A (BC) = (AB) C

3. Phép nhân ma trận là phép nhân kết hợp, tương tự như phép nhân đại số đơn giản. Sự khác biệt duy nhất là thứ tự của phép nhân phải được duy trì
A (B + C) = AB + AC & ne (B + C) A = BA + CA

4. Nếu đó là Ma trận vuông, một phần tử nhận dạng tồn tại cho phép nhân ma trận. Nó được gọi là E hoặc I
IA = AI = A

Ma trận được sử dụng rộng rãi trong các ứng dụng hình học, vật lý và đồ họa máy tính. Mảng các đại lượng hoặc biểu thức được thiết lập bởi các hàng và cột được coi như một phần tử duy nhất và được thao tác theo các quy tắc. Tính toán ma trận có thể được hiểu là một tập hợp các công cụ liên quan đến việc nghiên cứu các phương pháp và thủ tục được sử dụng để thu thập, phân loại và phân tích dữ liệu. Trong nhiều ứng dụng, cần phải tính phép nhân ma trận 2x2 trong đó máy tính nhân ma trận 2x2 trực tuyến này có thể giúp bạn dễ dàng thực hiện các phép tính của mình đối với các đầu vào tương ứng.


Đối với bất kỳ phần tử nào $ A trong H $, bạn có thể nhân hàng trên cùng với bất kỳ số nào khác 0 để có phần tử là $ G $. Vậy $ | G | = (p-1) | H | $.
Bây giờ để đếm $ H $.

  • Nếu $ a neq0 $ thì $ d = (1 + bc) / a $, vậy có bao nhiêu ma trận? Có bao nhiêu sự lựa chọn cho $ a, b, c $?
  • Nếu $ a = 0 $ thì $ c = -b ^ <-1> $. Điều đó cho bao nhiêu ma trận khác? Có bao nhiêu sự lựa chọn cho $ b, d $?

Để thay thế cho câu trả lời của Michael (đưa ra gợi ý phù hợp), bạn có thể đếm các bộ giá trị $ (a, b, c, d) $ mà $ ad-bc = 0 $:

  • Nếu $ a = 0 $ (một trường hợp) và $ d $ tùy ý ($ p $ trường hợp) và $ b = 0 $ (một trường hợp), thì $ c $ là tùy ý ($ p $ trường hợp), vì vậy điều này sinh ra $ p cdot p = p ^ 2 $ bộ giá trị.
  • Nếu $ a = 0 $ (một trường hợp) và $ d $ tùy ý ($ p $ trường hợp) và $ b neq 0 $ ($ p-1 $ trường hợp), thì $ c $ phải là $ = 0 $, vì vậy điều này case mang lại $ p cdot (p-1) = p ^ 2-p $ bộ giá trị.
  • Nếu $ a neq 0 $ ($ p-1 $ trường hợp) và $ d = 0 $ (một trường hợp) và $ b = 0 $ (một trường hợp), thì $ c $ là tùy ý ($ p $ trường hợp), vì vậy điều này mang lại $ (p-1) cdot p = p ^ 2-p $ bộ giá trị.
  • Nếu $ a neq 0 $ ($ p-1 $ trường hợp) và $ d = 0 $ (một trường hợp) và $ b neq 0 $ ($ p-1 $ trường hợp), thì $ c $ phải là $ = 0 $, vì vậy điều này sinh ra $ (p-1) cdot (p-1) = p ^ 2-2p + 1 $ bộ giá trị.
  • Nếu $ a neq 0 $ ($ p-1 $ trường hợp) và $ d neq0 $ ($ p-1 $ trường hợp), thì $ b $ có thể là tùy ý $ neq 0 $ ($ p-1 $ trường hợp) và $ c $ được xác định bởi $ a $, $ d $ và $ b $, vì vậy điều này sinh ra $ (p-1) cdot (p-1) cdot (p-1) = p ^ 3-3p ^ 2 + 3p-1 $ bộ giá trị.

Tổng cộng, năm trường hợp này cộng lại tới $ p ^ 2 + p ^ 2-p + p ^ 2-p + p ^ 2-2p + 1 + p ^ 3-3p ^ 2 + 3p-1 = p ^ 3 + p ^ 2-p $ bộ giá trị "không được phép", vì vậy số phần tử của $ G $ là $ p ^ 4- (p ^ 3 + p ^ 2-p) = p ^ 4-p ^ 3-p ^ 2 + p = (p ^ 2-1) cdot (p ^ 2-p) $ (số hạng cuối cùng là cách chuẩn để thể hiện thứ tự của nhóm).


Phép nhân giữa hai ma trận

Phép nhân giữa hai ma trận là khả thi nếu số cột của ma trận đầu tiên giống với ma trận của các hàng trong ma trận khác thì phép nhân ma trận có thể được thực hiện. Nói chung, Cho là một ma trận m * n và là một ma trận n * p. Khi đó tích của ma trận A và B là ma trận C bậc m * p. Để có phần tử của ma trận C, chúng ta lấy hàng A và cột B, nhân với phần tử khôn ngoan và lấy tổng của tất cả các tích này. Nói cách khác, Nếu, thì hàng của A là và cột của B là, thì =. Ma trận là tích của A và B.


Nhận xét

Đánh giá bởi Tim Brauch, Phó giáo sư, Đại học Manchester vào ngày 15/6/19

Tác giả nói rõ trong lời nói đầu rằng văn bản này không phải là văn bản đại số tuyến tính. Nó tránh phần lớn lý thuyết liên quan đến đại số tuyến tính mặc dù, tác giả vẫn đề cập đến các định lý khi cần thiết. Tránh lý thuyết mà sử dụng thuật ngữ. đọc thêm

Đánh giá bởi Tim Brauch, Phó giáo sư, Đại học Manchester vào ngày 15/6/19

Đánh giá mức độ toàn diện: 4 xem ít hơn

Tác giả nói rõ trong lời nói đầu rằng văn bản này không phải là văn bản đại số tuyến tính. Nó tránh phần lớn lý thuyết liên quan đến đại số tuyến tính mặc dù, tác giả vẫn đề cập đến các định lý khi cần thiết. Tránh lý thuyết nhưng sử dụng thuật ngữ & quottheorem & quot có thể yêu cầu một số thảo luận trong lớp mà trong sách giáo khoa không có. Hãy nhớ rằng cuốn sách này tập trung vào tính toán hơn là lý thuyết, nó bao gồm các khía cạnh tính toán chính của đại số ma trận. Phần về phép nhân ma trận tập trung nhiều vào ma trận vuông trong các ví dụ mặc dù bài tập về nhà sử dụng ma trận không vuông. Điều này có thể cần bổ sung các ví dụ không vuông để học sinh tham khảo khi làm bài tập về nhà.

Xếp hạng độ chính xác của nội dung: 4

Nội dung khôn ngoan, cuốn sách dường như không có lỗi. Tôi đã không kiểm tra các giải pháp cho tất cả các ví dụ và vấn đề, nhưng những gì tôi đã kiểm tra là đúng.

Đánh giá mức độ liên quan / Tuổi thọ: 5

Đại số tuyến tính và đại số ma trận không thực sự lỗi thời. Các ví dụ đủ lành tính để không trở nên lỗi thời. Các ví dụ khá không thú vị. Ở những điểm, tác giả cố gắng nói rằng những ý tưởng trong cuốn sách này hữu ích trong cuộc sống thực, nhưng những ví dụ là giả tạo.

Có một tốc độ nhanh chóng thông qua Biểu mẫu cấp độ hàng giảm. Sau một phần, tác giả giả định người đọc là một chuyên gia về chủ đề này. Tôi nhận thấy chủ đề này có thể mất vài tuần, thậm chí vài tháng để học viên nắm vững. Việc trình bày các bước trong các phần sau sẽ tiết kiệm không gian trong văn bản nhưng có thể gây nhầm lẫn cho học sinh. Phần về phép nhân ma trận là một chút rắc rối. Tác giả đang cố gắng tránh các khía cạnh lý thuyết của một khóa học đại số tuyến tính truyền thống. Điều này dẫn đến ký hiệu đáng ngờ khi giới thiệu phép nhân ma trận. Về bản chất, tác giả định nghĩa sản phẩm chấm mà không sử dụng ký hiệu đó. Trong cùng một phần, tác giả nhân các vectơ bằng cách ghép (xy có nghĩa là x nhân với y). Bởi vì có nhiều cách để nhân vectơ, việc thiếu một dấu hiệu là mơ hồ. Tuy nhiên, coi vectơ là ma trận và có một phép nhân ma trận tiêu chuẩn cho ma trận, điều đó sẽ có ý nghĩa. Tác giả cũng tuyên bố rằng phép nhân ma trận khôn ngoan thành phần là sai. Mặc dù đây không phải là cách tiêu chuẩn để nhân ma trận, nhưng các tình huống phát sinh trong đó nó là cách bắt buộc. Các phép toán vectơ được thảo luận trong chương về phép toán ma trận. Đây là khó khăn về bản chất của vectơ trong đại số tuyến tính. Chúng là ma trận. Chúng là các đối tượng hình học. Thảo luận về khía cạnh này hầu như đòi hỏi phải thảo luận về khía cạnh khác. Tuy nhiên, không có cách & quot rõ ràng & quot để làm điều này. Trọng tâm là hình học, mà không củng cố các ý tưởng đại số từ các phần hoạt động ma trận và sau đó nó chuyển sang tập trung vào đại số và bỏ qua hình học (cho đến chương sau).

Ký hiệu, từ vựng, và những thứ đó dường như nhất quán trong suốt. Nói chung, các định lý được trình bày mà không cần chứng minh, mặc dù trong một vài phần, các cố gắng là chứng minh được đưa ra (có thể thậm chí là chứng minh chính thức mà không sử dụng ngôn ngữ đó).

Các chương dường như khá mô-đun, ngay cả khi tuần tự. Tuy nhiên, hầu hết các phần đều kết thúc bằng & quot; câu hỏi hướng dẫn & quot cho phần tiếp theo (ví dụ: phần về phép nhân ma trận kết thúc bằng các câu hỏi suy ra nghịch đảo ma trận sẽ tồn tại, điều này được giải thích trong phần tiếp theo). Điều này có thể gây ra vấn đề nếu một số phần bị bỏ qua, vì học sinh được chuẩn bị cho phần tiếp theo. Điều này không gây ra vấn đề gì miễn là các chương đầy đủ được sử dụng. Mỗi phần đều thích hợp, nhưng hãy cầu xin phần tiếp theo.

Tổ chức / Cơ cấu / Xếp hạng luồng: 4

Một vấn đề phổ biến với các văn bản trong đại số tuyến tính, mà cuốn sách này phải đối mặt, là liệu có nên xem xét các vectơ hoặc ma trận, hoặc cả hai. Cuốn sách này chuyển đổi qua lại. Mặc dù dường như không có cách nào tốt để xử lý vấn đề này và cuốn sách này sử dụng phương pháp tiếp cận tiêu chuẩn (truyền thống), việc chuyển đổi theo cách này có thể gây nhầm lẫn cho học sinh.

Cuốn sách là dạng PDF có đánh dấu cho các chương và phần. Tất cả các hình ảnh rõ ràng và được thực hiện rất tốt.

Xếp hạng lỗi ngữ pháp: 3

Có một vài lỗi chính tả nhỏ, không có lỗi nào làm mất tập trung vào văn bản (ví dụ: & quotrecieve & quot thay vì & quotreceive & quot). Ở những nơi khác, khoảng cách là kỳ lạ.

Đánh giá mức độ phù hợp với văn hóa: 3

Có một bình luận trong phần chú thích về tên con gái và con trai, bình luận rằng con trai có tên con gái. Nó không nhất thiết phải gây khó chịu, nhưng nó không thêm gì vào văn bản. Nếu không, cuốn sách vẫn ổn. Các ví dụ có thể đa văn hóa hơn, nhưng chúng thường là bất khả tri về văn hóa.

Nhìn chung, cuốn sách làm được những gì nó đặt ra. Nó dạy đại số ma trận với lý thuyết tối thiểu và nhấn mạnh vào tính toán. Nó không hoàn toàn không có lý thuyết, và bước vào thế giới của bằng chứng một cách nhẹ nhàng.


Ma trận là gì?

Tôi yêu phim Ma trận. Nhưng chúng ta sẽ không nói về nó ở đây. Thay vào đó, tôi muốn cho bạn thấy rằng ma trận không phải là một loại thần chú bí truyền nào đó che giấu những bí mật đen tối mà chỉ những người giỏi nhất trong chúng ta mới có thể nắm được.

Bạn đã bao giờ chơi một trong những trò chơi bài này mà bạn cần một bảng điểm chưa? Nếu vậy, tôi có một tin tốt: bạn đã biết ma trận và bạn có thể nhớ nó hoạt động như thế nào bất cứ lúc nào bằng cách thiết kế ngược bảng điểm.

Như bạn có thể thấy trong hình trên, có một cột cho mỗi người chơi và một hàng cho mỗi lượt. Các ma trận chứa đầy các giá trị đại diện cho số điểm của người chơi cụ thể tại một lượt chính xác. Ví dụ, ở lượt thứ ba, Daniel có 4 điểm.

  1. Kích thước: số cột cố định và số hàng cố định.
  2. Giá trị: các giá trị do ma trận nắm giữ phải nhất quán. Nếu một số mục nhập có thông tin về cam và những mục khác về nicotine, ma trận của bạn sẽ không có tác dụng gì.
  3. Hoạt động: một bộ công cụ của các phép toán như cộng và nhân.

Như với mọi thứ trong toán học, ma trận là một ý tưởng được chuyển thành một định nghĩa và được biểu diễn bằng một ký hiệu.
Cách thứ hai rất đơn giản, chúng tôi chỉ quấn các dấu ngoặc đơn hoặc dấu ngoặc đơn xung quanh các số:

Nếu bạn không quen toán học ký hiệu, hình ảnh trên có thể khiến bạn nản lòng ngay từ cái nhìn đầu tiên. Hãy cùng nhau chia nhỏ.

Các ký tự có dấu gạch dưới màu xanh lá cây và màu đỏ đại diện cho các mục nhập của ma trận:

Cái đó ký hiệu trở nên cực kỳ hữu ích khi chúng ta đang thao tác với các ma trận lớn hoặc khi chúng ta muốn tổng quát và thể hiện điều gì đó cho mỗi ma trận với m hàng và n cột. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ nói rằng ma trận có các thứ nguyên (m, n).

Sau ma trận đại diện cho bảng điểm mà chúng ta đã thấy trong phần trước:

Nếu một người chơi khác tham gia trò chơi, chúng tôi sẽ phải thêm một cột cho người chơi đó vào bảng điểm. Điều tương tự sẽ xảy ra với ma trận: chúng ta cần có 5 cột để đại diện cho toàn bộ trò chơi.


Phép nhân ma trận cho Ma trận nhận dạng

Bây giờ những gì về thuộc tính nhân ma trận cho ma trận nhận dạng? Chà, thuộc tính ghi như sau:

Công thức 6: Phép nhân ma trận cho Ma trận nhận dạng

nơi tôi n tôi_ I n là một ma trận nhận dạng n × n n times n n × n. Một lần nữa, chúng ta có thể thấy rằng các phương trình sau đây phù hợp với một ví dụ.

Equation 12: Matrix Multiplication for identity matrix example pt.1

So for the equation X I 2 = X X I_ <2>= X X I 2 ​ = X , we have:

Equation 12: Matrix Multiplication for identity matrix example pt.2

So the equation does hold. Similar to the equation I 2 X = X I_<2>X = X I 2 ​ X = X , we have:

Equation 12: Matrix Multiplication for identity matrix example pt.3

Again, the equation holds. So we are done with the question, and both equations hold. This concludes all the properties of matrix multiplication. Now if you want to look at a real life application of matrix multiplication, then I recommend you look at this article.


Xem video: Tự ôn tập Toán - Ma trận P2 Các phép toán cơ bản đối với ma trận (Tháng Giêng 2022).