Bài viết

6.4: Các khoản cho vay


Trong phần trước, bạn đã tìm hiểu về niên kim thanh toán.

Trong phần này, bạn sẽ tìm hiểu về các khoản vay thông thường (còn được gọi là khoản vay trả dần hoặc khoản vay trả góp). Ví dụ bao gồm các khoản cho vay mua ô tô và thế chấp nhà. Những kỹ thuật này không áp dụng cho các khoản vay ngắn hạn, khoản vay bổ sung hoặc các loại khoản vay khác mà lãi suất được tính trước.

Một điều tuyệt vời về các khoản vay là chúng sử dụng chính xác công thức giống như niên kim thanh toán. Để biết lý do tại sao, hãy tưởng tượng rằng bạn đã đầu tư 10.000 đô la vào một ngân hàng và bắt đầu thanh toán trong khi thu lãi như một phần của niên kim thanh toán và sau 5 năm số dư của bạn bằng không. Lật lại điều đó và tưởng tượng rằng bạn đang đóng vai trò là ngân hàng, và người cho vay mua ô tô đang đóng vai trò là bạn. Người cho vay mua ô tô đầu tư 10.000 đô la vào bạn. Vì bạn đang đóng vai trò là ngân hàng, bạn phải trả lãi suất. Người cho vay mua ô tô nhận thanh toán cho đến khi số dư bằng không.

Công thức cho vay

(P = frac {PMT left (1- left (1+ frac {r} {k} right) ^ {- tk} right)} { left ( frac {r} {k} đúng)})

(P ) là số dư trong tài khoản lúc đầu (tiền gốc hoặc số tiền của khoản vay).

(PMT ) là khoản thanh toán khoản vay của bạn (khoản thanh toán hàng tháng, khoản thanh toán hàng năm, v.v.)

(r ) là lãi suất hàng năm ở dạng thập phân.

(k ) là số kỳ tính lãi kép trong một năm.

(t ) là thời hạn của khoản vay, tính bằng năm

Giống như trước đây, tần suất lãi kép không phải lúc nào cũng được đưa ra rõ ràng mà được xác định bởi tần suất bạn thực hiện thanh toán.

Khi nào bạn sử dụng cái này

Công thức cho vay giả định rằng bạn thực hiện thanh toán khoản vay theo lịch trình thường xuyên (hàng tháng, năm, quý, v.v.) và đang trả lãi cho khoản vay.

Lãi kép: Một đặt cọc

Niên kim: Nhiều tiền gửi.

Hàng năm thanh toán: Nhiều lần rút tiền

Các khoản cho vay: Nhiều khoản thanh toán

ví dụ 1

Bạn có thể chi trả 200 đô la mỗi tháng như một khoản thanh toán xe hơi. Nếu bạn có thể vay mua ô tô với lãi suất 3% trong 60 tháng (5 năm), bạn có thể mua một chiếc ô tô đắt tiền như thế nào? Nói cách khác, bạn có thể trả hết khoản vay nào với 200 đô la mỗi tháng?

Dung dịch

Trong ví dụ này,

( begin {array} {ll} PMT = $ 200 & text {khoản thanh toán khoản vay hàng tháng} r = 0,03 & 3 \% text {tỷ lệ hàng năm} k = 12 & text {vì chúng tôi là thanh toán hàng tháng, chúng tôi sẽ gộp hàng tháng} t = 5 & text {vì chúng tôi sẽ thanh toán hàng tháng trong 5 năm} end {array} )

Chúng tôi đang tìm (P ), số tiền ban đầu của khoản vay.

[ begin {align *} P & = frac {200 left (1- left (1+ frac {0.03} {12} right) ^ {- 5 (2)} right)} { left ( frac {0.03} {12} right)} P & = frac {200 left (1- (1.0025) ^ {- 60} right)} {(0,0025)} P & = frac {200 (1-0.861)} {(0,0025)} = $ 11,120 end {align *} ]

Bạn có thể đủ khả năng vay ( $ 11.120 ).

Bạn sẽ trả tổng cộng 12.000 đô la (200 đô la mỗi tháng trong 60 tháng) cho công ty cho vay. Sự khác biệt giữa số tiền bạn phải trả và số tiền vay là tiền lãi đã trả. Trong trường hợp này, bạn đang trả tổng tiền lãi ($ 12.000 - $ 11.120 = $ 880 ).

Ví dụ 2

Bạn muốn cầm một khoản thế chấp trị giá 140.000 đô la (khoản vay mua nhà). Lãi suất khoản vay là 6%, thời hạn vay trong 30 năm. Các khoản thanh toán hàng tháng của bạn sẽ là bao nhiêu?

Dung dịch

Trong ví dụ này,

Chúng tôi đang tìm kiếm (PMT ).

( begin {array} {ll} r = 0,06 & 6 \% text {tỷ lệ hàng năm} k = 12 & text {vì chúng tôi thực hiện thanh toán hàng tháng, chúng tôi sẽ cộng gộp hàng tháng} t = 30 & text {vì chúng tôi đang thanh toán hàng tháng trong 30 năm} P = $ 140,000 & text {số tiền vay ban đầu} end {array} )

Trong trường hợp này, chúng ta sẽ phải thiết lập phương trình và giải cho (PMT ).

[ begin {align *} 140.000 & = frac {PMT left (1- left (1+ frac {0.06} {12} right) ^ {- 30 (12)} right)} { left ( frac {0.06} {12} right)} 140,000 & = frac {PMT left (1- (1,005) ^ {- 360} right)} {(0,005)} 140,000 & = PMT (166.792) PMT & = frac {140.000} {166.792} = $ 839.37 end {align *} ]

Bạn sẽ thực hiện thanh toán $ 839,37 mỗi tháng trong 30 năm.

Bạn đang trả tổng cộng ( $ 302,173.20 ) cho công ty cho vay: ( $ 839,37 ) mỗi tháng trong 360 tháng. Bạn đang trả tổng cộng ( $ 302,173.20 ) ( $ 140,000 = $ 162,173,20 ) tiền lãi trong suốt thời hạn của khoản vay.

Để xem điều gì đang xảy ra với số dư khoản vay theo thời gian, chúng tôi có thể xây dựng lịch khấu hao, một bảng tính hiển thị chi tiết của khoản hoàn trả. Để tạo một khoản cho ví dụ trước, mỗi tháng chúng tôi sẽ tính phí lãi suất là 3% / 12 = 0,25% lãi suất trên số dư khoản vay còn lại. Khoản thanh toán ngoài lãi suất sẽ được tính vào tiền gốc và giảm số dư nợ còn lại. Vài tháng đầu tiên được hiển thị ở đây:

Tháng

Thanh toán

Phí lãi suất

Phần tiền gốc

Số dư Khoản vay còn lại

0

--

--

--

$140,000.00

1

$839.37

$350.00

$489.37

139,510.63

2

839.37

348.78

490.59

139,020.04

3

839.37

347.55

491.82

138,528.22

4

839.37

346.32

493.05

138,035.17

Lưu ý rằng phí lãi suất giảm dần mỗi tháng khi số dư nợ giảm dần.

Bài tập 1

Janine đã mua đồ nội thất mới trị giá 3.000 đô la. Bởi vì điểm tín dụng của cô ấy không tốt lắm, cửa hàng đang tính cho cô ấy một mức lãi suất khá cao đối với khoản vay: 16%. Nếu cô ấy đồng ý trả hết đồ đạc trong vòng 2 năm thì mỗi tháng cô ấy sẽ phải trả bao nhiêu?

Trả lời

( begin {array} {ll} PMT = text {chưa biết} & r = 0,16 & 16 \% text {tỷ lệ hàng năm} k = 12 & text {vì chúng tôi đang thực hiện thanh toán hàng tháng, chúng tôi sẽ gộp hàng tháng} t = 2 & text {2 năm để hoàn trả} P = 3.000 & text {số tiền vay ban đầu khoản vay $ 3.000} end {array} )

(3.000 = frac {PMT left (1- left (1+ frac {0.16} {12} right) ^ {- 2 cdot 12} right)} { frac {0.16} {12} } )

Giải quyết cho (PMT ) mang lại ( $ 146,89 ) dưới dạng thanh toán hàng tháng.

Tổng cộng, cô ấy sẽ trả ( $ 3.525,36 ) cho cửa hàng, nghĩa là cô ấy sẽ trả ( $ 525,36 ) tiền lãi trong hai năm.

Ví dụ ( PageIndex {3} )

Hãy xem xét khoản thế chấp $ 140,000 ở mức 6% từ ví dụ trước. Nếu chủ nhà tăng khoản thanh toán của họ lên $ 1000 mỗi tháng, họ sẽ mất bao lâu để trả hết khoản vay?

Dung dịch

( begin {array} {ll} r = 0,06 & 6 \% text {tỷ lệ hàng năm} k = 12 & text {vì chúng tôi đang thanh toán hàng tháng} P = $ 140,000 & text {bắt đầu số tiền vay} PMT = $ 1000 & text {số tiền thanh toán đã cho} end {array} )

Chúng tôi đang giải quyết vấn đề (t ), khoảng thời gian cần thiết để thanh toán.

[ begin {align *} 140.000 & = frac {1000 left (1 - left (1 + frac {0.06} {12} right) ^ {- 12t} right)} { left ( frac {0.06} {12} right)} 140.000 & = frac {1000 left (1 - left (1.005 right) ^ {- 12t} right)} { left (0,005 right)} end {align *} ]

Nhân cả hai bên với 0,005

[700 = 1000 left (1 - left (1.005 right) ^ {-12t} right) nonumber ]

Chia cả hai bên cho 1000

[0.7 = 1 - left (1.005 right) ^ {- 12t} nonumber ]

Trừ 1 cho cả hai bên

[- 0,3 = - left (1,005 right) ^ {- 12t} nonumber ]

Nhân với -1

[0.3 = left (1.005 right) ^ {- 12t} nonumber ]

Lấy nhật ký của cả hai bên

[ log left (0,3 right) = log left ( left (1.005 right) ^ {- 12t} right) nonumber ]

Sử dụng thuộc tính lũy thừa của các bản ghi

[ log left (0,3 right) = - 12t log left (1,005 right) nonumber ]

Chia cho (- 12 log (1.005) )

[t = frac { log left (0,3 right)} {- 12 log left (1,005 right)} khoảng 20,12 nonumber ]

Khoản vay sẽ được trả hết trong khoảng 20 năm.

Bằng cách tăng khoản thanh toán lên khoảng 20%, họ đã có thể giảm thời hạn của khoản vay khoảng 33% và giảm khoản lãi phải trả hơn 60.000 đô la.

Bài tập ( PageIndex {2} )

Joel đang xem xét đặt một khoản mua máy tính xách tay trị giá 1.000 đô la vào thẻ tín dụng của anh ấy, có lãi suất gộp 12% hàng tháng. Anh ta sẽ mất bao lâu để thanh toán khoản mua hàng nếu anh ta thanh toán 30 đô la một tháng?

Trả lời

( begin {array} {ll} PMT = $ 30 & text {Các khoản thanh toán hàng tháng} r = 0,12 & 12 \% text {mức giá hàng năm} k = 12 & text {vì chúng tôi thanh toán hàng tháng Payment} P = 1,000 & text {chúng tôi đang bắt đầu với khoản vay $ 1,000} end {array} )

Chúng tôi đang giải quyết cho (t ), thời gian trả hết khoản vay

[1,000 = frac {30 left (1 - left (1 + frac {0.12} {12} right) ^ {- 12t} right)} { frac {0.12} {12}} nonumber ]

Giải cho (t ) cho ra 3,396. Sẽ mất khoảng 3,4 năm để trả hết tiền mua.

Số dư Khoản vay còn lại

Đối với các khoản vay, người ta thường mong muốn xác định số dư khoản vay còn lại sẽ là bao nhiêu sau một số năm. Ví dụ: nếu bạn mua một ngôi nhà và dự định bán nó trong năm năm, bạn có thể muốn biết số dư khoản vay mà bạn sẽ trả hết và số tiền bạn phải trả từ việc bán nhà.

Để xác định số dư khoản vay còn lại sau một số năm, trước tiên chúng ta cần biết các khoản thanh toán khoản vay, nếu chúng ta chưa biết chúng. Hãy nhớ rằng chỉ một phần của khoản thanh toán khoản vay của bạn đi vào số dư khoản vay; một phần sẽ chuyển sang lãi suất. Ví dụ: nếu khoản thanh toán của bạn là 1.000 đô la một tháng, sau một năm, bạn sẽ không phải đã trả hết 12.000 đô la dư nợ cho vay.

Để xác định số dư còn lại của khoản vay, chúng ta có thể nghĩ rằng "khoản vay này sẽ có thể trả hết trong thời gian còn lại của khoản vay là bao nhiêu?"

Ví dụ 4

Nếu một khoản thế chấp với lãi suất 6% có khoản thanh toán 1.000 đô la một tháng, thì số dư của khoản vay sẽ là bao nhiêu sau 10 năm kể từ ngày kết thúc khoản vay?

Dung dịch

Để xác định điều này, chúng tôi đang tìm kiếm số tiền cho vay có thể được trả bằng khoản thanh toán 1.000 đô la một tháng trong 10 năm. Nói cách khác, chúng tôi đang tìm kiếm (P ) khi

( begin {array} {ll} PMT = $ 1,000 & text {khoản thanh toán khoản vay hàng tháng} r = 0,06 & 6 \% text {tỷ lệ hàng năm} k = 12 & text {kể từ khi chúng tôi ' đang thực hiện thanh toán hàng tháng, chúng tôi sẽ gộp hàng tháng} t = 10 & text {vì chúng tôi sẽ thanh toán hàng tháng trong 10 năm nữa} end {array} )

[ begin {align *} P = frac {1000 left (1- left (1+ frac {0.06} {12} right) ^ {- 10 (2)} right)} { left ( frac {0.06} {12} right)} P = frac {1000 left (1- (1.005) ^ {- 120} right)} {(0,005)} P = frac { 1000 left (1- (1,005) ^ {- 120} right)} {(0,005)} P = frac {1000 (1-0.5496)} {(0,005)} = $ 90.073.45 end {align *} ]

Số dư khoản vay trong 10 năm còn lại của khoản vay sẽ là ( $ 90.073,45 )

Thông thường, việc trả lời các câu hỏi về số dư còn lại yêu cầu hai bước:

  1. Tính toán các khoản thanh toán hàng tháng cho khoản vay
  2. Tính toán số dư còn lại của khoản vay dựa trên thời gian còn lại cho vay

Ví dụ 5

Một cặp vợ chồng mua một ngôi nhà với khoản thế chấp ($ 180,000 ) tại (4 \% ) trong 30 năm với các khoản thanh toán hàng tháng. thế chấp của họ sau 5 năm?

Dung dịch

Đầu tiên, chúng tôi sẽ tính toán các khoản thanh toán hàng tháng của họ.

Chúng tôi đang tìm kiếm (PMT ).

( begin {array} {ll} r = 0,04 & 4 \% text {tỷ lệ hàng năm} k = 12 & text {vì họ đang thanh toán hàng tháng} t = 30 & text {30 năm} P = $ 180,000 & text {số tiền cho vay ban đầu} end {array} )

Chúng tôi thiết lập phương trình và giải cho (PMT ).

[ begin {align *} 180,000 & = frac {PMT left (1- left (1+ frac {0.04} {12} right) ^ {- 30 (12)} right)} { left ( frac {0.04} {12} right)} 180,000 & = frac {PMT left (1- (1.00333) ^ {- 360} right)} {(0,00333)} 180,000 & = PMT (209.562) PMT & = frac {180.000} {209.562} = $ 858,93 end {align *} ]

Bây giờ chúng tôi biết các khoản thanh toán hàng tháng, chúng tôi có thể xác định số dư còn lại. Chúng tôi muốn số dư còn lại sau 5 năm, khi 25 năm sẽ còn lại của khoản vay, vì vậy chúng tôi tính số dư khoản vay sẽ được trả hết với các khoản thanh toán hàng tháng trong 25 năm đó.

( begin {array} {ll} PMT = $ 858,93 & text {khoản thanh toán khoản vay hàng tháng mà chúng tôi đã tính toán ở trên} r = 0,04 & 4 \% text {tỷ lệ hàng năm} k = 12 & text { vì họ đang thanh toán hàng tháng} t = 25 & text {vì họ sẽ thanh toán hàng tháng trong 25 năm nữa} end {array} )

[ begin {align *} P & = frac {858,93 left (1- left (1+ frac {0,04} {12} right) ^ {- 25 (12)} right)} { left ( frac {0.04} {12} right)} P & = frac {858.93 left (1- (1.00333) ^ {- 300} right)} {(0.00333)} P & = frac {858,93 (1-0.369)} {(0,00333)} khoảng $ 162,758 end {align *} ]

Số dư khoản vay sau 5 năm, với 25 năm còn lại của khoản vay, sẽ là ( $ 162,758 )

Trong 5 năm đó, cặp vợ chồng này đã trả hết ($ 180,000 - $ 162,758 = $ 17,242 ) dư nợ. Họ đã trả tổng cộng ( $ 858,93 ) một tháng trong 5 năm (60 tháng), với tổng số tiền là ( $ 51.535,80 ), vì vậy ( ($ 51.535,80 - $ 17.242 = $ 34.292,80 ) ) trong số những gì họ đã trả cho đến nay là tiền lãi.

Các chủ đề quan trọng của phần này

Tìm số tiền của một khoản vay cho các khoản thanh toán

Tìm các khoản thanh toán được yêu cầu với số tiền vay

Tìm số dư còn lại của một khoản vay