Bài viết

5.12: Phân số phức - Toán học


5.12: Phân số phức - Toán học

Cách thực hiện: Đơn giản hóa phân số phức tạp trong toán học

Trong hướng dẫn này, người hướng dẫn chỉ ra cách đơn giản hóa các phân số phức tạp. Một phân số phức giống như một phân số bình thường, nhưng có một bài toán phân số ở tử số và một bài toán phân số ở mẫu số. Điều đầu tiên cần làm là đến một phân số đơn giản cả ở tử số và mẫu số. Để làm điều này, hãy lấy lcm của mẫu số của các phân số trong tử số và đơn giản hóa nó. Tương tự, làm điều này ở mẫu số. Bây giờ cả tử số và mẫu số đều có một phân số đơn giản. Một phân số không là gì khác ngoài phép chia tử số cho mẫu số, vì vậy hãy chuyển phép chia này thành phép nhân bằng cách nhân tử số với nghịch đảo của mẫu số và đơn giản hóa nó để nhận được kết quả. Video này hướng dẫn cách đơn giản hóa các phân số phức tạp.

Bạn muốn thành thạo Microsoft Excel và đưa triển vọng công việc tại cơ quan của mình lên một tầm cao mới? Bắt đầu sự nghiệp của bạn với Gói Đào tạo Microsoft Excel Cao cấp từ A-đến-Z của chúng tôi từ Cửa hàng Hacks Tiện ích mới và có quyền truy cập suốt đời vào hơn 40 giờ hướng dẫn Từ Cơ bản đến Nâng cao về các hàm, công thức, công cụ và hơn thế nữa.


Một phân số tương đương là gì? Làm thế nào để biết hai phân số có tương đương hay không?

Việc tìm các phân số tương đương có thể dễ dàng nếu bạn sử dụng quy tắc này:

Định nghĩa phân số tương đương: hai phân số ab ​​và cd chỉ tương đương nếu tích (nhân) của tử số (a) của phân số thứ nhất và mẫu số (d) của phân số kia bằng tích của mẫu số (b) của phân số thứ nhất và tử số (c) của phân số kia.

Nói cách khác, nếu bạn nhân chéo (a b và c d) thì bằng nhau sẽ vẫn còn, tức là a.d = b.c. Vì vậy, đây là một số ví dụ:

  • 10 24 tương đương với 5 12 vì 10 x 12 = 24 x 5 = 120
  • 15 36 tương đương với 5 12 vì 15 x 12 = 36 x 5 = 180
  • 20 48 tương đương với 5 12 vì 20 x 12 = 48 x 5 = 240

Đơn giản hóa phân số

Để hiển thị điều này một cách toán học hơn, để chuyển từ ( displaystyle frac <2> <6> ) đến ( displaystyle frac <1> <3> ), chúng tôi nhận thấy rằng ( displaystyle request frac <2> <6> = frac << 1 times huỷ <2> >> << 3 , times huỷ <2> >> ) và chúng ta có thể gạch bỏ 2 trên đầu và 2 ở phía dưới (vì chúng chia đều 1 ) để lấy ( displaystyle frac <1> <3> ). Để đi từ ( displaystyle frac <4> <6> ) đến ( displaystyle frac <2> <3> ), chúng tôi nhận thấy rằng ( displaystyle request frac <4> <6> = frac << 2 , times huỷ <2> >> << 3 , times huỷ <2> >> ) và chúng ta có thể gạch bỏ 2 trên đầu và 2 ở phía dưới (vì chúng chia đều 1 ) để lấy ( displaystyle frac <2> <3> ). Chúng ta chỉ có thể thực hiện việc gạch chéo này nếu chúng ta đang nhân các số trên cùng và dưới cùng - không cộng chúng.

Trên thực tế, số lớn nhất mà chúng ta có thể gạch bỏ ở trên cùng và dưới cùng của phân số để giảm nó là Yếu tố chung lớn nhất (GCF), mà chúng ta đã tìm hiểu trong phần "Nhân và chia". Chúng tôi cũng có thể gạch bỏ những con số này trong các giai đoạn, ví dụ: trước tiên chúng tôi có thể gạch bỏ 2 Ở trên cùng và dưới cùng, sau đó là 3 Nếu đó là một yếu tố khác ảnh hưởng đến cả hai, v.v. Quá trình đơn giản hóa phân số này được gọi là “giảm phân số" hoặc là "đơn giản hóa phân số”.

Bây giờ nếu chúng ta có 6 các cô gái trong bữa tiệc và mỗi người có đúng một miếng bánh pizza, chúng ta sẽ viết phân số đại diện cho tất cả số bánh pizza đã ăn (bao gồm cả những miếng mà cậu em trai xấu xa Jake đã ăn) như thế nào?

Giả sử các cô gái bắt đầu ăn bánh pizza mà không có Jake's cooties trên đó, mỗi người có một miếng, vì vậy họ đã ăn hết một chiếc bánh pizza ( ( displaystyle frac <6> <6> ) đã biến mất). Và chúng ta vẫn còn chiếc bánh pizza mà Jake đã bắt đầu ( ( displaystyle frac <2> <6> ) hoặc ( displaystyle frac <1> <3> ) đã biến mất). Dưới đây là hai chiếc pizza trông như thế nào:

Bao nhiêu trong tổng số bánh pizza (hai cái bánh) đã hết? Chúng tôi tìm ra điều này bằng cách cộng hai phân số: ( displaystyle frac <6> <6> + frac <2> <6> = frac << 6 text <> + text <> 2 >> < 6> = frac <8> <6> ), là ( displaystyle request frac << 4 , times huỷ <2> >> << 3 , times huỷ <2> >> ), là ( displaystyle frac <4> <3> ). Hãy nhớ lại rằng chúng ta đã thêm vào các số ở trên cùng (tử số) và giữ nguyên số ở dưới cùng (mẫu số). Bây giờ ( displaystyle frac <4> <3> ) được gọi là phân số không đúng, vì phần trên lớn hơn phần dưới (đôi khi được gọi là phần "Dolly Parton", vì những lý do rõ ràng).

Để biến điều này thành cái mà chúng tôi gọi là phần hỗn hợp (một phân số với một số "thông thường" và một phân số), chúng tôi sẽ nhận thấy rằng 3 đi vào 4 1 thời gian, và chúng tôi có 1 còn lại (là một phần nhỏ của 3 ), vì vậy phân số là ( displaystyle 1 frac <1> <3> ):

Một cách khác để xem cách phân số không đúng ( displaystyle frac <4> <3> ) này biến thành phân số hỗn hợp là tách các phân số như chúng ta đã làm dưới đây. Lý do chúng tôi chia tay 4 thành 31 là vì 3 là con số cao nhất đi vào 3 , vì vậy chúng ta có thể biến ( displaystyle frac <3> <3> ) thành một số nguyên.

Chúng tôi có ( displaystyle 1 frac <1> <3> ) trong số những chiếc pizza đã biến mất, hoặc một pizza đã biến mất, và một phần ba của một chiếc bánh pizza khác đã biến mất. Khi chúng ta cộng hoặc trừ các phân số hỗn hợp, chúng ta thường làm điều này theo chiều dọc và đôi khi chúng ta phải thực hiện nếu những gì ở tử số hóa ra nhiều hơn mẫu số. Chúng tôi làm việc từ phải sang trái, thêm các phân số trước. Ví dụ: hãy thêm phần sau. Lưu ý rằng phân số hỗn hợp cuối cùng được thêm vào ( ( displaystyle 2 frac <3> <6> )) có thể được giảm xuống ( displaystyle 2 frac <1> <2> ), nhưng chúng tôi ' Tôi sẽ giữ nó như vậy, vì vậy chúng tôi có thể thực hiện thêm:

Trước tiên, chúng tôi cũng có thể biến chúng thành các phân số không đúng và thêm vào:

Lưu ý rằng sau khi chúng tôi nhận được câu trả lời ( displaystyle frac <<26>> <6> ), chúng tôi đã tách 26 trên thành 242 , từ 6 đi vào 24 chính xác.

Đôi khi với phân số (thực tế, hầu hết thời gian!), Chúng ta sẽ không có cùng mẫu số, vì vậy bạn không thể chỉ cộng hoặc trừ chúng. Để thêm hoặc bớt chúng, bạn phải tìm cái mà chúng tôi gọi là Mẫu số chung thấp nhất, đó là Bội số chung nhỏ nhất (LCM), mà chúng ta đã nói đến trong phần Nhân và Chia. Sau đó, chúng ta sẽ phải "xây dựng" các phân số của mình (trên cùng và dưới cùng) để chúng ta có thể thêm các tử số ở trên cùng và giữ một mẫu số ở dưới cùng.

Giả sử chúng ta đang nướng bánh và công thức yêu cầu ( displaystyle frac <2> <3> ) một cốc đường và ( displaystyle frac <3> <4> ) một cốc bột. Chúng tôi muốn biết liệu cốc đo cốc ( displaystyle 1 frac <1> <2> ) của chúng tôi có đủ lớn để sử dụng cho cả hai nguyên liệu hay không. Chúng tôi thêm:

Chúng ta phải tìm bội số chung nhỏ nhất của các mẫu số, 34 . Giống như chúng tôi đã làm trước đây, chúng tôi tìm số nhỏ nhất mà cả hai đều đi vào:

MULTIPLES trong số 3 : 3, 6, 9, 12 , 15, 18, 21, 24 , 27 . . .

MULTIPLES trong số 4 : 4, 8, 12 , 16, 20, 24 , 28, 32 . . .

(Chúng ta có thể không bao giờ có một mẫu số là 0 , vì vậy chúng ta phải bỏ qua bội số đó. Hãy nhớ rằng, nếu bạn có một phân số với mẫu số là 0 , nó sẽ "nổ tung"!)

Mẫu số chung thấp nhất là 12 . Lưu ý trong trường hợp này rằng chúng ta có thể nhận được mẫu số chung nhỏ nhất bằng cách nhân hai số, vì chúng không có thừa số chung - đây thường là manh mối mà bạn phải nhân các số với nhau để có được mẫu số chung nhỏ nhất.

Bây giờ chúng ta phải "xây dựng" các phân số bằng cách nhân từng phân số với 1 (hoặc cùng một số ở đầu và cuối của phân số) để được mẫu số chung:

Vì ( displaystyle 1 frac <5> <<12>> , , & lt , , 1 frac <1> <2> ), là ( displaystyle 1 frac <6> < <12>> )), chúng ta có thể sử dụng cốc đo ( displaystyle 1 frac <1> <2> ) của mình!

Nếu bạn cộng hai phân số và một trong các mẫu số chuyển thành mẫu số kia một cách hoàn hảo (không có phần dư nào), thì phân số lớn nhất là mẫu số chung nhỏ nhất. Trong ví dụ này, mẫu số chung thấp nhất là 10 :

Một ví dụ phức tạp hơn một chút:

Hãy tìm mẫu số chung nhỏ nhất (đừng quên cố gắng sử dụng cây thừa số nguyên tố trong Nhân và Chia để tìm bội số chung nhỏ nhất hoặc mẫu số chung nhỏ nhất):

MULTIPLES trong số 12 : 12, 24, 36 , 48 . . .

MULTIPLES 18: 18, 36 , 54 . . .

36 là mẫu số chung nhỏ nhất và hãy chuyển từng phân số về cùng một phân số với mẫu số 36 :


Phần Ai Cập

Ngoài việc sử dụng trong lịch sử, phân số Ai Cập có một số lợi thế thực tế so với các cách biểu diễn số phân số khác. Ví dụ, phân số của người Ai Cập có thể giúp chia thực phẩm hoặc các đồ vật khác thành các phần bằng nhau. [1] Ví dụ: nếu một người muốn chia đều 5 chiếc pizza cho 8 thực khách, thì phần Ai Cập

có nghĩa là mỗi thực khách nhận được một nửa chiếc bánh pizza cộng với một phần tám chiếc bánh pizza khác, ví dụ: bằng cách chia 4 chiếc bánh pizza thành 8 nửa và chiếc bánh pizza còn lại thành 8 phần tám.

Tương tự, mặc dù người ta có thể chia 13 chiếc bánh pizza cho 12 thực khách bằng cách chia cho mỗi thực khách một chiếc bánh pizza và chia chiếc bánh pizza còn lại thành 12 phần (có thể là phá hủy nó), nhưng người ta có thể lưu ý rằng

và chia 6 chiếc pizza thành một nửa, 4 chiếc thành phần ba và 3 chiếc còn lại thành phần tư, sau đó chia cho mỗi thực khách một nửa, một phần ba và một phần tư.

Ký hiệu Chỉnh sửa

Để viết các phân số đơn vị được sử dụng trong ký hiệu phân số Ai Cập của họ, trong hệ thống chữ tượng hình, người Ai Cập đã đặt chữ tượng hình

(, "[một] trong số" hoặc có thể lại, miệng) trên một số để biểu thị nghịch đảo của số đó. Tương tự trong hệ thống chữ viết bậc ba, họ vẽ một đường thẳng trên chữ cái đại diện cho số. Ví dụ:

Phương pháp tính toán Sửa đổi

  • Đối với các mẫu số nguyên tố lẻ nhỏ p, việc mở rộng
  • Đối với các mẫu số nguyên tố lớn hơn, dạng mở rộng
  • Đối với mẫu số tổng hợp, được tính như p × q , người ta có thể mở rộng
  • 2 / pq sử dụng danh tính
  • Người ta cũng có thể mở rộng
  • 2 / pq như
  • 1 / pr +
  • 1 / qr , Ở đâu r =
  • p + q / 2. Ví dụ, Ahmes mở rộng
  • 2 / 35 =
  • 1 / 30 +
  • 1/42, ở đâu p = 5 , q = 7 và r =
  • 5 + 7/2 = 6. Những người ghi chép sau này đã sử dụng một dạng tổng quát hơn của việc mở rộng này,
  • Đối với một số mẫu số tổng hợp khác, phần mở rộng cho
  • 2 / pq có dạng mở rộng cho
  • 2 / q với mỗi mẫu số nhân với p. Ví dụ: 95 = 5 × 19 và
  • 2 / 19 =
  • 1 / 12 +
  • 1 / 76 +
  • 1/114 (như có thể được tìm thấy bằng cách sử dụng phương pháp cho các số nguyên tố với A = 12), vì vậy
  • 2 / 95 =
  • 1 / 5 × 12 +
  • 1 / 5 × 76 +
  • 1 / 5 × 114 =
  • 1 / 60 +
  • 1 / 380 +
  • 1/570. [7] Biểu thức này có thể được đơn giản hóa bằng sonce
  • 1 / 380 +
  • 1 / 570 =
  • 1/228, nhưng giấy cói Rhind sử dụng hình thức không đơn giản hóa.
  • Bản mở rộng cuối cùng (chính) trong giấy cói Rhind,
  • 2/101, không phù hợp với bất kỳ hình thức nào trong số này, mà thay vào đó sử dụng phần mở rộng

Ký hiệu phân số của Ai Cập tiếp tục được sử dụng trong thời Hy Lạp và đến thời Trung cổ, [8] bất chấp những lời phàn nàn ngay từ Almagest của Ptolemy về sự vụng về của ký hiệu so với các lựa chọn thay thế như ký hiệu cơ số 60 của người Babylon. Một văn bản quan trọng của toán học thời trung cổ, Liber Abaci (1202) của Leonardo of Pisa (thường được gọi là Fibonacci), cung cấp một số cái nhìn sâu sắc về việc sử dụng các phân số Ai Cập trong thời Trung cổ, và giới thiệu các chủ đề tiếp tục quan trọng trong nghiên cứu toán học hiện đại của loạt bài này.

Chủ đề chính của Liber Abaci là các phép tính liên quan đến ký hiệu phân số thập phân và thô tục, cuối cùng đã thay thế phân số Ai Cập. Bản thân Fibonacci đã sử dụng một ký hiệu phức tạp cho các phân số liên quan đến sự kết hợp của một ký hiệu cơ số hỗn hợp với tổng các phân số. Nhiều phép tính xuyên suốt cuốn sách của Fibonacci liên quan đến các con số được biểu thị dưới dạng phân số Ai Cập, và một phần của cuốn sách này [9] cung cấp danh sách các phương pháp chuyển đổi các phân số thô tục sang phân số Ai Cập. Nếu số chưa phải là phân số đơn vị, phương pháp đầu tiên trong danh sách này là cố gắng chia tử số thành tổng các ước của mẫu số, điều này có thể thực hiện được bất cứ khi nào mẫu số là một số thực tế, và Liber Abaci bao gồm các bảng mở rộng thuộc loại này cho các số thực tế 6, 8, 12, 20, 24, 60 và 100.

Một số phương pháp tiếp theo liên quan đến nhận dạng đại số như

trong đó ⌈ ⌉ đại diện cho hàm trần kể từ (-y) mod x & lt x , phương pháp này mang lại một khai triển hữu hạn.

So với các phép mở rộng của người Ai Cập cổ đại hoặc các phương pháp hiện đại hơn, phương pháp này có thể tạo ra các phép mở rộng khá dài, với mẫu số lớn, và bản thân Fibonacci cũng lưu ý sự lúng túng của các phép mở rộng bằng phương pháp này. Ví dụ, phương thức tham lam mở rộng

trong khi các phương pháp khác dẫn đến việc mở rộng ngắn hơn

Mặc dù phân số Ai Cập không còn được sử dụng trong hầu hết các ứng dụng thực tế của toán học, các nhà lý thuyết số hiện đại vẫn tiếp tục nghiên cứu nhiều vấn đề khác nhau liên quan đến chúng. Chúng bao gồm các vấn đề về giới hạn độ dài hoặc mẫu số lớn nhất trong biểu diễn phân số Ai Cập, tìm các mở rộng của các dạng đặc biệt nhất định hoặc trong đó các mẫu số đều thuộc một số loại đặc biệt, sự kết thúc của các phương pháp khác nhau để mở rộng phân số Ai Cập và cho thấy rằng các mở rộng tồn tại cho bất kỳ đủ dày đặc bộ số đủ mượt.

  • Một trong những công bố sớm nhất của Paul Erdős đã chứng minh rằng không thể có một lũy thừa điều hòa để tạo thành biểu diễn phân số Ai Cập của một số nguyên. Lý do là, nhất thiết phải có ít nhất một mẫu số của cấp tiến sẽ chia hết cho một số nguyên tố không chia hết cho bất kỳ mẫu số nào khác. [10] Công bố mới nhất của Erdős, gần 20 năm sau khi ông qua đời, chứng minh rằng mọi số nguyên đều có một biểu diễn trong đó tất cả các mẫu số đều là tích của ba số nguyên tố. [11]
  • Giả thuyết Erdős – Graham trong lý thuyết số tổ hợp phát biểu rằng, nếu các số nguyên lớn hơn 1 được phân chia thành nhiều tập con nhất định, thì một trong các tập con đó có một tập con hữu hạn của chính nó mà các số nghịch đảo của nó tổng bằng một. Đó là, cho mọi r & gt 0 và mọi r- tô màu của các số nguyên lớn hơn một, có một tập hợp con đơn sắc hữu hạn S trong số những số nguyên này sao cho
    và các số giả hoàn hảo chính có liên quan chặt chẽ đến sự tồn tại của các phân số Ai Cập có dạng
  • Phân số Ai Cập thường được định nghĩa là yêu cầu tất cả các mẫu số phải khác biệt, nhưng yêu cầu này có thể được nới lỏng để cho phép các mẫu số lặp lại. Tuy nhiên, dạng phân số Ai Cập đơn giản này không cho phép bất kỳ số nào được biểu diễn bằng cách sử dụng ít phân số hơn, vì bất kỳ khai triển nào có phân số lặp lại đều có thể được chuyển đổi thành phân số Ai Cập có độ dài bằng hoặc nhỏ hơn bằng cách áp dụng lặp lại phép thay thế.
  • Graham và Jewett [12] đã chứng minh rằng tương tự có thể chuyển đổi các khai triển có mẫu số lặp lại thành phân số Ai Cập (dài hơn), thông qua phép thay thế
  • Bất kỳ phần nào
  • x / y có một biểu diễn phân số Ai Cập trong đó mẫu số lớn nhất bị giới hạn bởi [13]
    đặc trưng cho các số có thể được biểu diễn bằng các phân số Ai Cập, trong đó tất cả các mẫu số là nthứ quyền hạn. Đặc biệt, một số hữu tỉ q có thể được biểu diễn dưới dạng phân số Ai Cập với mẫu số bình phương nếu và chỉ khi q nằm trong một trong hai khoảng thời gian nửa mở
    cho thấy rằng bất kỳ số hữu tỉ nào đều có các khai triển rất dày đặc, sử dụng một phân số không đổi của các mẫu số lên đến N cho bất kỳ đủ lớn N. , đôi khi được gọi là Sản phẩm Ai Cập, là một dạng khai triển phân số Ai Cập, trong đó mỗi mẫu số là bội số của mẫu số trước:
    Ví dụ: nghiên cứu các số có nhiều biểu diễn phân số riêng biệt của Ai Cập với cùng một số hạng và cùng một tích của các mẫu số, một trong những ví dụ mà họ cung cấp là
  • Số lượng khác nhau n-term đại diện phân số Ai Cập của số một được giới hạn ở trên và bên dưới bởi các hàm mũ kép của n. [17]

Một số vấn đề đáng chú ý vẫn chưa được giải quyết liên quan đến phân số Ai Cập, mặc dù các nhà toán học đã nỗ lực đáng kể.

  • Giả thuyết Erdős – Straus [15] liên quan đến độ dài của khai triển ngắn nhất cho một phần nhỏ của dạng
  • 4 / n . Có mở rộng không
  • Không biết liệu có tồn tại một khai triển tham lam kỳ quặc cho mọi phân số có mẫu số lẻ hay không. Nếu phương pháp tham lam của Fibonacci được sửa đổi để nó luôn chọn giá trị nhỏ nhất có thể kỳ quặc mẫu số, dưới điều kiện nào thì thuật toán sửa đổi này tạo ra một khai triển hữu hạn? Một điều kiện cần thiết rõ ràng là phân số bắt đầu
  • x / y có một mẫu số lẻ y, và người ta phỏng đoán nhưng không biết rằng đây cũng là điều kiện đủ. Được biết [18] rằng mọi
  • x / y với lẻ y có sự mở rộng thành các phân số đơn vị lẻ riêng biệt, được xây dựng bằng một phương pháp khác với thuật toán tham lam.
  • Có thể sử dụng thuật toán tìm kiếm brute-force để tìm biểu diễn phân số Ai Cập của một số nhất định với ít số hạng nhất có thể [19] hoặc tối thiểu hóa mẫu số lớn nhất, tuy nhiên, các thuật toán như vậy có thể khá kém hiệu quả. Sự tồn tại của các thuật toán thời gian đa thức cho những bài toán này, hay nói chung là độ phức tạp tính toán của những bài toán đó, vẫn chưa được biết.

Guy (2004) mô tả những vấn đề này chi tiết hơn và liệt kê nhiều vấn đề mở bổ sung.

Các phân số của Ai Cập cung cấp một giải pháp cho câu đố hẹn giờ đốt sợi dây, trong đó một khoảng thời gian nhất định sẽ được đo bằng cách đốt cháy những sợi dây không đồng nhất sẽ cháy hết sau một thời gian đã định, chẳng hạn, một giờ. Thời gian cần thiết để đốt cháy hoàn toàn một sợi dây tỷ lệ tuyến tính với số lượng ngọn lửa phía trước duy trì trên sợi dây. Bất kỳ phần hữu tỉ nào của một giờ đều có thể được tính thời gian bằng cách tìm độ mở rộng phần Ai Cập tương đương và đốt các sợi dây liên tiếp với số lượng ngọn lửa phía trước thích hợp cho các phần. Hạn chế thông thường mà mỗi phần khác nhau có thể được nới lỏng. [20]


Đánh giá biểu thức biến bằng phân số

Chúng ta đã đánh giá các biểu thức trước đây, nhưng bây giờ chúng ta cũng có thể đánh giá các biểu thức với phân số. Hãy nhớ rằng, để đánh giá một biểu thức, chúng ta thay thế giá trị của biến vào biểu thức và sau đó đơn giản hóa.

Thí dụ

Đánh giá [latex] x + Large frac <1> <3> [/ latex] khi

Giải pháp
1. Để đánh giá [latex] x + Large frac <1> <3> [/ latex] khi [latex] x = - Large frac <1> <3> [/ latex], hãy thay thế [latex] - Large frac <1> <3> [/ latex] cho [latex] x [/ latex] trong biểu thức.

[latex] x + Large frac <1> <3> [/ latex]
Thay thế [latex] color<-Largefrac<1> <3>> [/ latex] cho x. [latex] color<-Largefrac<1> <3>> + Large frac <1> <3> [/ latex]
Đơn giản hóa. [latex] 0 [/ latex]

2. Để đánh giá [latex] x + Large frac <1> <3> [/ latex] khi [latex] x = - Large frac <3> <4> [/ latex], chúng ta thay thế [latex] - Large frac <3> <4> [/ latex] cho [latex] x [/ latex] trong biểu thức.

[latex] x + Large frac <1> <3> [/ latex]
Thay thế [latex] color<-Largefrac<3> <4>> [/ latex] cho x. [latex] color<-Largefrac<3> <4>> + Large frac <1> <3> [/ latex]
Viết lại dưới dạng các phân số tương đương với màn hình LCD, [latex] 12 [/ latex]. [latex] - Large frac <3 cdot 3> <4 cdot 3> + Large frac <1 cdot 4> <3 cdot 4> [/ latex]
Đơn giản hóa tử số và mẫu số. [latex] - Large frac <9> <12> + Large frac <4> <12> [/ latex]
Thêm vào. [latex] - Large frac <5> <12> [/ latex]

Thử nó

Thí dụ

Đánh giá [latex] y- Large frac <5> <6> [/ latex] khi [latex] y = - Large frac <2> <3> [/ latex]

Giải pháp:
Chúng tôi thay thế [latex] - Large frac <2> <3> [/ latex] cho [latex] y [/ latex] trong biểu thức.

[latex] y- Large frac <5> <6> [/ latex]
Thay thế [latex] color<-Largefrac<2> <3>> [/ latex] cho y. [latex] color<-Largefrac<2> <3>> - Large frac <5> <6> [/ latex]
Viết lại dưới dạng các phân số tương đương với màn hình LCD, [latex] 6 [/ latex]. [latex] - Large frac <4> <6> - Large frac <5> <6> [/ latex]
Trừ đi. [latex] - Large frac <9> <6> [/ latex]
Đơn giản hóa. [latex] - Large frac <3> <2> [/ latex]

Thử nó

Thí dụ

Đánh giá [latex] 2^ <2> y [/ latex] khi [latex] x = Large frac <1> <4> [/ latex] và [latex] y = - Large frac <2> <3> [/ latex]

Giải pháp:
Thay thế các giá trị vào biểu thức. Trong [latex] 2^ <2> y [/ latex], số mũ chỉ áp dụng cho [latex] x [/ latex].

[latex] 2^ <2> y [/ latex]
Thay thế [latex] color <4>> [/ latex] cho x và [latex] color<-Largefrac<2> <3>> [/ latex] cho y. [latex] 2 ( color <4>>) ^ <2> ( color<-Largefrac<2> <3>>) [/ latex]
Trước hết hãy đơn giản hóa số mũ. [latex] 2 ( Large frac <1> <16>) (- Large frac <2> <3>) [/ latex]
Nhân. Sản phẩm sẽ là tiêu cực. [latex] - Large frac <2> <1> cdot Large frac <1> <16> cdot Large frac <2> <3> [/ latex]
Đơn giản hóa. [latex] - Large frac <4> <48> [/ latex]
Loại bỏ các yếu tố chung. [latex] - Large frac <1 cdot color<4>> < color <4> cdot 12> [/ latex]
Đơn giản hóa. [latex] - Large frac <1> <12> [/ latex]

Thử nó

Thí dụ

Đánh giá [latex] Large frac[/ latex] khi [latex] p = -4, q = -2 [/ latex] và [latex] r = 8 [/ latex]

Giải pháp:
Chúng tôi thay thế các giá trị vào biểu thức và đơn giản hóa.


Làm thế nào để Tìm phân số cho 5/12 Nhân với 10?

Bài tập dưới đây với phép tính từng bước chỉ ra cách tìm phân số tương đương khi nhân 5/12 với số nguyên 10.

Vấn đề & Tập luyện
Tìm 5/12 lần của 10 ở dạng phân số là gì?
Bước 1 Địa chỉ công thức, tham số và giá trị đầu vào.
Các thông số & giá trị đầu vào:
5/12 & 10/1
5/12 x 10 =?

bước 2 Nhân cả hai tử số
= 5 x 10
= 50

bước 3 Nhân cả hai mẫu số
= 12 x 1
= 12

bước 4 Sử dụng các giá trị trên của bước 2 & amp 3 và viết lại như bên dưới
= 50/12

Vì vậy, 50/12 là phân số tương đương cho 5/12 lần của 10 và số hạng đơn giản của nó là 25/6.


Phân số - Câu hỏi Toán lớp 5

Bài giải và lời giải cho các câu hỏi về phân số lớp 5 được trình bày.


  1. 3 1/2 + 5 1/3 =
    Giải pháp
    Cộng các số nguyên và phân số với nhau
    3 1/2 + 5 1/3 = (3 + 5) + (1/2 + 1/3)
    Viết các phân số cùng mẫu số
    = 8 + (3/6 + 2/6) = 8 5/6

  2. Julia mất 1/2 giờ để gội đầu, chải đầu và mặc quần áo, và 1/4 giờ để ăn sáng. Julia mất bao nhiêu thời gian để sẵn sàng đến trường?
    Giải pháp
    Tổng thời gian để Julia sẵn sàng đến trường là
    1/2 + 1/4
    Viết các phân số cùng mẫu số
    = 2/4 + 1/4 = 3/4 của một giờ.

  3. Hai phân số nào tương đương?
    1. 5/2 và 2/5
    2. 4/3 và 8/6
    3. 1/4 và 2/4
    4. 2/3 và 1/3

    .
    Giải pháp
    Có hai mục được tô bóng toàn bộ ở trên và một mục được tô bóng ở 3/4. Do đó hỗn số
    2 3/4 đại diện cho các phần được tô bóng.

    .
    Giải pháp
    1 7/10 ở dạng thập phân là
    1 7/10 = 1 + 7/10 = 1 + 0,7 = 1,7 và tương ứng với điểm W.


    Chào mừng đến với trang hướng dẫn chính của QuickMath.

    Phương trình tuyến tính là những phương trình dễ giải nhất. Đừng thử bất kỳ phương trình nào khác trước khi bạn thành thạo chúng với các hướng dẫn và trình giải phương trình tuyến tính tương tác của chúng tôi.

    Đồ thị hàm là phương trình đồ thị rất giống nhau. Ở đây bạn sẽ học ký hiệu hàm thích hợp cũng như các hàm vẽ đồ thị phức tạp hơn những hàm có trong hướng dẫn Vẽ phương trình.

    Các giá trị tuyệt đối có hoàn toàn không thể hiểu được không? Hãy xem nhanh các hướng dẫn từng bước của chúng tôi với các trình giải quyết vấn đề có giá trị tuyệt đối tương tác.

    Toán rễ tệ hơn ống tủy? Không phải với hướng dẫn và trình giải tương tác của chúng tôi. Bạn sẽ học cách cộng, trừ nhân và chia các căn cũng như phân số hợp lý.

    Bạn không chắc chắn về quy tắc lũy thừa, phép toán đa thức và các chủ đề tương tự? Các hướng dẫn này sẽ dạy cho bạn các quy tắc và phép toán cơ bản, đồng thời các trình giải đa thức của chúng tôi sẽ tạo ra vô số giải pháp từng bước cho nhiều vấn đề khác nhau

    Phương trình bậc hai phức tạp hơn một chút so với phương trình tuyến tính. Nếu bạn không chắc chắn về phương trình tuyến tính, hãy xem qua các hướng dẫn về phương trình tuyến tính trước. Nếu bạn nghĩ rằng bạn có thể xử lý chúng, hãy sử dụng các hướng dẫn về phương trình bậc hai và các trình giải tương tác của chúng tôi để tìm hiểu về công thức bậc hai và các cách giải phương trình bậc hai khác.

    Các số phức có quá phức tạp để học không? Không, chúng sẽ không xảy ra nếu bạn sử dụng trình giải số phức và hướng dẫn tương tác của chúng tôi. Bạn sẽ tìm hiểu về lý do tại sao chúng ta cần chúng, đơn vị tưởng tượng là gì và rất nhiều điều thú vị khác.

    Có vấn đề với bao thanh toán? Áp dụng quy tắc nào khi nào? Hãy xem các hướng dẫn tương tác hữu ích này về các phương pháp bao thanh toán khác nhau.

    Các phân số có làm bạn đau đầu không? Tìm hiểu cách giảm phân số và đơn giản hóa nhiều biểu thức hữu tỉ bằng cách sử dụng các hướng dẫn của chúng tôi bao gồm các công cụ giải phân số tương tác. & Emsp & emsp & emsp & emsp & emsp & emsp

    Cần một chút về số học? Xem lại kiến ​​thức cơ bản về tính toán số học và tìm hiểu về cách biểu diễn số nguyên và số thực bằng cách sử dụng các trình giải tương tác của chúng tôi.

    Vẽ đồ thị phương trình với đồ thị tương tác của chúng tôi thật dễ dàng! Chúng không chỉ cho phép bạn vẽ đồ thị phương trình mà với hướng dẫn của chúng tôi, bạn còn tìm hiểu về các hình dạng đặc trưng và các điểm của phương trình thường gặp.

    Hàm số lũy thừa có khó học hơn các hàm số khác không? Không phải như vậy với các trình giải, đồ thị và hướng dẫn tương tác của chúng tôi!

    Nếu bạn đã biết cách vẽ đồ thị phương trình, bất phương trình thì thật dễ dàng. Rất nhiều bóng liên quan! Sử dụng đồ thị tương tác và hướng dẫn của chúng tôi để tìm hiểu chủ đề quan trọng này

    Bộ hướng dẫn này sẽ giải thích cách giải và vẽ đồ thị của một hệ hai phương trình tuyến tính theo nhiều cách khác nhau

    Không có gì là rất triệt để về các phương trình cấp tiến! Đó là, nếu bạn biết cấp tiến là gì. Nếu không, hãy xem qua hướng dẫn về Roots and Radicals của chúng tôi trước. Sau đó, quay lại và sử dụng các hướng dẫn và giải phương trình cấp căn tương tác của chúng tôi để tìm hiểu cách giải loại phương trình này.

    Bộ hướng dẫn này giải thích cách đơn giản hóa nhiều loại biểu thức, chẳng hạn như phân số và căn.

    Tin tốt: Giải bất phương trình bất phương trình tuyến tính rất giống với giải phương trình tuyến tính. Tin xấu: có một dấu hiệu bất bình đẳng nhỏ khó chịu này (& lt hoặc & gt) có thể thay đổi hướng dựa trên những gì bạn làm với bất bình đẳng của mình. Đọc hướng dẫn của chúng tôi và sử dụng công cụ giải giá trị tuyệt đối để tìm hiểu thêm.


    Phân số

    Ví dụ 1: Becky, Merry và John muốn chia đều một thanh sô cô la.
    Mỗi người trong số họ sẽ chiếm phần nào của thanh?
    Becky và Merry sẽ có phần nào của quán bar cùng nhau?

    Các em cần chia thanh thành ba mảnh. Vì vậy, mọi người sẽ lấy $ frac <1> <3> $ của thanh sô cô la.
    Hai cô gái cùng nhau sẽ có hai mảnh, do đó, theo toán học, họ sẽ có $ frac <2> <3> $ của thanh.

    Ví dụ 2: Bộ phận nào của các chú bộ đội màu vàng?

    Ví dụ 3: Quả táo còn thiếu phần nào?

    Quy tắc phân số

    Tính chất của phân số

    Tài sản I: Tất cả các phần nở của hình tròn đại diện cho một nửa $ frac <1> <2>, frac <2> <4> $ và $ frac <3> <6> $, do đó $ frac <1> <2> = frac <2> <4> = frac <3> <6> $

    Chúng ta nhận được $ frac <2> <4> $ khi nhân tử số và mẫu số của phân số $ frac <1> <2> $ với $ 2 $.

    Chúng ta thu được $ frac <3> <6> $ bằng cách nhân tử số và mẫu số của $ frac <1> <2> $ với $ 3 $.


    Gọi $ a $ là một số nguyên và $ b $ và $ c $ là các số nguyên khác không.
    Sau đó:

    Thuộc tính II: Nếu hai phân số có mẫu số bằng nhau thì phân số nào có tử số lớn hơn.
    Nếu $ a $, $ b $ và $ c $ là các số nguyên và $ c ne 0 $ thì:

    Thuộc tính III: Nếu hai phân số có tử số bằng nhau thì phân số nào có mẫu số bé hơn thì lớn hơn.
    Nếu $ a $, $ b $ và $ c $ là các số nguyên và $ b $ và $ c $ khác 0 thì: