Bài viết

Tích phân và Diện tích được lặp lại - Toán học


Trong chương trước, chúng ta thấy rằng chúng ta có thể phân biệt các hàm của một số biến đối với một biến, trong khi coi tất cả các biến khác là hằng số hoặc hệ số. Chúng ta có thể tích hợp các hàm của một số biến theo cách tương tự. Ví dụ: nếu chúng ta được thông báo rằng (f_x (x, y) = 2xy ), chúng ta có thể coi (y ) là không đổi và tích hợp để lấy (f (x, y) ):

[ begin {align *}
f (x, y) & = int f_x (x, y) , dx
& = int 2xy , dx
& = x ^ 2y + C.
end {align *} ]

Hãy lưu ý cẩn thận về hằng số tích hợp, (C ). "Hằng số" này là một cái gì đó có đạo hàm của (0 ) đối với (x ), vì vậy nó có thể là bất kỳ biểu thức nào chỉ chứa hằng số và hàm của (y ). Ví dụ: if ( f (x, y) = x ^ 2y + sin y + y ^ 3 + 17 ), thì (f_x (x, y) = 2xy ). Để biểu thị rằng (C ) thực sự là một hàm của (y ), chúng tôi viết:

[f (x, y) = int f_x (x, y) , dx = x ^ 2y + C (y). ]

Sử dụng quy trình này, chúng tôi thậm chí có thể đánh giá các tích phân xác định.

Ví dụ ( PageIndex {1} ): Tích hợp các hàm của nhiều hơn một biến

Đánh giá tích phân ( displaystyle int_1 ^ {2y} 2xy , dx. )

Dung dịch

Chúng ta tìm tích phân không xác định như trước, sau đó áp dụng Định lý cơ bản của Giải tích để đánh giá tích phân xác định:

[ begin {align *}
int_1 ^ {2y} 2xy , dx & = x ^ 2y Big | _1 ^ {2y}
& = (2y) ^ 2y - (1) ^ 2y
& = 4y ^ 3-y.
end {align *} ]

Chúng tôi cũng có thể tích hợp với (y ). Nói chung,

[ int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} f_x (x, y) , dx = f (x, y) Big | _ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} = f big (h_2 (y), y big) -f big (h_1 (y), y big), ]

[ int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} f_y (x, y) , dy = f (x, y) Big | _ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} = f big (x, g_2 (x) big) -f big (x, g_1 (x) big). ]

Lưu ý rằng khi tích hợp với (x ), các giới hạn là các hàm của (y ) (có dạng (x = h_1 (y) ) và (x = h_2 (y) )) và kết quả cuối cùng cũng là một hàm của (y ). Khi tích hợp với (y ), giới hạn là các hàm của (x ) (có dạng (y = g_1 (x) ) và (y = g_2 (x) )) và cuối cùng kết quả là một hàm của (x ). Một ví dụ khác sẽ giúp chúng ta hiểu điều này.

Ví dụ ( PageIndex {2} ): Tích hợp các hàm của nhiều hơn một biến

Đánh giá ( displaystyle int_1 ^ x big (5x ^ 3y ^ {- 3} + 6y ^ 2 big) , dy ).

Dung dịch

Chúng tôi coi (x ) là không đổi và tích hợp với (y ):

[ begin {align *}
int_1 ^ x big (5x ^ 3y ^ {- 3} + 6y ^ 2 big) , dy & = left ( frac {5x ^ 3y ^ {- 2}} {- 2} + frac { 6y ^ 3} {3} right) Bigg | _1 ^ x
& = left (- frac52x ^ 3x ^ {- 2} + 2x ^ 3 right) - left (- frac52x ^ 3 + 2 right)
& = frac92x ^ 3- frac52x-2.
end {align *} ]

Lưu ý cách các giới hạn của tích phân từ (y = 1 ) đến (y = x ) và câu trả lời cuối cùng là một hàm của (x ).

Trong ví dụ trước, chúng tôi đã tích hợp một hàm đối với (y ) và kết thúc bằng một hàm (x ). Chúng tôi cũng có thể tích hợp điều này. Quá trình này được gọi là tích hợp lặp đi lặp lại, hoặc tích hợp nhiều.

Ví dụ ( PageIndex {3} ): Tích phân

Đánh giá ( displaystyle int_1 ^ 2 left ( int_1 ^ x big (5x ^ 3y ^ {- 3} + 6y ^ 2 big) , dy right) , dx. )

Dung dịch

Chúng tôi tuân theo một "thứ tự các phép toán" tiêu chuẩn và thực hiện các phép toán bên trong dấu ngoặc đơn trước (là tích phân được đánh giá trong Ví dụ ( PageIndex {2} ).)

[ begin {align *}
int_1 ^ 2 left ( int_1 ^ x big (5x ^ 3y ^ {- 3} + 6y ^ 2 big) , dy right) , dx & = int_1 ^ 2 left ( left [ frac {5x ^ 3y ^ {- 2}} {- 2} + frac {6y ^ 3} {3} right] Bigg | _1 ^ x right) , dx
& = int_1 ^ 2 left ( frac92x ^ 3- frac52x-2 right) , dx
& = left ( frac98x ^ 4- frac54x ^ 2-2x right) Bigg | _1 ^ 2
& = frac {89} 8.
end {align *} ]

Lưu ý cách các giới hạn của (x ) là (x = 1 ) thành (x = 2 ) và kết quả cuối cùng là một số.

Ví dụ trước đã chỉ ra cách chúng ta có thể thực hiện một thứ gọi là tích phân lặp; chúng tôi vẫn chưa biết tại sao chúng tôi muốn làm như vậy cũng như kết quả như thế nào, chẳng hạn như số (89/8 ), có nghĩa. Trước khi chúng tôi điều tra những câu hỏi này, chúng tôi đưa ra một số định nghĩa.

Định nghĩa: Tích hợp lặp lại

Tích hợp lặp lại là quá trình tích hợp nhiều lần kết quả của các lần tích hợp trước đó. Tích phân một tích phân được ký hiệu như sau.

Gọi (a ), (b ), (c ) và (d ) là các số và cho (g_1 (x) ), (g_2 (x) ), (h_1 ( y) ) và (h_2 (y) ) lần lượt là hàm của (x ) và (y ). Sau đó:

  1. ( displaystyle int_c ^ d int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} f (x, y) , dx , dy = int_c ^ d left ( int_ {h_1 (y) } ^ {h_2 (y)} f (x, y) , dx right) , dy. )
  2. ( displaystyle int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} f (x, y) , dy , dx = int_a ^ b left ( int_ {g_1 (x) } ^ {g_2 (x)} f (x, y) , dy right) , dx. )

Một lần nữa ghi chú lại các giới hạn của các tích phân lặp lại này.

Với ( displaystyle int_c ^ d int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} f (x, y) , dx , dy ), (x ) thay đổi so với (h_1 ( y) ) thành (h_2 (y) ), trong khi (y ) thay đổi từ (c ) thành (d ). Nghĩa là, giới hạn của (x ) là đường cong, các đường cong (x = h_1 (y) ) và (x = h_2 (y) ), trong khi các giới hạn của (y ) là hằng số, (y = c ) và (y = d ). Điều hữu ích cần nhớ là khi thiết lập và đánh giá các tích phân lặp lại như vậy, chúng ta tích hợp "từ đường cong này sang đường cong khác, sau đó từ điểm này sang điểm khác. ''

Bây giờ chúng tôi bắt đầu điều tra tại sao chúng tôi quan tâm đến tích phân lặp lại và họ có nghĩa là.

Diện tích của một vùng mặt phẳng

Xem xét vùng mặt phẳng (R ) được giới hạn bởi (a leq x leq b ) và (g_1 (x) leq y leq g_2 (x) ), được hiển thị trong Hình ( PageIndex {1 } ). Chúng ta đã học trong Phần 7.1 (trong Giải tích I) rằng diện tích của (R ) được cho bởi

[ int_a ^ b big (g_2 (x) -g_1 (x) big) , dx. ]

Chúng ta có thể xem biểu thức ( big (g_2 (x) -g_1 (x) big) ) là

[ big (g_2 (x) -g_1 (x) big) = int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} 1 ​​, dy = int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 ( x)} , dy, ]

nghĩa là chúng ta có thể biểu diễn diện tích của (R ) dưới dạng một tích phân lặp lại:

[ text {area of} R = int_a ^ b big (g_2 (x) -g_1 (x) big) , dx = int_a ^ b left ( int_ {g_1 (x)} ^ { g_2 (x)} , dy right) , dx = int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} , dy , dx. ]

Tóm lại: một tích phân lặp nhất định có thể được xem như là cho diện tích của một vùng mặt phẳng.

Một vùng (R ) cũng có thể được xác định bởi (c leq y leq d ) và (h_1 (y) leq x leq h_2 (y) ), như trong Hình ( PageIndex {2} ). Sử dụng quy trình tương tự như trên, chúng tôi có
$$ text {vùng của} R = int_c ^ d int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} , dx , dy. ]

Chúng tôi phát biểu điều này một cách chính thức trong một định lý.

THEOREM ( PageIndex {1} ): Diện tích của một vùng mặt phẳng

  1. Gọi (R ) là một vùng mặt phẳng được giới hạn bởi (a leq x leq b ) và (g_1 (x) leq y leq g_2 (x) ), trong đó (g_1 ) và (g_2 ) là các hàm liên tục trên ([a, b] ). Diện tích (A ) của (R ) là $$ A = int_a ^ b int_ {g_1 (x)} ^ {g_2 (x)} , dy , dx. $$
  2. Gọi (R ) là vùng mặt phẳng được giới hạn bởi (c leq y leq d ) và (h_1 (y) leq x leq h_2 (y) ), trong đó (h_1 ) và (h_2 ) là các hàm liên tục trên ([c, d] ). Diện tích (A ) của (R ) là $$ A = int_c ^ d int_ {h_1 (y)} ^ {h_2 (y)} , dx , dy. $$

Các ví dụ sau đây sẽ giúp chúng ta hiểu định lý này.

Ví dụ ( PageIndex {4} ): Diện tích hình chữ nhật

Tìm diện tích (A ) của hình chữ nhật có các góc ((- 1,1) ) và ((3,3) ), như trong Hình ( PageIndex {3} ).

Dung dịch

Tích hợp nhiều rõ ràng là quá mức cần thiết trong tình huống này, nhưng chúng tôi tiến hành thiết lập việc sử dụng nó.

Vùng (R ) được giới hạn bởi (x = -1 ), (x = 3 ), (y = 1 ) và (y = 3 ). Trước tiên, chọn tích hợp với (y ), chúng tôi có
$$ A = int _ {- 1} ^ 3 int_1 ^ 3 1 , dy , dx = int _ {- 1} ^ 3 left (y Big | _1 ^ 3 right) , dx = int _ {- 1} ^ 3 2 , dx = 2x Big | _ {- 1} ^ 3 = 8. ]

Trước tiên, chúng tôi cũng có thể tích hợp với (x ), đưa ra:
$$ A = int_1 ^ 3 int _ {- 1} ^ 3 1 , dx , dy = int_1 ^ 3 left (x Big | _ {- 1} ^ 3 right) , dy = int_1 ^ 3 4 , dy = 4y Big | _1 ^ 3 = 8. ]

Rõ ràng có những cách đơn giản hơn để tìm ra khu vực này, nhưng điều thú vị là phương pháp này hoạt động.

Ví dụ ( PageIndex {5} ): Diện tích hình tam giác

Tìm diện tích (A ) của tam giác có các đỉnh tại ((1,1) ), ((3,1) ) và ((5,5) ), như trong Hình ( PageIndex {4} ).

Dung dịch

Tam giác được giới hạn bởi các đường như hình vẽ bên. Việc chọn tích hợp đối với (x ) trước hết cho rằng (x ) bị ràng buộc bởi (x = y ) thành (x = frac {y + 5} 2 ), trong khi (y ) ) được giới hạn bởi (y = 1 ) đến (y = 5 ). (Nhớ lại rằng vì (x ) - các giá trị tăng từ trái sang phải, đường cong ngoài cùng bên trái, (x = y ), là giới hạn dưới và đường cong ngoài cùng bên phải, (x = (y + 5) / 2 ), là giới hạn trên.) Khu vực là

[ begin {align *}
A & = int_1 ^ 5 int_ {y} ^ { frac {y + 5} 2} , dx , dy
& = int_1 ^ 5 left (x Big | _y ^ { frac {y + 5} 2} right) , dy
& = int_1 ^ 5 left (- frac12y + frac52 right) , dy
& = left (- frac14y ^ 2 + frac52y right) Big | _1 ^ 5
&=4.
end {align *} ]

Chúng tôi cũng có thể tìm thấy khu vực bằng cách tích hợp với (y ) trước. Tuy nhiên, trong tình huống này, chúng ta có hai hàm hoạt động như giới hạn dưới cho vùng (R ), (y = 1 ) và (y = 2x-5 ). Điều này yêu cầu chúng ta sử dụng hai tích phân lặp lại. Lưu ý cách (x ) - các giới hạn khác nhau đối với mỗi tích phân:

[ begin {align *}
A & = int_1 ^ 3 int_1 ^ x 1 , dy , dx & + & & & int_3 ^ 5 int_ {2x-5} ^ x1 , dy , dx
& = int_1 ^ 3 big (y big) Big | _1 ^ x , dx & + & & & int_3 ^ 5 big (y big) Big | _ {2x-5} ^ x , dx
& = int_1 ^ 3 big (x-1 big) , dx & + & & & int_3 ^ 5 big (-x + 5 big) , dx
&= 2 & + & & & 2 \
&=4.
end {align *} ]

Như mong đợi, chúng tôi nhận được câu trả lời giống nhau theo cả hai cách.

Ví dụ ( PageIndex {6} ): Diện tích vùng mặt phẳng

Tìm diện tích của vùng được bao quanh bởi (y = 2x ) và (y = x ^ 2 ), như trong Hình ( PageIndex {5} ).

Dung dịch

Một lần nữa, chúng ta sẽ tìm khu vực của khu vực bằng cách sử dụng cả hai thứ tự tích hợp.

Sử dụng (, dy , dx ):

[ int_0 ^ 2 int_ {x ^ 2} ^ {2x} 1 , dy , dx = int_0 ^ 2 (2x-x ^ 2) , dx = big (x ^ 2- frac13x ^ 3 big) Big | _0 ^ 2 = frac43. ]

Sử dụng (, dx , dy ):

[ int_0 ^ 4 int_ {y / 2} ^ { sqrt {y}} 1 , dx , dy = int_0 ^ 4 ( sqrt {y} -y / 2) , dy = left ( frac23y ^ {3/2} - frac14y ^ 2 right) Big | _0 ^ 4 = frac43. ]

Thay đổi thứ tự tích hợp

Trong mỗi ví dụ trước, chúng ta đã được cung cấp một vùng (R ) và tìm thấy các giới hạn cần thiết để tìm vùng của (R ) bằng cách sử dụng cả hai thứ tự tích hợp. Chúng tôi đã tích hợp bằng cách sử dụng cả hai thứ tự tích hợp để chứng minh sự bình đẳng của chúng.

Bây giờ chúng ta tiếp cận kỹ năng mô tả một khu vực bằng cách sử dụng cả hai thứ tự tích hợp từ một góc độ khác nhau. Thay vì bắt đầu với một vùng và tạo tích phân lặp lại, chúng ta sẽ bắt đầu với một tích phân lặp lại và viết lại nó theo thứ tự tích phân khác. Để làm như vậy, chúng tôi cần hiểu khu vực mà chúng tôi đang tích hợp.

Đơn giản nhất trong tất cả các trường hợp là khi cả hai tích phân bị ràng buộc bởi các hằng số. Vùng được mô tả bởi các giới hạn này là một hình chữ nhật (xem Ví dụ ( PageIndex {4} )), và như vậy:

[ int_a ^ b int_c ^ d 1 , dy , dx = int_c ^ d int_a ^ b1 , dx , dy. ]

Khi giới hạn của tích phân bên trong không phải là hằng số, nói chung sẽ rất hữu ích để phác thảo các giới hạn để xác định vùng mà chúng ta đang tích phân trông như thế nào. Từ bản phác thảo, chúng ta có thể viết lại tích phân với thứ tự tích phân khác.

Các ví dụ sẽ giúp chúng ta phát triển kỹ năng này.

Ví dụ ( PageIndex {7} ): Thay đổi thứ tự tích hợp

Viết lại tích phân lặp lại ( displaystyle int_0 ^ 6 int_0 ^ {x / 3} 1 , dy , dx ) với thứ tự tích phân (, dx , dy ).

Dung dịch

Chúng ta cần sử dụng các giới hạn của hội nhập để xác định khu vực mà chúng ta đang hội nhập.

Các giới hạn cho chúng ta biết rằng (y ) được giới hạn bởi (0 ) và (x / 3 ); (x ) được giới hạn bởi 0 và 6. Chúng tôi vẽ 4 đường cong sau: (y = 0 ), (y = x / 3 ), (x = 0 ) và (x = 6 ) để tìm vùng được mô tả bởi các giới hạn. Hình ( PageIndex {6} ) cho thấy những đường cong này, cho thấy rằng (R ) là một hình tam giác.

Để thay đổi thứ tự tích hợp, chúng ta cần xem xét các đường cong ràng buộc các giá trị (x ) -. Chúng ta thấy rằng giới hạn dưới là (x = 3y ) và giới hạn trên là (x = 6 ). Các giới hạn trên (y ) là (0 ) đến (2 ). Do đó, chúng ta có thể viết lại tích phân thành ( displaystyle int_0 ^ 2 int_ {3y} ^ 6 1 , dx , dy. )

Ví dụ ( PageIndex {8} ): Thay đổi thứ tự tích hợp

Thay đổi thứ tự tích hợp của ( displaystyle int_0 ^ 4 int_ {y ^ 2/4} ^ {(y + 4) / 2} 1 , dx , dy ).

Dung dịch

Chúng tôi phác thảo khu vực được mô tả bởi các giới hạn để giúp chúng tôi thay đổi thứ tự tích hợp. (x ) được giới hạn bên dưới và bên trên (tức là bên trái và bên phải) bởi (x = y ^ 2/4 ) và (x = (y + 4) / 2 ) tương ứng và ( y ) được giới hạn trong khoảng từ 0 đến 4. Vẽ đồ thị cho các đường cong trước đó, chúng tôi tìm thấy vùng (R ) được hiển thị trong Hình ( PageIndex {7} ).

Để thay đổi thứ tự tích hợp, chúng ta cần thiết lập các đường cong ràng buộc (y ). Hình vẽ cho thấy rõ rằng có hai giới hạn thấp hơn cho (y ): (y = 0 ) trên (0 leq x leq 2 ) và (y = 2x-4 ) trên (2 leq x leq 4 ). Do đó chúng ta cần hai tích phân kép. Giới hạn trên cho mỗi là (y = 2 sqrt {x} ). Vì vậy, chúng tôi có
$$ int_0 ^ 4 int_ {y ^ 2/4} ^ {(y + 4) / 2} 1 , dx , dy = int_0 ^ 2 int_0 ^ {2 sqrt {x}} 1 , dy , dx + int_2 ^ 4 int_ {2x-4} ^ {2 sqrt {x}} 1 , dy , dx. ]

Phần này đã giới thiệu một khái niệm mới, tích phân lặp. Chúng tôi đã phát triển một ứng dụng để tích hợp lặp lại: khu vực giữa các đường cong. Tuy nhiên, điều này không mới, vì chúng ta đã biết cách tìm các vùng bị giới hạn bởi các đường cong.

Trong phần tiếp theo, chúng tôi áp dụng tích hợp lặp lại để giải quyết các vấn đề mà chúng tôi hiện không biết cách xử lý. Mục tiêu "thực sự" của phần này không phải là học một cách mới về lĩnh vực máy tính. Thay vào đó, mục tiêu của chúng tôi là tìm hiểu cách xác định một vùng trong mặt phẳng bằng cách sử dụng các giới hạn của một tích phân lặp lại. Kỹ năng đó rất quan trọng trong các phần sau.


Xem video: Определённый интеграл Римана . Косухин (Tháng Giêng 2022).