Bài viết

1: Diện tích và Diện tích bề mặt - Toán học


1: Diện tích và Diện tích bề mặt - Toán học

6.1 Diện tích và diện tích bề mặt

Trong đơn vị này, học sinh học cách tìm diện tích của đa giác bằng cách phân hủy, sắp xếp lại và tạo hình. Các em học cách hiểu và sử dụng các thuật ngữ “cơ sở” và “chiều cao”, đồng thời tìm diện tích của các hình bình hành và hình tam giác. Học sinh tính gần đúng diện tích của vùng không đa giác bằng vùng đa giác. Họ đại diện cho các khối đa diện bằng lưới và tìm diện tích bề mặt của chúng.

Những bài học

Lập luận để Tìm khu vực

Hình bình hành

Hình tam giác

Đa giác

Diện tích bề mặt

Hình vuông và hình khối

Hãy bắt đầu hoạt động

IM 6–8 Math ban đầu được phát triển bởi Open Up Resources và tác giả của Illustrative Mathematics®, và có bản quyền năm 2017-2019 bởi Open Up Resources. Nó được cấp phép theo Giấy phép Quốc tế Creative Commons Ghi công 4.0 (CC BY 4.0). Chương trình giảng dạy Toán 6-8 của CHÚNG TÔI hiện có tại https://openupresources.org/math-cur Chương trình/.

Các bản sửa đổi và cập nhật đối với Toán IM 6–8 thuộc bản quyền của Toán minh họa năm 2019 và được cấp phép theo Giấy phép Quốc tế Creative Commons Ghi công 4.0 (CC BY 4.0).

Các điều chỉnh để bổ sung thêm các hỗ trợ bổ sung cho người học tiếng Anh là bản quyền năm 2019 của Open Up Resources và được cấp phép theo Giấy phép Quốc tế Creative Commons Ghi công 4.0 (CC BY 4.0).

Bộ bài đánh giá tiếng Anh thứ hai (được đánh dấu là bộ "B") thuộc bản quyền 2019 của Open Up Resources và được cấp phép theo Giấy phép Quốc tế Creative Commons Ghi công 4.0 (CC BY 4.0).

Bản dịch tiếng Tây Ban Nha của các bài đánh giá "B" có bản quyền vào năm 2020 bởi Toán minh họa và được cấp phép theo Giấy phép Quốc tế Creative Commons Ghi công 4.0 (CC BY 4.0).

Tên và biểu trưng của Toán minh họa không phải tuân theo giấy phép Creative Commons và không được sử dụng nếu không có sự đồng ý trước và rõ ràng bằng văn bản của Toán minh họa.

Trang web này bao gồm các hình ảnh thuộc phạm vi công cộng hoặc các hình ảnh được cấp phép công khai có bản quyền của chủ sở hữu tương ứng. Hình ảnh được cấp phép mở vẫn theo các điều khoản của giấy phép tương ứng. Xem phần thuộc tính hình ảnh để biết thêm thông tin.


Sự khác biệt giữa diện tích và diện tích bề mặt

Toán học có những cách khiến chúng ta phải suy nghĩ, suy nghĩ lại và làm lại từ đầu. Như thể toán học chưa đủ khó hiểu, do các công thức, phép toán và phép tính dẫn xuất của nó mang lại & # 8211, mọi người cũng có thể nhầm lẫn với các định nghĩa, đặc biệt là với các thuật ngữ tương tự.

Hầu hết chúng ta đều biết hình học là toán học đo trái đất, không gian, hình dạng và các hình, và khi ai đó nghĩ về hình học, rất có thể người ta nghĩ đến thuật ngữ & # 8216area & # 8217.

Diện tích thường là một biểu thức của kích thước của một mặt phẳng 2 chiều. Nó được thể hiện bằng nhiều đơn vị khác nhau. Những đơn vị này bao gồm: mét vuông, héc-ta, ki-lô-mét vuông, foot vuông, sân vuông, cá rô vuông, mẫu Anh và dặm vuông, chỉ để nêu tên một số.

Một trong những công thức cơ bản nhất đã biết về diện tích, là của hình chữ nhật, nhân với chiều dài với chiều rộng (l x w), và trong trường hợp của hình vuông, nó là chiều dài của một cạnh bình phương (s²).

Tam giác & # 8216 “½ bh trong đó b là cơ sở và h là chiều cao.

Hình thoi & # 8216 “½ ab trong đó a và b là độ dài của hai đường chéo.

Hình bình hành & # 8216 “bh trong đó b là chiều dài cơ sở và h là chiều cao vuông góc.

Hình thang & # 8216 “½ (a + b) h trong đó a và b là độ dài các cạnh song song và h là chiều cao.

Hình tròn & # 8216 “pr² trong đó r là độ dài của bán kính (bình phương của thời gian bán kính pi).

Diện tích thường bị nhầm lẫn với & # 8216 diện tích bề mặt & # 8217, về mặt kỹ thuật sẽ giống nhau nếu xét về bề mặt 2 chiều. Tuy nhiên, nó được sử dụng thích hợp hơn để thể hiện kích thước của một bề mặt tiếp xúc với một chất rắn cụ thể là 3 chiều. Ví dụ, một hình lập phương sẽ có diện tích bề mặt bằng tổng diện tích của cả sáu cạnh (6s²).

Giống như diện tích, diện tích bề mặt cũng được biểu thị bằng đơn vị hình vuông.

Công thức diện tích bề mặt của một số chất rắn:

Hình trụ & # 8211 2pr² (r + h) trong đó r là bán kính và h là chiều cao của hình trụ.

Hình nón & # 8211 pr (r + l) trong đó r là bán kính và l là chiều cao nghiêng của hình nón.

Hình cầu & # 8216 “4pr² trong đó r là bán kính.

1. Thuật ngữ diện tích là một thuật ngữ chung thể hiện phép đo kích thước của một bề mặt, trong khi diện tích bề mặt được sử dụng thích hợp hơn để biểu thị phép đo bề mặt tiếp xúc của một vật rắn cụ thể.

2. Diện tích dành cho bề mặt phẳng 2 chiều, còn diện tích bề mặt dành cho chất rắn 3 chiều.


Khối lượng và Diện tích bề mặt

Việc đo hình dạng được thực hiện ba chiều trên GED. Từ diện tích bề mặt của một hình cầu, đến thể tích của một hình chóp, bạn phải chuẩn bị cho những công thức hình học phức tạp hơn.

Hãy tưởng tượng một hình dạng 3 chiều như hình trên, một khối lập phương hoặc một loạt các hình khác: quả bóng, hộp, hình trụ. Có hai cách để đo các hình dạng 3 chiều như sau:

1) Diện tích bề mặt: diện tích bề mặt là số đơn vị hình vuông cần để bao phủ một hình dạng 3-D- hãy tưởng tượng giấy gói. Đó là phép đo 2-D bao quanh hình dạng 3-D.

2) Âm lượng: Mặt khác, âm lượng không phải là một lớp phủ, nó lấp đầy một hình dạng 3-D. Giống như nước trong chai nước hoặc cát trong hộp cát. Bởi vì thể tích lấp đầy hoàn toàn không gian 3-D, nó cũng là 3 chiều nên nó được đo bằng đơn vị khối.

Như thường lệ, với GED Geometry, các công thức này hiển thị trên GED bảng công thức vì vậy tất cả những gì bạn phải làm là chọn công thức thích hợp, thay thế vào các giá trị đã biết, sau đó dựa vào kỹ năng đại số của bạn để giải cho biến chưa biết.


Hình ảnh minh họa Unit 6.1, Bài 14: Nets and Surface Area

Tìm hiểu về cách kết hợp các lưới với khối đa diện của chúng và sử dụng các lưới để tìm diện tích bề mặt của một khối đa diện. Sau khi thử các câu hỏi, hãy nhấp vào các nút để xem câu trả lời và giải thích trong văn bản hoặc video.

Nets và diện tích bề mặt
Hãy sử dụng lưới để tìm diện tích bề mặt của khối đa diện.

Mỗi lưới sau đây có thể được ghép lại thành một khối đa diện. Ghép mỗi lưới với hình đa diện tương ứng của nó và đặt tên cho hình đa diện đó. Hãy chuẩn bị để giải thích làm thế nào bạn biết lưới và đa diện đi cùng nhau.

TL: 3 - Hình chóp vuông, được tạo thành từ một đáy là hình vuông và 4 hình tam giác.
B: 2 - Hình lăng trụ vuông, được tạo thành từ 2 đáy là hình vuông và 4 hình chữ nhật.
C: 4 - Hình chóp tam giác (tứ diện), được tạo thành từ một đáy là tam giác và 3 tam giác.
D: 5 - Hình lăng trụ tam giác, được tạo thành từ 2 đáy là hình tam giác và 3 hình chữ nhật.
E: 1 - Hình lập phương, được hình thành từ 6 hình vuông.

14.2 - Sử dụng Nets để tìm diện tích bề mặt

Giáo viên của bạn sẽ cung cấp cho bạn lưới gồm ba khối đa diện để cắt ra và lắp ráp. Ngoài ra, bạn có thể in các lưới sau.

1. Kể tên khối đa diện mà mỗi lưới sẽ tạo thành khi lắp ráp.

2. Cắt lưới của bạn và sử dụng chúng để tạo ra các hình dạng ba chiều.

3. Tìm diện tích bề mặt của mỗi hình đa diện. Giải thích lý do của bạn một cách rõ ràng.

1. Nhắc lại các định nghĩa của hình lăng trụ và hình chóp, và cách đặt tên các hình này.

3. Một mạng lưới cho phép chúng ta nhìn thấy tất cả các mặt của một đa giác cùng một lúc. Để tìm diện tích bề mặt của một khối đa diện từ lưới của nó, hãy tìm tổng diện tích của tất cả các đa giác trong mạng.

1. A tạo thành một hình lăng trụ đứng. B tạo thành hình chóp vuông. C tạo thành hình lăng trụ tam giác (có đáy là tam giác vuông).

3. Một mạng lưới cho phép chúng ta nhìn thấy tất cả các mặt của một đa giác cùng một lúc. Để tìm diện tích bề mặt của một khối đa diện từ lưới của nó, hãy tìm tổng diện tích của tất cả các đa giác trong mạng. Trong mỗi lưới này, các đa giác có cùng diện tích được tô cùng màu. Để đơn giản hóa việc tính toán, các đa giác cũng có thể được kết hợp để tính diện tích, như được chỉ ra bởi các đường nét đứt trong lưới A và C.

A: 2 (5 & # 215 6) + 2 (6) + 2 (5) = 82 đơn vị hình vuông
HOẶC (6 & # 215 12) + 2 (5) = 82 đơn vị hình vuông

B: (4 & # 215 4) + 4 (& frac12 & # 215 4 & # 215 4) = 48 đơn vị hình vuông

C: (3 & # 215 5) + (3 & # 215 3) + (3 & # 215 4) + 2 (& frac12 & # 215 3 & # 215 4) = 48 đơn vị hình vuông
HOẶC (3 & # 215 12) + 2 (& frac12 & # 215 3 & # 215 4) = 48 đơn vị hình vuông

Các chiến lược khác cũng có thể thực hiện được.

1. Đối với mỗi lưới, hãy quyết định xem nó có thể được lắp ráp thành một lăng trụ hình chữ nhật hay không.

2. Đối với mỗi lưới, hãy quyết định xem nó có thể được lắp ráp thành một lăng trụ tam giác hay không.

1. Chỉ có thể gấp C thành hình lăng trụ chữ nhật.
A có một mặt vuông không tạo thành một cặp với bất kỳ mặt nào khác.
B có một hình chữ nhật tiếp xúc với nhiều hơn một hình chữ nhật khác dọc theo một trong các cạnh của nó và do đó không thể gấp lại thành một hình đa diện.
D không có đủ các mặt để tạo thành một hình đa diện kín.

2. Chỉ có thể gấp D thành lăng trụ tam giác.
A không thể gấp sao cho các tam giác nằm trên các cạnh đối diện.
B và C không thể gấp sao cho tất cả các cạnh của mỗi mặt tiếp xúc với mặt khác.

Một mạng lưới của một kim tự tháp có một đa giác là cơ sở. Phần còn lại của các đa giác là hình tam giác. Một kim tự tháp ngũ giác và lưới của nó được hiển thị ở đây.

Một mạng lưới của một lăng kính có hai bản sao của đa giác là cơ sở. Phần còn lại của các đa giác là hình chữ nhật. Hình lăng trụ ngũ giác và lưới của nó được hiển thị ở đây.

Trong một hình lăng trụ chữ nhật, có ba cặp hình chữ nhật song song và giống nhau. Bất kỳ cặp hình chữ nhật nào giống hệt nhau này đều có thể là cơ sở.

Bởi vì một lưới hiển thị tất cả các mặt của một hình đa diện, chúng ta có thể sử dụng nó để tìm diện tích bề mặt của nó.
Ví dụ, lưới của một lăng trụ hình chữ nhật có ba cặp hình chữ nhật: 4 đơn vị 2 đơn vị, 3 đơn vị 2 đơn vị và 4 đơn vị 3 đơn vị.

Diện tích bề mặt của hình lăng trụ chữ nhật là 52 đơn vị hình vuông vì 8 + 8 + 6 + 6 + 12 + 12 = 52.

1. Tấm lưới sau có thể ghép thành hình lập phương được không? Giải thích làm thế nào bạn biết. Dán nhãn các bộ phận của mạng bằng các chữ cái hoặc số nếu nó giúp ích cho việc giải thích của bạn.

Net này không thể được lắp ráp thành một khối lập phương. Hình vuông 1 và 6 sẽ luôn chồng lên nhau.

2. a. Khối đa diện nào có thể được lắp ráp từ lưới này? Giải thích làm thế nào bạn biết.
b. Tìm diện tích bề mặt của hình đa diện này. Thể hiện lý lẽ của bạn.

a. Lưới này có thể được lắp ráp thành một lăng kính tam giác. Có hai tam giác đồng dạng là cơ sở và ba hình chữ nhật để nối các cơ sở.

b. Các mặt có cùng diện tích được tô cùng màu. Các mặt hình chữ nhật tiếp giáp cũng có thể được coi là một hình chữ nhật lớn để đơn giản hóa việc tính toán.

Diện tích của hình đa diện này là (5 & # 215 4) + (5 & # 215 3) + (5 & # 215 5) + 2 (& frac12 & # 215 3 & # 215 4) = 72 đơn vị hình vuông
HOẶC (5 & # 215 12) + 2 (& frac12 & # 215 3 & # 215 4) = 72 đơn vị hình vuông

Các chiến lược khác cũng có thể thực hiện được.

3. Đây là hai tấm lưới. Mai cho biết có thể ghép cả hai tấm lưới thành một lăng trụ tam giác giống nhau. Bạn có đồng ý không? Giải thích hoặc thể hiện lý do của bạn.

Mai đúng. Trong cả hai lưới, các hình chữ nhật có thể được gấp lại để chạm vào mọi cạnh của cả hai đáy hình tam giác.

4. Đây là hai hình ba chiều.

Cho biết mỗi câu sau đây mô tả Hình A, Hình B, cả hai hay không mô tả.

a. Hình này là một hình đa diện.
b. Hình này có các mặt hình tam giác.
c. Có nhiều đỉnh hơn các cạnh trong hình này.
NS. Hình này có các mặt hình chữ nhật.
e. Hình này là một kim tự tháp.
NS. Có chính xác một khuôn mặt có thể làm cơ sở cho hình này.
NS. Cơ sở của hình này là một hình tam giác.
NS. Hình này có hai mặt giống nhau và song song có thể là mặt đáy.

a. Cả hai - cả hai hình đều là khối đa diện.
b. Cả - Hình A là hình lăng trụ tam giác và Hình B là hình chóp tam giác.
c. Không - cả hai hình đều có nhiều cạnh hơn đỉnh.
NS. Hình A
e. Hình B
NS. Không - Hình A là một lăng trụ và có hai đáy. Bất kỳ mặt nào của hình chóp tam giác như Hình B đều có thể là mặt đáy của nó.
NS. Cả - Hình A là hình lăng trụ tam giác có hai đáy là tam giác và hình B là hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác.
NS. Hình A - đây là một đặc điểm của lăng kính.

5. Chọn tất cả các đơn vị có thể được sử dụng cho diện tích bề mặt. Giải thích lý do tại sao những cái khác không thể được sử dụng cho diện tích bề mặt.

A. mét vuông
B. chân
C. cm
D. inch khối
E. inch vuông
F. foot vuông

A, E và F là tất cả các đơn vị có thể được sử dụng cho diện tích bề mặt, vì chúng là các đơn vị hình vuông (hai chiều).
B và C không thể được sử dụng vì chúng là đơn vị của chiều dài. D không thể được sử dụng vì nó là một đơn vị khối, một đơn vị của âm lượng (ba chiều).

6. Tìm diện tích của đa giác này. Thể hiện lý lẽ của bạn.

Đa giác có thể được chia thành 3 hình tam giác và 1 hình chữ nhật.

Tổng diện tích của các hình này và diện tích của đa giác là 2 (& frac12 & # 215 2 & # 215 3) + (& frac12 & # 215 6 & # 215 3) + (6 & # 215 3) = 33 hình vuông các đơn vị.

Giáo trình toán Open Up Resources có thể tải xuống miễn phí từ trang web Open Up Resources và cũng có sẵn từ Illustrated Mathematics.

Hãy dùng thử máy tính và giải bài toán Mathway miễn phí bên dưới để thực hành các chủ đề toán học khác nhau. Hãy thử các ví dụ đã cho hoặc nhập vấn đề của riêng bạn và kiểm tra câu trả lời của bạn với các giải thích từng bước.

Chúng tôi hoan nghênh phản hồi, nhận xét và câu hỏi của bạn về trang này hoặc trang này. Vui lòng gửi phản hồi hoặc thắc mắc của bạn qua trang Phản hồi của chúng tôi.


Dạng diện tích và diện tích bề mặt

Gọi $ r (u, v) $ biểu thị bề mặt được tham số hóa, sau đó $ r_u $ và $ r_v $ là các vectơ tiếp tuyến và vectơ pháp tuyến đơn vị là $ n = frac< left | r_u times r_v right |> $ Bây giờ theo tham chiếu phần tử diện tích bề mặt là $ sigma = left | r_u times r_v right | du wedge dv $, chúng tôi muốn cho thấy rằng $ sigma = omega $, tức là, với hai vectơ bất kỳ $ xi $ và $ eta $, chúng tôi muốn chỉ ra rằng $ left | r_u times r_v right | du wedge dv ( xi, eta ) = det (n, xi, eta) $ Vì cả hai hàm đều đa tuyến và đối xứng xiên nên chúng ta chỉ cần xác minh sự bằng nhau trên cơ sở $ r_u wedge r_v $. Đó là cắm vào $ xi = r_u $ và $ eta = r_v $, chúng ta nhận được $ LHS = left | r_u times r_v right | $ và $ RHS = det ( frac< left | r_u times r_v right |>, r_u, r_v) $ $ = frac< left | r_u times r_v right |> cdot (r_u times r_v) = frac < left | r_u times r_v right | ^ 2> < left | r_u times r_v right |> $ $ = LHS $ Tham khảo Sản phẩm ba để xem yếu tố quyết định chuyển thành tích ba như thế nào.


Lăng kính

Hình lăng trụ là một hình ba chiều có một cặp đáy hoặc đáy song song và đồng dạng. Các mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành. Lăng kính được xác định bởi các cơ sở của chúng.

Diện tích bề mặt của lăng kính bằng cách sử dụng Nets

Các lăng kính trên là lăng kính bên phải. Trong một hình lăng trụ vuông, các mặt bên vuông góc với mặt đáy của hình lăng trụ. So sánh một lăng kính bên phải với một lăng kính xiên, trong đó mặt bên và mặt đáy không vuông góc.

Hai định đề áp dụng cho khu vực là Định đề đồng dư khu vực và Định đề bổ sung khu vực.

Bạn có thể sử dụng lưới và Định đề Cộng diện tích để tìm diện tích bề mặt của một lăng trụ bên phải.

Từ lưới, bạn có thể thấy rằng diện tích bề mặt của toàn bộ lăng trụ bằng tổng các hình tạo thành lưới:

Tổng diện tích bề mặt = diện tích MỘT + khu vực NS + khu vực C + khu vực NS + khu vực E + khu vực NS

Sử dụng công thức cho diện tích hình chữ nhật, bạn có thể thấy rằng diện tích hình chữ nhật MỘT Là:

MỘT = l · w
MỘT = 10 · 5 = 50 đơn vị hình vuông

Tương tự, diện tích của các hình chữ nhật khác được đưa trở lại phương trình trên.

Tổng diện tích bề mặt = diện tích MỘT + khu vực NS + khu vực C + khu vực NS + khu vực E + khu vực NS
Tổng diện tích bề mặt = (10 · 5) + (10 · 3) + (10 · 5) + (10 · 3) + (5 · 3) + (5 · 3)
Tổng diện tích mặt bằng = 50 + 30 + 50 + 30 + 15 + 15
Tổng diện tích mặt bằng = 190 căn vuông

Ví dụ 3

Dùng lưới để tìm diện tích bề mặt của lăng trụ.

Diện tích của tấm lưới bằng diện tích bề mặt của hình bên. Để tìm diện tích của tam giác, chúng ta sử dụng công thức:

Lưu ý rằng hình tam giác MỘTE đồng dư nên ta có thể nhân diện tích tam giác A với 2.

[latex] displaystyle text= textA + textB + textC + textD + textE [/ latex]
[latex] displaystyle text <> = 2 ( textA) + textB + textC + textD [/ latex]
[latex] displaystyle text <> = 2 [ frac <1> <2> (9 cdot <12>)] + (6 cdot9) + (6 cdot12) + (6 cdot12) [ /mủ cao su]
[latex] displaystyle text <> = 108 + 54 + 72 + 90 = 324 [/ latex]

Như vậy, diện tích bề mặt là 324 đơn vị hình vuông.

Xem lại bài tập

Đối với mỗi điều sau đây, hãy tìm bề mặt bằng cách sử dụng phương pháp lưới và chu vi

  1. Đáy của lăng trụ là tam giác vuông có chân là 3 và 4 và chiều cao là 20. Diện tích toàn phần của lăng trụ là bao nhiêu?
  2. Một lăng trụ lục giác bên phải cao 24 inch và có đáy là các hình lục giác đều có cạnh là 8 inch. Tổng diện tích bề mặt là bao nhiêu?
  3. Thể tích của khối lăng trụ trong bài toán số 4 là bao nhiêu?

Trong các câu hỏi sau, một cái chuồng có dạng như một hình lăng trụ ngũ giác với các kích thước tính bằng feet:

  1. Có bao nhiêu bộ vuông (không kể mái nhà) trên bề mặt của chuồng được sơn?
  2. Nếu một gallon sơn có diện tích 250 feet vuông, thì cần bao nhiêu gallon sơn để sơn chuồng?
  3. Hộp các tông là một khối lập phương hoàn hảo với cạnh có kích thước 17 inch. Nó có thể chứa bao nhiêu feet khối?
  4. Một hồ bơi rộng 16 feet, dài 32 feet và sâu đồng nhất 4 feet. Nó có thể chứa bao nhiêu feet khối nước?
  5. Một hộp ngũ cốc có chiều dài 25 cm, chiều rộng 9 cm và chiều cao 30 cm. Nó có thể chứa bao nhiêu ngũ cốc?

Câu trả lời

  1. 40,5 trong 2
  2. 838 cm 2
  3. 252 đơn vị hình vuông
  4. 1484,6 đơn vị hình vuông
  5. 3990,7 inch khối
  1. 2450 bộ vuông
  2. 10 gallon sơn
  3. 2,85 feet khối (hãy cẩn thận ở đây. Các đơn vị trong bài toán được tính bằng inch nhưng câu hỏi yêu cầu feet.)
  4. 2048 feet khối
  5. 6750 cm 3

Dạng hình học của lăng trụ chữ nhật

Hình 10: Hình lăng trụ chữ nhật có các lớp hình lập phương

Các học sinh của tôi sẽ hiểu rằng không gian bên trong một hình đặc giống như một hình lăng trụ chữ nhật được gọi là thể tích. Tôi sẽ cho học sinh của mình xem xét các ví dụ về chất rắn hình học trong thực tế, để chúng có thể hiểu được thể tích: hộp ngũ cốc (lăng trụ hình chữ nhật), lon nước ngọt (hình trụ hoặc lăng trụ tròn), kem ốc quế (hình nón). Tôi sẽ so sánh và đối chiếu diện tích bề mặt và thể tích của những chất rắn này để chúng ta có thể bắt đầu hiểu các khía cạnh khác nhau của công thức: chiều dài, chiều rộng và chiều cao. Học sinh sẽ học thể tích của hình lăng trụ chữ nhật bằng cách đếm số hình khối cần thiết để lấp đầy hình lăng trụ, bắt đầu với một lớp hình chữ nhật ở phía dưới, và làm việc theo từng lớp, đến số lớp cần lấp đầy trên cùng của lăng kính (xem hình 10). Cách trình bày trực quan về thể tích bằng cách sử dụng các lớp của mảng hình chữ nhật gồm các khối đếm sẽ giúp học sinh khi bắt đầu sử dụng các công thức cho thể tích V = L & # 8729 W & # 8729 H. Tôi sẽ nhấn mạnh sự tương tự với diện tích của hình chữ nhật. Quá trình này tương tự, nhưng bây giờ có một khía cạnh thứ ba để lo lắng.


Yêu cầu về khối lượng và diện tích bề mặt

Các quy trình hỏi đáp toán học: Khám phá lý do thử nghiệm các trường hợp cụ thể. Lĩnh vực điều tra khái niệm: Diện tích bề mặt thể tích hình học chất rắn.

Mặc dù lời nhắc là sai, học sinh thường mất một khoảng thời gian để tìm ra một ví dụ phản bác. Các lớp đã quyết định khám phá & # 39các hình khối nhỏ & # 39 bằng cách vẽ các hình biểu diễn 2 chiều của các hình khối (trên giấy isometric) và lưới của chúng. Kết luận sau đó là tuyên bố là đúng. Tuy nhiên, thể tích và diện tích bề mặt của một hình lập phương có độ dài cạnh 6 đơn vị là số bằng nhau. Các hình khối lớn hơn cho thấy tuyên bố là sai.

Zane Latve , một giáo viên dạy toán ở Latvia, đã đăng bình luận này về cuộc điều tra trên twitter.

Đây là một câu hỏi khác dạy học sinh suy nghĩ về kết cấu của đối tượng toán học đang được điều tra. Như một sinh viên đã nhận xét, & quotChúng ta cần hình dung một trường hợp trong đó không gian bên trong khối lập phương ngày càng lớn hơn trong khi diện tích bề mặt vẫn nhỏ nhất có thể. & Quot Điều này xảy ra khi khối lập phương được tạo ra & # 39thấp hơn & # 39 - nghĩa là khi các giá trị của ba chiều ngày càng trở nên gần nhau hơn.

Một điểm quan trọng cần thực hiện trong cuộc điều tra này (đôi khi được thực hiện bởi một sinh viên trong giai đoạn định hướng của cuộc điều tra) là chúng tôi đang so sánh hai đơn vị đo lường khác nhau - một quan sát có thể dẫn đến một cuộc thảo luận hiệu quả về các kích thước.

Trong giai đoạn đầu của câu hỏi, giáo viên có thể đề xuất đặt các điều kiện giới hạn đối với hình khối mà học sinh vẽ. Cả lớp có thể đồng ý rằng, ví dụ, chiều dài ( l ) + chiều rộng ( w ) + chiều cao ( h ) = 10, thay đổi số khi truy vấn được tiến hành. Mặc dù ràng buộc khiến các phép tính có thể quản lý được đối với học sinh, nhưng nó phủ nhận chúng, ít nhất là trong ngắn hạn, cơ hội để hiển thị lời nhắc là sai.

Không có khả năng sinh viên đề xuất một cách tiếp cận đại số một cách tự phát, nhưng họ có thể áp dụng một cách tiếp cận khi được hiển thị sau một giai đoạn cụ thể ban đầu. Lập công thức về thể tích và diện tích bề mặt của một khối lập phương bằng nhau dẫn đến việc khám phá bằng số: Có thể tìm thấy các giá trị của l , wh , như vậy mà lwh = 2( lw + lh + NS ).

Trong lớp học, học sinh đã gợi ý mở rộng câu hỏi bằng cách xem xét các chất rắn khác. Hình trụ có thể dễ sử dụng hơn hình lăng trụ tam giác bởi vì hình trụ sau này yêu cầu kiến ​​thức về Định lý Pythagoras & # 39 để tính toán diện tích bề mặt một cách chính xác. Học sinh trung học lớn hơn đã mở rộng các câu hỏi của họ thành hình chóp và thậm chí cả hình cầu. Họ có nhiều khả năng sử dụng phương pháp đại số hơn.

Hình ảnh cho thấy các câu hỏi và quan sát của một lớp 10 năm Trường Haverstock (Camden, London, Vương quốc Anh). Cuộc điều tra bắt đầu với một giai đoạn thăm dò, trong đó học sinh cố gắng tìm ra một ví dụ phản bác lại tranh luận trong lời nhắc. Tuy nhiên, cuộc điều tra là đi theo một con đường mới sau khi một cặp học sinh nhận thấy rằng, đối với một hình khối có kích thước l = 5, w = 5 và h = 10, giá trị số của thể tích bằng diện tích bề mặt. Khám phá này đã mở ra con đường cho các sinh viên tìm kiếm các ví dụ khác, trong đó l = w . Ví dụ, khi l = w = 8

Sau đó, lớp học chuyển sang các câu lệnh chung về mối quan hệ giữa NSh khi nào l = w = NS và các trường hợp khác khi l = NSw bằng bội số của NS . Học sinh mở rộng câu hỏi để kết hợp các chất rắn khác, sử dụng phương pháp đại số nhất quán để suy ra mối quan hệ giữa các kích thước khi thể tích bằng diện tích bề mặt.

Rachel Mahoney blog về cách sử dụng lời nhắc với lớp 7 của cô ấy đây . Cô ấy nhận xét giá trị & giá trị mà học sinh nhận được từ các bài học Toán trong câu hỏi thật tuyệt vời và tôi thích điều đó khiến các em tự suy nghĩ và khuyến khích họ đặt câu hỏi. & Quot Cô ấy tiếp tục rằng cuộc điều tra là & hạn ngạch cách tuyệt vời để giúp học sinh của tôi có kỹ năng tư duy và bắt đầu tạo liên kết và phỏng đoán & quot trong khi họ đang thực hành cách tính thể tích và diện tích bề mặt của khối lập phương. Ở cuối blog, bạn có thể tìm thấy các nguồn mà Rachel đã chuẩn bị cho bài học.

James Thorpe đã thử lời nhắc với lớp 10 năm của anh ấy (tập 4). Các câu trả lời và câu hỏi của sinh viên được hiển thị ở trên. James báo cáo rằng một số sinh viên, lúc đầu, hơi nghi ngờ về quá trình điều tra, nhưng họ đã chứng tỏ khả năng phục hồi để làm cho cuộc điều tra thành công. James rất muốn khen ngợi lớp học: & quotCác học sinh thật tuyệt vời và tự hào khi bác bỏ lời nhắc này. Phần thực sự thú vị là khi một học sinh đặt câu hỏi này: & # 39 Điều gì sẽ xảy ra nếu diện tích bề mặt và thể tích giống nhau? & # 39 Tôi tự hào về lũ trẻ! & Quot

James cũng đã thử lời nhắc với thiết lập cuối cùng của mình vào năm 11. Một lần nữa, các học sinh cố gắng bác bỏ lời nhắc và tiếp tục xem xét loại hình lập phương nào sẽ là ví dụ phản chứng. James đã nhận xét về kiểu học tập xảy ra trong cuộc điều tra: & quot

Tại thời điểm cuộc điều tra, James từng là giáo viên dạy toán tại trường trung học John Taylor, Staffordshire (Anh).

Matthew Bernstein , một giáo viên dạy lớp 5/6 tại Trường Công lập Fred Varley (Markham, Ontario), đã đăng những bức ảnh dưới đây lên twitter . Họ cho học sinh xem các câu hỏi ban đầu và khám phá lời nhắc. Matthew báo cáo rằng & quot; Học sinh đã xem xét các khái niệm về thể tích và diện tích bề mặt lần đầu tiên trong năm nay và có thể khám phá ra rất nhiều điều. Họ đã sử dụng hình vẽ, gạch nam châm và biểu đồ để thể hiện tư duy của mình. Ngoài ra, các sinh viên không chỉ có thể chứng minh tuyên bố đó là sai, mà họ còn có thể phát triển quy tắc cho tình huống bằng cách chỉ nghịch ngợm với số học, đó là mục đích của lời nhắc (xem thêm hình ảnh bên dưới). đã vẽ và dẫn chúng ta đến những ý tưởng xung quanh ký hiệu cho các đơn vị hình khối và bình phương. Tôi rất ấn tượng với công việc của họ. & Quot

Đây là những câu hỏi và quan sát ban đầu từ các lớp đạt trình độ hỗn hợp của lớp 8. Các con đường điều tra có thể phát triển từ những câu hỏi và nhận xét này bao gồm:

Thảo luận hoặc hướng dẫn về ý nghĩa của thể tích và diện tích bề mặt và cách tính toán chúng

Phân biệt giữa diện tích và thể tích và các đơn vị đo của chúng

Phát triển và sử dụng công thức cho diện tích bề mặt và thể tích của một khối lập phương

Vẽ biểu diễn 2 chiều của hình khối trên giấy đẳng áp và lưới của chúng trên giấy hình vuông

Kiểm tra nội dung trong lời nhắc có đúng với hình khối và hình lập phương không

Tìm các ví dụ phản bác và giải thích & # 39type & # 39 của hình khối cho thấy ý kiến ​​phản đối là sai


Các chiến lược dạy môn Toán tiểu học

Diện tích bề mặt : Nói chung, diện tích bề mặt là tổng của tất cả các diện tích của tất cả các hình dạng bao phủ bề mặt của vật thể.

Để học sinh hiểu được diện tích bề mặt, trước tiên các em cần hiểu các khái niệm như cơ sở, chiều cao, đường kính, bán kính, số pi, v.v.

Diện tích bề mặt có thể là một khái niệm khó khăn đối với học sinh vì các công thức khác nhau được sử dụng khi xử lý các hình dạng hình học khác nhau.

http://www.math.com/tables/geometry/surfareas.htm -Đây là một liên kết đến một trang web liệt kê các công thức để tìm diện tích bề mặt của các hình dạng cụ thể.

Đây là các liên kết đến Chương trình giảng dạy cốt lõi của Bang Utah để dạy về diện tích bề mặt.

http://www.uen.org/core/core.do?courseNum=5060 Lõi cấp 5 cho diện tích bề mặt. Nó được tìm thấy trong Tiêu chuẩn 4.

http://www.uen.org/core/core.do?courseNum=5050 -6 lõi cho diện tích bề mặt. Nó cũng được tìm thấy trong Tiêu chuẩn 4.

Tiêu chuẩn của NCTM cho lớp 5 được liệt kê như sau:

Hình học và Đo lường và Đại số: Mô tả các hình dạng ba chiều và phân tích các tính chất của chúng, bao gồm thể tích và diện tích bề mặt.
Học sinh liên hệ hình dạng hai chiều với hình dạng ba chiều và phân tích các tính chất của chất rắn đa diện, mô tả chúng bằng số cạnh, mặt hoặc đỉnh cũng như các loại mặt. Học sinh nhận biết thể tích là một thuộc tính của không gian ba chiều. Họ hiểu rằng họ có thể định lượng thể tích bằng cách tìm tổng số đơn vị thể tích có cùng kích thước mà họ cần để lấp đầy không gian mà không có khoảng trống hoặc chồng chéo. Họ hiểu rằng một hình lập phương có cạnh là 1 đơn vị là đơn vị tiêu chuẩn để đo thể tích. Họ lựa chọn các đơn vị, chiến lược và công cụ thích hợp để giải quyết các vấn đề liên quan đến ước tính hoặc đo lường khối lượng. Họ phân hủy các hình dạng ba chiều và tìm diện tích bề mặt và thể tích của lăng kính. Khi chúng làm việc với diện tích bề mặt, chúng tìm và xác minh mối quan hệ giữa các công thức cho diện tích của các đa giác khác nhau. Họ đo lường các thuộc tính cần thiết của hình dạng để sử dụng công thức diện tích để giải quyết vấn đề. (http://www.nctm.org/standards/focalpoints.aspx?id=334)

Kế hoạch bài học - Đây là một số liên kết đến một số trang web có những ý tưởng tuyệt vời cho giáo án diện tích bề mặt:

Các hoạt động -Trên đây là một số liên kết đến một số trang web có các hoạt động tuyệt vời có thể được sử dụng để dạy diện tích bề mặt. Hai liên kết đầu tiên là những ý tưởng đặc biệt hay để dạy về diện tích bề mặt của hình trụ.


Xem video: Fazoviy geometrik shakllar. Piramida. (Tháng Giêng 2022).