Bài viết

11.5: Giải phương trình bậc hai ở dạng bậc hai


Mục tiêu học tập

Đến cuối phần này, bạn sẽ có thể:

  • Giải phương trình ở dạng bậc hai

Trước khi bạn bắt đầu, hãy làm bài kiểm tra sự sẵn sàng này.

  1. Hệ số thay thế: (y ^ {4} -y ^ {2} -20 ).
  2. Hệ số thay thế: ((y-4) ^ {2} +8 (y-4) +15 ).
  3. Đơn giản hóa
    1. (x ^ { frac {1} {2}} cdot x ^ { frac {1} {4}} )
    2. ( left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ {2} )
    3. ( left (x ^ {- 1} right) ^ {2} )

Giải phương trình ở dạng bậc hai

Đôi khi khi chúng tôi tính toán các tam thức, thì tam thức đó không xuất hiện ở dạng (ax ^ {2} + bx + c ). Vì vậy, chúng tôi tính nhân tử bằng cách thay thế cho phép chúng tôi làm cho nó phù hợp với dạng (ax ^ {2} + bx + c ). Chúng tôi đã sử dụng tiêu chuẩn (u ) để thay thế.

Để nhân tử biểu thức (x ^ {4} -4 x ^ {2} -5 ), chúng tôi nhận thấy phần biến của số hạng giữa là (x ^ {2} ) và bình phương của nó, (x ^ {4} ), là phần biến của số hạng đầu tiên. (Chúng tôi biết ( left (x ^ {2} right) ^ {2} = x ^ {4} ).) Vì vậy, chúng tôi cho phép (u = x ^ {2} ) và tính nhân tử.

( left ( color {red} x ^ 2 color {black} right) ^ {2} -4 left ( color {red} x ^ {2} color {black} right) -5 )
Cho (u = x ^ {2} ) và thay thế.
Nhân tử của tam thức. ((u + 1) (u-5) )
Thay thế (u ) bằng (x ^ {2} ). ( left ( color {red} x ^ {2} color {black} + 1 right) left ( color {red} x ^ 2 color {black} -5 right) )

Tương tự, đôi khi một phương trình không ở dạng (ax ^ {2} + bx + c = 0 ) nhưng trông giống như một phương trình bậc hai. Sau đó, chúng ta thường có thể thực hiện một phép thay thế chu đáo sẽ cho phép chúng ta làm cho nó phù hợp với dạng (ax ^ {2} + bx + c = 0 ). Nếu chúng ta có thể làm cho nó phù hợp với dạng, thì chúng ta có thể sử dụng tất cả các phương pháp của mình để giải phương trình bậc hai.

Lưu ý rằng trong phương trình bậc hai (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), số hạng giữa có một biến, (x ), và bình phương của nó, (x ^ {2} ), là phần biến của số hạng đầu tiên. Hãy tìm kiếm mối quan hệ này khi bạn cố gắng tìm sự thay thế.

Một lần nữa, chúng tôi sẽ sử dụng tiêu chuẩn (u ) để thực hiện một phép thay thế sẽ đưa phương trình về dạng bậc hai. Nếu phép thay thế cho chúng ta một phương trình có dạng (ax ^ {2} + bx + c = 0 ), chúng ta nói rằng phương trình ban đầu là của dạng bậc hai.

Ví dụ tiếp theo cho thấy các bước để giải một phương trình ở dạng bậc hai.

Ví dụ ( PageIndex {1} ) Cách giải phương trình ở dạng bậc hai

Giải: (6 x ^ {4} -7 x ^ {2} + 2 = 0 )

Dung dịch:

Bước 1: Xác định một phép thay thế sẽ đưa phương trình về dạng bậc hai.Vì ( left (x ^ {2} right) ^ {2} = x ^ {4} ), chúng tôi cho phép (u = x ^ {2} ).
Bước 2: Viết lại phương trình bằng phép thay thế để đưa về dạng bậc hai.

Viết lại để chuẩn bị thay thế.

Thay thế (u = x ^ {2} ).

Bước 3: Giải phương trình bậc hai cho (u ).

Chúng tôi có thể giải quyết bằng cách bao thanh toán.

Sử dụng Thuộc tính Sản phẩm Zero.

( begin {align} (2 u-1) (3 u-2) & = 0 2 u-1 = 0, 3 u-2 & = 0 2 u = 1,3 u & = 2 u = frac {1} {2} u & = frac {2} {3} end {căn chỉnh} )
Bước 4: Thay thế biến ban đầu trở lại vào kết quả, sử dụng phép thay thế.Thay thế (u ) bằng (x ^ {2} ). (x ^ {2} = frac {1} {2} quad x ^ {2} = frac {2} {3} )
Bước 5: Giải cho biến ban đầu.Giải quyết cho (x ), sử dụng Thuộc tính Căn bậc hai.

( begin {array} {ll} {x = pm sqrt { frac {1} {2}}} & {x = pm sqrt { frac {2} {3}}} { x = pm frac { sqrt {2}} {2}} & {x = pm frac { sqrt {6}} {3}} end {array} )

Có bốn giải pháp.

( begin {array} {ll} {x = frac { sqrt {2}} {2}} & {x = frac { sqrt {6}} {3}} {x = - frac { sqrt {2}} {2}} & {x = - frac { sqrt {6}} {3}} end {array} )

Bước 6: Kiểm tra các giải pháp.Kiểm tra tất cả bốn giải pháp. Chúng tôi sẽ hiển thị một kiểm tra ở đây.

Chúng tôi để lại các séc khác cho bạn!

Bài tập ( PageIndex {1} )

Giải: (x ^ {4} -6 x ^ {2} + 8 = 0 ).

Trả lời

(x = sqrt {2}, x = - sqrt {2}, x = 2, x = -2 )

Bài tập ( PageIndex {2} )

Giải: (x ^ {4} -11 x ^ {2} + 28 = 0 ).

Trả lời

(x = sqrt {7}, x = - sqrt {7}, x = 2, x = -2 )

Chúng tôi tóm tắt các bước để giải một phương trình ở dạng bậc hai.

Giải phương trình ở dạng bậc hai

  1. Xác định một phép thay thế sẽ đưa phương trình về dạng bậc hai.
  2. Viết lại phương trình với phép thay thế để đưa nó về dạng bậc hai.
  3. Giải phương trình bậc hai cho (u ).
  4. Thay thế biến ban đầu trở lại vào kết quả bằng cách sử dụng thay thế.
  5. Giải cho biến ban đầu.
  6. Kiểm tra các giải pháp.

Trong ví dụ tiếp theo, nhị thức ở số hạng giữa, ((x-2) ) được bình phương trong số hạng đầu tiên. Nếu chúng ta cho (u = x-2 ) và thay thế, tam thức của chúng ta sẽ có dạng (a x ^ {2} + b x + c ).

Bài tập ( PageIndex {3} )

Giải: ((x-5) ^ {2} +6 (x-5) + 8 = 0 ).

Trả lời

(x = 3, x = 1 )

Bài tập ( PageIndex {4} )

Giải: ((y-4) ^ {2} +8 (y-4) + 15 = 0 ).

Trả lời

(y = -1, y = 1 )

Trong ví dụ tiếp theo, chúng tôi nhận thấy rằng (( sqrt {x}) ^ {2} = x ). Ngoài ra, hãy nhớ rằng khi chúng ta bình phương cả hai vế của một phương trình, chúng ta có thể đưa ra các căn không liên quan. Hãy chắc chắn để kiểm tra câu trả lời của bạn!

Ví dụ ( PageIndex {3} )

Giải: (x-3 sqrt {x} + 2 = 0 ).

Dung dịch:

( Sqrt {x} ) trong số hạng giữa, được bình phương trong số hạng đầu tiên (( sqrt {x}) ^ {2} = x ). Nếu chúng ta cho (u = sqrt {x} ) và thay thế, tam thức của chúng ta sẽ có dạng (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

Viết lại tam thức để chuẩn bị thay thế.
Cho (u = sqrt {x} ) và thay thế.
Giải quyết bằng bao thanh toán.
Thay thế (u ) bằng ( sqrt {x} ).
Giải cho (x ), bằng cách bình phương cả hai bên.

Kiểm tra:

Bài tập ( PageIndex {5} )

Giải: (x-7 sqrt {x} + 12 = 0 ).

Trả lời

(x = 9, x = 16 )

Bài tập ( PageIndex {6} )

Giải: (x-6 sqrt {x} + 8 = 0 ).

Trả lời

(x = 4, x = 16 )

Việc thay thế cho số mũ hữu tỉ cũng có thể giúp chúng ta giải một phương trình ở dạng bậc hai. Hãy nghĩ đến các thuộc tính của số mũ khi bạn bắt đầu ví dụ tiếp theo.

Ví dụ ( PageIndex {4} )

Giải: (x ^ { frac {2} {3}} - 2 x ^ { frac {1} {3}} - 24 = 0 ).

Dung dịch:

(X ^ { frac {1} {3}} ) ở số hạng giữa được bình phương trong số hạng đầu tiên ( left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ {2 } = x ^ { frac {2} {3}} ). Nếu chúng ta cho (u = x ^ { frac {1} {3}} ) và thay thế, tam thức của chúng ta sẽ có dạng (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

Viết lại tam thức để chuẩn bị thay thế.
Cho (u = x ^ { frac {1} {3}} )
Giải quyết bằng bao thanh toán.

((u-6) (u + 4) = 0 )

(u-6 = 0, quad u + 4 = 0 )

(u = 6, quad u = -4 )

Thay thế (u ) bằng (x ^ { frac {1} {3}} ).

(x ^ { frac {1} {3}} = 6, quad x ^ { frac {1} {3}} = - 4 )

Giải quyết cho (x ) bằng cách chọn cả hai bên.

( left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ {3} = (6) ^ {3}, quad left (x ^ { frac {1} {3}} right) ^ {3} = (- 4) ^ {3} )

(x = 216, quad x = -64 )

Kiểm tra:

Bài tập ( PageIndex {7} )

Giải: (x ^ { frac {2} {3}} - 5 x ^ { frac {1} {3}} - 14 = 0 ).

Trả lời

(x = -8, x = 343 )

Bài tập ( PageIndex {8} )

Giải: (x ^ { frac {1} {2}} + 8 x ^ { frac {1} {4}} + 15 = 0 ).

Trả lời

(x = 81, x = 625 )

Trong ví dụ tiếp theo, chúng ta cần ghi nhớ định nghĩa của số mũ âm cũng như các tính chất của số mũ.

Ví dụ ( PageIndex {5} )

Giải: (3 x ^ {- 2} -7 x ^ {- 1} + 2 = 0 ).

Dung dịch:

(X ^ {- 1} ) ở số hạng giữa là bình phương trong số hạng đầu tiên ( left (x ^ {- 1} right) ^ {2} = x ^ {- 2} ). Nếu chúng ta cho (u = x ^ {- 1} ) và thay thế, tam thức của chúng ta sẽ có dạng (a x ^ {2} + b x + c = 0 ).

Viết lại tam thức để chuẩn bị thay thế.
Cho (u = x ^ {- 1} ) và thay thế.
Giải quyết bằng bao thanh toán. ((3 u-1) (u-2) = 0 )
(3 u-1 = 0, quad u-2 = 0 )
Thay thế (u ) bằng (x ^ {- 1} ).
Giải cho (x ) bằng cách lấy nghịch đảo vì (x ^ {- 1} = frac {1} {x} ).

Kiểm tra:

Bài tập ( PageIndex {9} )

Giải: (8 x ^ {- 2} -10 x ^ {- 1} + 3 = 0 ).

Trả lời

(x = frac {4} {3}, x = 2 )

Bài tập ( PageIndex {10} )

Giải: (6 x ^ {- 2} -23 x ^ {- 1} + 20 = 0 ).

Trả lời

(x = frac {2} {5}, x = frac {3} {4} )

Truy cập tài nguyên trực tuyến này để có thêm hướng dẫn và thực hành giải phương trình bậc hai.

  • Giải phương trình ở dạng bậc hai

Ý chính

  • Cách giải phương trình ở dạng bậc hai.
    1. Xác định một phép thay thế sẽ đưa phương trình về dạng bậc hai.
    2. Viết lại phương trình với phép thay thế để đưa nó về dạng bậc hai.
    3. Giải phương trình bậc hai cho (u ).
    4. Thay thế biến ban đầu trở lại vào kết quả bằng cách sử dụng thay thế.
    5. Giải cho biến ban đầu.
    6. Kiểm tra các giải pháp.

11.5 Giải hệ phương trình phi tuyến

Chúng ta đã học cách giải hệ phương trình tuyến tính hai biến bằng cách vẽ đồ thị, thay thế và loại bỏ. Chúng ta sẽ sử dụng các phương pháp tương tự như chúng ta xem xét các hệ phương trình phi tuyến với hai phương trình và hai biến. MỘT hệ phương trình phi tuyến là một hệ mà ít nhất một trong các phương trình không tuyến tính.

Ví dụ, mỗi hệ thống sau đây là một hệ phương trình phi tuyến tính.

Hệ phương trình phi tuyến tính

MỘT hệ phương trình phi tuyến là một hệ mà ít nhất một trong các phương trình không tuyến tính.

Cũng như với hệ phương trình tuyến tính, nghiệm của hệ phi tuyến là một cặp có thứ tự làm cho cả hai phương trình đều đúng. Trong một hệ thống phi tuyến, có thể có nhiều hơn một giải pháp. Chúng ta sẽ thấy điều này khi chúng ta giải một hệ phương trình phi tuyến bằng cách vẽ đồ thị.

Khi chúng ta giải hệ phương trình tuyến tính, nghiệm của hệ là giao điểm của hai đường thẳng. Với hệ phương trình phi tuyến, đồ thị có thể là hình tròn, parabol hoặc hypebol và có thể có một số giao điểm, và một số nghiệm. Khi bạn xác định được các biểu đồ, hãy hình dung các cách khác nhau mà các biểu đồ có thể giao nhau và do đó có thể có bao nhiêu giải pháp.

Để giải hệ phương trình phi tuyến bằng đồ thị, về cơ bản chúng ta sử dụng các bước tương tự như đối với hệ phương trình tuyến tính được sửa đổi một chút đối với phương trình phi tuyến. Các bước được liệt kê dưới đây để tham khảo.


Ví dụ làm việc 8: Sử dụng công thức bậc hai

Giải cho (x ) và để lại câu trả lời của bạn ở dạng đơn giản nhất: (2x ^ 2 + 3x = 7 )

Kiểm tra xem biểu thức có thể được phân tích nhân tử hay không

Biểu thức không thể được nhân tử hóa, do đó phải sử dụng công thức bậc hai tổng quát.

Viết phương trình ở dạng chuẩn (a^ + bx + c = 0 )

Xác định các hệ số để thay thế vào công thức

[a = 2 qquad b = 3 qquad c = -7 ]

Áp dụng công thức bậc hai

Luôn viết ra công thức trước và sau đó thay thế các giá trị của (a ), (b ) và (c ).

Viết câu trả lời cuối cùng


Làm thế nào để giải phương trình bậc hai?

Bây giờ bạn đã biết những kiến ​​thức cơ bản về phương trình tuyến tính, hãy để & rsquos giúp bạn tìm hiểu khái niệm về phương trình bậc hai.

Phương trình bậc hai là một phương trình đại số có một biến bậc hai và có thể viết dưới dạng:

Ax 2 + Bx + C = 0

NSlà biến không xác định,

MỘTNSlà các hệ số,

Clà hằng số.


Các ví dụ về công thức tính bậc hai khác

Nhập biểu thức toán học của bạn vào vùng văn bản được cung cấp. Đảm bảo rằng bạn sử dụng đúng bộ ký hiệu và ký hiệu.

Sau khi thực hiện xong, hãy nhấn nút tính toán để lấy rễ. Máy tính công thức bậc hai này giúp bạn tìm nghiệm nguyên của phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức bậc hai. Với giải pháp từng bước, việc học đại số tại EquationCalc.com thực sự dễ dàng.

Các ký hiệu Toán học được chấp nhận và cách sử dụng chúng Nếu bạn chọn viết các câu lệnh toán học của mình, đây là danh sách các ký hiệu toán học và toán tử được chấp nhận.


Các câu hỏi về số phức và phương trình bậc hai MCQs Lớp 11 có câu trả lời

Học sinh nên giải các câu hỏi trắc nghiệm về Số phức và Phương trình bậc hai của Toán lớp 11 để biết các khái niệm khác nhau. Luyện tập câu hỏi MCQ về số phức và phương trình bậc hai lớp 11 có đáp án sẽ nâng cao sự tự tin của bạn, từ đó giúp bạn đạt điểm cao trong kỳ thi.

Khám phá nhiều câu hỏi MCQ về Số phức và Phương trình bậc hai Lớp 11 với câu trả lời được cung cấp kèm theo lời giải chi tiết bằng cách xem bên dưới.

Câu hỏi 1.
Hãy để z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình z² + az + b = 0, z là phức. Ngoài ra, giả định rằng nguồn gốc, z1 và z2 tạo thành một tam giác đều. sau đó
(a) a² = b
(b) a² = 2b
(c) a² = 3b
(d) a² = 4b

Câu hỏi 2.
Giá trị của tôi tôi là
(a) 0
(b) e -π
(c) 2e -π / 2
(d) e -π / 2

Đáp số: (d) e -π / 2
Cho A = i i
⇒ log A = i log i
⇒ log A = i log (0 + i)
⇒ log A = i [log 1 + i tan -1 ∞]
⇒ log A = i [0 + i π / 2]
⇒ log A = -π / 2
⇒ A = e -π / 2

Câu hỏi 3.
Giá trị của √ (-25) + 3√ (-4) + 2√ (-9) là
(a) 13 tôi
(b) -13 tôi
(c) 17 tôi
(d) -17 tôi

Câu hỏi 4.
Nếu các gốc lập phương của sự thống nhất là 1, ω và ω², thì giá trị của (1 + ω / ω²) ³ là
(a) 1
(b) -1
(c) ω
(d) ω²

Trả lời: (b) -1
Cho trước, các gốc lập phương của sự thống nhất là 1, ω và ω²
Vì vậy, 1 + ω + ω² = 0
và ω³ = 1
Bây giờ, <(1 + ω) / ω²> ³ = <-ω² / ω²> ³ = <-1> ³ = -1

Câu hỏi 5.
Nếu <(1 + i) / (1 & # 8211 i)> ⁿ = 1 thì giá trị nhỏ nhất của n là
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) 4

Câu hỏi 6.
Giá trị của [i 19 + (1 / i) 25] ² là
(a) -1
(b) -2
(c) -3
(d) -4

Đáp án: (d) -4
Cho trước, [i 19 + (1 / i) 25] ²
= [tôi 19 + 1 / tôi 25] ²
= [tôi 16 × i³ + 1 / (tôi 24 × i)] ²
= [1 × i³ + 1 / (1 × i)] ²
= [i³ + 1 / i] ²
= [i² × i + 1 / i] ²
= [(-1) × i + 1 / i] ²
= [-i + 1 / i] ²
= [-i + i 4 / i] ²
= [-i + i³] ²
= [-i + i² × i] ²
= [-i + (-1) × i] ²
= [-i & # 8211 i] ²
= [-2i] ²
= 4i²
= 4 × (-1)
= -4
Vì vậy, [i 19 + (1 / i) 25] ² = -4

Câu hỏi 7.
Nếu z và w là hai số phức sao cho | z | ≤ 1, | w | ≤ 1 và | z + iw | = | z & # 8211 iw | = 2, thì z bằng
(a) 1 hoặc tôi
(b) tôi hoặc & # 8211 tôi
(c) 1 hoặc & # 8211 1
(d) tôi hoặc & # 8211 1

Trả lời: (c) 1 hoặc & # 8211 1
Cho trước | z + iw | = | z & # 8211 iw | = 2
⇒ | z & # 8211 (-iw) | = | z & # 8211 (iw) | = 2
⇒ | z & # 8211 (-iw) | = | z & # 8211 (-iw) |
Vì vậy, z nằm trên đường phân giác vuông góc của đường nối -iw và -iw.
Vì, -iw là gương trong trục x, quỹ tích của z là trục x.
Cho z = x + iy và y = 0
⇒ | z | & lt 1 và x² + 0² & lt 0
⇒ -1 ≤ x ≤ 1
Vì vậy, z có thể nhận giá trị 1 hoặc -1

Câu hỏi 8.
Giá trị của <-√ (-1)> 4n + 3, n ∈ N là
(a) tôi
(b) -i
(c) 1
(d) -1

Câu hỏi 9.
Tìm thực θ sao cho (3 + 2i × sin θ) / (1 & # 8211 2i × sin θ) là thực
(a) π
(b) nπ
(c) nπ / 2
(d) 2nπ

Trả lời: (b) nπ
Được cho,
(3 + 2i × sin θ) / (1 & # 8211 2i × sin θ) = <(3 + 2i × sin θ) × (1 & # 8211 2i × sin θ)> / (1 & # 8211 4i² × sin² θ)
(3 + 2i × sin θ) / (1 & # 8211 2i × sin θ) = <(3 & # 8211 4sin² θ) + 8i × sin θ> / (1 + 4sin² θ) & # 8230 & # 8230 & # 8230 & # 8230. 1
Bây giờ, phương trình 1 là thực nếu sin θ = 0
⇒ sin θ = sin nπ
⇒ θ = nπ

Câu hỏi 10.
Nếu i = √ (-1) thì 4 + 5 (-1/2 + i√3 / 2) 334 + 3 (-1/2 + i√3 / 2) 365 bằng
(a) 1 & # 8211 i√3
(b) -1 + i√3
(c) i√3
(d) -i√3

Trả lời: (c) i√3
Cho trước, 4 + 5 (-1/2 + i√3 / 2) 334 + 3 (-1/2 + i√3 / 2) 365
= 4 + 5w 334 + 3w 365
= 4 + 5w + 3w²
= 4 + 5 (-1/2 + i√3 / 2) + 3 (-1/2 & # 8211 i√3 / 2)
= i√3

Câu hỏi 11.
Phần thực của số phức √9 + √ (-16) là
(a) 3
(b) -3
(c) 4
(d) -4

Trả lời: (a) 3
Cho trước, √9 + √ (-16) = √9 + √ (16) × √ (-1)
= 3 + 4i
Vì vậy, phần thực của số phức là 3

Câu hỏi 12.
Mô đun của 5 + 4i là
(a) 41
(b) -41
(c) √41
(d) -√41

Đáp án: (c) √41
Cho Z = 5 + 4i
Bây giờ mô-đun của Z được tính là
| Z | = √ (5² + 4²)
⇒ | Z | = √ (25 + 16)
⇒ | Z | = √41
Vì vậy, môđun của 5 + 4i là √41

Câu hỏi 13.
Môđun của 1 + i√3 là
(a) 1
(b) 2
(c) 3
(d) Không có cái nào trong số này

Trả lời: (b) 2
Cho Z = 1 + i√3
Bây giờ mô-đun của Z được tính là
| Z | = √ <1² + (√3) ²>
⇒ | Z | = √ (1 + 3)
⇒ | Z | = √4
⇒ | Z | = 2
Vì vậy, môđun của 1 + i√3 là 2

Câu hỏi 14.
Giá trị của <-√ (-1)> 4n + 3, n ∈ N là
(a) tôi
(b) -i
(c) 1
(d) -1

Câu hỏi 15.
Nếu ω là nghiệm nguyên lập phương (ω ≠ 1) thì giá trị nhỏ nhất của n với n là số nguyên dương sao cho (1 + ω²) ⁿ = (1 + ω 4) ⁿ là
(a) 2
(b) 3
(c) 5
(d) 6

Trả lời: (b) 3
Cho ω là một căn nguyên lập phương tưởng tượng của sự thống nhất.
Vậy 1 + ω + ω² = 0 và ω³ = 1
Bây giờ, (1 + ω²) ⁿ = (1 + ω 4) ⁿ
⇒ (-1) ⁿ × (ω) ⁿ = (1 + ω × ω³) ⁿ
⇒ (-1) ⁿ × (ω) ⁿ = (1 + ω) ⁿ
⇒ (-1) ⁿ × (ω) ⁿ = (-ω²) ⁿ
⇒ (-1) ⁿ × (ω) ⁿ = (-1) ⁿ × ω²ⁿ
⇒ ωⁿ = ω²ⁿ
Vì ω³ = 1 nên giá trị nhỏ nhất của n là 3

Câu hỏi 16.
Giá trị của i 9 + i 10 + i 11 + i 12 là
(a) tôi
(b) 2i
(c) 0
(d) 1

Đáp án: (c) 0
Cho trước, i 9 + i 10 + i 11 + i 12
= i9 (1 + i + i2 + i3)
= i9 (1 + i & # 8211 1 & # 8211 i)
= i9 × 0
= 0

Câu hỏi 17.
Nếu a = cos α + i sin α và b = cos β + i sin β, thì giá trị của 1/2 (ab + 1 / ab) là
(a) sin (α + β)
(b) cos (α + β)
(c) sin (α & # 8211 β)
(d) cos (α & # 8211 β)

Đáp số: (b) cos (α + β)
Cho a = cos α + i sin α và b = cos β + i sin β
Bây giờ, 1 / a = 1 / (cos α + i sin α)
⇒ 1 / a = <1 × (cos α & # 8211 i sin α) / <(cos α + i sin α) × (cos α + i sin α)>
⇒ 1 / a = (cos α & # 8211 i sin α) / (cos² α + i sin² α)
⇒ 1 / a = (cos α & # 8211 i sin α)
Một lần nữa, 1 / b = 1 / (cos β + i sin β)
⇒ 1 / b = <1 × (cos β & # 8211 i sin β) / <(cos β + i sin β) × (cos β + i sin β)>
⇒ 1 / b = (cos β & # 8211 i sin β) / (cos² β + i sin² β)
⇒ 1 / b = (cos β & # 8211 i sin β)
Bây giờ, ab = (cos α + i sin α) × (cos β + i sin β)
⇒ ab = cos α × cos β + i cos α × sin β + i sin α × cos β & # 8211 sin α × sin β
Một lần nữa, 1 / ab = (cos α & # 8211 i sin α) × (cos β & # 8211 i sin β)
⇒ 1 / ab = cos α × cos β & # 8211 i cos α × sin β & # 8211 i sin α × cos β & # 8211 sin α × sin β
Bây giờ, ab + 1 / ab = cos α × cos β + i cos α × sin β + i sin α × cos β & # 8211 sin α × sin β + cos α × cos β & # 8211 i cos α × sin β & # 8211 tôi sin α × cos β & # 8211 sin α × sin β
⇒ ab + 1 / ab = 2 (cos α × cos β & # 8211 sin α × sin β)
⇒ 1/2 (ab + 1 / ab) = 2 (cos α × cos β & # 8211 sin α × sin β) / 2
⇒ 1/2 (ab + 1 / ab) = cos α × cos β & # 8211 sin α × sin β
⇒ 1/2 (ab + 1 / ab) = cos (α + β)

Câu hỏi 18.
Dạng cực của -1 + i là
(a) √2 (cos π / 2 + i × sin π / 2)
(b) √2 (cos π / 4 + i × sin π / 4)
(c) √2 (cos 3π / 2 + i × sin 3π / 2)
(d) √2 (cos 3π / 4 + i × sin 3π / 4)

Đáp số: (d) √2 (cos 3π / 4 + i × sin 3π / 4)
Dạng cực của số plex com = r (cos θ + i × sin θ)
Cho trước, số phức = -1 + i
Cho x + iy = -1 + i
Bây giờ, x = -1, y = 1
Bây giờ, r = √ <(- 1) ² + 1²> = √ (1 + 1) = √2
và tan θ = y / x
⇒ tan θ = 1 / (- 1)
⇒ tan θ = -1
⇒ θ = 3π / 4
Bây giờ, dạng cực là √2 (cos 3π / 4 + i × sin 3π / 4)

Câu hỏi 19.
Đối với tất cả các số phức z1, z2 thỏa mãn | z1| = 12 và | z2 & # 8211 3 & # 8211 4i | = 5, giá trị nhỏ nhất của | z1 & # 8211 z2| Là
(a) 0
(b) 2
(c) 7
(d) 17

Trả lời: (b) 2
Cho tất cả các số phức z1, z2 thỏa mãn | z1| = 12 và | z2 & # 8211 3 & # 8211 4i | = 5
Bây giờ, mod (z1) = 12 đại diện cho một vòng tròn có tâm là 0 và bán kính 12
mod (z2 & # 8211 3 & # 8211 4i) = 5 đại diện cho một hình tròn có tâm là (3, 4) và bán kính 5
Đường tròn này đi qua điểm gốc. Khoảng cách của đầu đối diện theo đường kính là 10
Vì vậy, giá trị nhỏ nhất (z1 & # 8211 z2) = 2

Câu hỏi 20.
Giá trị của (1 & # 8211 i) ² là
(a) tôi
(b) -i
(c) 2i
(d) -2i

Đáp án: (d) -2i
Cho trước, (1 & # 8211 i) ² = 1 + i² & # 8211 2i
= 1 + (-1) & # 8211 2i
= 1 & # 8211 1 & # 8211 2i
= -2i

Chúng tôi tin rằng kiến ​​thức được chia sẻ về Câu hỏi MCQ NCERT dành cho Toán lớp 11 Chương 5 Số phức và Phương trình bậc hai có đáp án tải xuống miễn phí Pdf là hữu ích trong chừng mực có thể. Nếu bạn có bất kỳ câu hỏi nào khác liên quan đến CBSE Lớp 11 Toán Số phức và Phương trình bậc hai Câu hỏi trắc nghiệm có đáp án MCQs, vui lòng liên hệ với chúng tôi qua phần bình luận và chúng tôi sẽ hướng dẫn bạn giải pháp khả thi.


Ví dụ làm việc 2: Dãy bậc hai

Viết ra hai số hạng tiếp theo và xác định phương trình cho (n ^ < text> ) thuật ngữ của dãy ( text <5> ) ( text <12> ) ( text <23> ) ( text <38> ) ( ldots )

Tìm sự khác biệt đầu tiên giữa các thuật ngữ

Tìm sự khác biệt thứ hai giữa các thuật ngữ

Vì vậy, có một sự khác biệt thứ hai phổ biến của ( text <4> ). Do đó, chúng ta có thể kết luận rằng đây là một dãy bậc hai có dạng (T_n = an ^ 2 + bn + c ).

Tiếp tục trình tự, sự khác biệt đầu tiên tiếp theo sẽ là:

Tìm hai số hạng tiếp theo trong dãy

Hai thuật ngữ tiếp theo sẽ là:

Xác định số hạng chung cho dãy số

Để tìm giá trị của (a ), (b ) và (c ) cho (T_n = an ^ 2 + bn + c ), chúng ta nhìn vào ( text <3> ) đầu tiên các điều khoản trong chuỗi:

ắt đầu n = 1: T_1 & amp = a + b + c n = 2: T_2 & amp = 4a + 2b + c n = 3: T_3 & amp = 9a + 3b + c end

Chúng tôi giải một tập hợp các phương trình đồng thời để xác định các giá trị của (a ), (b ) và (c )

Chúng tôi biết rằng (T_1 = 5 ), (T_2 = 12 ) và (T_3 = 23 )

ắt đầu a + b + c & amp = 5 4a + 2b + c & amp = 12 9a + 3b + c & amp = 23 endắt đầu T_2 - T_1 & amp = 4a + 2b + c - (a + b + c) 12 - 5 & amp = 4a + 2b + c - a - b - c 7 & amp = 3a + b qquad ldots (1 ) chấm dứtắt đầu T_3 - T_2 & amp = 9a + 3b + c - (4a + 2b + c) 23 - 12 & amp = 9a + 3b + c - 4a - 2b - c 11 & amp = 5a + b qquad ldots (2 ) chấm dứtắt đầu (2) - (1) & amp = 5a + b - (3a + b) 11 - 7 & amp = 5a + b - 3a - b 4 & amp = 2a do đó a & amp = 2 endắt đầu chữ (1): quad 3 (2) + b & amp = 7 do đó b & amp = 1 text quad a + b + c & amp = 5 2 + 1 + c & amp = 5 do đó c & amp = 1 end

Viết thuật ngữ chung cho dãy số


Bản chất của rễ của một phương trình bậc hai

Tính chất của nghiệm nguyên của phương trình bậc hai được xác định bởi nó được gọi là nghiệm phân biệt của phương trình bậc hai.

  • Trường hợp 1: Nếu D dương thì các gốc là thực và không bằng nhau.
  • Trường hợp 2: Nếu D là một phương trình hoàn hảo và a, b, c đều là các số hữu tỉ thì hai căn là thực, hữu tỉ và không bằng nhau.
  • Trường hợp 3: Nếu D là số dương, nhưng không phải là một hình vuông hoàn hảo, thì đó là thực và không hợp lý. Trong trường hợp này, các gốc là có thật, không hợp lý và không bình đẳng.
  • Trường hợp 4: Nếu D = 0 thì hai nghiệm nguyên bằng nhau.
  • Trường hợp 5: Nếu D là âm, thì các gốc là ảo hoặc phức. [Tham khảo Ví dụ 3 của chương này]

Ví dụ 10: Chứng minh rằng phương trình sẽ có nghiệm nguyên nếu và chỉ khi,.

có dạng nào, ở đâu

Để phương trình đã cho có các nghiệm nguyên bằng nhau, chúng ta phải có,


Dữ liệu cho Giải phương trình bậc hai

  • Để làm điều này, chúng tôi sẽ nhập phương trình bậc hai của chúng tôi y = a + bx + cx ^ 2 và cũng xác định gốc của biến “ NS ”Bằng cách nhập công thức bậc hai này x0 = [-b ± SQRT (b ^ 2 - 4ac] / 2a

Hình 2: Công thức bậc hai

  • Bây giờ chúng ta sẽ chuẩn bị một bảng cho các gốc của “X” là “x1” và “x2”, và mô tả các giá trị cho các biến trong phương trình của “X” là “a, b và c”

Hình 3: Bảng rễ

Hình 4a: Công thức nghiệm nguyên dương của phương trình

Hình 4b: Đáp án cho nghiệm nguyên dương của phương trình

  • Bây giờ chúng tôi sẽ lặp lại thao tác tương tự cho “ x2 " qua sao chép, dán và thay đổi“+” đăng nhập vào một “ “Dấu trừ trong công thức ở Tế bào B12 như = (- B8-SQRT (B8 ^ 2-4 * B7 * B9)) / (2 * B7)

Hình 5a: Công thức nghiệm nguyên âm của phương trình

Hình 5b: Phương trình bậc hai đã giải


Xem video: 22-Dar. Kvadrat Tenglamalar (Tháng Giêng 2022).