Bài viết

5.1: Giới thiệu và các hệ thống đếm và số cơ bản - Toán học


Giới thiệu

Khi chúng ta bắt đầu hành trình xuyên suốt lịch sử toán học, một câu hỏi được đặt ra là "Chúng ta bắt đầu từ đâu?" Tùy thuộc vào cách bạn xem toán học hoặc các con số, bạn có thể chọn bất kỳ điểm khởi động nào để bắt đầu từ đó. Howard Eves gợi ý danh sách các khả năng sau đây. [I]

Bắt đầu nghiên cứu lịch sử toán học từ đâu…

  • Ở những “bằng chứng” hình học logic đầu tiên theo truyền thống được ghi nhận là của Thales of Miletus (600 TCN).
  • Với việc xây dựng các phương pháp đo lường do người Ai Cập và người Lưỡng Hà / Babylon thực hiện.
  • Nơi các dân tộc tiền sử đã nỗ lực sắp xếp các khái niệm về kích thước, hình dạng và số lượng.
  • Trong thời kỳ tiền nhân loại, theo nghĩa số rất đơn giản và nhận dạng mẫu có thể được hiển thị bởi một số loài động vật, chim, v.v.
  • Ngay cả trước đó trong các mối quan hệ tuyệt vời của số lượng và hình dạng được tìm thấy trong thực vật.
  • Với tinh vân xoắn ốc, quá trình tự nhiên của các hành tinh và các hiện tượng vũ trụ khác.

Chúng ta có thể chọn không có điểm xuất phát nào cả và thay vào đó đồng ý rằng toán học có luôn luôn tồn tại và chỉ đơn giản là đang chờ đợi con người trong đôi cánh khám phá. Mỗi vị trí trong số này có thể được bảo vệ ở một mức độ nào đó và bạn chấp nhận cái nào (nếu có) phần lớn phụ thuộc vào những ý tưởng triết học của bạn về toán học và con số.

Tuy nhiên, chúng ta cần một điểm khởi đầu. Nếu không đưa ra đánh giá về tính hợp lệ của bất kỳ khả năng cụ thể nào trong số này, chúng tôi sẽ chọn làm điểm xuất phát của ý tưởng về số và quá trình đếm làm bệ phóng của chúng tôi. Điều này được thực hiện chủ yếu như một vấn đề thực tế dựa trên bản chất của khóa học này. Trong chương sau, chúng tôi sẽ cố gắng tập trung vào hai ý chính. Đầu tiên sẽ là kiểm tra các hệ thống đếm và số cơ bản cũng như các ký hiệu mà chúng tôi sử dụng cho các con số. Chúng ta sẽ xem xét hệ thống số hiện đại (phương Tây) của chúng ta cũng như hệ thống số của một vài nền văn minh được chọn lọc để xem sự khác biệt và đa dạng có thể xảy ra khi con người bắt đầu đếm. Ý tưởng thứ hai chúng ta sẽ xem xét các hệ thống cơ sở. Bằng cách so sánh hệ thống cơ số mười (thập phân) của chúng ta với các cơ số khác, chúng ta sẽ nhanh chóng nhận ra rằng hệ thống mà chúng ta đã quen thuộc, khi được thay đổi một chút, sẽ thách thức quan niệm của chúng ta về các con số và biểu tượng của những con số đó thực sự có ý nghĩa gì.

Nhận biết nhiều hơn và ít hơn

Ý tưởng về những con số và quá trình đếm đã vượt xa khi lịch sử bắt đầu được ghi lại. Có một số bằng chứng khảo cổ học cho thấy con người đã đếm ngược cách đây 50.000 năm. [Ii] Tuy nhiên, chúng ta không thực sự biết quá trình này bắt đầu hoặc phát triển như thế nào theo thời gian. Điều tốt nhất chúng ta có thể làm là phỏng đoán chính xác xem mọi thứ tiến triển như thế nào. Có lẽ không khó để tin rằng ngay cả những con người đầu tiên cũng có một số ý thức về hơnít hơn. Ngay cả một số động vật nhỏ cũng được chứng minh là có ý thức như vậy. Ví dụ, một nhà tự nhiên học kể về việc anh ta sẽ bí mật loại bỏ một quả trứng mỗi ngày khỏi tổ của chim ăn thịt. Con mẹ chăm chỉ đẻ thêm một quả trứng mỗi ngày để bù cho quả trứng bị thiếu. Một số nghiên cứu đã chỉ ra rằng gà mái có thể được huấn luyện để phân biệt giữa số lượng miếng thức ăn chẵn và lẻ. [Iii] Với những phát hiện này, không khó để hình dung rằng con người ban đầu có (ít nhất) cảm giác tương tự về nhiều hơn và ít hơn. Tuy nhiên, phỏng đoán của chúng tôi về cách thức và thời điểm những ý tưởng này xuất hiện giữa con người chỉ đơn giản là vậy; những phỏng đoán được giáo dục dựa trên những giả định của chính chúng ta về những gì có thể xảy ra hoặc có thể xảy ra.

Nhu cầu đếm đơn giản

Khi xã hội và loài người phát triển, chỉ cần có ý thức về nhiều hay ít, thậm chí hoặc kỳ quặc, v.v., sẽ không đủ để đáp ứng các nhu cầu của cuộc sống hàng ngày. Khi các bộ lạc và nhóm hình thành, điều quan trọng là có thể biết có bao nhiêu thành viên trong nhóm và có lẽ bao nhiêu người đang ở trong trại của kẻ thù. Chắc chắn điều quan trọng đối với họ là phải biết đàn cừu hoặc những con vật bị quỷ ám khác đang tăng hay giảm kích thước. "Dù sao chúng ta có bao nhiêu người trong số họ?" là một câu hỏi mà chúng ta không khó tưởng tượng họ tự hỏi mình (hoặc lẫn nhau).

Để đếm các vật như động vật, người ta thường phỏng đoán rằng một trong những phương pháp sớm nhất để làm như vậy là dùng "que đếm". Đây là những đối tượng được sử dụng để theo dõi số lượng các mục được đếm. Với phương pháp này, mỗi “que” (hoặc viên sỏi, hoặc bất kỳ thiết bị đếm nào đang được sử dụng) đại diện cho một con vật hoặc đồ vật. Phương pháp này sử dụng ý tưởng của một số này tương ứng với một số kia. Trong thư từ 1-1, các mục đang được đếm được liên kết duy nhất với một số công cụ đếm.

Trong hình bên phải, bạn thấy mỗi que tương ứng với một con ngựa. Bằng cách kiểm tra bộ sưu tập que trong tay, người ta biết có bao nhiêu con vật nên có mặt. Bạn có thể tưởng tượng sự hữu ích của một hệ thống như vậy, ít nhất là đối với số lượng mục nhỏ hơn để theo dõi. Nếu người chăn gia súc muốn “đếm ngược” các con vật của mình để đảm bảo rằng tất cả chúng đều có mặt, anh ta có thể nhẩm (hoặc có phương pháp) gán mỗi cây gậy cho một con vật và tiếp tục làm như vậy cho đến khi anh ta hài lòng rằng tất cả đã được tính hết.

Tất nhiên, trong hệ thống hiện đại của chúng tôi, chúng tôi đã thay thế các thanh bằng các đối tượng trừu tượng hơn. Cụ thể, cây gậy trên cùng được thay thế bằng biểu tượng “1” của chúng ta, cây gậy thứ hai được thay thế bằng chữ “2” và cây gậy thứ ba được biểu thị bằng biểu tượng “3”, nhưng chúng tôi đang vượt lên chính mình ở đây. Những biểu tượng hiện đại này đã mất nhiều thế kỷ để xuất hiện.

Một cách có thể khác để sử dụng phương pháp đếm “que tính” là tạo dấu hoặc cắt các vết khía thành các mảnh gỗ, hoặc thậm chí buộc các nút bằng dây (như chúng ta sẽ thấy ở phần sau). Vào năm 1937, Karl Absolom đã phát hiện ra một bộ xương sói có từ 30.000 năm trước. Nó được cho là một thiết bị đếm. [Iv] Một ví dụ khác về loại công cụ này là Ishango Bone, được phát hiện vào năm 1960 tại Ishango, và được hiển thị bên dưới. [V] Nó được báo cáo là có tuổi đời từ sáu đến chín nghìn năm và hiển thị những gì dường như là dấu hiệu được sử dụng để đếm một số loại.

Các dấu trên hàng (a) và (b) mỗi hàng cộng tới 60. Hàng (b) chứa các số nguyên tố từ 10 đến 20. Hàng (c) dường như minh họa cho phương pháp nhân đôi và nhân đôi được người Ai Cập sử dụng. Người ta tin rằng điều này cũng có thể đại diện cho một bộ đếm pha mặt trăng.

Lời nói

Khi các phương pháp đếm được phát triển và ngôn ngữ cũng tiến bộ, điều tự nhiên là người ta mong đợi rằng các từ được nói cho các con số sẽ xuất hiện. Thật không may, sự phát triển của những từ này, đặc biệt là những từ tương ứng với các số từ một đến mười, không dễ dàng để theo dõi. Tuy nhiên, 10 năm qua, chúng tôi thấy một số mẫu:

Mười một xuất phát từ "ein life", có nghĩa là "một phần còn lại."

Mười hai xuất phát từ "cuộc sống tweet", có nghĩa là "còn lại hai."

Mười ba đến từ "Ba và mười" cũng như mười bốn đến mười chín.

Hai mươi dường như đến từ “twe-tig” có nghĩa là “hai chục”.

Trăm có lẽ xuất phát từ một thuật ngữ có nghĩa là “mười lần”.

Số viết

Khi chúng ta nói về các con số "viết", chúng ta phải cẩn thận vì điều này có thể có nhiều nghĩa. Điều quan trọng cần nhớ là giấy hiện đại chỉ mới hơn 100 năm tuổi một chút, vì vậy “chữ viết” trong quá khứ thường có những hình thức có thể trông khá xa lạ với chúng ta ngày nay.

Như chúng ta đã thấy trước đó, một số người có thể coi những thanh gỗ có khía trên đó là chữ viết vì đây là phương tiện ghi lại thông tin trên một phương tiện mà người khác có thể “đọc” được. Tất nhiên, các ký hiệu được sử dụng (các khía đơn giản) chắc chắn không mang lại nhiều tính linh hoạt cho việc truyền đạt nhiều ý tưởng hoặc thông tin.

Các phương tiện khác mà "chữ viết" có thể đã diễn ra bao gồm chạm khắc trên đá hoặc viên đất sét, giấy giẻ làm bằng tay (12NS thế kỷ ở Châu Âu, nhưng sớm hơn ở Trung Quốc), giấy cói (do người Ai Cập phát minh và được sử dụng cho đến tận người Hy Lạp), và giấy da từ da động vật. Và đây chỉ là một vài trong số rất nhiều khả năng.

Đây chỉ là một vài ví dụ về các phương pháp đếm ban đầu và các ký hiệu đơn giản để biểu diễn số. Nhiều sách, bài báo và nghiên cứu đã được thực hiện về chủ đề này và có thể cung cấp đủ thông tin để lấp đầy toàn bộ khóa học này nếu chúng tôi cho phép. Phạm vi và sự đa dạng của tư tưởng sáng tạo đã được sử dụng trong quá khứ để mô tả các con số và đếm các đối tượng và con người thật đáng kinh ngạc. Thật không may, chúng tôi không có thời gian để xem xét tất cả, nhưng thật vui và thú vị khi xem xét một hệ thống chi tiết hơn để xem những người tài tình đã làm như thế nào.


[i] Eves, Howard; Giới thiệu Lịch sử Toán học, tr. 9.

[ii] Eves, tr. 9.

[iii] McLeish, John; Câu chuyện về những con số - Toán học đã hình thành nền văn minh như thế nào, tr. 7.

[iv] Bunt, Lucas; Jones, Phillip; Ngủ gật, Jack; Nguồn gốc Lịch sử của Toán học Sơ cấp, tr. 2.

[v] http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/mad_zaire-uganda.html


Trước khi bắt đầu, chúng ta hãy thử một hoạt động nhỏ cho vui. Có nhiều cách khác nhau để biểu diễn một màu, nhưng một trong những cách phổ biến nhất là mô hình màu RGB. Sử dụng mô hình này, mọi màu sắc được tạo thành từ sự kết hợp của nhiều màu đỏ, xanh lá cây và xanh lam khác nhau.

Bạn có thể tự hỏi làm thế nào màu sắc liên quan đến hệ thống số. Nói tóm lại, trên máy tính, bất kỳ màu nào cũng được lưu trữ dưới dạng một số lượng lớn: sự kết hợp của màu đỏ, xanh lá cây và xanh lam. (Chúng ta sẽ đi vào chi tiết hơn về vấn đề này sau.) Bởi vì nó chỉ là một con số, nó có thể được biểu diễn theo nhiều cách bằng cách sử dụng các hệ thống số khác nhau.

Công việc của bạn là đoán xem có bao nhiêu màu đỏ, xanh lá cây và xanh lam trong màu nền của hoạt động bên dưới. Các giá trị cho màu đỏ, xanh lục và xanh lam có thể nằm trong khoảng từ 0 đến 255.

Vui lòng sử dụng các gợi ý khác nhau được cung cấp để giúp bạn. Nếu bạn chưa hiểu các gợi ý về số, không có vấn đề gì! Bạn có thể xem phỏng đoán của mình trông như thế nào bằng cách sử dụng Kiểm tra Đoán cái nút. Và nếu màu nền xảy ra làm cho văn bản khó đọc, hãy nhấn Màu mới. Ngay bây giờ, nó có vẻ khó khăn, nhưng hy vọng đến cuối bài viết, nó sẽ có vẻ dễ dàng.


Các con số trong Toán học

Trong toán học, các con số được sử dụng để đếm, đo lường và tính toán.

Phần giới thiệu đã đề cập đến số thập phân hoặc cơ sở 10 mà nhiều người trong chúng ta sử dụng và nhận ra.

Trong hệ thập phân, chúng tôi sử dụng 10 chữ số để biểu diễn các số:

0 không | 1 cái | 2 hai | 3 ba | 4 bốn | 5 năm | 6 sáu | 7 bảy | 8 tám | 9 chín

Các số không thể biểu diễn bằng một chữ số được sắp xếp trong các cột được gọi là đặt giá trị. Giá trị vị trí trong các ví dụ sau được hiển thị dưới dạng các hộp được gắn nhãn cho mỗi cột. Thông thường, chúng tôi không & rsquot có các cột được gắn nhãn để giúp chúng tôi, vì vậy chúng tôi phải hình dung chúng.

Khi chúng ta đếm từ 0 đến 9, chúng ta sẽ hết các chữ số đơn lẻ để mô tả các số từ mười trở đi. Để hiển thị số mười, chúng ta cần hai cột. Mười được tạo thành từ một đơn vị mười và không:

Tương tự như vậy, số hai mươi bảy được tạo thành từ hai chục và bảy đơn vị và do đó được hiển thị như sau:

Chúng tôi lại hết cột khi cột hàng chục và hàng đơn vị của chúng tôi đều đạt đến 9 (chín mươi chín, 99). Vì vậy, khi chúng ta muốn thể hiện một trăm, chúng ta phải sử dụng cột thứ ba:

Vì vậy, số ba trăm năm mươi tám sẽ được hiển thị trong ba cột như sau:

Khi chúng ta đếm ngược đến các số lớn hơn và lớn hơn, chúng ta cần thêm ngày càng nhiều cột. Các số tiếp tục đến vô cùng, do đó hệ thống các cột cũng tiếp tục vô hạn.

Ví dụ, một triệu, hai trăm năm mươi bốn nghìn, tám trăm hai mươi sáu, sẽ được viết là:

Hệ thống này cũng hoạt động đối với các số âm, tức là các số nhỏ hơn 0. Các số âm thường được hiển thị với ký hiệu & lsquo - & lsquo đứng trước nên trừ 1 sẽ được viết là −1.

Ghi chú: Khi viết các số lớn từ một nghìn trở lên, chúng ta có thể làm cho số đó dễ đọc hơn bằng cách chia số đó thành các nhóm có ba chữ số bằng dấu cách hoặc dấu phẩy. Con số trên có thể được viết

Không nhất thiết phải làm điều này, nhưng nó có thể tử tế hơn với người đọc. Sẽ thoải mái hơn khi đọc các số lớn theo nhóm có ba chữ số. Các dấu phẩy hoặc dấu cách được định vị thuận tiện để phân tách hàng nghìn, hàng triệu, hàng tỷ, nghìn tỷ, v.v.

CẢNH BÁO! Các công ước quốc tế được áp dụng…

Quy ước sử dụng dấu phẩy hoặc dấu cách không giống nhau trên toàn thế giới.

Ví dụ, ở Hà Lan, dấu chấm được sử dụng để thay thế. Ví dụ của chúng tôi do đó sẽ được viết 1.254.826. Ở Anh, dấu chấm được sử dụng để biểu thị dấu thập phân khi viết một phân số của một số (xem các trang của chúng tôi trên Phân sốSố thập phân), nhưng ở Hà Lan họ sử dụng dấu phẩy cho mục đích này.

Hãy luôn cẩn thận kiểm tra quy ước của quốc gia bạn đang sinh sống — nó có thể có nghĩa là sự khác biệt giữa việc nhận được một túi hoặc một chiếc xe tải đầy khoai tây!


Số và Hệ thống Số

Một số là một đơn vị cơ bản của toán học. Các con số được sử dụng để đếm, đo lường và so sánh số lượng. Hệ thống số là một tập hợp các ký hiệu hoặc chữ số, được sử dụng để biểu thị các số. Hệ thống số phổ biến nhất sử dụng 10 ký hiệu được gọi là chữ số — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9 — và kết hợp của những chữ số này.

Các loại số

Các con số có thể được phân loại theo nhiều cách. Lớp đơn giản nhất là các số tự nhiên, hoặc đếm (1, 2, 3,…). Với việc thêm 0, chúng được gọi là các số nguyên.

Các số tự nhiên còn được gọi là các số dương vì chúng lớn hơn 0. Với mỗi số dương, cũng có một số âm (−1, −2, −3,…). Các số âm nhỏ hơn 0. Các số tự nhiên, số tương đương âm của chúng và 0 tạo nên tập hợp các số được gọi là số nguyên. Các số nguyên có thể được hình dung như các điểm trên một đoạn thẳng tiếp tục mãi mãi theo cả hai hướng.

Phân số là số đại diện cho các phần của một tổng thể. Các phân số được viết dưới dạng các chữ số cách nhau một dòng, như trong 3 /4. Chữ số dưới dòng được gọi là mẫu số. Chữ số phía trên dòng được gọi là tử số. Khi đọc một phân số, tử số được nêu trước tiên. Ví dụ, 3 /4 được đọc là "ba phần tư". Các phân số cũng có thể được hiển thị trên một trục số.

Phân số cũng có thể được viết dưới dạng số thập phân. Số thập phân được viết bằng các chữ số (0-9) cùng với một dấu chấm được gọi là dấu thập phân. Một phân số có thể được đổi thành số thập phân bằng cách chia tử số cho mẫu số. Theo cách này, 3 /4 có thể được thay đổi thành 0,75 thập phân.

Hệ thống số cổ đại

Hệ thống số đầu tiên có lẽ là hệ thống kiểm đếm. Trong hệ thống này, một dấu hiệu riêng biệt đã được thực hiện cho mỗi mục được đếm. Hệ thống này chỉ hữu ích với một số lượng nhỏ.

Người Ai Cập cổ đại đã phát triển một hệ thống phức tạp để viết các số lớn dưới dạng ký hiệu được gọi là chữ tượng hình. Có một biểu tượng chữ tượng hình duy nhất cho số 1.000. Nhưng để viết số 999, cần phải viết ký hiệu 100 chín lần, sau đó là ký hiệu 10 chín lần, và cuối cùng là ký hiệu 1 chín lần.

Người La Mã cổ đại sử dụng các chữ cái để biểu thị số — I là 1, V là 5, X là 10, L là 50, C là 100, D là 500 và M là 1.000. Hệ thống này được gọi là số La Mã. Trong chữ số La Mã, 256 được viết là CCLVI.

Base-ten và các hệ thống khác

Hệ thống số phổ biến nhất được sử dụng ngày nay được gọi là hệ cơ số mười, hoặc hệ thập phân. Nó có 10 chữ số (0-9) có thể được kết hợp để viết bất kỳ số nào. Hệ thống base-ten được phát minh bởi những người theo đạo Hindu ở Ấn Độ cổ đại. Sau đó, người Ả Rập đã cải tiến hệ thống. Vì lý do này, các chữ số 0-9 được gọi là chữ số Hindu-Ả Rập.

Trong hệ thống cơ số 10, giá trị của mỗi chữ số dựa trên vị trí của nó, hoặc "vị trí" trong một số. Có “một nơi”, “hàng chục”, “hàng trăm”, v.v. Ví dụ, trong số 456, số 4 ở hàng trăm, số 5 ở hàng chục, và số 6 ở hàng đơn vị. Được viết theo cách khác, số 456 thực sự đại diện cho (4 × 100) + (5 × 10) + (6 × 1).

Đối với một số mục đích, các hệ thống số khác hữu ích hơn cơ số mười. Ví dụ, máy tính sử dụng hệ thống số cơ số hai, hoặc nhị phân. Thay vì 10 chữ số, hệ thống này chỉ sử dụng hai — 0 và 1. Trong máy tính, những con số này là viết tắt của “tắt” và “bật”, hai trạng thái duy nhất có thể có của công tắc điện của máy tính.


In tài nguyên hoặc lưu dưới dạng PDF

Tính năng in hiện không tương thích với Firefox.

Tài khoản này mô tả cách số lượng phát triển trong phạm vi mẫu giáo, từ khoảng ba đến năm tuổi, và cung cấp tổng quan chi tiết hơn về các kỹ năng và hiểu biết khác nhau mà trẻ em cần để đạt được năng lực đếm. Một chương trình giảng dạy có chủ đích nên giải quyết tất cả các chủ đề này.

Bối cảnh và tổng quan
Trẻ nhỏ, ngay cả trẻ sơ sinh, phát triển các khái niệm cơ bản không lời về số lượng: nhiều hơn / ít hơn, thứ tự, giống nhau và cộng / trừ. Trẻ em tự học hầu hết những điều này mà không cần nhiều sự trợ giúp của người lớn. Trẻ em thường sử dụng những khái niệm này trong cuộc sống hàng ngày, chẳng hạn, để xác định ai có nhiều kem hơn hay ít hơn. Các khái niệm và quy trình dành cho trẻ em rất hữu ích trong những điều kiện nhất định nhưng cần được làm phong phú hơn. (Có lẽ đó là lý do tại sao con số được phát minh: người chăn cừu không chỉ cần biết rằng anh ta có rất nhiều cừu mà còn phải biết chính xác bao nhiêu con.) Đây là những gì trẻ em biết và những gì chúng cần học ở độ tuổi khoảng ba, bốn và năm.

Nhiều hơn / ít hơn
Trẻ em cần có khả năng nhìn thấy rằng có nhiều đồ vật hơn ở đây. Họ thường giải quyết vấn đề này không phải bằng cách đếm mà bằng ngoại hình. "Đàn ngỗng trời này phải lớn hơn vì nó bao phủ một khu vực rộng hơn so với đàn ngỗng khác." Cách tiếp cận này thường đầy đủ nhưng có thể dẫn đến câu trả lời sai và nhầm lẫn.

Đặt hàng
Các phán đoán về nhiều hơn hoặc ít hơn là đủ cho nhiều mục đích, nhưng đôi khi cần phải so sánh giữa nhiều hơn hai điều. Do đó, ý tưởng về trật tự, bao gồm những ý tưởng tinh tế:

  • Trong một nhóm ba đối tượng, đối tượng thứ hai lớn hơn đối tượng đứng trước nhưng nhỏ hơn đối tượng đứng sau.
  • Ngoài ra, mục đầu tiên có thể trở thành cuối cùng theo đơn đặt hàng mới.

Một lần nữa trẻ nhỏ có xu hướng phụ thuộc quá nhiều vào vẻ bề ngoài để giải quyết vấn đề.

Số tương tự
Ý tưởng về số tương tự phát triển, ngay cả khi không có sự trợ giúp của người lớn, qua một số giai đoạn:

  • Bước đầu tiên ta thấy rằng hai nhóm giống hệt nhau về hình dạng và cách sắp xếp cũng giống nhau về số lượng. Do đó, nếu một con gấu nâu và một con chim hoàng yến vàng được đặt ngay bên dưới một con gấu nâu khác và một con chim hoàng yến vàng, thì cả hai hàng đều giống nhau về số lượng (cũng như về hình dạng, màu sắc và cách sắp xếp).
  • Bước thứ hai là thấy rằng hai nhóm khác nhau về màu sắc hoặc hình dạng vẫn có thể giống nhau về số lượng. Vì vậy, nếu một con gấu nâu và một con chim hoàng yến vàng được đặt ngay dưới một con lợn hồng và diệc xanh, thì cả hai hàng đều giống nhau về số lượng (và cách sắp xếp, mặc dù chúng khác nhau về hình dạng và màu sắc).
  • Bước thứ ba là thấy rằng hai nhóm chỉ khác nhau về cách sắp xếp là giống nhau về số lượng. Vì vậy, nếu một con gấu nâu và một con chim hoàng yến màu vàng là không phải được đặt ngay dưới con lợn hồng và diệc xanh nhưng thay vì nằm ở chỗ khác, cả hai nhóm đều giống nhau về số lượng (mặc dù chúng khác nhau về cách sắp xếp, hình dạng và màu sắc).
  • Thứ tư là thấy rằng một nhóm, khi được sắp xếp lại, có cùng số lượng như trước khi nó được di chuyển xung quanh. Vì vậy, nếu lần đầu tiên đứa trẻ nhìn thấy một con gấu nâu và một con chim hoàng yến màu vàng trong một cách sắp xếp, sau đó chúng được biến đổi, đứa trẻ nhận ra rằng số lượng không thay đổi so với trước khi sắp xếp lại.
  • Thứ năm là lần đầu tiên thấy rằng hai số lượng là cùng một số khi chúng trông giống nhau, ví dụ năm quả trứng liên tiếp và năm cốc đựng trứng liên tiếp đều có cùng số lượng. Nhưng sau đó nếu có một sự biến đổi (ví dụ như trải các quả trứng ra xa nhau để dòng trứng dài hơn dòng cốc đựng trứng), đứa trẻ phải có thể hiểu rằng quả trứng và cốc đựng trứng giống nhau về số chẵn. mặc dù hai dòng trông khác nhau.

Ý tưởng về thêm vào dẫn đến nhiều hơn và trừ đi ít hơn
Trẻ em học được rằng:

  • Khi bạn thêm một cái gì đó vào một tập hợp hiện có, kết quả là bạn có nhiều hơn những gì bạn có lúc đầu.
  • Nếu bạn bắt đầu với hai nhóm cùng một số và bằng phép thuật (trong khi đứa trẻ không nhìn), một nhóm bây giờ nhiều hơn nhóm kia, bạn phải thêm vào một hoặc trừ đi.
  • Bạn không cần phải đếm để đi đến những phán đoán liên quan đến nhiều hơn và liên quan đến phép cộng và phép trừ: bạn có thể giải quyết vấn đề chỉ bằng lý trí.

Hướng dẫn sau này cần phải xây dựng dựa trên tất cả những ý tưởng này khi các số viết được giới thiệu.

Bối cảnh và tổng quan
Trong cuộc sống hàng ngày, chúng ta sử dụng các từ đếm mọi lúc, chọn các mặt hàng từ siêu thị (“chúng ta cần hai quả chuối”) hoặc chơi “10, chín, tám,… nổ tung!” Trẻ em thích đếm càng cao càng tốt, giống như người lớn. Họ thậm chí có thể quan tâm đến tên của số cao nhất. Thông thạo các từ đếm sẽ hỗ trợ việc tính toán sau này.

Ghi nhớ vẹt cộng với
Lúc đầu, trẻ ghi nhớ các từ đếm từ khoảng một đến 10 hoặc lâu hơn. Nhưng việc học của họ không chỉ liên quan đến trí nhớ. Trẻ em cũng học một số ý tưởng và quy tắc về số, cụ thể là thứ tự thích hợp là điều cần thiết, các con số khác với các chữ cái và bạn không được phép bỏ qua hoặc lặp lại các số khi đếm.

Kết cấu
Sau đó, trẻ em nhận ra cấu trúc cơ bản của số: mười là đơn vị cơ bản (20, 30, v.v.) và chúng tôi gắn các đơn vị vào hàng chục (hai mươi mốt Vân vân.). Các quy tắc để nói các từ đếm tiếng Anh từ mười một đến mười chín đặc biệt khó học vì chúng được thiết kế kém. Mười một phải là "mười một", giống như hai mươi mốt. Mười lăm phải là "mười lăm", giống như hai mươi lăm. Các ngôn ngữ Đông Á có quyền này, nhưng tiếng Anh và nhiều ngôn ngữ khác thì không. Ngược lại, tiếng Anh được thiết kế khá tốt cho các từ số bắt đầu bằng hai mươi. Mỗi từ hàng chục giống với một từ đơn vị. Bốn mươi giống như bốn tám mươi Thích tám, và như thế. Năm mươi đến trước sáu mươi. (Một vấn đề khá nhỏ là hai mươi nên nghe giống hơn hai và lý tưởng nhất nên là "hai-mười" ba mươi nên là "ba-mười" và như vậy). Sau khi nói một từ hàng chục, đứa trẻ nối các từ đơn vị, một bởi vì chín. Học đếm đến 20 và hơn thế nữa là trải nghiệm đầu tiên của trẻ với các ý tưởng cơ số mười. Trong trường hợp này, việc giảng dạy cần nhấn mạnh mô hình cơ số mười nằm bên dưới các số đếm: cấu trúc. Chúng ta cần “hướng dẫn” (dạy cấu trúc) chứ không phải “hướng dẫn”.

Bối cảnh và tổng quan
Ý tưởng của trẻ em về những thứ giống nhau, nhiều hơn, ít hơn và trật tự bị ảnh hưởng nặng nề bởi nhận thức và bởi logic không hoàn hảo của chính chúng (ví dụ: cái nào giống càng nhiều thì càng nhiều). Đây là những ý tưởng hay nhưng thiếu chính xác, vì vậy trẻ cần được giúp đỡ để thực hiện bước tiếp theo. Các từ đếm mà trẻ học sớm có thể được sử dụng cho sự liệt kê trong việc xác định số lượng chính xác của một bộ sưu tập, nó là bảng số điều đó cho biết có bao nhiêu. Việc liệt kê và hiểu chính xác về số chính xác là điều cơ bản đối với tất cả các phép tính (và đo lường) và không đơn giản như chúng có vẻ. Thay vào đó, chúng liên quan đến những ý tưởng toán học quan trọng và tư duy chiến lược.

Các nguyên tắc cần thiết để hiểu cách liệt kê
Sự liệt kê đề cập đến việc sử dụng các từ đếm để tìm ra số lượng đồ vật. (Điều này bao gồm bất kỳ đồ vật nào, từ quái vật tưởng tượng đến viên bi.) Trẻ em phải học cách tuân theo một số quy tắc và nguyên tắc để liệt kê chính xác. Bộ quy tắc này là cơ bản:

  • Nói các từ số theo thứ tự thích hợp của chúng.
  • Ghép một từ số chỉ với một thứ (một số này tương ứng với một số kia giữa từ số và sự vật).
  • Đếm mỗi thứ một lần và chỉ một lần.

Với những quy tắc và nguyên tắc này, có một số cách để liệt kê chính xác. Trẻ em cần có khả năng:

  • "Xem" các số nhỏ (lên đến bốn hoặc hơn) mà không cần đếm. Đây là phụ thuộc, điều này có thể giảm bớt sự vất vả khi đếm.
  • Đếm từng đối tượng tại một thời điểm.
  • Chỉ vào đồ vật.
  • Đẩy các đồ vật sang một bên để theo dõi xem những đồ vật nào đã được đếm.
  • Đặt các đối tượng theo một dòng hoặc sắp xếp có trật tự khác.
  • Đếm trên đầu ngón tay.
  • Nhóm các đối tượng thành các nhóm thuận tiện có thể được phụ hoặc đếm.
  • Nhóm 10 giây.
  • Kiểm tra câu trả lời.

Trẻ em cần học cách sử dụng những cách tiếp cận này trong những tình huống thích hợp. Ví dụ, nếu chỉ có hai đối tượng, việc phụ hóa có thể hữu ích, nhưng nếu có chín, thì việc đẩy các đối tượng sang một bên có thể được chỉ định.

Hiểu về bản chất
Trẻ liệt kê chính xác cũng cần hiểu được kết quả đạt được. Giả sử một đứa trẻ đếm chính xác năm thứ. Việc liệt kê chính xác không nhất thiết có nghĩa là trẻ hiểu được bản chất. Khi được hỏi có bao nhiêu chiếc, trẻ có thể chỉ cần đếm các đồ vật vào lần khác. Đối với đứa trẻ đó, trả lời câu hỏi có bao nhiêu chỉ đơn giản là kích hoạt thói quen đếm nhưng không cung cấp hiểu biết về kết quả. Trẻ em cần học một số điều về số thẻ bài. Ý tưởng cốt lõi là cách liệt kê đúng sẽ mang lại giá trị cốt yếu của tập hợp. Từ số cuối cùng không đề cập đến đối tượng cuối cùng được đếm mà là toàn bộ tập hợp. Khi chúng ta đếm, số một đề cập đến đối tượng đầu tiên, số hai không đề cập đến đối tượng thứ hai được đếm mà là hai đối tượng trong nhóm mới, v.v. Hơn nữa, một khi đứa trẻ đã xác định được rằng có năm đối tượng trong tập hợp, sẽ không thành vấn đề nếu chúng bị ẩn đi, hoặc nếu các đối tượng được sắp xếp lại đơn giản (ví dụ từ một đường thẳng đến một hình tròn). Vẫn còn năm đối tượng. Đây là bảo tồn số lượng.

Những sai lầm hoặc quan niệm sai lầm phổ biến
Khi đếm, trẻ em thường dựa quá nhiều vào hình dáng bên ngoài, giống như chúng đã từng xác định hơn hoặc ít hơn. Một mục tiêu của việc giảng dạy là giúp trẻ em học được rằng lý do phải vượt trội hơn vẻ bề ngoài. Trẻ cần suy nghĩ trừu tượng về những thứ hữu hình. Cuối cùng, họ cần hiểu biết về số thứ tự (ví dụ, ý tưởng trừu tượng rằng có năm đối tượng ở đây) trong hệ thống số lớn hơn, chẳng hạn, năm đứng sau bốn và là một nửa của 10.

Bối cảnh và tổng quan
Tiếp theo, chúng ta cần hiểu các khái niệm về nhiều hơn / ít hơn, thứ tự, giống nhau, cộng và trừ không có số chính xác (biết rằng việc thêm có nghĩa là làm cho một tập hợp lớn hơn ngay cả khi bạn không biết con số chính xác) và sự liệt kê được xây dựng để tạo ra các phép cộng và trừ số. Trẻ em tự học một số điều này, nhưng người lớn có thể và nên giúp đỡ.

Hiểu bổ sung
Những khái niệm này cần được học để hiểu phép cộng (phép trừ cũng tương tự):

  • Phép cộng có thể được nghĩ đến theo một số cách, bao gồm kết hợp hai tập hợp, tăng kích thước của một tập hợp và nhảy về phía trước trên một dãy số.
  • Việc đếm đơn giản cũng được thêm vào, từng cái một.
  • Thứ tự của phép cộng không có gì khác biệt (tính chất giao hoán).
  • Thêm số không thay đổi không có gì.
  • Các kết hợp số khác nhau có thể mang lại cùng một tổng.
  • Phép cộng là nghịch đảo của phép trừ.

Các chiến lược được sử dụng để cộng (hoặc trừ)
Trẻ em thường bắt đầu bằng cách sử dụng các đồ vật cụ thể và ngón tay để thêm vào nhưng dần dần học tính nhẩm và nhớ một số tổng.

  • Sử dụng các đồ vật cụ thể, trẻ em có thể làm những việc sau để giải quyết một vấn đề đơn giản như 3 + 2: Chúng có thể count all ("Tôi có ba ở đây và hai ở đó và bây giờ tôi đẩy chúng lại với nhau và đếm tất cả để có năm ") hoặc họ có thể cbắt đầu từ cái lớn hơn ("Tôi có thể bắt đầu với ba và sau đó nói, bốn, năm.")
  • Tiếp cận vấn đề về mặt tinh thần, trẻ em có thể giải quyết vấn đề bằng các dữ kiện bắt nguồn, dựa trên những gì đã biết ("Tôi biết rằng hai và hai là bốn, vì vậy tôi chỉ cần thêm một để có năm") và bằng trí nhớ ("Tôi chỉ biết nó! ").

Các tính năng khác của phép cộng và phép trừ số

  • Luôn hữu ích khi có các chiến lược dự phòng trong trường hợp một chiến lược không hoạt động. Ví dụ, nếu không chắc chắn về trí nhớ, trẻ luôn có thể đếm để lấy câu trả lời.
  • Điều quan trọng là đứa trẻ có thể kiểm tra câu trả lời.
  • Điều quan trọng là đứa trẻ phải giải thích lý do tại sao 3 + 2 cho năm là câu trả lời, vì bằng chứng là một hành động xã hội đòi hỏi ngôn ngữ.
  • Đứa trẻ cần học các chiến lược khác nhau cho các kích thước tập hợp khác nhau. (Đếm từng cái một là tốt để thêm các tập hợp nhỏ nhưng tẻ nhạt và không hiệu quả đối với các tập hợp lớn hơn.)
  • Đứa trẻ cũng có thể mô tả cách nó nhận được câu trả lời. (Tự nhận thức là một khía cạnh của siêu nhận thức. Tất nhiên, ghi nhớ những gì bạn vừa làm là điều cần thiết để mô tả nó bằng lời.)
  • Ngôn ngữ rất quan trọng để mô tả công việc và suy nghĩ của một người và để thuyết phục người khác, trẻ em cần học từ vựng toán học.
  • Đứa trẻ sẽ có thể áp dụng toán học trong các tình huống thực tế hoặc các câu chuyện về các tình huống thực tế (chẳng hạn như các bài toán đố).

Bối cảnh và tổng quan
Trẻ em cần phát triển ý thức về số, một khái niệm nổi tiếng là khó xác định một cách đơn giản và độc quyền. Tôi thích nghĩ về nó như là toán học thông minh đường phố, có thể được sử dụng trong bất kỳ lĩnh vực nào của con số, bao gồm cả những thứ đã thảo luận ở trên. Ý thức về con số, giúp đứa trẻ nhận biết thế giới, có một số thành phần, mỗi thành phần đều trải qua một quá trình phát triển.

Suy nghĩ thay vì tính toán
Ý thức về con số liên quan đến việc sử dụng các ý tưởng cơ bản để tránh sự vất vả khi tính toán, như khi đứa trẻ biết rằng nếu bạn thêm hai và ba và nhận năm, thì bạn không cần phải tính toán để có được câu trả lời cho ba và hai.

Sử dụng những gì là thuận tiện
Ý thức về số liên quan đến việc chia nhỏ các số thành các phần thuận tiện giúp tính toán dễ dàng hơn, như khi chúng ta cộng 5 + 5 + 1 thay vì 5 + 6.

Biết điều gì là hợp lý hoặc không thể
Cảm nhận về số có thể liên quan đến “cảm giác” đối với các con số theo nghĩa biết liệu một số con số nhất định có phải là câu trả lời hợp lý cho một số vấn đề nhất định hay không (nếu bạn thêm hai và ba, bạn biết rằng câu trả lời phải cao hơn ba. ).

Hiểu các mối quan hệ
Cảm giác số liên quan đến trực giác về mối quan hệ giữa các con số. (Ví dụ: "đây là 'lớn hơn thế' nhiều hơn thế.")

Trôi chảy
Khả năng nhận biết số liên quan đến sự trôi chảy với các con số, chẳng hạn như khi đứa trẻ biết ngay rằng tám lớn hơn bốn, hoặc thấy rằng có ba con vật mà không cần phải đếm.

Ước lượng
Điều này liên quan đến việc tìm ra số lượng gần đúng của một nhóm đối tượng và liên quan đến khái niệm về câu trả lời hợp lý.

Bối cảnh và tổng quan
Toán học biểu tượng, chính thức có thể cung cấp cho trẻ em những công cụ và ý tưởng mạnh mẽ hơn những công cụ và ý tưởng được cung cấp thông qua phép toán thông thường hàng ngày của chúng. Toán học chính thức (và cách sử dụng các ký hiệu) được phát triển ở một số nền văn hóa và hiện nay hầu như phổ biến. Trẻ em cần phải học nó.

Nguồn gốc hàng ngày và toán học chính thức
Trẻ em gặp các biểu tượng toán học trong cuộc sống hàng ngày: số thang máy, số xe buýt, kênh truyền hình và biển báo đường phố nằm trong số rất nhiều. Thông thường, các hoạt động của cha mẹ, truyền hình và phần mềm giới thiệu một số phép toán biểu tượng đơn giản, chẳng hạn như đọc các số được viết trên ti vi hoặc trên thẻ chơi.

Các trường học chắc chắn phải dạy toán chính thức. Nhưng làm như vậy không phải là dễ dàng. Ngay cả khi chúng thành thạo toán học hàng ngày, trẻ em có thể gặp khó khăn trong việc hiểu và kết nối kiến ​​thức không chính thức của chúng với những gì được dạy ở trường. Giáo viên thường không dạy chủ nghĩa tượng trưng một cách hiệu quả. Nếu trẻ em đi sai chân tượng trưng, ​​kết quả có thể là một cú ngã khó chịu xuống cầu thang giáo dục. Vì vậy, mục tiêu của giáo viên là giúp trẻ em, ngay cả khi bắt đầu học mẫu giáo, hiểu tại sao các biểu tượng được sử dụng và sử dụng chúng một cách có ý nghĩa để kết nối toán học thông thường đã biết với toán học biểu tượng chính thức. The teacher needs to “mathematize” children’s everyday, personal math that is, help children connect their informal system with the formal mathematics taught in school. It’s not ill-advised or developmentally inappropriate to introduce symbols to young children, if the activity is motivating and meaningful. On the contrary, it is crucial for the teaching of symbols to begin early on, but again, if and only if it is done in a meaningful way.

Here are key issues surrounding the introduction of formal math to young children:

Young children have a hard time connecting numerals and the symbols of arithmetic (+ and -) to their own everyday math
They may add well but be confounded by the expression 3 + 2. It is as if the child is living in alternate realities: the everyday world and the “academic” (in the pejorative sense) world. The everyday world makes sense and the world of school does not. You think for yourself in the former and do what you are told in the latter.

The equals sign (=) is a daunting challenge
The teacher intends to teach the equals sign as "equivalent," and thinks she has, but the child learns it as “makes” (e.g., 3 + 2 làm cho 5). This is a tale of how child egocentrism meets teacher egocentrism but neither talks with the other.

Giải pháp
We should not avoid teaching symbols but need to introduce them in a meaningful way. This means taking account of what children already know and relating the introduction of symbols to that prior knowledge. It also means motivating the use of symbols. Thus if you want to tell a friend how many dolls you have at home, you need to have counted them with number words (symbols) and then use spoken words (“I have five dolls”), written words (“I have five dolls” written on a piece of paper or a computer screen), or written symbols (5) to communicate the result.

Manipulatives can help
Use of manipulatives can be effective in teaching symbolism and formal math, but they are often utilized badly. The goal is not to have the child play with concrete objects but to use these objects to help the child learn abstract ideas. The goal of manipulatives is to get rid of them by putting them in the child’s head to use as needed in thought. For example, suppose the child learns to represent tens and ones with base-ten blocks. Given the mental addition problem 13 plus 25, the child may understand that each number is composed of 10s (the 10 by 10 squares) and some units (the individual blocks), and that solving the problem involves adding one 10 and two more, which is easy, and then figuring out the number of units. The mental images of the 10s and ones provide the basis for her calculation, part of which may be done by memory (one plus two is three) and part of which may be done by counting on her fingers (five fingers and three more give eight).

The basics of number are interesting and deep. Although young children develop a surprisingly competent everyday mathematics, they have a lot to learn and teachers can help.


5.1: Introduction and Basic Number and Counting Systems - Mathematics

Mathematics is a basic tool. Some use of mathematics is found in every rating in the Navy, from the simple arithmetic of counting for inventory purposes to the complicated equations encountered in computer and engineering work. Storekeepers need mathematical compu tation in their bookkeeping. Damage Controlmen need mathematics to compute stress, centers of gravity, and maximum permissible roll. Electronics principles are frequently stated by means of mathematical formulas. Navigation and engineering also use mathematics to a great extent. As maritime warfare becomes more and more complex, mathematics achieves ever increasing importance as an essential tool. From the point of view of the individual there are many incentives for learning the subject. Mathematics better equips him to do his present job. It will help him in attaining promotions and the corresponding pay increases. Statistically it has been found that one of the best indicators of a mans potential success as a naval officer is his understanding of mathematics. This training course begins with the basic facts of arithmetic and continues through some of the early stages of algebra. An attempt is made throughout to give an understanding of why the rules of mathematics are true. This is done because it is felt that rules are easier to learn and remember if the ideas that led to their development are understood.

Many of us have areas in Our mathematics background that are hazy, barely understood, or troublesome. Thus, while it may at first seem beneath your dignity to read chapters on fundamental arithmetic, these basic concepts may be just the spots where your difficulties lie. These chapters attempt to treat the subject on an adult level that will be interesting and informative.

Counting is such a basic and natural process that we rarely stop to think about it. The process is based on the idea of ONE-TO-ONE CORRESPONDENCE, which is easily demonstrated by using the fingers. When children count on their fingers, they are placing each finger in one-to-one correspondence with one of the objects being counted. Having outgrown finger counting, we use numerals.

Numerals are number symbols. One of the simplest numeral systems is the Roman numeral system, in which tally marks are used to represent the objects being counted. Roman numerals appear to be a refinement of the tally method still in use today. By this method, one makes short vertical marks until a total of four is reached when the fifth tally is counted, a diagonal mark is drawn through the first four marks. Grouping by fives in this way is reminiscent of the Roman numeral system, in which the multiples of five are represented by special symbols.

A number may have many names." For example, the number 6 may be indicated by any of the following symbols: 9 - 3, 12/2, 5 + 1, or 2 x 3. The important thing to remember is that a number is an idea various symbols used to indicate a number are merely different ways of expressing the same idea.

The numbers which are used for counting in our number system are sometimes called natural numbers. They are the positive whole numbers, or to use the more precise mathematical term, positive INTEGERS. The Arabic numerals from 0 through 9 are called digits, and an integer may have any number of digits. For example, 5, 22, and 7,049 are all integers. The number of digits in an integer indicates its rank that is, whether it fs "in the hundreds," "in the thousands," etc. The idea of ranking numbers in terms of tens, hundreds, thousands, etc., is based on the PLACE VALUE concept.

Although a system such as the Roman numeral system is adequate for recording the results of counting, it is too cumbersome for purposes of calculation. Before arithmetic could develop as we know it today, the following two important concepts were needed as additions to the counting process:

1. The idea of 0 as a number.

2. Positional notation (place value).

Positional notation is a form of coding in which the value of each digit of a number depends upon its position in relation to the other digits of the number. The convention used in our number system is that each digit has a higher place value than those digits to the right of it.

The place value which corresponds to a given position in a number is determined by the BASE of the number system. The base which is most commonly used is ten, and the system with ten as a base is called the decimal system (decem is the Latin word for ten). Any number is assumed to be a base-ten number, unless some other base is indicated. One exception to this rule occurs when the subject of an entire discussion is some base other than ten. For example, in the discussion of binary (base two) numbers later in this chapter, all numbers are assumed to be binary numbers unless some other base is indicated.

In the decimal system, each digit position in a number has ten times the value of the position adjacent to it on the right. For example, in the number 11, the 1 on the left is said to be in the "tens place, " and its value is 10 times as great as that of the 1 on the right. The 1 on the right is said to be in the "units place," with the understanding that the term "unit" in our system refers to the numeral 1. Thus the number 11 is actually a coded symbol which means "one ten plus one unit." Since ten plus one is eleven, the symbol 11 represents the number eleven. Figure l-l shows the names of several digit positions in the decimal system. If we apply this nomenclature to the digits of the integer 235, then this number symbol means "two hundreds plus three tens plus five units." This number may be expressed in mathematical symbols as follows:

Notice that this bears out our earlier statement: each digit position has 10 times the value of the position adjacent to it on the right.

Figure 1-l.-Names of digit positions.

The integer 4,372 is a number symbol whose meaning is "four thousands plus three hundreds plus seven tens plus two units." Expressed in mathematical symbols, this number is as follows:

This presentation may be broken down further, in order to show that each digit position as IO times the place value of the position on its right, as follows:

The comma which appears in a number symbol such as 4,372 is used for "pointing off" the digits into groups of three beginning at the right-hand side. The first group of three digits on the right is the units group the second group is the thousands group the third group is the millions group etc. Some of these groups are shown in table l-l.

Table 1-l.-Place values and grouping.

By reference to table l-l, we can verify that 5,432,786 is read as follows: five million, four hundred thirty-two thousand, seven hundred eighty-six. Notice that the word "and" is not, necessary when reading numbers of this hind.

1. Write the number symbol for seven thousand two hundred eighty-one.
2. Write the meaning, in words, of the symbol 23,469.
3. If a number is in the millions, it must have at least how many digits?
4. If a number has 10 digits, to what number group (thousands, millions, etc.) does it belong?

1. 7,281
2. Twenty-three thousand, four hundred sixty-nine.
3. 7
4. Billions

The binary number system is constructed in the same manner as the decimal system. However, since the base in this system is two, only two digit symbols are needed for writing numbers. These two digits are 1 and 0. In order to understand why only two digit symbols are needed in the binary system, we may make some observations about the decimal system and then generalize from these.

One of the most striking observations about number systems which utilize the concept of place value is that there is no single-digit symbol for the base. For example, in the decimal system the symbol for ten, the base is 10. This symbol is compounded from two digit symbols, and its meaning may be interpreted as "one base plus no units." Notice the implication of this where other bases are concerned: Every system uses the same symbol for the base, namely 10. Furthermore, the symbol 10 is not called "ten" except in the decimal system. Suppose that a number system were constructed with five as a base. Then the only digit symbols needed would be 0, 1, 2, 3, and 4. No single-digit symbol for five is needed, since the symbol 10 in a base-five system with place value means "one five plus no units." In general, in a number system using base N, the largest number for which a single-digit symbol is needed is N minus 1. Therefore, when the base is two the only digit symbols needed are 1 and O.

symbol by relating it to the decimal system. Figure l-2 shows that the place value of each digit position in the binary system is two times the place value of the position adjacent to it on the right. Compare this with figure l- 1, in which the base is ten rather than two.

Figure 1-2.-Digit positions in the binary system.

Placing the digits of the number 101 in their respective blocks on figure l-2, we find that 101 means "one four plus no twos plus one unit." Thus 101 is the binary equivalent of decimal 5. If we wish to convert a decimal number, such as 7, to its binary equivalent, we must break it into parts which are multiples of 2. Since 7 is equal to 4 plus 2 plus 1, we say that it "contains" one 4, one 2, and one unit. Therefore the binary symbol for decimal 7 is 111. The most common use of the binary number system is in electronic digital computers. All data fed to a typical electronic digital computer is converted to binary form and the computer performs its calculations using binary arithmetic rather than decimal arithmetic. One of the reasons for this is the fact that electrical and electronic equipment utilizes many switching circuits in which there are only two operating conditions. Either the circuit is "on" or it is "Off )" and a two-digit number system is ideally suited for symbolizing such a situation. Details concerning binary arithmetic are beyond the scope of this volume, but are available in Mathematics, Volume 3, NavPers 10073, and Basic Electronics, NavPers 10087-A.

1. Write the decimal equivalents of the binary numbers 1101, 1010, 1001, and 1111.
2. Write the binary equivalents of the decimal numbers 12, 7, 14, and 3.

1. 13, 10, 9, and 15
2. 1100, 111, 1110, and 11

student to investigate more than one text and more than one way of approaching each new topic. At the time of printing of this course, much emphasis is being placed on so-called modern math in the public schools. Consequently, the trainee who uses this course is likely to find considerable material, in his parallel reading, which uses the ideas and terminology of the "new" math.

In the following paragraphs, a very brief introduction to some of the set theory of modern math is presented. Although the remainder of this course is not based on set theory, this brief introduction should help in making the transi tion from traditional methods to newer, experimental methods.


Introduction to Counting & Probability Online Book

Learn the basics of counting and probability from former USA Mathematical Olympiad winner David Patrick. Topics covered in the book include permutations, combinations, Pascal's Triangle, basic combinatorial identities, expected value, fundamentals of probability, geometric probability, the Binomial Theorem, and much more.

The text is structured to inspire the reader to explore and develop new ideas. Each section starts with problems, so the student has a chance to solve them without help before proceeding. The text then includes solutions to these problems, through which counting and probability techniques are taught. Important facts and powerful problem solving approaches are highlighted throughout the text. In addition to the instructional material, the book contains over 400 problems. Full solutions to all of the problems, not just answers, are built into the book.

This book is ideal for students who have mastered basic algebra, such as solving linear equations. Middle school students preparing for MATHCOUNTS, high school students preparing for the AMC, and other students seeking to master the fundamentals of counting and probability will find this book an instrumental part of their mathematics libraries.

Our site includes a free innovative online learning system, Alcumus, and a free collection of videos, both aligned to this textbook.

Preview Sample:


Tips for Parents of Preschoolers

You’re probably in the habit of measuring your preschooler’s growth by checking his or her height and weight. But how can you measure your child’s development in other areas, such as numbers and counting — early math skills?

Think about all the ways that numbers and counting are part of your child’s life! From soapy toes in the bathtub to “get ready-set-go!” in the yard, you are well positioned to observe and gather information about the early math skills your 3- to 4-year-old child is developing. The questions and tips that follow will help you understand what math awareness and skills your child should have — and how you can support his development.

Is your child developing age-appropriate numbers and counting skills?

It’s helpful to know what numbers and counting skills your child should be developing by age 3 or 4. Review the following list of milestones and note how your child is doing in each area. My child:

  • Is aware of — and curious about — how numbers and counting apply to his life and the world around him.
  • Can correctly count at least five objects.
  • Can point to places on a number line and count with 1-to-1 correspondence along the line (from left to right, right to left)
  • Understands that the written numeral “3” means three objects — and the same with numerals 1-5.
  • Can add and subtract small numbers of familiar objects. For example: “I have three cookies. You have two. How many do we have all together?”
  • Can put written numbers (numerals) from 1 to 5 in the correct order, small to large.
  • Can count from one to ten in the correct order.
  • Understands concepts of quantity (for example, “more” and “less”) and size (such as, “bigger” and “smaller”) and uses those terms correctly.

Encouraging numbers and counting skills at home

Now that you are aware of some of the basic math skills and concepts your preschooler should have, you can reinforce and build upon these skills. There are many ways you and your child can play with numbers and counting throughout the day. Here are some ideas to get you started:

  • Show your child how numbers and counting apply to everyday life. Use number words, point out numbers, and involve your child in counting activities as you go through your day. For example: Have your child help you measure ingredients for a recipe by measuring and counting the number of cups or spoonfuls. Talk about how things or amounts are more, less, bigger and smaller, and be sure to praise his efforts and his progress in math awareness.
  • Collect a variety of materials your child can use for hands-on counting. Old keys, plastic bottle caps, and buttons all work well. Collect them in a bag or jar and pick a time to count and re-count them again and again. (For added fun, offer guesses at the total number of items and see who comes the closest.)
  • Use items from around the house to experiment with addition, subtraction and “more” and “less” activities.
  • Read, tell stories, sing songs, and recite poems that include numbers and counting. Try to include books in which characters come and go as the story progresses.
  • Play simple board games that call on players to count spaces on the board, objects used in the game, and to recognize printed numerals or their representation (such as “dots on dice”).

Note: If your child has a regular babysitter or daycare provider, be sure to pass these tips along to the caregiver.

Promoting number and counting skills at preschool

The preschool classroom is filled with opportunities to learn and practice number and counting skills. Be sure to talk to your child’s teacher about structured teaching activities to develop skills in this area. To keep track of your child’s progress in early math skills, you’ll want to:

  • Ask your child’s teacher what early math lessons, games, and activities your child is exposed to and where your child is succeeding or struggling.
  • Find out what early math skills your child will need to master in ensure a smooth start of the kindergarten year
  • Look at the work and projects your child brings home from school. Look for numbers and counting themes and elements and discuss them together.
  • Encourage your child to talk about school and whether she finds numbers and counting interesting (or difficult).

Cause for concern? Where to turn for advice and assistance

Rest assured that “normal” development of beginning math skills doesn’t progress in exactly the same way for all preschoolers. However, you may want to seek help if your child:

  • Has difficulty with simple counting.
  • Doesn’t understand the one-to-one correspondence between number symbols and items/objects.
  • Doesn’t seem to understand or notice variations in size, patterns, or shapes.
  • Doesn’t see how math concepts exist in everyday life, even when examples are pointed out to him or her.
  • Dislikes and avoids activities and games that involve numbers and counting.


Kristin Stanberry is a writer and editor specializing in parenting, education, and consumer health/wellness issues. Her areas of expertise include learning disabilities and AD/HD, topics which she wrote about extensively for Schwab Learning and GreatSchools.


Introduction to Counting & Probability

Learn the basics of counting and probability from former USA Mathematical Olympiad winner David Patrick. Topics covered in the book include permutations, combinations, Pascal's Triangle, basic combinatorial identities, expected value, fundamentals of probability, geometric probability, the Binomial Theorem, and much more.

The text is structured to inspire the reader to explore and develop new ideas. Each section starts with problems, so the student has a chance to solve them without help before proceeding. The text then includes solutions to these problems, through which counting and probability techniques are taught. Important facts and powerful problem solving approaches are highlighted throughout the text. In addition to the instructional material, the book contains over 400 problems. The solutions manual contains full solutions to all of the problems, not just answers.

This book is ideal for students who have mastered basic algebra, such as solving linear equations. Middle school students preparing for MATHCOUNTS, high school students preparing for the AMC, and other students seeking to master the fundamentals of counting and probability will find this book an instrumental part of their mathematics libraries.

Our site includes a free innovative online learning system, Alcumus, and a free collection of videos, both aligned to this textbook.


Kết hợp Counting Without Replacement Order Doesn't Matter

In mathematics, a combination is a way of selecting several things out of a larger group, where (unlike permutations) order does not matter. In smaller cases it is possible to count the number of combinations. For example given three fruits, say an apple, an orange and a pear, there are three combinations of two that can be drawn from this set: an apple and a pear an apple and an orange or a pear and an orange. More formally, a k-combination of a set S is a subset of k distinct elements of S. If the set has n elements the number of k-combinations is equal to the binomial coefficient.

Formula:

Combinations - Counting Techniques Advanced

How many words can be formed by ordering the letters ARKANSAS? randerson112358

Permutation - Counting Techniques

How many words can be formed by ordering the letters FLORIDA. randerson112358


Xem video: Natural sonlarning raqamlari yigindisini topish 3-dars (Tháng Giêng 2022).