Bài viết

2.E: Phương trình bậc nhất (Bài tập)


Đây là các bài tập về nhà kèm theo Textmap "Phương trình vi phân từng phần" của Miersemann. Đây là sách giáo khoa dành cho khóa học một học kỳ đầu tiên về phương trình vi phân, dành cho sinh viên kỹ thuật. Phương trình vi phân từng phần là phương trình vi phân có chứa các hàm nhiều biến chưa biết và các đạo hàm riêng của chúng. Điều kiện tiên quyết cho khóa học là trình tự giải tích cơ bản.

Q2.1

Giả sử (u: mathbb {R} ^ 2 mapsto mathbb {R} ^ 1 ) là một nghiệm của
$$
a (x, y) u_x + b (x, y) u_y = 0.
$$
Chứng tỏ rằng tùy ý (H trong C ^ 1 ) cũng (H (u) ) là một giải pháp.

Q2.2

Tìm giải pháp (u not equiv const. ) Của
$$
u_x + u_y = 0
$$
như vậy mà
$$
mbox {graph} (u): = {(x, y, z) in mathbb {R} ^ 3: z = u (x, y), (x, y) in mathbb { R} ^ 2 }
$$
chứa đường thẳng ((0,0,1) + s (1,1,0), s in mathbb {R} ^ 1 ).

Q2.3

Cho ( phi (x, y) ) là một nghiệm của
$$
a_1 (x, y) u_x + a_2 (x, y) u_y = 0 .
$$
Chứng minh rằng các đường cong mức (S_C: = {(x, y): phi (x, y) = C = const. } ) Là các đường cong đặc trưng, ​​với điều kiện là ( nabla phi not = 0 ) và ((a_1, a_2) not = (0,0) ).

Q2.4

Chứng minh mệnh đề 2.2.

Q2.5

Tìm hai giải pháp khác nhau của bài toán giá trị ban đầu

[u_x + u_y = 1, ]

trong đó dữ liệu ban đầu là (x_0 (s) = s ), (y_0 (s) = s ), (z_0 (s) = s ).

Sự gợi ý: ((x_0, y_0) ) là một đường đặc tính.

Q2.6

Giải quyết vấn đề giá trị ban đầu
$$
xu_x + yu_y = u
$$
với dữ liệu ban đầu (x_0 (s) = s, y_0 (s) = 1 ), (z_0 (s) ), trong đó (z_0 ) được đưa ra.

Q2.7

Giải quyết vấn đề giá trị ban đầu
$$
-xu_x + yu_y = xu ^ 2,
$$
(x_0 (s) = s, y_0 (s) = 1 ), (z_0 (s) = mbox {e} ^ {- s} ).

Q2.8

Giải quyết vấn đề giá trị ban đầu
$$
uu_x + u_y = 1,
$$
$ x_0 (s) = s, y_0 (s) = s $, (z_0 (s) = s / 2 ) if (0

Q2.9

Giải quyết vấn đề giá trị ban đầu
$$
uu_x + uu_y = 2,
$$
(x_0 (s) = s, y_0 (s) = 1 ), (z_0 (s) = 1 + s ) if (0

Q2.10

Giải bài toán giá trị ban đầu (u_x ^ 2 + u_y ^ 2 = 1 + x ) với dữ liệu ban đầu đã cho (x_0 (s) = 0, y_0 (s) = s, u_0 (s) = 1,
p_0 (s) = 1, q_0 (s) = 0 ), (- infty

Q2.11

Tìm lời giải ( Phi (x, y) ) của
$$
(x-y) u_x + 2yu_y = 3x
$$
sao cho bề mặt được xác định bởi (z = Phi (x, y) ) chứa đường cong
$$
C: x_0 (s) = s, y_0 (s) = 1, z_0 (s) = 0, s in { mathbb R}.
]

Q2.12

Giải bài toán ban đầu về động học hóa học.
$$
u_x + u_y = left (k_0e ^ {- k_1x} + k_2 right) (1-u) ^ 2, x> 0, y> 0
$$
với dữ liệu ban đầu (u (x, 0) = 0, u (0, y) = u_0 (y) ), trong đó (u_0 ), (0

Q2.13

Giải quyết vấn đề Riemann
begin {eqnarray *}
u_ {x_1} + u_ {x_2} & = & 0
u (x_1,0) & = & g (x_1)
end {eqnarray *}
trong ( Omega_1 = {(x_1, x_2) in mathbb {R} ^ 2: x_1> x_2 } ) và trong ( Omega_2 = {(x_1, x_2) in mathbb { R} ^ 2: x_1 ở đâu
$$
g (x_1) = left { begin {array} {r @ { quad: quad} l}
u_l & x_1 <0
u_r & x_1> 0
end {array} right.
$$
với hằng số (u_l not = u_r ).

Q2.14

Xác định góc mở của hình nón Monge, nghĩa là góc giữa trục và góc nghiêng (tiếng Đức: Mantellinie) của hình nón, để có phương trình
$$
u_x ^ 2 + u_y ^ 2 = f (x, y, u),
$$
ở đâu (f> 0 ).

Q2.15

Giải quyết vấn đề giá trị ban đầu
$$
u_x ^ 2 + u_y ^ 2 = 1,
$$
trong đó (x_0 ( theta) = a cos theta, y_0 ( theta) = a sin theta, z_0 ( theta) = 1,
p_0 ( theta) = cos theta ), (q_0 ( theta) = sin theta ) nếu (0 le theta <2 pi ),
(a = const.> 0 ).

Q2.16

Chứng tỏ rằng tích phân ( phi ( alpha, beta; theta, r, t) ), xem bài toán Kepler, là một tích phân hoàn chỉnh.

Q2.17

a) Cho thấy rằng (S = sqrt { alpha} x + sqrt {1- alpha} y + beta ), ( alpha,
beta in mathbb {R} ^ 1, 0 < alpha <1 ), là một tích phân hoàn chỉnh của (S_x- sqrt {1-S_y ^ 2} = 0 ).
b) Tìm phong bì của họ nghiệm này.

Q2.18

Xác định độ dài của nửa trục của hình elip
$$
r = frac {p} {1- varepsilon ^ 2 sin ( theta- theta_0)}, 0 le varepsilon <1.
]

Q2.19

Tìm hàm Hamilton (H (x, p) ) của phương trình vi phân Hamilton-Jacobi-Bellman nếu (h = 0 ) và (f = Ax + B alpha ), trong đó
(A, B ) là các ma trận thực và không đổi, (A: mathbb {R} ^ m mapsto mathbb {R} ^ n ), (B ) là một thực trực giao (n times n ) - Ma trận và (p in mathbb {R} ^ n ) được đưa ra. Tập hợp các kiểm soát có thể chấp nhận được đưa ra bởi
$$
U = { alpha in mathbb {R} ^ n: sum_ {i = 1} ^ n alpha_i ^ 2 le1 } .
]

Nhận xét. Phương trình Hamilton-Jacobi-Bellman chính thức là phương trình Hamilton-Jacobi (u_t + H (x, nabla u) = 0 ), trong đó hàm Hamilton được xác định bởi
$$
H (x, p): = min _ { alpha in U} left (f (x, alpha) cdot p + h (x, alpha) right),
$$
(f (x, alpha) ) và (h (x, alpha) ) được đưa ra. Xem ví dụ, Evans [5], Chương 10.


2.E: Phương trình bậc nhất (Bài tập)

Express [ begin x_1 & # 39 & amp = 2tx_1 + e ^ tx_2 x_2 & # 39 & amp = 3x_1 - 3t x_2 end] với (x_1 (0) = -5 ) và (x_2 (0) = 2 ) dưới dạng phương trình vectơ với điều kiện ban đầu là vectơ.

Dung dịch

Sử dụng định nghĩa của phép nhân ma trận, chúng ta có thể dễ dàng kết luận [ xBld ^ prime = begin 2t & amp e ^ t 3 & amp -3t end xBld ] với điều kiện ban đầu ( xBld (0) = begin -5 2 end) .

Bài tập 2

Xem xét hệ thống [ begin x & # 39 & amp = 2x + y - z y & # 39 & amp = x-3y + 5z z & # 39 & amp = 4x -7y + z. end] Viết hệ thức này dưới dạng phương trình vectơ.

Dung dịch

Sử dụng định nghĩa của phép nhân ma trận có thể dễ dàng thấy rằng [ frac < dee> < dt> begin x y z end = begin 2 & amp 1 & amp -1 1 & amp -3 & amp 5 4 & amp -7 & amp 1 end ắt đầu x y z end]

Bài tập 3

Xét phương trình vectơ (< bf x> & # 39 = begin 4t & amp 6t ^ 2 2 & amp t ^ 3 end < bf x> + begin e ^ t e ^ <-t> end). Viết phương trình này dưới dạng hệ 2 phương trình.

Dung dịch

Đang viết ( xBld = begin x_1 x_2 end). Chúng ta thấy theo định nghĩa của phép nhân ma trận [ begin x_1 ^ prime & amp = 4tx_1 + 6t ^ 2x_2 + e ^ t x_2 ^ prime & amp = 2x_1 + t ^ 3x_2 + e ^ <-t>. end]

Đối với các Bài toán 4-7, viết lại các phương trình vi phân tuyến tính bậc cao dưới dạng một hệ phương trình tuyến tính bậc nhất. Tìm ma trận hệ số ( ABld (t) ) và buộc ( fBld (t) ). Nếu vấn đề là vấn đề giá trị ban đầu, thì hãy đảm bảo nêu điều kiện ban đầu.

Bài tập 4

Dung dịch

Xác định [ xBld = begin x_1 x_2 end = begin u u ^ prime end] Lấy đạo hàm của cả hai vế và sử dụng hệ thống tuyến tính, chúng ta tìm thấy [ xBld ^ prime = begin x_2 -3tx_1 + e ^ chấm dứt = begin 0 & amp 1 -3t & amp 0 end xBld + begin 0 e ^ t end.]

Bài tập 5

Dung dịch

Xác định [ xBld = begin x_1 x_2 x_3 end = begin y y ^ prime y ^ < prime prime> end. ] Lấy đạo hàm của cả hai vế và sử dụng hệ thống tuyến tính, chúng tôi tìm thấy [ xBld ^ prime = begin x_2 x_3 -2x_3 + tx_2 - x_1 end = begin 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp 0 & amp 1 -1 & amp t & amp -2 end xBld. ]

Bài tập 6

Dung dịch

Bài tập 7

Dung dịch

Xác định [ xBld = begin x_1 x_2 x_3 x_4 end = begin y y ^ prime y ^ < prime prime> y ^ < prime prime prime> end. ] Lấy đạo hàm của cả hai bên và sử dụng ODE, chúng ta thấy [ xBld ^ prime = begin x_2 x_3 x_4 -t ^ 2x_4 - cos <(t)> x_3 - t ^ 2 sin <(t)> x_1 + te ^ chấm dứt= ABld (t) xBld + fBld (t). ] Where [ ABld (t) = begin 0 & amp 1 & amp 0 & amp 0 0 & amp 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp 0 & amp 0 & amp 1 -t ^ 2 sin <(t)> & amp 0 & amp- cos <(t)> & amp -t ^ 2 end] và buộc là [ fBld (t) = begin 0 0 0 te ^ chấm dứt.]

Bài tập 8

Xét phương trình bậc hai (y & # 39 & # 39 + p (t) y & # 39 + q (t) y = g (t) ) với các điều kiện ban đầu (y & # 39 (0) = 1 ) và (y (0) = 2 ). Cho (x_1 = y ) và (x_2 = y & # 39 ), rồi biểu thị phương trình bậc hai này dưới dạng hệ hai phương trình bậc nhất. Đảm bảo bao gồm điều kiện ban đầu cho hệ thống của bạn.

Dung dịch

Như một hệ thống, chúng tôi sẽ có [ begin x_1 & # 39 & amp = x_2 x_2 & # 39 & amp = -q (t) x_1-p (t) x_2 + g (t) end] với các điều kiện ban đầu (x_1 (0) = 2 ) và (x_2 (0) = 1 ). Dưới dạng một phương trình vectơ, nó có thể được viết dưới dạng [ xBld ^ prime = begin 0 & amp 1 -q (t) & amp -p (t) end < bf x> + begin 0 g (t) end, ] với điều kiện ban đầu ( xBld (0) = begin 2 1 end) .

Bài tập 9

Xét phương trình bậc n (y ^ <(n)> + a_1 (t) y ^ <(n-1)> + a_2 (t) y ^ <(n-2)> + dot + a_(t) y & # 39 + a_n (t) y = g (t) ) với các điều kiện ban đầu (y ^ <(i)> (0) = b_) cho (i = 0, dot, n-1 ). Biểu thị phương trình bậc n này dưới dạng hệ gồm (n ) phương trình bậc nhất. Đảm bảo bao gồm điều kiện ban đầu cho hệ thống của bạn.

Dung dịch

Như được hiển thị trong văn bản, nếu chúng ta xác định [ xBld = begin x_1 x_2 vdots x_n end = begin y y ^ prime vdots y ^ <(n-1)>, end] hệ thống tương ứng sau đó là [ xBld ^ prime = begin 0 & amp 1 & amp 0 & amp cdots & amp 0 0 & amp ddots & amp ddots & amp ddots & amp vdots vdots & amp ddots & amp 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp cdots & amp 0 & amp 0 & amp 1 -a_n (t) & amp cdots & amp -a_3 (t) & amp a_2 (t) & amp -a_1 (t) end < bf x> + begin 0 0 vdots 0 g (t) end, quad text xBld (0) = begin b_1 b_2 vdots b_n end.]

Bài tập 10

hãn Hai con dây treo có chiều dài ( ell ) và khối lượng (m_1 ) và (m_2 ) được ghép bằng một lò xo. Gọi ( theta_1 ) và ( theta_2 ) là độ dời góc của mỗi con lắc từ vị trí nghỉ của nó. Đối với các góc nhỏ, phương trình chuyển động được xấp xỉ bằng hệ thức tuyến tính sau [ begin m_1 ell theta_1 ^ < prime prime> & amp = - m_1 g theta_1 - k ell ( theta_1 - theta_2) m_2 ell theta_2 ^ < prime prime> & amp = - m_2 g theta_2 + k ell ( theta_1 - theta_2). chấm dứt] Viết nó dưới dạng một hệ thống tuyến tính bậc nhất. Tìm ma trận hệ số tương ứng ( ABld ) và hệ số bắt buộc ( fBld ).

Dung dịch

Viết phương trình ở dạng bình thường [ begin theta_1 ^ < prime prime> & amp = - frac < ell> theta_1 - frac( theta_1 - theta_2) theta_2 ^ < prime prime> & amp = - frac < ell> theta_2 + frac( theta_1 - theta_2). chấm dứt] Xác định [ xBld = begin x_1 x_2 x_3 x_4 end = begin theta_1 theta_1 ^ prime theta_2 theta_2 ^ prime end] Lấy đạo hàm ở cả hai phía và sử dụng ODE, chúng tôi tìm thấy [ xBld ^ prime = begin x_2 - frac< ell> x_1 - frac(x_1 - x_3) x_4 - frac < ell> x_3 + frac(x_1 - x_3) end= begin 0 & amp 1 & amp 0 & amp 0 - frac < ell> - frac & amp 0 & amp frac & amp 0 0 & amp 0 & amp 0 & amp 1 frac & amp 0 & amp - frac < ell> - frac & amp 0 end xBld. ]

Đối với các bài toán 11-12, hãy xác định khoảng lớn nhất mà một nghiệm duy nhất tồn tại cho các bài toán giá trị ban đầu sau đây cho các hệ bậc nhất.

Bài tập 11

Dung dịch

Lưu ý rằng các hệ số không được xác định khi (t leq-1 ), (t & gt3 ), (t = (n + frac <1> <2>) pi / 2 ) và (t = 5 ). Khoảng thời gian lớn nhất chứa thời gian ban đầu (t = 0 ) mà tất cả các hàm là liên tục do đó ((- 1, pi / 2) ).

Bài tập 12

Dung dịch

Các hệ số và buộc của hệ thống này không được xác định bất cứ khi nào (t & lt0 ) hoặc khi (t = 2 ). Do đó khoảng thời gian lớn nhất chứa thời điểm ban đầu (t = 1 ) là ((0,2) ).

Bài tập 13

Xem xét hệ thống vi phân [ frac < dee> < dt> begin x y end = begin 3 & amp 1 2 & amp 2 end ắt đầu x y end]

Cho thấy rằng ( begine ^ <4t> e ^ <4t> end) và ( begin-e ^ 2e ^chấm dứt) đều là giải pháp cho hệ thống này.

Đưa ra một ma trận cơ bản cho hệ thống này.

Đưa ra một giải pháp tổng quát cho hệ thống này dưới dạng véc tơ.

Tính ma trận cơ bản tự nhiên cho hệ thống này được liên kết với (t = 0 ).

Giải bài toán giá trị ban đầu cho hệ này với (x (0) = -2 ) và (y (0) = 3 ).

Dung dịch

Các giải pháp này tạo thành một tập hợp cơ bản vì Wronskian là [ det begin e ^ <4t> & amp -e ^ t e ^ <4t> & amp 2e ^ chấm dứt = 3e ^ <5t> neq 0. ] Do đó, một ma trận cơ bản cho hệ thống này được đưa ra bởi [ PsiBld (t) = begin e ^ <4t> & amp -e ^ t e ^ <4t> & amp 2e ^ chấm dứt.]

Một giải pháp chung được đưa ra bởi [ xBld (t) = PsiBld (t) cBld = c_1 begine ^ <4t> e ^ <4t> end + c_2 begin -e ^ 2e ^chấm dứt.]

Chúng ta có thể thu được ma trận cơ bản tự nhiên ( PhiBld (t) ) dựa trên ma trận cơ bản ( PsiBld (t) ) bởi ( PhiBld (t) = PsiBld (t) PsiBld (0) ^ < -1> ). Chúng tôi có được [ PhiBld (t) = begin e ^ <4t> & amp -e ^ t e ^ <4t> & amp 2e ^ t end frac <1> <3> begin 2 & amp 1 -1 & amp 1 end = frac <1> <3> begin 2e ^ <4t> + e ^ t & amp e ^ <4t> - e ^ t 2e ^ <4t> -2 e ^ t & amp e ^ <4t> + 2e ^ t end.]

Giải pháp cho vấn đề giá trị ban đầu là [ xBld (t) = PhiBld (t) xBld ^ I = frac <1> <3> begin 2e ^ <4t> + e ^ t & amp e ^ <4t> - e ^ t 2e ^ <4t> -2 e ^ t & amp e ^ <4t> + 2e ^ t end ắt đầu -2 3 end = frac <1> <3> begin -e ^ <4t> -5e ^ t -e ^ <4t> + 10e ^ t end]

Bài tập 14

Xem xét hệ thống vi phân [ frac < dee> < dt> begin x y end= begin 1 & amp - cos <(t)> cos <(t)> & amp 1 end ắt đầu x y end]

Chứng tỏ rằng cả hai ( begine ^ t cos ( sin (t)) e ^ t sin ( sin (t)) end) và ( begin-e ^ t sin ( sin (t)) e ^ t cos ( sin (t)) end) đều là giải pháp cho hệ thống này.

Đưa ra một ma trận cơ bản cho hệ thống này.

Viết một phương pháp tổng quát cho hệ này dưới dạng vectơ.

Tính toán ma trận cơ bản tự nhiên của hệ thống này được liên kết với (t = 0 ).

Giải bài toán giá trị ban đầu cho hệ thống này với (x (0) = 1 ), (y (0) = 0 ).

Dung dịch

Các giải pháp này tạo thành một tập hợp cơ bản vì Wronskian là [ det begin e ^ t cos <( sin <(t)>)> & amp -e ^ t sin <( sin <(t)>)> e ^ t sin <( sin <(t)> )> & amp e ^ t cos <( sin <(t)>)> end = e ^ <2t> neq 0. ] Do đó, một ma trận cơ bản cho hệ thống này được đưa ra bởi [ PsiBld (t) = begin e ^ t cos <( sin <(t)>)> & amp -e ^ t sin <( sin <(t)>)> e ^ t sin <( sin <(t)> )> & amp e ^ t cos <( sin <(t)>)> end.]

Vì ( PsiBld (0) = IBld ) ma trận cơ bản của chúng ta cho trong phần (b) thực sự là ma trận cơ bản tự nhiên [ PhiBld (t) = PsiBld (t) = begin e ^ t cos <( sin <(t)>)> & amp -e ^ t sin <( sin <(t)>)> e ^ t sin <( sin <(t)> )> & amp e ^ t cos <( sin <(t)>)> end.]

Bài tập 15

Xem xét hệ thống vi phân [ frac < dee> < dt> begin x y end = begin 2t & amp -e ^ e ^ <-t ^ 2> & amp 0 end ắt đầu x y end]

Chứng tỏ rằng cả hai ( begine ^ cos <(t)> sin <(t)> end) và ( begine ^ sin <(t)> - cos <(t)> end) là các giải pháp cho hệ thống trên.

Đưa ra một ma trận cơ bản cho hệ thống này.

Viết một phương pháp tổng quát cho hệ này dưới dạng vectơ.

Tính toán ma trận cơ bản tự nhiên của hệ thống này được liên kết với (t = 0 ).

Giải bài toán giá trị ban đầu cho hệ thống này với (x (0) = -1 ), (y (0) = 3 ).

Dung dịch

Chúng ta có thể thấy rằng các giải pháp này tạo thành một tập hợp cơ bản, vì Wronskian là [ det begin e ^ cos <(t)> & amp e ^ sin <(t)> sin <(t)> & amp - cos <(t)> end = -e ^ neq 0. ] Do đó, ma trận cơ bản cho hệ thống này được đưa ra bởi [ PsiBld (t) = begin e ^ cos <(t)> & amp e ^ sin <(t)> sin <(t)> & amp - cos <(t)> end.]

Giải pháp chung là [ xBld (t) = PsiBld (t) cBld = c_1 begin e ^ cos <(t)> sin <(t)> end + c_2 begin e ^ sin <(t)> - cos <(t)> end]

Chúng ta có thể thu được ma trận cơ bản tự nhiên ( PhiBld (t) ) dựa trên ma trận cơ bản ( PsiBld (t) ) bởi ( PhiBld (t) = PsiBld (t) PsiBld (0) ^ < -1> ). Chúng tôi có được [ PhiBld (t) = begin e ^ cos <(t)> & amp e ^ sin <(t)> sin <(t)> & amp - cos <(t)> end ắt đầu 1 & amp 0 0 & amp -1 end= begin e ^ cos <(t)> & amp -e ^ sin <(t)> sin <(t)> & amp cos <(t)> end.]

Giải pháp cho vấn đề giá trị ban đầu là [ xBld (t) = PhiBld (t) xBld ^ I = begin e ^ cos <(t)> & amp -e ^ sin <(t)> sin <(t)> & amp cos <(t)> end ắt đầu -1 3 end = begin -e ^ cos <(t)> - 3e ^ sin <(t)> 3 cos <(t)> - sin <(t)> end]

Bài tập 16

Xem xét hệ thống vi phân [ frac < dee> < dt> begin x y end = frac <1> <1 + t ^ 2> begin (1 + t) ^ 2 & amp 2 (1 + t ^ 2) ^ 2 2 & amp 1 + t ^ 2 end ắt đầu x y end]

Chứng tỏ rằng cả hai ( begin(1 + t ^ 2) e ^ <3t> e ^ <3t> end) và ( begin(1 + t ^ 2) e ^ <-t> -e ^ <-t> end) là các giải pháp cho hệ thống trên.

Đưa ra một ma trận cơ bản cho hệ thống này.

Viết một phương pháp tổng quát cho hệ này dưới dạng vectơ.

Tính toán ma trận cơ bản tự nhiên của hệ thống này được liên kết với (t = 0 ).

Giải bài toán giá trị ban đầu cho hệ thống này với (x (0) = -4 ), (y (0) = 2 ).

Dung dịch

Các giải pháp này tạo thành một tập hợp cơ bản kể từ khi [ det begin (1 + t ^ 2) e ^ <3t> & amp (1 + t ^ 2) e ^ <-t> e ^ <3t> & amp -e ^ <-t> end] Do đó, một ma trận cơ bản cho hệ thống này được đưa ra bởi [ PsiBld (t) = begin (1 + t ^ 2) e ^ <3t> & amp (1 + t ^ 2) e ^ <-t> e ^ <3t> & amp -e ^ <-t> end.]

Giải pháp chung là [ xBld (t) = PsiBld cBld = c_1 begin (1 + t ^ 2) e ^ <3t> e ^ <3t> end + c_2 begin (1 + t ^ 2) e ^ <-t> e ^ <-t> end.]

Chúng ta có thể lấy ma trận cơ bản tự nhiên ( PhiBld (t) ) từ ma trận cơ bản ( PsiBld (t) ), bằng công thức ( PhiBld (t) = PsiBld (t) PsiBld (0 ) ^ <-1> ). Chúng tôi tìm thấy [ begin PhiBld (t) & amp = begin (1 + t ^ 2) e ^ <3t> & amp (1 + t ^ 2) e ^ <-t> e ^ <3t> & amp e ^ <-t> end ắt đầu 1 & amp 1 1 & amp -1 end & amp = begin (1 + t ^ 2) (e ^ <3t> + e ^ <-t>) & amp (1 + t ^ 2) (e ^ <3t> - e ^ <-t>) e ^ <3t> + e ^ <-t> & amp e ^ <3t> - e ^ <-t> end chấm dứt]

Đối với các bài toán 17-20, chỉ ra rằng các nghiệm có giá trị vectơ sau đây đối với một hệ tuyến tính tạo thành một tập cơ bản. Tìm hệ thống tuyến tính mà họ giải quyết.

Bài tập 17

Dung dịch

Chúng tôi thấy các giải pháp này tạo thành một tập hợp cơ bản kể từ Wronskian [W (t) = det begin cos <(t)> & amp - sin <(t)> sin <(t)> + cos <(t)> & amp cos <(t)> - sin <(t)> chấm dứt= 1 neq 0. ] Để tìm hệ tuyến tính mà bộ cơ bản này giải được, chúng ta sử dụng ma trận cơ bản [ PsiBld (t) = begin cos <(t)> & amp - sin <(t)> sin <(t)> + cos <(t)> & amp cos <(t)> - sin <(t)> chấm dứt, ] và do đó ma trận hệ số ( ABld (t) ) được đưa ra bởi [ begin ABld (t) & amp = PsiBld ^ < prime> (t) PsiBld ^ <-1> (t) & amp = begin - sin <(t)> & amp - cos <(t)> cos <(t)> - sin <(t)> & amp - sin <(t)> - cos <(t) > end ắt đầu cos <(t)> - sin <(t)> & amp sin <(t)> - sin <(t)> - cos <(t)> & amp cos <(t)> chấm dứt & amp = begin 1 & amp -1 2 & amp -1 end chấm dứt]

Bài tập 18

Dung dịch

Chúng tôi thấy những giải pháp này tạo thành một tập hợp cơ bản kể từ khi Wronskian [W (t) = det begin e ^ t & amp -e ^ <-2t> e ^ t & amp 3e ^ <-2t> end= 4e ^ <-t> neq 0. ] Để tìm hệ tuyến tính mà bộ cơ bản này giải được, chúng ta sử dụng ma trận cơ bản [ PsiBld (t) = begin e ^ t & amp -e ^ <-2t> e ^ t & amp 3e ^ <-2t> end] và do đó ma trận hệ số ( ABld (t) ) được đưa ra bởi [ begin ABld (t) & amp = PsiBld ^ < prime> (t) PsiBld ^ <-1> (t) & amp = begin e ^ t & amp 2e ^ <-2t> e ^ t & amp -6e ^ <-2t> end frac <1> <4> begin 3e ^ <-t> & amp e ^ <-t> -e ^ <2t> & amp e ^ <2t> end & amp = frac <1> <4> begin 1 & amp 3 9 & amp -5 end. chấm dứt]

Bài tập 19

Dung dịch

Chúng tôi thấy các giải pháp này tạo thành một tập hợp cơ bản kể từ Wronskian [W (t) = det begin 2te ^ <2t> & amp -2e ^ <-3t> 1-te ^ <2t> & amp e ^ <-3t> end= 2e ^ <-3t> neq 0. ] Để tìm hệ tuyến tính mà tập cơ bản này giải được, chúng ta sử dụng ma trận cơ bản [ PsiBld (t) = begin 2te ^ <2t> & amp -2e ^ <-3t> 1-te ^ <2t> & amp e ^ <-3t> end] và do đó ma trận hệ số ( ABld (t) ) được đưa ra bởi [ begin ABld (t) & amp = PsiBld ^ < prime> (t) PsiBld ^ <-1> (t) & amp = begin 2e ^ <2t> + 4te ^ <2t> & amp 6e ^ <-3t> -e ^ <2t> - 2te ^ <2t> & amp -3e ^ <-3t> end frac <1> <2> begin 1 & amp 2 te ^ <5t> -1e ^ <3t> & amp 2te ^ <5t> end & amp = begin (1 + 5t) e ^ <2t> - 3 & amp (2 + 10t) e ^ <2t> - frac <1> <2> (1 + 5t) e ^ <2t> + frac <1> <2> & amp - (1 + 5t) e <2t> end. chấm dứt]

Bài tập 20

Dung dịch

Chúng tôi thấy những giải pháp này tạo thành một tập hợp cơ bản kể từ khi Wronskian của họ [ begin W (t) & amp = det begin 1 & amp t + 1 & amp frac <1> <2> t ^ 2 + t +1 0 & amp 1 & amp t + 1 2 & amp 2t + 2 & amp (t + 1) ^ 2 ende ^ <3t> & amp = e ^ <9t> ((t + 1) ^ 2 + 2 (t + 1) ^ 2 - t ^ 2-2t -2 - 2 (t + 1) ^ 2) & amp = -e ^ <9t> neq 0 end] Để tìm hệ tuyến tính mà tập cơ bản này giải được, chúng ta sử dụng ma trận cơ bản [ PsiBld (t) = begin 1 & amp t + 1 & amp frac <1> <2> t ^ 2 + t +1 0 & amp 1 & amp t + 1 2 & amp 2t + 2 & amp (t + 1) ^ 2 ende ^ <3t> ] và do đó ma trận hệ số ( ABld (t) ) được cho bởi ( ABld (t) = PsiBld ^ prime (t) PsiBld ^ <-1> (t) ). Người ta có thể tính toán nghịch đảo là [ PsiBld ^ <-1> (t) = begin (t + 1) ^ 2 & amp -t-1 & amp - frac <1> <2> t ^ 2 -t -2t -2 & amp 1 & amp t + 1 2 & amp 0 & amp -1 ende ^ <-3t> ] và đạo hàm [ PsiBld ^ < prime> (t) = begin 3 & amp 3t + 4 & amp frac <3> <2> t ^ 2 + 4t + 4 0 & amp 3 & amp 3t + 4 6 & amp 6t +8 & amp 3t ^ 2 + 8t + 5 end. ] Do đó, sau một số công việc, [ hãy bắt đầu ABld (t) & amp = begin 3 & amp 3t + 4 & amp frac <3> <2> t ^ 2 + 4t + 4 0 & amp 3 & amp 3t + 4 6 & amp 6t +8 & amp 3t ^ 2 + 8t + 5 end ắt đầu 3 & amp 3t + 4 & amp frac <3> <2> t ^ 2 + 4t + 4 0 & amp 3 & amp 3t + 4 6 & amp 6t +8 & amp 3t ^ 2 + 8t + 5 end & amp = begin 3 & amp 1 & amp 0 2 & amp 3 & amp -1 0 & amp 2 & amp 3 end. chấm dứt]

Bài tập 21

Gọi ( PhiBld (t) ) là ma trận cơ bản tự nhiên được liên kết với (t_I ) cho hệ thống [ frac < dee xBld> < dt> = ABld xBld, ] trong đó ( ABld ) là một ma trận không đổi. Cho thấy rằng ( PhiBld (t) ) và ( ABld ), đó là [ PhiBld (t) ABld = ABld PhiBld (t). ] Gợi ý: Chứng tỏ rằng ( PhiBld (t) ABld ) cho thấy ( ABld PhiBld (t) ) giải quyết cùng một vấn đề về giá trị ban đầu.

Dung dịch

Lấy dẫn xuất thời gian của cả ( PhiBld (t) ABld ) và ( ABld PhiBld (t) ), chúng tôi tìm thấy [ begin ( PhiBld ABld) ^ prime & amp = PhiBld ^ prime ABld = ABld ( PhiBld ABld) ( ABld PhiBld) ^ prime & amp = ABld PhiBld ^ prime = ABld ( ABld PhiBld). chấm dứt] Tuy nhiên, theo định nghĩa ( PhiBld (t_I) = IBld ) và như vậy ( PhiBld (t_I) ABld = ABld PhiBld (t_I) = ABld ). Do đó bằng tính duy nhất của bài toán ban đầu có giá trị ma trận, chúng tôi kết luận rằng [ ABld PhiBld (t) = PhiBld (t) ABld. ]

Bài tập 22

Gọi ( PsiBld (t) ) là ma trận cơ bản cho hệ thống [ frac < dee xBld> < dt> = ABld (t) xBld. ] Đối với bất kỳ ma trận hằng số ( CBld ) sao cho ( det ( CBld) neq 0 ), chứng tỏ rằng ( PsiBld CBld ) cũng là một ma trận cơ bản, nhưng ( CBld PsiBld ) có thể không. ( CBld ) và ( ABld (t) ) phải có quan hệ như thế nào để ( CBld PsiBld ) trở thành một ma trận cơ bản?

Dung dịch

Ma trận cơ bản ( PsiBld ) phải thỏa mãn phương trình vi phân [ notag PsiBld ^ prime = ABld (t) PsiBld ] và có ( det <( PsiBld)> neq 0 ) . Khi nhân phương trình trên ở bên phải với cả hai vế với ( CBld ), chúng tôi tìm thấy [ notag ( PsiBld CBld) ^ < prime> = ABld (t) ( PsiBld CBld), ] và sử dụng các thuộc tính của định thức ( det ( PsiBld CBld) = det <( PsiBld)> det <( CBld)> neq 0 ). Do đó ( PsiBld CBld ) cũng là một ma trận cơ bản. Tuy nhiên, lấy đạo hàm của ( CBld PsiBld ) chúng ta tìm thấy [ notag ( CBld PsiBld) ^ prime = CBld ABld (t) PsiBld neq ABld (t) ( CBld PsiBld). ] Sau đó chúng ta có thể thấy rằng nếu ( ABld (t) ) và ( CBld ) đi làm, thì đó là ( ABld (t) CBld = CBld ABld (t) ) , thì ( CBld PsiBld ) sẽ là một ma trận cơ bản.

Bài tập 23

Gọi ( PsiBld_1 ) và ( PsiBld_2 ) là hai ma trận cơ bản của [ frac < dee xBld> < dt> = ABld (t) xBld. ] Chứng tỏ rằng tồn tại một hằng số ( CBld ), ( det <( CBld)> neq 0 ), sao cho ( PsiBld_1 = PsiBld_2 CBld ).
Gợi ý: Chỉ ra rằng (( PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1) ^ prime = ZeroBld ) và sử dụng quy tắc tích cho ma trận (( ABld BBld) ^ prime = ABld ^ prime BBld + ABld BBld ^ prime ) (xem các bài tập trong phần bổ sung về ma trận và vectơ).

Dung dịch

Chúng tôi thấy bằng cách tính toán trực tiếp rằng [ notag begin ABld PsiBld_1 = PsiBld_1 ^ prime & amp = ( PsiBld_2 PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1) ^ prime & amp = PsiBld_2 ^ prime ( PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1) + PsiBld_2 ( PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1) ^ prime & amp = ABld PsiBld_2 PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1 + PsiBld_2 ( PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1) ^ prime & amp = ABld PsiBld_1 + PsiBld_2 ( PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1) ^ số nguyên tố. chấm dứt] Trừ đi ( ABld PsiBld_1 ) cho cả hai bên, chúng ta thu được [ notag PsiBld_2 ( PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1) ^ prime = ZeroBld. ] Kể từ khi ( PsiBld_2 ) là khả nghịch, chúng ta có thể kết luận [ notag ( PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1) ^ prime = ZeroBld. ] và do đó có một ma trận hằng ( CBld ) sao cho ( PsiBld_2 ^ <-1> PsiBld_1 = CBld ) và [ notag det <( CBld)> = frac < det <( PsiBld_1) >> < det <( PsiBld_2) >> neq 0. ]

Bài tập 24

Bài toán trước ngụ ý rằng nếu ( PsiBld_1 ) và ( PsiBld_2 ) là các ma trận cơ bản của [ frac < dee xBld> < dt> = ABld (t) xBld, ] thì Wronskians (W_1 (t) = det <( PsiBld_1 (t))> ), (W_2 (t) = det <( PsiBld_2 (t))> ) khác nhau bởi một bội số không đổi (c neq 0 ), vì [W_1 (t) = det <( PsiBld_1 (t))> = det <( CBld)> det <( PsiBld_2 (t))> = cW_2 (t) . ] Sử dụng Định lý Wronskian của Liouville để đi đến kết luận tương tự.

Dung dịch

Định lý Wronskian của Liouville phát biểu rằng đưa ra bất kỳ nghiệm cơ bản nào ( PsiBld (t) ) cho [ frac < dee xBld> < dt> = ABld (t) xBld ] thì Wronskian (W ( t) = det <( PsiBld (t))> ) phải thỏa mãn [ frac < dee> < dt> W (t) = tr left ( ABld (t) right) W ( t). ] Hãy để ( PsiBld_1 (t) ) và ( PsiBld_2 (t) ) là hai giải pháp cơ bản cho hệ thống trên và hãy để (W_1 (t) ), (W_2 (t ) ) là Wronskians của họ. Chúng tôi sẽ hiển thị (W_1 (t) / W_2 (t) ) là hằng số. Thật vậy, lấy đạo hàm của nó và sử dụng Định lý Wronskian của Liouville, chúng tôi tìm thấy [ begin left ( frac right) ^ prime & amp = frac - frac & amp = tr left ( ABld right) left ( frac - frac right) = 0. end] Do đó, chúng tôi kết luận rằng có một (c neq 0 ) sao cho (W_1 (t) = cW_2 (t) ).

Bài tập 25

Xét phương trình vi phân tuyến tính bậc (n ^ < mathrm th> ) thuần nhất ở dạng chuẩn [ frac < dee ^ n y> < dt> + a_1 (t) frac < dee ^y> < dt> + ldots + a_(t) frac < dee y> < dt> + a_n (t) y = 0, ] và hệ thống tuyến tính bậc nhất (n ) tương đương [ frac < dee xBld> < dt> = ABld (t) xBld. ] Hiển thị Định lý Wronskian của Abel cho phương trình bậc (n ^ < mathrm th> ) bằng cách sử dụng Định lý Wronskian của Liouville cho hệ tuyến tính bậc nhất.

Dung dịch

Hệ thống tuyến tính thứ tự (n ^ < mathrm th> ) có thể được viết dưới dạng một hệ thống tuyến tính bậc nhất (n )-thứ tự [ frac < dee xBld> < dt> = ABld (t ) xBld, qquad text xBld = begin x_1 x_2 vdots x_n end = begin y y ^ prime vdots y ^ <(n-1)> end, ] và [ ABld (t) = begin 0 & amp 1 & amp 0 & amp cdots & amp 0 0 & amp ddots & amp ddots & amp ddots & amp vdots vdots & amp ddots & amp 0 & amp 1 & amp 0 0 & amp cdots & amp 0 & amp 0 & amp 1 -a_n (t) & amp cdots & amp -a_3 (t) & amp a_2 (t) & amp -a_1 (t) end] Nếu (Y_1, Y_2, ldots Y_n ) là (n ) các nghiệm độc lập tuyến tính cho hệ thống tuyến tính thứ tự (n ^ < mathrm th> ), thì tương ứng [ xBld_1 = begin Y_1 Y_1 ^ prime vdots Y ^ <(n-1)> _ 1 end, quad xBld_2 = begin Y_2 Y_2 ^ prime vdots Y ^ <(n-1)> _ 2 end, quad ldots xBld_n = begin Y_n Y_n ^ prime vdots Y ^ <(n-1)> _ n end] là một tập hợp các giải pháp cơ bản. Hơn nữa, người Wronskians xác định cùng một số lượng [W [Y_1, Y_2, ldots, Y_n] (t) = W [ xBld_1, xBld_2, ldots, xBld_n] (t). ] Do đó, kể từ khi ( tr left ( ABld (t) right) = -a_1 (t) ), chữ Wronskian của Liouvilles hàm ý ẩn ý [ frac < dee> < dt> W [Y_1, Y_2, ldots Y_n] (t) = -a_1 (t) W [Y_1, Y_2, ldots Y_n] (t), ] chỉ là Định lý Wronskian của Abel.


Hơn 250 MCQ hàng đầu về phương trình vi phân bậc nhất tuyến tính | Toán lớp 12

Câu hỏi Trắc nghiệm Toán học cho Kỳ thi Đầu vào Kỹ thuật về “Phương trình vi phân bậc nhất tuyến tính - 2”.

1. Một đường cong đi qua (1, 1) sao cho tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ của đường cong nằm trong góc phần tư thứ nhất và có diện tích bằng 2. Phương trình vi phân là gì?
a) dy / dx = [(xy + 2) ± √ (1 + xy)] / x 2
b) dy / dx = [(xy - 2) ± √ (1 + xy)] / x 2
c) dy / dx = [(xy - 2) ± √ (1 - xy)] / x 2
d) dy / dx = [(xy + 2) ± √ (1 - xy)] / x 2
Đáp án: c
Làm rõ: Phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f (x), tại điểm (x, y), là
Y - y = dy / dx * (X - x)… .. (1)
Nơi nó gặp trục x, Y = 0 và X = (x - y / (dy / dx))
Nơi nó gặp trục y, X = 0 và Y = (y - x / (dy / dx))
Ngoài ra, diện tích của tam giác tạo bởi (1) với các trục tọa độ là 2, do đó,
(x - y / (dy / dx)) * (y - x / (dy / dx)) = 4
Hoặc, (y - x / (dy / dx)) 2 - 4dy / dx = 0
Hoặc, x 2 (dy / dx) 2 - 2 (xy - 2) dy / dx + y 2 = 0
Giải quyết cho dy / dx chúng tôi nhận được,
dy / dx = [(xy - 2) ± √ (1 - xy)] / x 2

2. Một đường cong đi qua (1, 1) sao cho tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến tại bất kỳ điểm nào của đường cong nằm trong góc phần tư thứ nhất và có diện tích bằng 2. Phương trình của đường cong sẽ như thế nào? ?
a) xy = 2
b) xy = -1
c) x - y = 2
d) x + y = 2
Trả lời: d
Làm rõ: Phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f (x), tại điểm (x, y), là
Y - y = dy / dx * (X - x)… .. (1)
Nơi nó gặp trục x, Y = 0 và X = (x - y / (dy / dx))
Nơi nó gặp trục y, X = 0 và Y = (y - x / (dy / dx))
Ngoài ra, diện tích của tam giác tạo bởi (1) với các trục tọa độ là 2, do đó,
(x - y / (dy / dx)) * (y - x / (dy / dx)) = 4
Hoặc, (y - x / (dy / dx)) 2 - 4dy / dx = 0
Hoặc, x 2 (dy / dx) 2 - 2 (xy - 2) dy / dx + y 2 = 0
Giải quyết cho dy / dx chúng tôi nhận được,
dy / dx = [(xy - 2) ± √ (1 - xy)] / x 2
Cho, 1 - xy = t 2
=> x (dy / dx) + y = -2t (dt / dx)
=> x 2 (dy / dx) = t 2 - 1 - 2tx (dt / dx), do đó (3) cho
t (x (dt / dx) - (t ± 1)) = 0
Do đó, t = 0
=> xy = 1 thỏa mãn (1, 1)
Hoặc, x dt / dx = t ± 1
=> dx / x = dt / t ± 1
=> t ± 1 = cx
Với x = 1, y = 1 và t = 0
=> c = ± 1 nên nghiệm là
t = ± (x - 1) => t 2 = (x - 1) 2
Hoặc, 1 - xy = x 2 - 2x + 1
Hoặc, x + y = 2
Do đó, hai đường cong thỏa mãn là xy = 1 và x + y = 2

3. Giá trị của dy / dx - a / x * y = (x + 1) / x sẽ là bao nhiêu?
a) y = x / (1 - a) - 1 / a + cx a
b) y = x / (1 + a) + 1 / a + cx a
c) y = x / (1 - a) - 1 / a - cx a
d) y = x / (1 + a) - 1 / a + cx a
Trả lời: a
Làm rõ: dy / dx - a / x * y = (x + 1) / x ……. (1)
Nhân cả hai vế của phương trình (1) với
e ∫-a / xdx
= e -a log x
= e log x -a
= x -a
Ta nhận được, x -a dy / dx - x -a (a / x) y = x -a (x + 1) / x
Hoặc, d / dx (y. X -a) = x -a + x -a - 1 ……. (2)
Tích hợp cả hai mặt của (2), chúng tôi nhận được,
y. x -a = x -a + 1 / (- a + 1) + x -a - 1 + 1 / (- a -1 + 1) + c
= x -a .x / (1 - a) + x -a / -a + c
Hoặc, y = x / (1 - a) - 1 / a + cx a

4. Dạng phương trình vi phân của √ (a 2 + x 2) dy / dx + y = √ (a 2 + x 2) - x sẽ như thế nào?
a) a 2 log (x + √ (a 2 - x 2)) + c
b) a 2 log (x + √ (a 2 + x 2)) + c
c) a 2 log (x - √ (a 2 + x 2)) + c
d) a 2 log (x - √ (a 2 - x 2)) + c
Đáp án: b
Làm rõ: Dạng phương trình đã cho có thể được viết dưới dạng,
dy / dx + 1 / √ (a 2 + x 2) * y = (√ (a 2 + x 2) - x) / √ (a 2 + x 2) …… (1)
Ta có, ∫1 / √ (a 2 + x 2) dx = log (x + √ (a 2 + x 2))
Do đó, yếu tố tích hợp là,
e ∫1 / √ (a 2 + x 2) = e log (x + √ (a 2 + x 2))
= x + √ (a 2 + x 2)
Do đó, nhân cả hai vế của (1) với x + √ (a 2 + x 2) ta được,
x + √ (a 2 + x 2 dy / dx + (x + √ (a 2 + x 2)) / √ (a 2 + x 2) * y = (x + √ (a 2 + x 2)) ( √ (a 2 + x 2) - x) / √ (a 2 + x 2)
hoặc, d / dx [x + √ (a 2 + x 2) * y] = (a 2 + x 2) ……… .. (2)
Tích hợp cả hai mặt của (2), chúng tôi nhận được,
(x + √ (a 2 + x 2) * y = a 2 ∫dx / √ (a 2 + x 2)
= a 2 log (x + √ (a 2 + x 2)) + c

5. Nghiệm của dy / dx = (6x + 9y - 7) / (2x + 3y - 6) là?
a) 3x - y + log | 2x + 3y - 3 | = -c / 3
b) 3x - y + log | 2x + 3y - 3 | = c / 3
c) 3x + y + log | 2x + 3y - 3 | = -c / 3
d) 3x - y - log | 2x + 3y - 3 | = c / 3
Trả lời: a
Làm rõ: dy / dx = (6x + 9y - 7) / (2x + 3y - 6)
Vì vậy, dy / dx = (3 (2x + 3y) - 7) / (2x + 3x - 6) ………. (1)
Bây giờ, chúng ta đặt, 2x + 3y = z
Do đó, 2 + 3dy / dx = dz / dx [phân biệt với x]
Hoặc, dy / dx = 1/3 (dz / dx - 2)
Do đó, từ (1) chúng ta nhận được,
1/3 (dz / dx - 2) = (3z - 7) / (z - 6)
Hoặc, dz / dx = 2 + (3 (3z - 7)) / (z - 6)
= 11 (z - 3) / (z - 6)
Hoặc, (z - 6) / (z - 3) dz = 11 dx
Hoặc, ∫ (z - 6) / (z - 3) dz = ∫11 dx
Hoặc, ∫ (1 - 3 / (z - 3)) dz = 11x + c
Hoặc, z - log | z - 3 | = 11x + c
Hoặc, 2x + 3y - 11x - 3log | 2x + 3y -3 | = c
Hoặc, 3y - 9x - 3log | 2x + 3y - 3 | = c
Hoặc, 3x - y + log | 2x + 3y - 3 | = -c / 3

6. Một hạt xuất phát từ gốc tọa độ với vận tốc 5cm / giây và chuyển động thẳng đều, gia tốc của nó tại thời điểm t giây là (3t 2 - 5t) cm / giây 2. Vận tốc của hạt sẽ là bao nhiêu?
a) 27cm / giây
b) 28 cm / giây
c) 29 cm / giây
d) 30 cm / giây
Đáp án: c
Làm rõ: Gọi x cm là khoảng cách của hạt chuyển động từ điểm gốc và v cm / giây là vận tốc của nó tại thời điểm cuối t giây. Khi đó gia tốc của hạt tại thời điểm t giây = dv / dt và vận tốc của nó tại thời điểm đó = v = dx / dt.
Theo câu hỏi, dv / dt = 3t 2 - 5t
Hoặc, dv = 3t 2 dt - 5tdt
Hoặc, ∫dv = 3∫t 2 dt - 5∫t dt
Hoặc, v = t 3 - (5/2) t 2 + c ………. (1)
Cho trước, v = 5, khi t = 0 do đó đặt các giá trị này vào phương trình (1) ta nhận được, c = 5
Như vậy v = t 3 - (5/2) t 2 + 5
Hoặc, dx / dt = t 3 - (5/2) t 2 + 5 ……… .. (2)
Như vậy, vận tốc của hạt tại thời điểm cuối 4 giây,
= [v]t = 4 = (4 3 – (5/2)4 2 + 5 ) cm/sec [putting t = 4 in (2)]
= 29 cm/sec

7. A particle starts from the origin with a velocity 5cm/sec and moves in a straight line, its acceleration at time t seconds being (3t 2 – 5t)cm/sec 2 . What will be the distance from the origin at the end of 4 seconds?
a) 30(4/3)
b) 30(2/3)
c) 30
d) Unpredictable
Answer: b
Clarification: Let x cm be the distance of the moving particle from the origin and v cm/sec be its velocity at the end of t seconds. Then the acceleration of the particle at time t seconds = dv/dt and its velocity at that time = v = dx/dt.
By question, dv/dt = 3t 2 – 5t
Or, dv = 3t 2 dt – 5t dt
Or, ∫dv = 3∫t 2 dt – 5∫t dt
Or, v = t 3 – (5/2)t 2 + c ……….(1)
Given, v = 5, when t = 0 hence putting these values in equation (1) we get, c = 5
Thus v = t 3 – (5/2)t 2 + 5
Or, dx/dt = t 3 – (5/2)t 2 + 5 ………..(2)
Or, dx = t 3 dt – (5/2)t 2 dt + 5 dt
Integrating this we get,
x = (1/4)t 4 – (5/2)t 3 /3 + 5t + k ……….(3)
By the problem, x = 0, when t = 0 hence, from (3) we get, k = 0.
Thus, x = (1/4)t 4 – (5/6)t 3 + 5t ……….(4)
Thus, the velocity of the particle at the end of 4 seconds,
= [x]t = 4 = (1/4)4 4 – (5/6)4 3 + 5(4) [putting t = 4 in (4)]
= 30(2/3) cm

8. What is the solution of (y(dy/dx) + 2x) 2 = (y 2 + 2x 2 )[1 + (dy/dx) 2 ]?
a) cx ±1/√2 = y/x + √(y 2 – 2x 2 )/x 2
b) cx ±√2 = y/x + √(y 2 + 2x 2 )/x 2
c) cx ±1/2√2 = y/x + √(y 2 – 2x 2 )/x 2
d) cx ±1/√2 = y/x + √(y 2 + 2x 2 )/x 2
Answer: d
Clarification: Here, y 2 (dy/dx) 2 + 4x 2 + 4xy(dy/dx) = (y 2 + 2x 2 )[1 + (dy/dx) 2 ]
=>dy/dx = y/x ± √(1/2(y/x) 2 ) + 1
Let, y = vx
=> v + x dv/dx = v ± √(1/2(v) 2 ) + 1
Integrating both sides,
±√dv/(√(1/2(v) 2 ) + 1) = ∫dx/x
cx ±1/√2 = y/x + √(y 2 + 2x 2 )/x 2

9. What is the equation of the curve passing through (1, 0) of (y(dy/dx) + 2x) 2 = (y 2 + 2x 2 )[1 + (dy/dx) 2 ]?
a) √2x ±1/√2 = y/x + √(y 2 + 2x 2 )/x 2
b) √2x ±1/2√2 = y/x + √(y 2 + 2x 2 )/x 2
c) √2x √2 = y/x + √(y 2 + 2x 2 )/x 2
d) √2x = y/x + √(y 2 + 2x 2 )/x 2
Answer: a
Clarification: Here, y 2 (dy/dx) 2 + 4x 2 + 4xy(dy/dx) = (y 2 + 2x 2 )[1 + (dy/dx) 2 ]
=> dy/dx = y/x ± √(1/2(y/x) 2 ) + 1
Let, y = vx
=> v + x dv/dx = v ± √(1/2(v) 2 ) + 1
Integrating both sides,
±∫dv/(√(1/2(v) 2 ) + 1) = ∫dx/x
cx ±1/√2 = y/x + √(y 2 + 2x 2 )/x 2 (put v/√2 = tan t)
putting x = 1, y = 0, we get c = √2
So, the curve is given by,
√2x ±1/√2 = y/x + √(y 2 + 2x 2 )/x 2

10. If, A normal is drawn at a point P(x, y) of a curve. It meets the x-axis at Q. If PQ is of constant length k. What kind of curve is passing through (0, k)?
a) Parabola
b) Hyperbola
c) Ellipse
d) Circle
Answer: d
Clarification: Equation of the normal at a point P(x, y) is given by
Y – y = -1/(dy/dx)(X – x) ….(1)
Let the point Q at the x-axis be (x1 , 0).
From (1), we get
y(dy/dx) = x1 – x ….(2)
Now, giving that PQ 2 = k 2
Or, x1 – x + y 2 = k 2
=>y(dy/dx) = ± √(k 2 – y 2 ) ….(3)
(3) is the required differential equation for such curves,
Now solving (3) we get,
∫-dy/√(k 2 – y 2 ) = ∫-dx
Or, x 2 + y 2 = k 2 passes through (0, k)
Thus, it is a circle.


2.E: Equations of First Order (Exercises)

Answer the following to the best of your ability. Questions left blank are not counted against you. When you have completed every question that you desire, click the " MARK TEST " button after the last exercise. A new page will appear showing your correct and incorrect responses. If you wish, you may return to the test and attempt to improve your score. If you are stumped, answers to numeric problems can be found by clicking on "Show Solution" to the right of the question.

Do NOT type units into the answer boxes, type only the numeric values. Do NOT use commas or scientific notation when entering large numbers. Answer all non-integer questions to at least 3 significant figures. Correct answers MUST be within ± 1 unit of the third significant figure or they are scored as wrong.


Copyright © 2007 Southeastern Louisiana University
ALL RIGHTS RESERVED.
Unofficial and external sites are not endorsed by Southeastern Louisiana University.


Solve Simple Differential Equations

y ' = f(x) A set of examples with detailed solutions is presented and a set of exercises is presented after the tutorials. Depending on f(x), these equations may be solved analytically by integration. In what follows C is a constant of integration and can take any constant value.

Example 1: Solve and find a general solution to the differential equation.
y ' = 2x + 1
Solution to Example 1:
Integrate both sides of the equation.
y ' dx = (2x + 1) dx
which gives
y = x 2 + x + C.
As a practice, verify that the solution obtained satisfy the differential equation given above.

Example 2: Solve and find a general solution to the differential equation.
2 y ' = sin(2x)
Solution to Example 2:
Write the differential equation of the form y ' = f(x).
y ' = (1/2) sin(2x)
Integrate both sides
y ' dx = (1/2) sin(2x) dx
Let u = 2x so that du = 2 dx, the right side becomes
y = (1/4) sin(u) du
Which gives .
y = (-1/4) cos(u) = (-1/4) cos (2x)

Ví dụ 3: Solve and find a general solution to the differential equation.
y 'e -x + e 2x = 0
Solution to Example 3:
Multiply all terms of the equation by e x and write the differential equation of the form y ' = f(x).
y ' = - e 3x
Integrate both sides of the equation
y ' dx = - e 3x dx
Let u = 3x so that du = 3 dx, write the right side in terms of u
y = (-1/3) e u du
Which gives .
y = (-1/3) e u = (-1/3) e 3x

Solve the following differential equations.
a) 2y ' = 6x
b) y ' cos x = sin(2x)
c) y ' e x = e 3x

Solutions to the above exercises
a) y = (3/2) x 2 + C
b) y = -2 cos x + C
c) y =(1 / 2) e 2x + C


2.E: Equations of First Order (Exercises)

Express [egin x_1' &= 2tx_1 + e^tx_2 x_2' &= 3x_1 - 3t x_2end] with (x_1(0) = -5) and (x_2(0) = 2) as a vector equation with a vector initial condition.

Exercise 2

Consider the system [egin x' &= 2x+y - z y' &= x-3y+5z z' &= 4x -7y +z.end] Write this system as a vector equation.

Exercise 3

Consider the vector equation (<f x>' = egin 4t & 6t^2 2 & t^3 end <f x>+ egin e^t e^<-t>end) . Write this equation as a system of 2 equations.

For Problems 4-7 recast the higher order linear differential equations as a linear system of first order equations. Find the coefficient matrix (ABld(t)) and forcing (fBld(t)) . If the problem is an initial value problem, then be sure to state the initial condition.

Exercise 4

Exercise 5

Exercise 6

Exercise 7

Exercise 8

Consider the second order equation (y'' + p(t)y' + q(t)y = g(t)) with initial conditions (y'(0) = 1) and (y(0) = 2) . Let (x_1 = y) and (x_2 = y') , and then express this second order equation as a system of two first order equations. Be sure to include the initial condition for your system.

Exercise 9

Consider the nth order equation (y^ <(n)>+ a_1(t)y^ <(n-1)>+ a_2(t)y^<(n-2)>+ dots + a_(t)y' + a_n(t) y= g(t)) with initial conditions (y^<(i)>(0) = b_) for (i = 0, dots, n-1) . Express this nth order equation as a system of (n) first order equations. Be sure to include the initial condition for your system.

Exercise 10

label Two hanging pendula of length (ell) and mass (m_1) and (m_2) are coupled by a spring. Let ( heta_1) and ( heta_2) be the angular displacement of each pendulum from its rest position. For small angles, the equations of motion are approximated by the following linear system [egin m_1ell heta_1^ &= - m_1 g heta_1 - kell( heta_1 - heta_2) m_2ell heta_2^ &= - m_2 g heta_2 + kell( heta_1 - heta_2). chấm dứt] Write this as a first order linear system. Find the corresponding coefficient matrix (ABld) and the forcing (fBld) .

For problems 11-12 determine the largest interval where a unique solution exists for the following initial value problems for first order systems.


Equation

in mathematics, the analytical form of the problem of finding those inputs for which two given functions have equal outputs. The functional inputs are usually called unknowns, and the unknowns for which the functional outputs are equal are called solutions or roots. We say that the solutions satisfy the given equation. For example 3x &ndash 6 = 0 is an equation in one unknown with solution x = 2, and x 2 + y 2 = 25 is an equation in two unknowns, one of whose solutions is x = 3, y = 4. The totality of solutions of an equation depends on the set NS of values that may be assigned to the unknowns. An equation may have no solution in NS, or it may have some, or even infinitely many, solutions in NS. For example, the equation x 4 &ndash 4 = 0 has no rational solutions, two real solutions , and four complex solutions . The equation sin x = 0 has infinitely many real solutions xk = k&pi (k = 0, ±1, ±2, . . .). If an equation is satisfied by every number in NS, then we say that it is an identity over NS. Ví dụ, is an identity over the non-negative reals but not over the reals.

When we are looking for values of the unknowns that satisfy a set of equations, then we call this set a system of equations, and the numbers in question, solutions of the system. For example, the equations x + 2y = 5, 2x + y &ndash z = 1 are a system or two equations in three unknowns. One solution of this system is x = 1, y = 2, z = 3.

Two systems (two equations) are said to be equivalent if every solution of one system (one equation) is a solution of the other system (the other equation) and conversely. Here we require that both systems (equations) be considered over the same input domain. For example, the equations x &ndash 4 = 0 and 2x &ndash 8 = 0 are equivalent, since their common solution is x = 4. Every system of equations is equivalent to a system of the form fk (x1, x2, . xn) = 0, k = 1, 2, . . . . When finding the solutions of an equation, we usually replace it with an equivalent equation. In some cases it is necessary to replace the given equation with an equation that has more solutions than the given equation. A solution of the new equation that is not a solution of the given equation is called extraneous (xemEXTRANEOUS ROOT). For example, by squaring the equation , we obtain the equation x &ndash 3 = 4 whose solution x = 7 is extraneous for the original equation. Thus, if in the process of solving an equation we resort to steps&mdashsuch as squaring&mdashthat may introduce extraneous roots, then the solutions of the transformed equation must be verified by substitution in the original equation.

We know most about equations for which the functions fk are polynomials in variables x1, x2. xn, that is, algebraic equations. For example, an algebraic equation in one unknown has the form

(*) a0x n + a1x n&ndash1 + . + an = 0 (a0 &ne 0)

The number n is called the degree of the equation. Solutions of equations of degree 1 and 2 were known in antiquity. The problem of solving an algebraic equation of degree n was one of the most important problems of the 16th and 17th centuries. During that time, mathematicians developed methods for solving equations of degrees 3 and 4 and obtained formulas for the roots of such equations (xemALGEBRA and CARDANO&rsquoS FORMULA). No such formulas exist for equations of degree n &ge 5, since, in general, such equations cannot be solved in radicals. This fact was proved by N. Abel in 1824. About 1830, consideration of the problem of the solvability of algebraic equations in radicals led E. Galois to a general theory of algebraic equations.

Every algebraic equation has at least one real or complex solution. This assertion is the fundamental theorem of algebra, first proved by K. Gauss in 1799. If &alpha is a solution of the equation (*), then the polynomial a0x n + a1x n&ndash1 + . + an is divisible by x &ndash &alpha. If it is divisible by (x &ndash &alpha) k but not by (x &ndash &alpha) K + 1 , then we say that a is a root of multiplicity k. Counting multiplicities, the number of solutions of the equation (*) is n.

Nếu chức năng f(x) is transcendental, then the equation f(x) = 0 is called a transcendental equation (as an example, xemKEPLER&rsquoS EQUATION). Depending on the form of f(x), we distinguish trigonometric, logarithmic, and exponential equations. We also consider equations with irrationalities, that is, expressions under radicals. The practical solution of equations involves various approximation methods.

The simplest system of equations is a system of linear equations in which the fk are polynomials of degree 1 in x1, x2, . xn (xemLINEAR EQUATION).

In general, the solution of a system of (not necessarily linear) equations reduces to the solution of a single equation by means of the method of elimination of unknowns (see alsoRESULTANT).

In analytic geometry we interpret an equation in two unknowns as a plane curve consisting of all points whose coordinates satisfy the given equation. We interpret an equation in three unknowns as a surface in 3-space. In this interpretation, the solution of a system of equations reduces to the problem of finding the points of intersection of curves, surfaces, and so on. Equations in more than three unknowns must be interpreted as sets of points in n-dimensional spaces.

In number theory we consider indeterminate equations, that is, equations in several unknowns for which we wish to find solutions that are integers or rational numbers (xemDIOPHANTINE EQUATIONS). For example, the integer solutions of the equation x 2 + y 2 = z 2 are of the form x = m 2 &ndash n 2 y = 2mn z = m 2 + n 2 , where m and n are integers.

Let F and &Phi be mappings of a set MỘT into a set B. From the most general point of view, an equation is the statement of the problem of finding elements a in MỘT như vậy mà F(a) = &Phi(a). If MỘT and B are sets of numbers, then we obtain an equation of the type considered above. If MỘT and B are sets in multidimensional spaces, then we obtain systems of equations. Finally, if MỘT and B are sets of functions, then, depending on the nature of the mappings, we can also obtain differential, integral and other forms of equations (xemDIFFERENTIAL EQUATIONS and INTEGRAL EQUATIONS). In addition to the problem of finding solutions of an equation, we consider problems of existence and uniqueness of a solution as well as the problem of the continuous dependence of a solution on various data.

The term &ldquoequation&rdquo is also used in other natural sciences in a sense different from&rsquo that above. Relevant examples are the time equation in astronomy, the equation of state in physics, chemical equations, Maxwell&rsquos equations in electrodynamics, and the Boltzmann kinetic equation in the theory of gases.


First order differential equations Calculator

Example

Solved Problems

Difficult Problems

Solved example of first order differential equations

Take $frac<5><4>$ out of the fraction

Group the terms of the differential equation. Move the terms of the $y$ variable to the left side, and the terms of the $x$ variable to the right side

Integrate both sides of the differential equation, the left side with respect to $y$, and the right side with respect to $x$

Applying the power rule for integration, $displaystyleint x^n dx=frac<>>$, where $n$ represents a number or constant function, in this case $n=1$

Solve the integral $int ydy$ and replace the result in the differential equation

The integral of a constant by a function is equal to the constant multiplied by the integral of the function

Apply the power rule for integration, $displaystyleint x^n dx=frac<>>$, where $n$ represents a number or constant function, such as $2$

Simplify the fraction $frac<5><4>left(frac><3> ight)$

Solve the integral $intfrac<5><4>x^2dx$ and replace the result in the differential equation

As the integral that we are solving is an indefinite integral, when we finish integrating we must add the constant of integration $C$

Eliminate the $frac<1><2>$ from the left, multiplying both sides of the equation by $

Removing the variable's exponent

As in the equation we have the sign $pm$, this produces two identical equations that differ in the sign of the term $sqrt<2left(frac<5><12>x^<3>+C_0 ight)>$. We write and solve both equations, one taking the positive sign, and the other taking the negative sign


I could try to add the bushes and trees, to get 19 bushes and 6 trees, but this wouldn't get me anywhere, because I don't have subtotals for the bushes and trees. So I'll pick variables:

With these variables, I can set up a system of equations each equation will represent one of the transactions they've given me:

Multiplying the second row by &ndash2 , I get:

Adding down the t -terms cancel out, leaving me with B = 23 . Back-solving, I get that t = 47 . Of course, the exercise didn't ask for the values of the two variables. Translating back into English, my solution is:

You probably remember the "distance" word problems where you had a boat going with the current and then against the current, or a plane going with the wind (that is, having a tailwind) and then against the wind (that is, having a headwind). Once you learn how to solve systems of equations, you'll see more of these sorts of exercises.

A passenger jet took three hours to fly 1800 miles in the direction of the jetstream. The return trip against the jetstream took four hours. What was the jet's speed in still air and the jetstream's speed?

When they ask me about the speed "in still air" (for planes) or "in still water" (for boats), they are referring to the speedometer reading they are referring only to the powered input, irrespective of outside influences.

On some very windy day, you can watch birds flapping frantically in the air, trying to cross the street, say, from the tree in your front yard. No matter how hard they flapped, they made little or no forward progress sometimes, a bird will even appear to fly backwards! Did this mean that the bird wasn't actually flapping? No it meant that the bird's attempted speed (how fast the flapping would have moved the bird on a windless day) was not fast enough to usefully counteract the wind hitting it in the face. The bird's "speed in still air", less the wind's speed in the opposite direction, was close to zero, or even negative.

The same concept applies to machinery. If a boat's motor is chugging away at 10 miles an hour (according to the speedometer), but the boat is facing a water current of 15 miles an hour in the opposite direction, then the boat will end up going backwards at five miles an hour. In other words, the speedometer reading is not always the actual speed.

Returning to the exercise:

I'll pick variables and set up a system. In this case, I'll use:

When the plane is going "with" the wind, the plane's powered speed and the windspeed will add together when the plane is going "against" the wind, the windspeed will be subtracted from the plane's speedometer reading (that is, from the engines' actual output).

In each case, the "distance" equation will be "(the combined speed) times (the time spent at that speed) equals (the total distance travelled)":

with the jetstream: (P + w)(3) = 1800

against the jetstream: (P &ndash w)(4) = 1800

Rather than multiply through, I notice that, if I divide off the 3 and the 4, I'll have a system that's already set for solving by addition:

Then, by adding down, I get:

Back-solving, I see that the windspeed w must be 75 mph.

Another topic you might see (if not now, then later in calculus) is decomposing rational expressions using partial fractions.

Find the partial fraction decomposition of the following:

The denominator of the polynomial fraction they've given me factors as:

These factors will be the denominators in the partial-fraction decomposition. That is, I'll be looking for the values of A , B , and C which will complete the following:

The above expression is meant to be equal to the original fraction they gave me. Setting them equal and then multiplying both sides by the common denominator, I get:

The standard way of solving this big messy equation is the process of "comparing coefficients". Two polynomials are equal only if the coefficients of their terms are equal. This is why I grouped my terms the way I did in the last line above I've grouped everything that was multiplied by x 2 , everything that was multiplied by x , and everything that was multiplied by 1 (that is, everything that was just a constant, with no variable part).

On the left-hand side, I've got 5x + 7 , which has no term with an x 2 , so I'll need to think of " 5x + 7 " as " 0x 2 + 5x + 7 ". This will allow me to create new equations, based on the fact that the coefficients on either side of the "equals" sign have to be the same. This gives me:

Solving this system, I get A = &ndash1 , B = &ndash1 , and C = 2 . Then the partial fraction decomposition is:

Whatever you do, don't panic when you face a systems-of-equations word problem. If you take them step-by-step, they're usually pretty do-able. That said, it would probably be to your benefit if you did extra practice problems, just to help you get in the swing of things. With any luck, your tests will then go a little faster.


4.5 First-order Linear Equations

Earlier, we studied an application of a first-order differential equation that involved solving for the velocity of an object. In particular, if a ball is thrown upward with an initial velocity of v 0 v 0 ft/s, then an initial-value problem that describes the velocity of the ball after t t seconds is given by

This model assumes that the only force acting on the ball is gravity. Now we add to the problem by allowing for the possibility of air resistance acting on the ball.

Air resistance always acts in the direction opposite to motion. Therefore if an object is rising, air resistance acts in a downward direction. If the object is falling, air resistance acts in an upward direction (Figure 4.24). There is no exact relationship between the velocity of an object and the air resistance acting on it. For very small objects, air resistance is proportional to velocity that is, the force due to air resistance is numerically equal to some constant k k times v . v . For larger (e.g., baseball-sized) objects, depending on the shape, air resistance can be approximately proportional to the square of the velocity. In fact, air resistance may be proportional to v 1.5 , v 1.5 , or v 0.9 , v 0.9 , or some other power of v . v .

The differential equation in this initial-value problem is an example of a first-order linear differential equation. (Recall that a differential equation is first-order if the highest-order derivative that appears in the equation is 1. ) 1. ) In this section, we study first-order linear equations and examine a method for finding a general solution to these types of equations, as well as solving initial-value problems involving them.

Definition

A first-order differential equation is linear if it can be written in the form

Examples of first-order nonlinear differential equations include

Standard Form

Consider the differential equation

Our main goal in this section is to derive a solution method for equations of this form. It is useful to have the coefficient of y ′ y ′ be equal to 1 . 1 . To make this happen, we divide both sides by 3 x 2 − 4 . 3 x 2 − 4 .

This is called the standard form of the differential equation. We will use it later when finding the solution to a general first-order linear differential equation. Returning to Equation 4.14, we can divide both sides of the equation by a ( x ) . a ( x ) . This leads to the equation

We can write any first-order linear differential equation in this form, and this is referred to as the standard form for a first-order linear differential equation.

Ví dụ 4.15

Writing First-Order Linear Equations in Standard Form

Put each of the following first-order linear differential equations into standard form. Identify p ( x ) p ( x ) and q ( x ) q ( x ) for each equation.